CC BY
8
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
УДК 539.3
А. А. БИТЮРИН, В. К. МАНЖОСОВ
МОДЕЛЬ ПРОДОЛЬНОГО УДАРА ОДНОРОДНОГО И НЕОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЕЙ О ЖЁСТКУЮ ПРЕГРАДУ ПРИ НЕУДЕРЖИВАЮЩИХ СВЯЗЯХ
Рассмотрена задача продольного удара однородного и неоднородного стержней при неудерживающих связях в сечении их взаимодействия и в сечении, взаимодействующим с абсолютно оюёсткой преградой. Построено поле волновых состояний, области волновых состояний.
Ключевые слова: продольный удар, жёсткая преграда, стержень однородный, стержень неоднородный
Рассмотрена модель продольного удара однородного стержня массой т, и длиной /, и неоднородного двухступенчатого стержня о жёсткую преграду. Длина начального участка двухступенчатого стержня равна /2, конечного участка /3, масса обоих участков т2. Оба стержня движутся со
скоростью У0 в сторону жёсткой преграды и соприкасаются в переходном сечении *=/,. Общая
длина обоих стержней равна /. Все стержни состоят из одного материала. Используется волновая модель продольного удара [1,2].
1
о
/
т
С
О
т
I
/1+/:
/
Рис. 1. Схема удара неоднородных стержней при неудерживающих связях Движение поперечных сечений соударяемых стержней описывается волновыми уравнениями вида
д2и](х ,/) 1 д2их{хХ)
дх
а
Ы
= 0, 0<*</,,
(1)
д2и2(х ,() 1 д2и2(х,/)
дх
а
Ы
= 0, /, <х</, +12,
(2)
д2и3(х ,0 1 д2и3(х,0
дх
а
д(
= 0, /, +12 <х<1,
(3)
где и2(х>0> из(х>0 - продольное перемещение поперечного сечения соответственно одно-
родного стержня 1, начального 2 и конечного 3 участков неоднородного стержня; х - координата сечения, / - время; а - скорость распространения продольной волны деформации.
А. А. Битюрин, В. К. Манжосов, 2006
Начальные условия определяют состояние стержней перед их соударением: при / = /0 =0
й^СМо) дщО^о) ди2(х,10) _ г/ ди2(х,10)_п ди3(х,10) _ т/ ди3(х,/0)
~~дГ~ах =0' а/ °'~аГ~~ = и = (4)
Краевые условия определяют отсутствие силы в сечении х = 0 и равенство нулю скорости сечения х = / при взаимодействии участка 3 неоднородного стержня с жёсткой преградой:
дх а ^
а также определяют равенство сил и условия сопряжения в ударных сечениях х = 1] однородного стержня 1 и начального участка 2 ступенчатого стержня при непосредственном их взаимодействии
(6)
дх дх дх
) сЦ(/„0 ) -= -—1 ' , если-< 0, (7)
5/ & дх w
либо отсутствие сил в ударных сечениях стержней, если их взаимодействие отсутствует:
*,(/ 1,о=0> ад>оа0> (8)
ах ах
где £ - модуль упругости первого рода; /4, - площадь поперечного сечения однородного стержня 1; А2 - площадь поперечного сечения начального участка 2 ступенчатого стержня.
В переходном сечении х - 1]+12 начального и конечного участков ступенчатого стержня краевые условия также определяют равенство сил и скоростей
а»2(/,+/2,о диъ{1х+12,1) а»2(А+/2>0 ¿МА +/2,о
ПиЛ9 - = &А-1 - , -—-,
2 дх ъдх а/ д1
где Л3 - площадь поперечного сечения конечного участка 3 ступенчатого стержня. По методу Даламбера решение уравнений (1), (2) и (3) представим в виде
и{(х,0 =/1(а1-х)+ч>1(а1 + х), О^х^ , и2(х,1) = /2(М-х)+у2(Ш + х), /, <х</, +12,
"з(*>0 = /з (а/ - д:) + ф3 (аГ + дг), /, +/2 <х</,
где /х(ш-х), /2{аг-х), /3(я/-х) - функции, описывающие прямые волны, распространяющиеся соответственно по участкам 1, 2 и 3 в направлении оси х; ф, (а/ + х), ф2 {ш + х), ф3 (а/ + х) - функции, описывающие обратные волны, распространяющиеся по участкам 1, 2 и 3 в противоположном направлении; /¡'(а/ -х), Г2{а1 - х), /з(а/ - х), ф,'(в* + х), ф2(а/ + х), фз(а/ + х) производные функций.
Введём относительные величины, характеризующие прямые и обратные волны: 7'(а/-х)=/'(д*-х)/—; <р'(я' + *)=Ф'(<*/ + *)/—. Относительная продольная деформация
а а
в сечении и скорость этого сечения соответственно: ¿"(х,/) = - Г(а*~ *) + <№' + *)>
V (х,/) = ^ = _ +ф'(в/ + х).
Осуществлено моделирование продольного удара однородного и ступенчатого стержней с длинами участков: /1 =0,2/, /2 =0,2/, /3 =0,6/ . Соотношение площадей поперечных сечений каждого предыдуще-
~ А А
го участка к последующему: А =— = — = 0,5. На основе метода характеристик построено поле волно-
А2 А3
вых состояний (рис. 2).
О,41/а
О,81/а
1,21/а
1,61/а
2,01/а
2,41/а
2,81/а
3,21/а
t
Рис. 2. Поле состояний при ударе однородного и ступенчатого стержней о жёсткую преграду
при неудерживающих связях
Области состояний 10 - 127, По ~ H16i III0 - Ulis с соответствующими значениями f'(at-Xj), Ф' (at + Xj), z(x,t), v(x,t) определяют параметры прямых и обратных волн деформаций, продольную деформацию и скорость поперечных сечений. Длительность состояния для произвольного сечения определяется разностью ординат /, которые имеют точки наклонных линий для этого сечения.
Из рис. 2 видно, что отрыв однородного стержня 1 от начального участка 2 ступенчатого стержня
произойдёт в момент времени t = 1,2—, отрыв ступенчатого стержня от жёсткой преграды произойдёт
а
в момент времени / = 1,6—. На рис. 2 моменты и положения отрывов показаны кружками. Соответст-
а
вующие параметры /', ф', е,у для каждой области состояний представлены в таблице 1.
При моделировании удара для различных параметров Л, /,, /2, /3 выявлена связь между количеством повторных соударений стержней в сечениях с неудерживающими связями и характером первоначального удара с жёсткой преградой, соотношением длин и площадей сечений однородных участков стержней.
Таблица 1
Значения функций прямых / и обратных у ударных волн, величин деформации Г и скорости
Области л* "-7 Ф Б V Области Ф 8 V
состояния состояния
первый участок
1о 0,50 0,50 0,00 1,00 I. 0,50 -1,28 -1,78 -0,78
и -1,28 -1,28 0,00 -2,56 I? -1,28 -1,28 0,00 -2,56
и -1,28 -1,28 0,00 -2,56 15 -1,28 -1,28 0,00 -2,56
16 -1,28 -1,28 0,00 -2,56 Ь -1,28 -1,28 0,00 -2,56
18 -1,28 -1,28 0,00 -2,56 I* -1,28 -1,28 0,00 -2,56
1.0 -1,28 -1,28 0,00 -2,56 I.. -1,28 -1,28 0,00 -2,56
1.2 -1,28 -1,28 0,00 -2,56 1.3 1
второй участок
По 0,50 0,50 0,00 1,00 п, 0,50 -0,83 -1,33 -0,33
п2 0,06 -0,83 -0,89 -0,77 Из 0,06 -0,69 -0,75 -0,63
П4 -0,69 -0,69 0,00 -1,38 И5 -0,69 -0,44 0,25 -1,13
Н6 -0,44 -0,44 0,00 -0,88 п7 -0,44 -0,08 0,36 -0,52
П8 -0,08 -0,08 0,00 -0,16 п9 -0,08 -0,15 -0,07 -0,23
П,о -0,15 -0,15 0,00 -0,30 п„ -0,15 -0,78 -0,63 -0,93
11.2 -0,78 -0,78 0,00 -1,56 Н,з -0,78 -0,20 0,58 -0,98
третий участок
Шо 0,50 0,50 0,00 1,00 Ш, 0,50 -0,50 -1,00 0,00
1П2 0,17 -0,50 -0,67 -0,33 Ш3 -0,13 -0,50 -0,37 -0,63
ш4 0,17 -0,17 -0,34 0,00 1П5 -0,63 -0,50 0,13 -1,13
ш6 -0,13 -0,17 -0,04 -0,30 Ш7 -0,63 -0,17 0,46 -0,80
-0,13 -0,13 0,00 -0,26 ш9 -0,35 -0,17 0,18 -0,52
Ш,о -0,63 -0,13 0,50 -0,76 III., -0,35 -0,13 0,22 -0,48
Ш,2 -0,63 -0,63 0,00 -1,26 -0,10 -0,13 -0,03 -0,23
Ш,4 -0,35 -0,63 -0,28 -0,98 1Л,5 -0,10 -0,63 -0,53 -0,73
III,6 -0,35 -0,35 0,00 -0,70 щ,7 -0,31 -0,63 -0,32 -0,94
Ш18 -0,10 -0,35 -0,25 -0,45 Ш,9 -0,31 -0,35 -0,04 -0,66
-0,10 -0,10 0,00 -0,20 ш21 -0,64 -0,35 0,29 -0,99
ш22 -0,31 -0,10 0,21 -0,41 | •
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Битюрин, А. А, Моделирование продольного удара однородных стержней при неудерживающих связях / А. А. Битюрин, В. К. Манжосов // Математическое моделирование физических, технических, экономических, социальных систем и процессов. Труды шестой Международной конференции (19 21 октября 2005 года). Ульяновск, 2005. С. 25 27.
2. Манжосов, В. К. Модель продольного удара неоднородного стержня о жёсткую преграду / В. К. Манжосов, А. А. Битюрин // Механика и процессы управления. Сборник научных трудов. - Ульяновск, 2004. - С. 79-88.
Битюрин Анатолий Александрович, аспирант Ульяновского государственного технического университета. Имеет публикации по моделированию продольного удара неоднородного стержня.
Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук профессор^ заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стержневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах.
