Интерполирование и аппроксимация данных полиномами степенного, экспоненциального и тригонометрического вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 001.89:004.31; 551.3

О.Н. Некрасов, Э.Г. Мирмович

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И АППРОКСИМАЦИЯ ДАННЫХ ПОЛИНОМАМИ СТЕПЕННОГО, ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ВИДА

Результат интерполирования функций, представленных в табличной форме, зависит от вида интерполирующей функции и способа определения её параметров. В статье рассматриваются вопросы выбора наилучшей интерполирующей функции и задача получения упрощённой аппроксимирующей формулы с апробацией способа на гипотетической произвольной функции. В качестве иллюстрации приводится всеизвестная «картинка Хаббла» и её сомнительная аппроксимация уравнением прямой с некорректной экстраполяцией в обе стороны.

Ключевые слова: интерполирующая функция, аппроксимация, разделённые разности, алгоритм Пауэлла.

O. Nekrasov, E. Mirmovich

INTERPOLATION AND APPROXIMATION DATA OF POWER, EXPONENTIAL AND TRIGONOMETRICAL TYPES OF POLINOMS

The result of interpolating functions presented in the table, depends on a type of interpolating function and the way of definition its parameters. The article views the topical issues concerning the choice of the best interpolating function and the task of getting the simplified approximating formula with approbation of a way on hypothetical any function. «Hubble's picture» is given as the illustration and its approximation by the equation of line with incorrect extrapolation in both sides.

Keywords: interpolating function, approximation, divided differences, Powell's algorithm.

Вводные замечания

В качестве основного инструментария большинства задач, связанных с мониторингом и моделированием процессов геофизического, экономического и технического характера, используется аппроксимационно-регрессионная технология компактирования данных измерений. При этом выбор оптимальной формулы представления данных как эмпирической модели процесса играет определяющую роль, но представляет собой непростую задачу. Особенно эти трудности характерны для степенных и показательных нелинейных, апериодических и квазипериодических колебательных и других сложных видов аппроксимаций. Дополнительно усилить актуальность данной задачи можно следующими аспектами. Существует целый аппарат статистической обработки различных данных: первичное ранжирование, построение эмпирических функций распределения, фильтрация, спектральный, гармонический, автокорреляционный, Фурье- и вейвлет-анализ для поиска временных сдвигов и квазипериодов и др. Но завершается любой набор этих средств математической обработки данных регрессионным анализом и поиском аппроксимирующей формулы. Весь этот цикл построения эмпирических и детерминированно-эмпирических моделей один из авторов (ЭГМ) проходил и демонстрировал в целом ряде работ (например, [1 - 4]), однако сомнения в достаточной точности модели реальным процессам всё же присутствовали, тем более в случаях наличия разрывов в данных, не подлежащих восстановлению [2].

В настоящей работе, используя опыт в работе с аппаратом выбора интерполирующих функций другого автора (например, [5]), приводятся результаты исследований именно по выбору наиболее адекватной и в то же время максимально компактной аппроксимирующей формулы представления любых данных.

1. Постановка задачи

Пусть функция у = ф (х) неизвестного вида представляется на промежутке [х0, хп] таблицей

х х0 х1 Хп

у У0 У1 Уп

Будем считать, что последовательность значений х0, хь ..., хп не содержит повторений, является результатом операции ранжирования и уже расположена в возрастающем порядке. При этом все значения х и у точны в заданных цифрах. Задача может состоять в том, чтобы в заданном классе функций (например, из набора [5]) выбрать такую функцию у(х), значения которой в указанных точках х; давали бы наилучшее, в определённом смысле, приближение к соответствующим значениям у;. Такая задача называется задачей аппроксимации таблично заданной функции. Под аппроксимацией надо понимать преобразование одной формы задания функциональной зависимости в другую - в данном случае, преобразование табличной формы задания данных в аналитическую. В частности, задача аппроксимации может состоять в определении такого аналитического выражения _Дх), которое при заданных значениях х; принимало бы известные табличные значения у;:

ЛхО = у, 1=0,...,П . (1)

Тогда функция у = Дх) называется интерполирующей. Определение её вида и её параметров называется решением задачи интерполяции в широком смысле, а табличные значения хъ в которых значения интерполирующей функции совпадают с табличными значениями уъ называются узлами интерполяции.

В заданном классе функций системе уравнений (1) может удовлетворять множество функций, непрерывных на промежутке [х0, хп], включая кусочно-линейную. Возникает вопрос: "Какой из них следует отдать предпочтение?". С этим вопросом связан другой вопрос: "Какое множество отдельных точек графика данной (гипотетической) функции представляет его достаточно адекватно и с критериально заданной точностью?". Критериями могут быть ресурсы задачи.

Можно ли, например, считать, что множество точек ABCDE создаёт о графике функции у = ф(х) на рис. 1 более точное представление, чем множество точек AA'BB'CDD'E?

♦ у

Рис. 1. Произвольно заданная (гипотетическая) элементарная непрерывная функция у = ф(х) для отработки и иллюстрации алгоритма выбора

Очевидно, что более представительным является последнее множество точек. При этом ординаты ломаной с конечными точками А и Е и угловыми точками A'BB'CDD' меньше отличаются от ординат графика функции у = ф(х), чем ординаты ломаной ABCDE. Это соответствие можно рассматривать и в обратном порядке, считая лучшей интерполирующей функцией ту, значения которой в наименьшей степени отличаются от ординат ломаной, проходящей через заданные точки.

Такое соглашение предполагает, конечно, что данное множество точек (хъ у^, i = 0.. .п даёт достаточно близкое к заданным критериям представление о графике функции у = ф^).

При решении задачи интерполяции условия (1) в зависимости от выбранного класса функций или полностью определяют все параметры интерполирующей функции, или оставляют свободными некоторые из них. В первом случае, функция установленного вида является единственной и нельзя повлиять на результат интерполирования с целью уменьшения отклонений ординат интерполирующей функции от ординат ломаной вне интерполяционных узлов. Такой случай имеет место при интерполировании степенными многочленами. Если же условия (1) допускают наличие свободных параметров в интерполирующей функции, то возможно определение её наилучшего вида в указанном выше смысле. Пусть, например, в интерполирующей функции f(x) = д^д) условия (1) выполняются при любых значениях параметра ^ Тогда, наилучшим значением этого параметра можно считать такое, с которым сумма квадратов разностей между ординатами интерполирующей функции д^д) и соответствующими ординатами ломаной, соединяющей данные точки, достигает минимума. Это значение k должно доставлять минимум функции

п-1 х1 +1 У _ У

ад = 1 | (У! + У1 У1+1 (X - х>) _ д(к,х))2дх, (2)

1=0 х х1 _ Х1+1

где выражение у + У—У1+1 (х _ х) ^х е [х 1, X1+1 ] определяет ординату звена ломаной с х1 _ х1+1

конечными точками (xi, у^ и (xi+1, yi+1). Указанный подход к определению свободного параметра к может быть применён при интерполировании экспоненциальными или тригонометрическими полиномами.

2. Простейшее построение степенного интерполяционного полинома

Выберем в качестве интерполирующей функции степенной полином. Тогда степень этого полинома определяется числом интерполяционных узлов. Так, если таблица (хьу^) содержит (п+1) интерполяционных узлов, то интерполяционный многочлен имеет п-ю степень. Коэффициенты

полинома, представленного в канонической форме а0 + ахх + а2х2 +... + апхп, находятся из решения линейной системы

гао + аЛ + М2 +... + ап< = Уо

ао + а1о1 + а202 +... + апхП = У! .

> + а10п + а2хп + ... + апхп = Уп Если среди данных значений хъ 1 = 0,п, нет повторяющихся, то главный определитель этой системы - определитель Вандермонда - отличен от нуля. А так как по условию значения хi в данной таблице расположены в возрастающем порядке, то указанная система имеет единственное решение, которое определяет все параметры степенного интерполяционного полинома.

Для построения интерполяционных степенных полиномов на заданных интерполяционных узлах применяются различные алгоритмы. Полиномы, которые по этим алгоритмам образуются, называются полиномами Лагранжа, Ньютона, Стирлинга, Бесселя, Эрмита и пр. Но, независимо от их различных конструктивных особенностей, каноническая форма всех этих полиномов на данных интерполяционных узлах и соответствующих значениях функции будет одной и той же. Поэтому

говорят, что на заданном множестве точек (х;, у;), i = 0,п степенной интерполяционный полином является единственным.

3. Интерполяционный полином Лагранжа

Интерполяционный полином Лагранжа для функции у = ф(х), представленной таблицей значений (х;, у;), i = 0, п, в которой нет повторяющихся значений х, имеет вид

лл_ (х - х1)(х - х2) •... • (х - Хп^ , (х - Хо)(х - х2) •... • (х - Хп)

^п(х) = , W Ч , чУо + / ч/ ч / \ У

(хо - х1)(х0 - х2) • ... • (х0 - хп) (х1 - х0)(х1 - х2) • ... • (х1 - хп)

(3)

+ | (х - х0)(х - х1) • ... • (х - хп-1)

... (хп - х0)(хп - х1) • ... • (хп - хп-1) П.

Легко убедиться в том, что при х = х0 полином принимает значение у0, так как в этом случае в первом слагаемом числитель совпадает со знаменателем, а все остальные члены суммы обращаются в нуль. Точно так же вычисления, произведенные при х = хь..., х = хп, убеждают нас в том, что Ьп(х1) = у1,., £„(хп) = уп. Поэтому указанный полином является интерполирующей функцией.

4. Разделённые разности и их свойства

Основными требованиями к интерполятору является как можно более высокая точность при малой вычислительной сложности. Поэтому обычно для интерполяции используют алгоритмы, которые заключаются в простом усреднении по ближайшим восстановленным отсчётам (например, разделённые разности).

Разделённые разности для точек (х;, у;), i = 0,п , расположенных по возрастающим или убывающим значениям х, вычисляются по формуле

У (к-1) - у (к-1)

у(к) = у_^(+1 (4)

' х 1 - х 1+к .

В обозначении /¡(к) верхний индекс определяет порядок разделенной разности; нижний -номер точки, для которой эта разность вычисляется. Вычисления производятся последовательно для всех значений к от 1 до п. При фиксированном к индекс ; последовательно возрастает от 0 до (п - к).

Процесс вычисления разделённых разностей для шести точек показан в табл. 1.

При вычислении разделённых разностей первого порядка (к = 1) полагают, что = то есть разделённые разности нулевого порядка принимаются равные табличным значениям данной функции у = ф(х) в интерполяционных узлах.

Если разделённые разности образуются по таблице значений многочлена п-й степени, то все разделённые разности п-го порядка будут равны старшему коэффициенту многочлена, а разделённые разности (п + 1)-го порядка равны нулю.

Аппроксимация степенными многочленами широко применяется при решении многих прикладных задач. В этом случае таблица разделённых разностей позволяет не только обосновать выбор степенного многочлена в качестве аппроксимирующей функции, но и определить его наименьшую степень.

Таблица 1

Разделённые разности

Разделённые разности по порядку

х Уi Л(1) Л (2) Л (3) Л (¥) Л (5)

Xo У0 /•(!)_ У0 -У1 Jo = х0 -х1 Г(1) Г(1) /■(2) _ у0 у0 = Х0 - Х2 /*(3) _ Л .Л J0 = Х0 - Х3 г(3) г(3) /• (4) _ у 0 ./1 у 0 = Х0 - Х4 Г(4) Г(4) /*(5) _ Л у1 у0 = Х0 Х5

Xl У1 / (1) = У1 -У2 х1 х2 /(1) /(1) / (2) = Л Л Х1 - Х3 /(2) /(2) у (3) = /1 /2 Х1 - Х4 /(3) /(3) / (2) = /1 /2 Х1 Х5

X2 У2 / (1) = У2-У3 Х2 - Х3 г(1) Г(1) / (2) = Л У3 Х2 - Х4 Г(2) Г(2) / (3) = Л у3 Х2 Х5

Xз У3 У3 - У4 Х3 Х4 Г(1) Г(1) У (2) _ J3 J4 Х3 Х5

х4 у4 /•(1) _ У4-У5 •М Х4 Х5

X5 у5

Если, например, окажется, что при последовательном просмотре разделённых разностей, разделённые разности третьего порядка близки по значению, то в качестве функции, аппроксимирующей данную таблицу у^, 1 = 0,п, целесообразно взять многочлен третьей степени. Для определения коэффициентов этого многочлена достаточно произвольно выбрать в таблице значений данной функции 4 интерполяционных узла. Для остальных табличных значений х соответствующие табличные значения у будут несколько отличаться от значений интерполяционного многочлена. Но, если отказаться от интерполяционных свойств многочлена, то можно определять все его коэффициенты так, чтобы сумма квадратов отклонений расчётных значений от табличных была наименьшей. При этом коэффициенты многочлена третьей степени урас = d+cx+bx2+ax3 определяются из условий минимума функции

т т

W(d,c,b,a) = £ ((У1)таб. - (У.)рас.)2 =£ ((У.)таб. - (а + сх1 + Ьх2 + ахЗ))2.

1=0 1=0

Говорят, что они определяются по методу наименьших квадратов (МНК). Эти условия

дW

дw

да

дw ~дь

дW да

= 0

= 0

=0

=0

приводят к нормальной системе

m m m m

d(m +1) + сЕ х1 + ЬЕ х2 + a Е х3 = Е У1

i=o m

i=o m

i=o m

¿Е х+сЕх2+ЬЕ х3+a Ех4=Е у1 х1

i=o ¡=о 1=о 1=о i=о

m m m m m

¿Ех2 + с^хЗ + Ь^х4 + а = Е^х2

1=о ¡=о 1=о 1=о 1=о

m m m m m

¿Е х3+сЕх4+ЬЕх5+а Е х6=Е у1 х3,

которая имеет единственное решение, если в данной таблице (х;, у;), i = 0, ш имеется, по крайней мере, 5 точек с различными значениями х. С найденными значениями а, Ь, с, d мы получим упрощённую формулу у = d+cx+Ьx2+ax3.

5. Интерполяционные полиномы Ньютона с разделёнными разностями

Пусть неизвестная функция у = ф(х) представлена разношаговой таблицей по возрастающим значениям х. По этой таблице можно найти таблицу разделённых разностей и использовать их при построении интерполяционных полиномов Ньютона. Часто применяются интерполяционные полиномы Ньютона для «интерполирования вперёд» или «интерполирования назад».

Пусть, для определённости, таблица содержит четыре точки

х х0 х1 х2 хз

у у0 у1 у2 уз

Тогда полином Ньютона «для интерполирования вперёд» определяется в виде: ^з(х) = У0 + /0° • (х - х0) + /02) • (х - х0) • (х - х1) + /03) • (х - х0) • (х - х1 ) • (х - х2 ). (5)

Такой вид полинома удобен, если таблица с возрастающими значениями х, дополняется точкой (х4, у4) справа (х4 > х3).

Полином Ньютона «для интерполирования назад» определяется в виде: Л3(х) = Уз + /2(1) • (х - хз) + /1(2) • (х - хз)-(х - х2) + /0(3) • (х - хз)-(х - х2)^(х - х1). (6)

Такой вид интерполяционного полинома удобен тогда, когда данная таблица дополняется ещё одной точкой слева.

Существуют полиномы Ньютона для «интерполирования в середине таблицы». Они удобны в случае дополнения данной таблицы промежуточными точками.

6. Экспоненциальные интерполяционные полиномы

При интерполировании функции у = ф(х), представленной упорядоченной таблицей значе-

ний (хь у), j = 0, п, можно применить экспоненциальный полином Е а е ^ . Подстановка и

= е

„кх

j=0

преобразует этот полином в степенной многочлен Е аuj . При этом, если параметр к предвари-

j=0

тельно определён, то для заданных значений х0, х1, ..., хп вычисляются соответствующие значения

кх

_ кх1

кх,

и0 — е , и^ = е , ..., ип = е п . Начальное значение параметра к = к0 можно выбирать та-

1=о

ш

ш

1=о

1=о

1=о

1=о

1=о

ким образом, чтобы при вычислении и = е^', не допустить переполнения разрядной сетки и уменьшить ошибки округления. При этом значение к0 можно принять равным среднему арифметиче-

кх -

скому корней уравнения е ' = 0, j = 0, п . Это значение к определяет точку минимума функции

п

" е '"О2.

j=0

Вычисленные значения и = еkoXJ, j = 0,п дополняют заданную таблицу (хь у), j = 0,п , упорядоченными значениями и]

Таблица 2

Данные с упорядоченными значениями аргумента

х Х0 Х1 Хп

и и0 и1 ип

у У0 У1 Уп

Это позволяет рассматривать переменную у как функцию аргумента и. Эта функция на промежутке от и0 до ип заменяется степенным интерполяционным полиномом (например, полиномом

к0х

Ньютона Щи) в форме (6)). После чего аргументу и возвращается прежний вид е . Образую-

к0х

щаяся функция Ип( е ) со значением к = к0 решает задачу интерполирования данной таблицы (х],у), j = 0, п, так как при

х = х, = и ё = у V оказывается j = 0,п .

к х

При других значениях к в табл. 2 обновляется строка и = е J и для новых интерполяционных узлов и строится новый полином Щи), который также решает задачу интерполирования данной функции у = ф(х). Таким образом, каждому значению к ставится в соответствие интерполяционный полином ^п(екх). Множество этих полиномов можно рассматривать как функцию, содержащую параметр к, первоначально принимающий значение к0. Согласно предыдущим соглашениям (см. постановку задачи) наилучшим значением параметра к можно считать такое значение, которое минимизирует сумму квадратов разностей между ординатами интерполирующей функции ^п(к,х) и соответственными ординатами ломаной, звенья которой соединяют заданные точки (х;,у;), j = 0, п . При фиксированном значении к эта сумма квадратов отклонений определяется значением функции 5"(к)

п-1 х;И у — у

я (к) = Ё I ^ + Т^—~ (х — Xj) — ^п (к,х))2^х.

j=0

Автоматический выбор параметра к основан на методе сопряжённых направлений, который реализован в процедуре алгоритма Пауэлла [6] программного комплекса «АПРО», разработанного одним из авторов (ОНН). С помощью этой процедуры автоматически находится значение к при заданном приближении к точке минимума функции 5"(к).

Для выбранного значения к степенной интерполяционный полином ^п(и) в форме (5) принимает вид

х

= уп + • (и-ип) + /п(22 • (и-ип)• (и-Ип^) + ...

••• + /0(п) • (и-ип) • (и-ип-1) •... • (и-и1).

А при найденных значениях параметров е , | = п, п- 1, ..., 1 и

/(1) /(2) /(п), экспоненциальный полином представляется в виде

•/п-1' н-2^ •/0

(п ' 0

Еп (к, х) = уп + /£> • (екх - и„ ) + /п(22 • (екх - ип ) • (екх - ип-1) + ... ... + /0(п) • (екх - ип) • (екх - ип_1) •... • (екх - иД

Полиному ^п(и) можно придать и каноническую форму

кх

и после замены и на е получить

а0+а и+а и2 + ..+ап ип

п

¡кх

Еп(к,х)=Еа ¡е 1=0

Однако, если полином (7) применяется для интерполирования в узком смысле, то есть для вычисления значений неизвестной функции у = ф(х) в любых точках промежутка [х0, хп], то необходимость в указанных преобразованиях отсутствует.

Заметим, что найденное значение к определяет вторую строку табл. 2. В этой ситуации, по точкам (и|,у]), ] = 0,п, можно найти таблицу разделённых разностей функции у = у (и) и определить возможность понижения степени аппроксимирующего многочлена ^(и). Если такая возможность существует, то коэффициенты аппроксимирующего многочлена

у = ко + а1 и + а2 и2 + ... ат ит, где т < п, находятся по МНК (см. п. 4). В результате после замены аргумента и на ек мы получим упрощённую аппроксимирующую формулу

т

¡кх

£п(к,х)а/

¡=0

7. Тригонометрические интерполяционные полиномы

Пусть функция у = ф(х) представлена таблицей (х|, у|), ] = 0,п, не содержащей повторяющихся значений х. Для построения тригонометрического интерполяционного полинома воспользуемся структурой интерполяционного полинома Лагранжа.

Пусть все данные значения х| являются узлами интерполяции. Введём в рассмотрение (п+1) произведений вида

Р(к,х) = П

п х-х;

в каждом из которых учитывается фиксированное значение индекса ; от 0 до п; к - свободный параметр. В этом случае, функция

'■(к-) = ^

обращается в >м интерполяционном узле (при х = х; ) в единицу, а в остальных узлах в нуль. Следовательно, полином

п

^п(к,х)=Е У1 • '1(к,х) (8)

1=0

является интерполяционным. Индекс п в формуле указывает не только на число слагаемых, но и на количество сомножителей в каждом члене суммы.

Начальное значение параметра к в формуле (8) выбирается так, чтобы не допустить появление нуля в знаменателях данных дробей. Это требование приводит к необходимости выбирать параметр к так, чтобы в знаменателях аргументы синусов не оказались кратными пк. Практически начальное значение к = к0 последовательно выбирается из некоторой ограниченной последовательности натуральных чисел и устанавливается по наибольшему отличию дробей х—х1, 1,

к

] = 0,п, 1 ф ] от числа кратного п. Далее, полученное значение параметра к = к0 уточняется так, чтобы функция

п—1 х£1 у — у

Я (к) = Ё I (у, + (х — х1) — Тп(к, х)) 2 dx

1=0 х, х1 х1+1

принимала на промежутке (к0 - 1, к0 + 1) наименьшее значение. В этом случае ординаты графика интерполирующей функции Тп(п, к) будут иметь наименьшее отклонение в среднем от ординат ломаной, соединяющей заданные точки (х], у]), j = 0,п .

Возможности упрощения аппроксимирующей формулы в случае степенной или экспоненциальной интерполяции основывались на свойствах разделённых разностей, определяемых по таблице значений интерполируемой функции. При тригонометрической интерполяции разделённые разности не используются и возможность упрощения аппроксимирующей формулы не рассматривается. 8. Иллюстрация реальных данных с сомнительной аппроксимацией Хорошо, если бы каждая работа по статистической обработке данных и построению эмпирических моделей на основе данных реальных измерений начиналась или заканчивалась разоблачением или уточнением существующих моделей, которые общеприняты «по умолчанию».

На рис. 2 приведены реальные данные по измерению т. н. «красных смещений», использованных Хабблом в 1929 году для расчёта своей «постоянной Хаббла - Н».

0 •) Расстояние, Мгпс 2 0 1 2

Рис. 2. Коррелограмма данных по «красным смещениям», на основе которых родилась гипотеза «Большого взрыва» и разбегания галактик

Известно, интерполяцией, как правило, имеет смысл заниматься, когда требуется некая функция, проходящая через контрольные точки (на самом деле - контрольные отрезки по OY, т. к. точки заданы с погрешностью) и имеющая некоторые дополнительные свойства - к примеру, дифференцируемость. Поэтому рис. 2 приводится в качестве иллюстрации, т. к. для применения вышеописанной техники необходима предварительная обработка методом интервального усреднения.

Так, глядя на левую часть рисунка, вряд ли найдётся хоть один школьник или студент, который бы аппроксимировал эти данные такой прямой (правая часть рис. 2), каким бы образом не производил бы предварительную интерполяционную процедуру. И тем более, недопустимы в обе стороны неограниченные экстраполяции, приводящие к неверным выводам, о чём говорилось в [4]. Один из авторов (ЭГМ) представил на занятиях со студентами левую часть рис. 2, предложив представить точки аппроксимацией одной регрессионной кривой с самостоятельным выбором её формы. Результат приведён на рис. 3. Наилучшим вариантом была признана кривая на правой части рис. 3. Не вдаваясь в тонкости существующей сейчас наконец-то серьёзной дискуссии о фантоме «Большого взрыва», авторы считают, что построение эмпирических моделей в геофизике (в первую очередь) должно опираться на максимально корректные технологии статистической обработки данных, одна из которых представлена в настоящей работе.

О 1 2 о 1 2

Расстояние, Мгпс

Рис. 3. Аппроксимационные кривые, полученные различными участниками фокус-группы по данным рис. 2

Эти результаты полезны как для научно-практических задач мониторинга, моделирования и прогнозирования, так и научно-образовательных задач математической подготовки студентов, аспирантов, а также при ведении любых исследовательских работ экспериментального характера.

Литература

1. Мирмович Э.Г. Исследование и прогноз термосферно-ионосферных возмущений/ Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Иркутск: СибИЗМИР, 1981. - 16 с.

2. Мирмович Э.Г., Нестеров В.И. Опыт диагностики глобальных послебуревых процессов в средней атмосфере по данным трасс СДВ // В кн. Электрическое взаимодействие геосферных оболочек. М: Наука (ИФЗ РАН), 2000. - С. 37 - 43.

3. Мирмович Э.Г. Использование электромагнитных эффектов землетрясений в прогнозировании ЧС сейсмического характера // Управление рисками. М.: «Анкил». № 3. - 2004. - С. 25 - 30.

4. Мирмович Э.Г. О методических аспектах идентификации, оценки и прогноза параметров опасностей и рисков / Актуальные проблемы гражданской защиты. Материалы XI Междунар. НПК, 18 - 20 апреля 2006 г. - Н. Новгород: Вектор-ТиС, 2006. - С. 107-112.

5. Некрасов О.Н. Аппроксимация экспериментальных данных на основе линеаризуемых функций // Научные и образовательные проблемы гражданской защиты. Научный журнал. Химки АГЗ МЧС России. № 1. 2008. - С. 81-88.

6. Powell M.J.D. Fn efficient method finding the minimum of a faction of several variables without calculating derivatives // Computer Journal. № 7б 1964/1965. - РР. 155-162.