CC BY
48
УДК 519.651
О.Н. Некрасов
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОФАКТОРНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЗАДАЧЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЛЕСНОГО ПОЖАРА И ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ ЕГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ
Рассматривается наилучшая аппроксимация таблично-заданных функций в пространстве решений линейных однородных дифференциальных уравнений.
Ключевые слова: однородные дифференциальные уравнения; эмпирические формулы; аппроксимирующий полином; базисная система функций; метрика L2; критерий; нормальная система; безусловная минимизация; итерационный цикл.
O. Nekrasov
THE UNIVARIATE MODELING OF THE PROCESSES IN THE TASK OF FORECASTING FOREST FIRE AND DETERMINE THE SPEED OF ITS SPREAD
The article presents the best approximation of a table functions in the space of solutions of linear homogeneous differential equations.
Keywords: homogeneous differential equations; empirical formula; approximately polynomial; the basic system of functions; the metric L2 criterion; normal system; unconditional minimization; iterative cycle.
Предлагаемый алгоритм является составной частью информационно-аналитического комплекса «Прогнозирование пожароопасной обстановки и фронта распространения лесного пожара с учётом топографических особенностей местности, погодных условий и мер по пожаротушению», находящегося в стадии разработки на кафедре информационных систем и технологий АГЗ МЧС России.
Для создания математических моделей реальных процессов используются различные функции с наперёд заданной структурой, например, многочлены степенные, показательные или тригонометрические. Однако такой выбор аппроксимирующих функций имеет определённые недостатки. Так, степенной многочлен
y = anxn + an_1xn_1 +... + axx + a0 при конечном числе слагаемых не приемлем для описания периодической функции. Он не может так же использоваться для моделирования затухающих процессов, так как, при x^-да его значения стремятся к бесконечности. Многочлен экспоненциальный
y = a1eklX +... + an ek"x
так же не приемлем для описания периодической функции. А многочлен тригонометрический
y=a s/'^x+b . .+ап 5шРпх+Ъп софпх,
не может обеспечить, например, асимптотического приближения к прямой у = с, где с = const. Все эти недостатки отсутствуют у многочленов с системой базисных функций, образованных из функций степенных, показательных, тригонометрических и их произведений. Основы такого подхода к аппроксимации заложены А.С. Хаусхолдером [1].
Пусть функция у = _у(х) задана на конечном множестве точек х,, , = 1, т, принадлежащих отрезку [а; Ь]. Предполагается, что эта функция непрерывна на [а; Ь] вместе с производными первого и второго порядков и её значения в точках х, имеют одинаковые дисперсии.
Требуется найти такой аппроксимирующий полином Нр(х), принадлежащий пространству решений линейных однородных дифференциальных уравнений
у(р) + а1у(р-1) + ... + ар_1у(1) = 0, где а, е Я, 1 = 1, р - 1, (1)
для которого сумма квадратов разностей между табличными значениями у, и расчётными значениями Нр (х,), то есть функция
W = £(У _Нр(х.))2 (2)
(У, _ Н р 1=1
принимает наименьшее значение на множестве параметров, определяющих как вид полинома Нр (х), так и его коэффициенты. При этом порядок дифференциального уравнения (1 ) и его коэффициенты требуется определить так, чтобы в метрике Ь2 при заданной точности аппроксимации в получить в соответствующем полиноме наилучшего приближения наименьшее число р базисных функций при их наилучшем функциональном выборе на множестве функций степенных, показательных, тригонометрических и их произведений.
Для аппроксимации таблично заданных функций одного аргумента используется пространство функций, на котором определяется решение неполного линейного однородного дифференциального уравнения (1) р-го порядка.
Из определения решений линейного однородного дифференциального уравнения [2] известно, что любой совокупности действительных коэффициентов уравнения (1 ) соответствует характеристическое уравнение вида
гр + а1гр-1 +... + ар _1г = 0, (3)
связанная с его корнями система базисных функций
1 у 2 (х Х-.У р (х ) (4)
и полином вида
Нр (х ) = А1 + ]ГА1 у, (х> (5)
1=2
принадлежащий рассматриваемому пространству решений уравнения (1 ). При этом каждому простому действительному корню г, в базисной системе соответствует одна функция вида: ег'х , а к
г 1 х г,х к-1 г,х
- кратному действительному корню г, соответствует к функций вида: е , хе ,.,х е . В частности, если все коэффициенты а, в уравнении (3) равны нулю, то нуль - его единственный корень кратности р. В этом случае система базисных функций примет вид: (1, х,..., х р - 1) и полином Нр(х) окажется многочленом степени (р - 1).
Простой комплексно-сопряжённой паре корней а + pi , где а,Ре Я, при р Ф 0,
характеристического уравнения (3) в базисной системе соответствуют две функции вида: еах sinрx и еах софх, а к-кратной комплексно-сопряжённой паре таких корней в базисной системе соответствует 2к функций вида:
еах sinPx еах софх;
76 -
Научные и образовательные проблемы гражданской защиты - 2014'2
х еах 57«Рх, х еах <^Рх;
х к - 1 еа х sinpx, х к - :еах саурх. Таким образом, базисная система функций аппроксимирующего полинома Нр(х) образуется из степенных, показательных, тригонометрических функций и их произведений. Причём в функциях (х),..., %(х) параметры этих составляющих должны определяться так, чтобы наилучшим образом удовлетворялся выбранный критерий.
Общие принципы решения
Заметим, что при произвольном выборе действительных значений коэффициентов характеристического уравнения (3), его корни могут принимать любые комплексные значения, что обеспечивает непрерывность пространства решений этого уравнения. В таких условиях выбор наилучшей аппроксимирующей формулы у = Нр(х) существенно отличается от задачи, когда такая формула выбирается на дискретном множестве функций. В данном случае вид искомого полинома и его нелинейные коэффициенты автоматически определяются теми значениями а1,., аР _ 1 характеристического уравнения (3), которые при фиксированном числе базисных функций р и соответствующих коэффициентах А1,.,АР минимизируют функцию W.
Если при заданном порядке р дифференциального уравнения (1) зафиксировать его коэффициенты, то система базисных функций полинома Нр(х) будет полностью определена. Неопределёнными останутся только коэффициенты АЬ...,АР, с которыми базисные функции входят в соответствующий полином. По условию задачи эти коэффициенты должны определяться так, чтобы сумма квадратов невязок была наименьшей. Таким образом, при фиксированных коэффициентах а1,.,аР-1 характеристического уравнения (3) сумма квадратов разностей между табличными и расчётными значениями образует функцию
т
Г(Л1,...,Лр) = 2(У, -Нр(Х1))2, (6)
1=1
точка минимума которой может быть найдена из решения нормальной системы. Значения коэффициентов А1,.,АР, удовлетворяющих этой системе, полностью определяют вид аппроксимирующего полинома наилучшего среднеквадратического приближения при известных значениях а1,., а р _1 [3]. Численные значения
т
= т/пТ (У, - Н р (Х,))2
А1,...Ар 1=1
при фиксированном числе р базисных функций и произвольных значениях коэффициентов характеристического уравнения (3) образуют множество значений целевой функции Ж(а1,.,аР _ 1),
непрерывной по каждому из своих аргументов аъ \ = 1, р — 1.
В основе решения рассматриваемой задачи лежит определение минимального значения целевой функции W при известном числе р базисных функций полинома Нр(х). Таким образом, определяется
т /п\
= тпп(т/п x (у, — нр (х,))2). (7)
а1,...Др—1 Л1,...,Лр ,=1
В силу непрерывности функции W по всем её аргументам а1,.,аР_1 локальный минимум этой функции может быть найден с помощью алгоритмов безусловной минимизации. Например, с помощью алгоритма Пауэлла [4], который основан на методе сопряжённых направлений. По этому
_ 77
Научные и образовательные проблемы гражданской защиты - 2014'2
алгоритму осуществляется последовательное приближение к точке минимума функции W со сверхлинейной скоростью сходимости из начальных значений а1,.,аР-1, через которые определяются и начальные значения А1,., АР. Очевидно, что число итераций (число итерационных циклов) зависит от точности определения начальных значений (а1 ,.,аР-1).
Рассмотрим построение полинома Нр(х) наилучшего среднеквадратического приближения с наилучшей системой базисных функций при последовательном расширении базиса, начиная с двух базисных функций (р = 2).
Определение координат начальной точки Системе, состоящей из двух базисных функций, соответствуют непрерывное пространство функций вида:
А + А2х, если в характеристическом уравнении r2 + a^ = 0 а = 0;
А + Ае™ ,если r ненулевой корень уравнения r2 + ar = 0 (а Ф 0). (8)
2
4е
В итерационном цикле, который реализует алгоритм Пауэлла при р =2, значение параметра а! в начальной точке выбирается равным нулю, что соответствует полиному Н2(х) = А! + А2х. В результате последовательного приближения к точке минимума функции Ща^ может быть найдено такое значение а! Ф 0, с которым
m
= min £ (У. - н2 (х. ))2 ^ mm.
Aj,A2 i=1
При этом Н2(х) = Ä! + Ä2еrx, если г = - а! Ф 0. Если же окажется, что точке минимума функции Ж(а!) соответствует значение а! = 0, то Н2(х) = А! + А2х.
При следующем увеличении числа базисных функций до трёх характеристическое уравнение
r2 + ar = 0, соответствующее последней итерации предыдущего цикла, умножается на г и
принимает вид r3 + a^2 + a2r = 0. При а2 = 0 это уравнение имеет корни r! = г2 = 0 и r3 = - аь
что при r3 = г Ф 0 соответствует системе базисных функций: 1, х, eгх, определяющей вид
исходного полинома Н3(х) = А! + А2х + А3 ег х.
Заметим, что исходный полином Н3(х), соответствующий начальной точке (а!, а2 = 0), включает в себя полином наилучшего приближения Н2(х), полученный в конце итерационного цикла при р = 2. Поэтому, при расширении базиса, приближение функции j(x) не может ухудшиться.
Итерации по алгоритму Пауэлла при р = 3 начинаются из начальной точки (а!,0) и завершаются определением точки минимума функции
m
W(ai,a2) = mnn£(У. -Hз(х.))2.
Aj,A2 i=1
При этом полином Н3(х), определяемый в соответствии с корнями уравнения r3 + ar2 + a2r = 0, может принять вид
Н 3 (х ) =
^х + ^х + если г = г2 = Г = 0;
А + Ах + А3ег х, если г = г2 = 0, Г = г е Я, где г ф 0;
А + (^х + ^ )егх, если г = 0, г2 = г = г е Я, где г Ф 0;
А + А е г"х + АеГзх, если г = 0, г2, г3 еЯ; г2 Ф г Ф 0;
А + Аеах5/л(рх + д), если г = 0, г2 3 = а ± pi при а, в е Я и в Ф 0
(9)
При р = 4 итерационный цикл по алгоритму Пауэлла начинается из начальной точки (аь а2, а3 = 0), где значения а1 и а2 определены в конце предыдущей итерации. При этом в начальной точке система базисных функций, соответствующая завершению итерационного цикла при р = 3, дополняется функцией хк - 1 , где к - кратность нулевого корня в уравнении
г4 + аг3 + а2г2 + а3г = 0, где а3 = 0.
При завершении итерационного цикла со значением р = 4 будут найдены такие значения а1, а2, а3, которые соответствуют точке минимума функции
т
Ж(а1 ,а2,аз) = т/р £ (У. " Н4 (х. ))2.
А! ,А2 ,Аз 1=1
А полином Н4(х), определяемый в соответствии с корнями уравнения г4 + а^3 + а2г2 + а3г = 0, может принять вид
Н 4 (х ) =
^х3 + ^х2 + ^х + если г = г2 = г3 = г4 = 0;
^х2 + ^х + ^ + Аегх, если г = г2 = г3 = 0, г4 = г е Я, г Ф 0;
^х + ^ + (р0х + р1)егх, если г = г2 = 0, г3 = г4 = г е Я, г Ф 0;
А + Ах + АеГзХ + Аег'х, если г = г2 = 0, г3, г4 е Я, г3 Ф г4 Ф 0;
А + (я0х2 + ^х + ^)егх, если г = 0, г2 = г3 = г4 = г е Я, г Ф 0;
А + Аег'х + (я0х + ^)еГзХ, если г = 0, г2,г3,г4 е Я, г2 Ф 0, г2 Ф г3 = г4 Ф 0;
А + АеГгХ + АеГзХ + Аег"х, если г = 0, г2,г3,г4 е Я, г Ф г- при 1,] = 2,3,4,1 Ф у
д0х + ^ + Ае"^/яфх + д), если г = г2 = 0, г3>4 = а ± Р1 при а,в е Я и в Ф 0;
3,4
А + Аегх + Аеах5/П(рх + д), если г = 0, г2 = г е Я, г Ф 0, г3 4 = а ± вi при а,в е Я
и в Ф 0.
(10)
Последующее расширение числа функций в базисе и определение соответствующего полинома наилучшего среднеквадратического приближения осуществляется по аналогии с предыдущим:
1) координаты начальной точки образуются добавлением младшего нулевого коэффициента к ранее найденным коэффициентам характеристического уравнения, полученного при завершении цикла по алгоритму Пауэлла с предыдущим значением р. При таком расширении базиса точность аппроксимации функции _у(х) соответствующим полиномом Нр+](х) не может ухудшиться;
2) из начальной точки, образованной коэффициентами дополненного характеристического уравнения, в итерационном цикле по алгоритму Пауэлла осуществляется переход к точке локального минимума функции
Определение оптимального числа базисных функций
Согласно постановке задачи искомый полином (5) должен быть полином наилучшего среднеквадратического приближения; удовлетворять неравенству Wmm < в и иметь наименьшее число базисных функций, выбранных наилучшим образом на множестве функций (4).
Будем считать, что полином Н2(х), удовлетворяющий условию (7), получен. Очередное расширение числа базисных функций на единицу: р = 3, р = 4, и т. д. начинается с предыдущего полинома и сводится к единообразному формированию координат начальной точки (см. выше), при котором с возрастанием числа функций в базисе аппроксимирующие свойства следующего полинома Нр(х) не ухудшаются.
Далее в алгоритме Пауэлла для определённого набора значений коэффициентов уравнения (3) находится система базисных функций и соответствующие значения Аь А2, . . . , Ар полинома Нр(х) наилучшего среднеквадратического приближения. Этот набор коэффициентов и определяемая им система базисных функций изменяются в процедуре Пауэлла до заданного момента приближения к точке минимума функции W. На этом завершается итерационный цикл. Координаты точки минимума функции W при фиксированном значении р определяют оптимальный выбор системы базисных функций и однозначно связанную с ней совокупность коэффициентов Аь А2, ... , Ар полинома Нр(х) наилучшего среднеквадратического приближения.
Последовательное увеличение числа базисных функций на единицу происходит в полиноме (5) до тех пор, пока не будет выполнено хотя бы одно из условий:
1) Wmrn < В;
2) при последовательном расширении базиса число всех параметров аппроксимирующего полинома превышает число точек в таблице значений у(х).
В этом случае, окончательный вид функции Нр(х) при р =2 выбирается из 2 возможных
вариантов (8); при р =3 из 5 возможных вариантов (9); при р =4 из 9 возможных вариантов (10) и
1
т. п.
Ещё раз отметим, что при фиксированном числе функций в базисе множество аппроксимирующих полиномов образует непрерывное функциональное пространство, в котором и выбирается аппроксимирующий полином наилучшего среднеквадратичного приближения, способный к адекватному отображению всех свойств аппроксимируемой функции.
Литература
1. Хаусхолдер А.С.. Основы численного анализа. М.: Ин. лит. 1956.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления (для втузов). Том второй. Физматлит. М. - 1970. - C. 84 - 86.
3. Некрасов О.Н. Аппроксимация табличных зависимостей на основе экспоненциальных полиномов (статья). Тематический сборник МТИПП. "Применение вычислительной техники и электроники в пищевой промышленности" М. - 1980. - C. 96 - 109.
4. M.J.D. Powell An efficient method finding the minimum of a faction of several variables without calculating derivatives, Computer Journal, №7, 1964/1965. - C. 155 - 162.
1 Для удобства вычисления корней характеристического уравнения его коэффициенты группируются по два. В этом случае, при разложении левой части уравнения на множители, каждой паре коэффициентов ставится в соответствие приведённый многочлен второй степени с действительными коэффициентами, что облегчает нахождение корней данного уравнения. В уравнениях нечётной степени последний множитель рассматривается в виде (г - 0).
