CC BY
68
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 4 (58)
УДК 625.14"401.4":[539.372:536.722]
Д. М. КУРГАН1*
1 Каф. «Колш та колшне господарстао», Дшпропетровський нацюнальний ушверситет зал1зничного транспорту 1меш академжа В. Лазаряна, вул. Лазаряна, 2, Дтпропетровськ, Укра!на, 49010, тел. +38 (056) 373 15 42, ел. пошта [email protected], ОЯСГО 0000-0002-9448-5269
МОДЕЛЮВАННЯ НАКОПИЧЕННЯ ДЕФОРМАЦ1Й ЗАЛ1ЗНИЧНО1 КОЛ11 НА ОСНОВ1 ЕНТРОПП СИСТЕМИ
Мета. В робот! передбачаеться проведення теоретичних дослщжень щодо використання метод1в, як1 ви-значають термш експлуатацп зал!знично! коли не тшьки за показником загального обсягу навантаження, а й враховують його структуру та динашчш характеристики. Метою таких дослщжень е створення модел1 накопичення деформацш для оцшки термшв експлуатацп зал1знично! коли !з урахуванням зазначених осо-бливостей. Методика. Для моделювання процесу поступово! змши стану за час експлуатацп (накопичення деформацш) зал1знична кол!я представлена як система, яка складаеться з множин часток р1зних речовин, з1браних у цшьну конструкцш. Доцшьно говорити не про появу деформацш яко!сь визначено! величини в певному перер1з1 коли, а про 1мов1ршсть тако! поди на дшянщ. Якщо оперувати в!ропдшстю появи вщхи-лень, стан системи зручно характеризувати к1льк1стю розрив1в умовних внутршшх зв'язк1в. Однаковому стану системи можуть вщповвдати р!зш комбшаци розрив1в. Чим бшьша к1льк1сть розрив1в, тим бшьша ш-льк1сть варшнтпв змш структури системи, що ввдповшають !! поточному стану. Такий процес можна пред-ставити як поступовий перехш вш упорядкованого стану до хаотичного. Для опису наведено! характеристики системи застосовуеться такий чисельний показник, як ентроп1я. Результати. При старшш системи И ент-ротя постшно збшьшуеться. Зростання ентропп виражаеться змшами внутршньо! енерги системи, як1 можна визначити, використовуючи мехашчну роботу сил, д1я яких приводить до деформацш. Це дае змогу визначити кшьшсний показник розриву зв'язк1в у систем! як наслвдок виконання механ!чно! роботи. За результатами теоретичних дослвджень розроблено методику оцшки строк!в життевого циклу експлуатацп заль знично! кол!! !з урахуванням таких фактор!в, як: структура по!здопотоку, конструкц!я верхньо! будови кол!!, рух по!'зд!в !з високими швидкостями. Наукова новизна. Вперше для моделювання накопичення деформацш зал!знично! кол!!' використаний такий показник, як ентроп!я системи. Практична значимiсть. Розгорну-т! анал!тичн! залежност! доведено до практично! методики, що дае змогу анал!зувати д!лянки кол!! !з р!зни-ми конструкц!ями або з р!зними умовами експлуатац!! за строками накопичення деформацш.
Ключовi слова: ентроп!я; верхня будова кол!!; залишков! деформацп; розрахунок кол!! на м!цн!сть; на-пруження в кол!!; строк служби кол!!
Вступ
Стала тенденщя розвитку транспортних мереж потребуе вщ зал!зничного транспорту шд-тримувати та удосконалювати сучасний стан для збереження конкурентоспроможносп. Одним з основних показниюв вибору виду транспорту традицшно залишаеться швидк!сть доставки вантаж!в ! пасажир!в [15]. Для забезпе-чення ц!е! умови зал!знична кол!я повинна весь час експлуатац!! знаходитись у належному стан! [14]. Серед багатьох сум!жних питань постае завдання щодо прогнозування терм!н!в експлуатац!! зал!знично! кол!!.
Положення про проведення планово-запо-б!жних ремонтно-кол!йних робгт на зал!зницях
Укра!ни (ЦП-0287) [11] визначае основш та додатков! показники, в!д яких залежать строки виконання вщповщних ремонтних робт Але введення швидк!сного руху, перерозпод!л по-ток!в по!зд!в з метою спещал!заци вантажних i пасажирських напрямк!в [5] потребують до-повнень до такого основного критерда призна-чення модернiзацi!, як пропущений тоннаж. Таю корегування повинш враховувати структуру по!здопотоку, що обертаеться на дшянщ, та швидкостi руху по!здiв.
Мета
В цiй роботi передбачаегься виконання теоретичних дослщжень щодо використання мето-дiв, якi визначають термiн експлуатацi! залiз-
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 4 (58)
нично1 коли не тiльки за показником загального обсягу навантаження, а й враховують його структуру та динамiчнi характеристики. Метою таких дослщжень е створення моделi накопи-чення деформацiй для оцiнки термшв експлуатацп залiзничноl коли з урахуванням зазначе-них особливостей.
Методика
Для моделювання процесу поступово! змiни стану затзнищ за час експлуатацп залiзничну колда можна представити як систему, яка скла-даеться з множини часток рiзних речовин, з> браних в суцшьну конструкцiю. Кожна частка оточена пружними зв'язками з шшими, яю фо-рмують навколо не1 щось на зразок пружно1 оболонки або сукупносп зв'язкiв. При наван-таженш системи ця сукупнiсть деформуеться, а за певних обставин деякi зв'язки руйнуються, що зумовлюе перехiд вщ пружних деформацiй до залишкових.
Життевий цикл тако1 системи можна роз-глядати як процес накопичення розiрваних зв'язкiв. Якщо кiлькiсть розривiв доходить до кшькост елементарних часток, то вiдбуваеться повний розпад системи. Зазвичай приймаеться, що тшо, яке опрацьовуе навантаження, в про-цесi експлуатацп проходить три етапи розвит-ку, якi характеризуются рiзними швидкостями накопичення деформацiй: на першому етапi швидкiсть накопичення деформацш зменшу-еться, на другому - залишаеться приблизно по-стiйною, на третьому - збшьшуеться. Наочно це можна продемонструвати графшом на рис. 1. Його прототип було наведено у робот [4] як приклад деформацп грунту тд навантаженням, але якiсно вiн пiдходить для бшьшосп твердих тiл та !х систем.
Наприклад, в роботi [10] наведено результата розрахунюв для залишкових деформацiй за-лiзничноl коли в вертикальнш площинi, якi яю-сно вщповщають зонам «1» i «2» графша, зо-браженого на рис. 1. Також вщповщш за характером залежносп були отриманi в роботах [16, 17], присвячених застосуванню в коли гео-матерiалiв, як включали розгорнутi дослщжен-ня щодо накопичення деформацiй шдрейково1 основи вщ циклiчного навантаження, отриманi як експериментально, так i з виконанням мате-матичного моделювання.
10.15802/STP2015/49215
Перехiд у зону «3» (див. рис. 1), а можливо навт наближення до завершення зони «2», враховуючи специфшу саме системи «залiзни-чна колiя», не е доцiльним. Термiн експлуатацп залiзничноl коли не може визначатися до И по-вного руйнування - весь час повинна забезпе-чуватися умова безпечного пропуску поlздiв з встановленими швидкостями руху. З шшого боку, вщмова якогось з елеменпв або пору-шення геометричного положення коли в певних межах [14] не обов'язково е приводом для ви-конання позапланових ремонтних робгг або об-меження швидкостi руху. Враховуючи велику протяжшсть залiзничних дiлянок, для теорети-чних розрахункiв (тобто для прогнозування) доцшьно говорити навiть не про виникнення деформацiй яко1сь визначено1 величини в пев-ному перерiзi колп, а про ймовiрнiсть тако1 поди на дiлянцi. Ршення стосовно доцiльностi усунення окремих порушень (поточне утри-мання коли) або виконання промiжних ремон-тiв, або повно1 замiни верхньо1 будови коли повинно прийматися саме iз врахуванням шви-дкостi накопичення (розвитку) вщхилень. Таким чином, визначення граничного стану залiз-нично1 коли е не тшьки технiчною, а й економь чною задачею.
Рис. 1. Залежшсть деформацп тiла вiд часу експлуатацп:
1 - швидюсть деформацп зменшуеться;
2 - швидкiсть деформацп приблизно постшна;
3 - швидюсть деформацп збшьшуеться
Fig. 1. Dependence of body deformation from the operational time:
1 - rate of deformation decreases;
2 - approximately constant rate of deformation;
3 - rate of deformation increases
Якщо оперувати в1ропднютю появи певних вщхилень, то зручно стан системи (стушнь li старшня) характеризувати кшьюстю умовних розрив1в внутршшх зв'язюв для питомо1 про© Д. М. Курган, 2015
Наука та прогрес гранспоргу. Вкник Днiпропегровського нацiонального унiверсигегу залiзничного транспорту, 2015, № 4 (58)
тяжносп. Однаковому стану системи можуть вщповщати р!зш комбшаци розрив1в. Зрозумь ло, що чим бшьше кшьюсть розрив1в, тим б> льше юнуе вар1ант1в змш структури системи, що вщповщають И однаковому стану. Опису наведено! характеристики вщповщае такий чи-словий показник як ентротя. В загальному ви-гляд! ентротя системи визначаеться за формулою
5 = к 1п Ж,
(1)
де к - пост!йна Больцмана; Ж - к!льк!сть мо-жливих м!кроскоп!чних стан!в у наявному мак-роскоп!чному стан!.
Спочатку ентротя застосовувалась в термо-динам!ц!, але виявилося, що запропонован! на-уков! п!дходи е довол! ун!версальними. На сьо-годн! поняття ентроп!! використовуеться в хь м!!, б!олог!!, шформатищ ! багатьох напрямках ф!зики. Як правило, ентротя адекватно описуе розвиток (старшня) бшьшосп систем, для яких цей процес можна подати як поступовий пере-хщ в!д упорядкованого стану до хаотичного. Як приклади застосування ентроп!! для опису тер-м!н!в експлуатац!! твердих тш та !х систем мо-жна вказати так! роботи: [1, 4, 9, 12, 13, 18-20].
Так в робот! [19] наведено модель накопичення пошкоджень у плям! з'еднання твердих пластичних тш при в!дсутност! детально! мш-роструктурно! !нформац!! на основ! принципу максимуму ентроп!!. В робот! [18] описуеться практичний метод для визначення тополопч-них фаз стану матер!алу в дов!льних моделях за рахунок точного розрахунку ентроп!! за допо-могою матриц! щ!льност!. В робот! [20] обгрун-товано п!дпорядкован!сть розвитку системи ентроп!!, як аналогу закошв термодинамши, як! е ун!версальними ! розповсюджуються на !нш! напрямки ф!зики. Коновалов А. А. в робот! [4] показуе можливють застосування принцишв ентроп!! у р!зних галузях, в тому числ! демон-струе зв'язок ентроп!! з мехашчними деформа-щями матер!ал!в, висловлюе м!ркування щодо залежност! граничних значень ентроп!! вщнос-но сшввщношення швидкостей розповсюджен-ня в речовиш поздовжн!х та поперечних хвиль. Гшяров В. Л. в робот! [1] розкривае кшетичну концепц!ю мщносп матер!ал!в як х!д еволюц!!, що зумовлена ентротею. В робот! [12] наведено математичну побудову методики розрахунку
довгов!чносп роботи речовин на основ! ентро-п!йного критер!ю з числовими прикладами. В робот! [13] розглянуто довгов!чшсть твердих т!л шд навантаженням, обгрунтовано визначення термшв !х руйнування, виходячи з показни-к!в ентроп!!, в тому числ! для пояснення положень кшетично! теори м!цност!. Курилен-ко Г. А. в робот! [9] посилаеться на поняття ентроп!! для розробки методу прогнозування цик-л!чно! довгов!чност! деталей з наявн!стю тр!-щин. Деяю положення, наведен! в зазначених публ!кац!ях, було використано для виконання дослщжень в рамках ц!е! роботи.
Щд час стар!ння системи !! ентроп!я пост!й-но зб!льшуеться. В первиннш постановц! задач! зм!на ентроп!! визначаеться як вщношення к!-лькост! теплоти (8Q), отримано! або втрачено! системою, до величини абсолютно! температу-ри (Т):
А® =
Т
(2)
Показник теплоти, яка оброблена системою, не обов'язково е наслщком безпосередньо !! на-гр!ву (охолодження). Вс! механ!чн! процеси, у тому числ! деформацп, супроводжуються ви-д!ленням тепла, перш за все як результат роботи сил тертя, включаючи й внутршне тертя. Окр!м миттевого руйнування твердих тш, що е наслщ-ком виникнення напружень за межами мщносп, поступове руйнування (накопичення деформацш) вщбуваеться при загальних навантаженнях значно менших за меж! мщносп. За рахунок ге-терогенност! будови реальних т!л ! !нших факто-р!в (для зал!знично! кол!! до таких фактор!в перш за все треба вщнести наявн!сть в!дступ!в в утриманш, нав!ть в межах допусюв) зовн!шне навантаження розпод!ляеться нер!вном!рно, що призводить до виникнення локальних перенап-ружень. Саме в таких мюцях будуть вщбуватися процеси розриву напружених зв'язк!в темпера-турними флуктац!ями, що призведе до форму-вання зон розвитку деформацш [13].
Безпосередш дослщження руйнування твердих т!л на р!вт структури речовини та перетво-рень пружних ! пластичних деформацш до тепло-во! ! !нших вид!в енерг!! не передбачен! в межах ще! роботи. Для виршення поставлено! задач! достатньо визначитись щодо зм!ни внутр!шньо! енерг!! системи за загальновщомим р!внянням:
Наука та пpoгpec тpaнcпopтy. Вкник Днiпpoпeтpoвcькoгo нaцioнaльнoгo yнiвepcитeтy зaлiзничнoгo тpaнcпopтy, 2015, № 4 (58)
dU = SQ-SA + ydN,
(3)
дe SA - poбoтa cиcтeми пpoти дiï зoвнiшнiх сил; ydN - зoвнiшнe дoдaвaння peчoвини у кiлькocтi N з пoтeнцiaлoм ц .
Якщo гoвopити пpo cиcтeмy «зaлiзничнa то-лiя», тo пpиpoднo poзглядaти пpoхoджeння го пepepiзy кoлiï oднieï кoлicнoï пари як oдин такт змiни e^priL Тoдi вecь життeвий цикл бyдe складатися з кiлькocтi таких такпв.
Слiд звepнyти увагу, щo у фopмyлi (3) dU -вд змiнa eнepгiï (пoвний дифepeнцiaл), a SQ i SA - ^ eлeмeнтapнi (нaймeншi) пopцiï вщго-вщних вeличин. Тoмy нe зoвciм вipнo знaчeння ocтaннiх oтoтoжнювaти з oдним тaктoм. Дoцi-льнo пepeпиcaти piвняння (3) у дифepeнцiйнo-му виглядi
U = Q - A, (4)
дe тoчкa пoзнaчae пepшy пoхiднy пo часу; при-йнятo, щo ydN = const.
^д^ вpaхoвyючи фopмyли (2) i (4), збшь-шeння empomï cиcтeми за час пpoхoджeння oднieï кoлicнoï пари мoжнa визначити за фop-мyлoю
1
AS = T J(U + A A) dt.
(5)
Ц дae змoгy нaвecти кiлькicний пoкaзник poзpивy зв'язюв у cиcтeмi (ïï cтapiння) як на-cлiдoк викoнaння мeхaнiчнoï po6oto
W = e
kT
К1
U + A )dt
(6)
дe S0 - пoчaткoвa eнтpoпiя cиcтeми (наявна дo пoчaткy eкcплyaтaцiï); n - кшьюсть пpoпyщe-них толюних пар (тaктiв).
Meтoдикa poзpaхyнкy iнтeгpaлy у фopмyлi (6), пepш за вте, зaлeжить вiд iнcтpyмeнтiв щo-дo визнaчeння poбoти cиcтeми. В загальгому виглядi poбoтa e скалярним дoбyткoм сили на вeктop пepeмiщeння тiлa aбo cиcтeми вiд ди цieï сили
A = J Fds . (7)
У ^CT^i зaлiзничнoï толп сила, щo дie вiд кoлeca на peйкy, пpизвoдить дo вигину peйки i стисканню шapiв пiдpeйкoвoï ocнoви, якi ма-ють piзнi фiзичнi влacтивocтi. Пoявa нaпpyжeнь
i дeфopмaцiй вiдбyвaeтьcя нe тiльки го oci при-кладання сили, а мae тpьoхвимipний хapaктep iз складними зaкoнaми poзпoдiлy в пpocтopi, щo зaлeжaть вiд бaгaтьoх фaктopiв. Навт для дo-cлiджeння пeвнoгo пepepiзy кoлiï cлiд вpaxoвy-вати, щo пpoгин в ньoмy пoчинaeтьcя щe пiд час знaхoджeння кoлeca на дeякiй вiдcтaнi. Як пpaвилo (за виключeнням виcoких швидкocтeй руху), кoлeco завжди знaхoдитьcя у зoнi вжe мaйжe peaлiзoвaних дeфopмaцiй [8].
Bизнaчeння poбoти сил, cпpямoвaних на дe-фopмaцiю зaлiзничнoï кoлiï, e складгою зада-чeю, дeтaльнoгo poзв'язaння якoï, нaпeвнo, мo-жна дocягнyти тшьки з зacтocyвaнням сучасних мaтeмaтичних мoдeлeй. З iншoгo бoкy, для ви-piшeння задач пopiвняння мiж coбoю вapiaнтiв з piзними кoнcтpyкцiями вepхньoï бyдoви кoлiï aбo з piзними eкcплyaтaцiйними пapaмeтpaми, дocтaтньo дoтpимyвaтиcь oднoмaнiтнocтi шд-хoдy та мати зaлeжнicть peзyльтaтy caмe вiд тoгo пapaмeтpa, який вiдpiзняe вapiaнти.
Тoмy нaдaлi пpoпoнyeтьcя пiд poбoтoю зал> зничго1' кoлiï мати на yвaзi poбoтy сил, щo дi-ють вщ peйки на oпopy, i пpизвoдить дo вepти-кaльнoï дeфopмaцiï пiдpeйкoвoï ocнoви в пepe-piзi кoлicнoï пари.
Poзглянeмo дeкiлькa вapiaнтiв. Для пepeхoдy вiд тeopeтичних пepeдyмoв дo пpaктичнoï мe-тoдики poзpaхyнкiв бyдeмo намагатися зaмiню-вати пoкaзники, щo нapaзi нe пopiвнюютьcя, чиcлoвими знaчeннями, приймаючи ix вiдпo-вiднo дo типoвиx yмoв eкcплyaтaцiï.
Перший eapianm. Poбoтy вiд пpoxoджeння кoлicнoï пари мoжнa poзpaxyвaти як дoбyтoк сили, щo дie вiд peйки на пiдpeйкoвy ocнoвy ( Q ), на пpoгин вiд д^' ^eï сили ( z )
A = 2Qz.
(8)
Пpoгин peйки як балки, щo лeжить на piв-нoпpyжнiй ocнoвi, визнaчaeтьcя за фopмyлoю
z =
Pk
2U '
(9)
дe P - сила, щo дie на pefey з урахуванням ди-нaмiчниx дoбaвoк; U - мoдyль пружгосп пiд-peйкoвoï ocнoви; k - кoeфiцieнт вiднocнoï жo-pcткocтi.
Сила, щo дie вiд peйки на oropy:
Q = —P,
* 2 '
(10)
Наука та прогрес транспорту. Вкник Днiпропегровського нацiонального унiверситету залiзничного транспорту, 2015, № 4 (58)
де I - вщстань м1ж осями шдрейкових опор (шпал).
У першому наближенш сила ди вщ колеса на рейку може бути виражена через масу колю-но! пари. Тод! для практичного розрахунку ро-боти
А = 3,6 -10-
(11)
г =-
Е
(13)
де с - напруження на поверхн1 шару площи-ною О; Е - модуль пружносп шару; ц - кое-фщ!ент Пуассона; w - поправочний коефщ>
ент.
Спираючись на формулу (13), тд час виконання практичних розрахунюв для бшьшосп випадюв отримано наступну залежшсть роботи вщ напружень
А = ( 0,
67с,,, + 4,96сб + 45,7с
:)в 10-3,(14)
де q - навантаження на вюь, т. Значення кое-фщ!ента, кр1м шшого, враховуе, що результат роботи буде отримано в кНм.
Нав1ть такий спрощений шдхщ вже дае змогу пор1вняти д1ю на кол1ю р1зних потоюв по!з-д1в.
Другий варiант. Як розрахункову залишае-мо формулу (8). Сила 1 прогин, як входять до не!, бшьш точно можуть бути визначеш за роз-рахунками кол!! на мщнють [2, 3]. Це дае змогу врахувати швидкосп руху по!зд!в ! деяк! характеристики конструкцп та стану д!лянки кол!!.
Схожий шдхщ було використано в робот! [6] для виршення задач! визначення впливу стану зал!знично! д!лянки ! структури по!здо-потоку на життевий цикл кол!!.
ТретШ варiант. Робота сил системи може бути визначена як сума роб!т !! складових час-тин
А = Х А . (12)
Розрахунки кол!! на мщшсть [2, 3] дають змогу визначати тиск на окрем! шари зал!знич-но! кол!!. Тод! для обчислення роботи треба визначати об'емн! розширення шар!в в!д тиску на них. Це потребуе виконання досить склад-них розрахунюв з залученням низки додатко-вих вихщних даних щодо ф!зичних ! геометри-чних характеристик. Такий шдхщ суттево ви-ходить за рамки !нженерного розрахунку кол!! на мщшсть. Тому пропонуеться обмежитись визначенням вертикально! деформацп шару будови кол!!, наприклад, за формулою Шлейхе-ра-Бус!неску
тл/О(1 -ц2)
де сш, сб, сзп - напруження на поверхш шпа-ли тд п!дкладкою, на поверхн! баласту тд шпалою, на основн!й площадц! земляного полотна вщповщно в МПа за умови отримання роботи у кНм.
Такий шдхщ пор!вняно з попередшми додае можлив!сть враховувати конструкщю кол!!. Це дае змогу виршувати не т!льки задач! пор!в-няння р!зних поток!в по!зд!в, а й враховувати вар!анти конструкц!! зал!знично! кол!!.
Четвертый варiант. Ус! розглянут! методики визначення роботи сил системи базуються на статичнш залежност! деформац!! вщ сили. В основу розрахунк!в кол!! на мщшсть [3] та-кож покладено припущення миттевосп виник-нення в зал!зничн!й кол!! напружень ! деформа-ц!й, що ур!вноважують д!ю прикладено! сили. Для таких випадюв !нтеграл у формул! (6) ви-роджуеться. Для звичайних швидкостей руху такого тдходу достатньо. Виключення складае рух по!зд!в з високими швидкостями, при яких виникае необхщшсть враховувати динамшу прогину п!дрейково! основи [8]. Тод! робота буде визначатися через тензор напружень ! деформацш
А = £с,в, . (15)
Для таких розрахунк!в потр!бно залучення в!дпов!дних ф!зико-математичних моделей за-л!знично! кол!!. Наприклад, модель напружено-деформованого стану зал!знично! кол!! на основ! хвильово! теор!! розповсюдження напружень [7, 8].
Виконання числових розрахунюв безпосе-редньо за формулою (6) майже унеможливлю-еться зб!гом великого значення кшькост колю-них пар - у екв!валентш 800 млн т пропущено-го тоннажу п залежно в!д навантаження на вюь дор!внюе дек!льком м!льйонам, та маленького значення постшно! Больцмана -
к« 1,38 -10-23 Дж/К, що в!дпов!дае розриву зв'язку на р!вш атом!в. Така детал!зац!я зайва. Пропонуеться оцшювати стар!ння системи у вщсотках, прийнявши, що 100 % вщповща-
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 4 (58)
ють такому стану зал1знично1 коли, коли потр1-бно виконувати зам1ну верхньо! будови коли (модершзащю або каштальний ремонт [11]).
Тод1, з урахуванням переходу до зручних одиниць вим1ру, формула (6) набувае вигляду
f
W = 100
bn J(0 + A )dt e 0 -1
Л
де nk - к1льк1сть мшьйошв пропущених колю-них пар для k -1 категорп по!зд1в; Ak - робота, яку виконуе зал1знична кол1я при проходженш колюно1 пари k -i категорп по1'зда.
Кшьюсть колюних пар можна визначити за формулою
(16)
365 • 10 NkQkTv
qk
(18)
де n - к1льк1сть м1льйон1в пропущених колю-них пар; b , U0 - параметри, значення яких бу-ло визначено емшрично за опрацюванням складу по1здопотоюв на мапстральних напрям-ках Украши. Враховуючи те, що потш по!зд1в на дшянщ буде складатися з р1зних категорш, формула (16) набувае вигляду
WW = 100 ( e0'0662 nk (°.ii6+Ak)
-1
).
(17)
де Nk, qk, Qk - кшьюсть за добу, навантаження на вюь i маса вщповщно у тоннах по!зд1в k -1 категорп; Tp - час експлуатацп' дiлянки
в роках.
Результати
Для можливост практичного застосування запропонованi вище формули з прийнятими числовими коефiцiентами зведено до табл. 1.
Таблиця 1
P03paxyHK0Bi формули оцшки строшв накопичення деформацш залiзничноl коли
Table 1
The calculation formulas of estimating the accumulation of deformations of railroad tracks
!
m
Розрахунков1 формули
Робота колп ввд проходження кол1с-но1 пари A , кН-м
Вичерпання ресурсу зал1знично1 колй W ,%
Фактори, що враховано
Приметка
A
B
C
D
A = 3,6-10-4 q2 A = 2Qz
A = (0,67аш + 4,96стб + 45^ ) xQ -10-3
A = ё j
W = 1001e
0,066^ nk (0,116+a )
-11
365 -10-6 NkQkTv
qk
r
W = 100
l,066£nt J(0,116+Ak )dt
1
Осьове навантаження
Структура (маса, шль-шсть та шви-дк1сть) потоку поддав
Структура потоку пой-дiв, констру-
кцiйний склад коли
Детальне врахування конструкцп коли, висок! швидкостi руху
Потр1бно виконання розрахуншв колп на мщ-шсть
Потр1бно використан-ня модел1 зал1знично! колй, що враховуе динамшу прогину п^дрейково! основи
nk =
n, =
k
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 4 (58)
Результатом наведених розрахунюв буде вичерпання ресурсу зал1знично1 коли на розра-хунковий час, виражене у вщсотках. При переход! до формули з визначеними числовими параметрами (ф. (17)) за 100 % прийнято строк, який вщповщае пропуску 800 млн т брутто на д1лянщ, яка за вантажонапруженютю вщно-ситься до I-ï категорп [11]. Прийнято, що весь час експлуатацп стан коли вщповщае встанов-леним нормам [14], у тому числ1 не потребуе обмежень швидкосп руху, що досягаеться своечасним виконанням робп з поточного утримання та пром1жних ремонпв. Тому пор1в-нюючи вар1анти, як в однаковий строк експлуатацп, встановлений за пропущеним тоннажем, мають за наведеною методикою р1зну оцшку, перш за все можна робити висновок щодо р1з-нищ у витратах, яю вони будуть потребувати на поточне утримання.
Розглянемо числовий приклад. Приймемо такий потш поïздiв за добу: 30 пасажирських ма-сою 1000 т з навантаженням 15 т/вюь, 40 вантажних масою 4000 т з навантаженням 21,5 т/вюь. Така дiлянка буде вщноситись до I-ï категорiï [11] - вантажонапруженють скла-дае приблизно 70 млн т км брутто на км за рш. Вщповщно до положення про виконання пла-ново-запобiжних ремонтно-колiйних робiт [11] строк експлуатацп дшянки (мiж модер-шзащями) буде призначено пiсля пропуску 800 млн т брутто, що, вщповщно до вантажо-напруженостi, вiдбудеться через 11,5 роюв.
Розрахунки щодо оцшки строюв експлуата-цiï залiзничноï дшянки виконано для декшькох варiантiв вихщних даних, якi наведено у табл. 2.
Результати розрахунюв у виглядi залежностi вичерпання ресурсу вщ часу експлуатацiï, який може бути виражений через роки або пропуще-ний тоннаж, зображено на рис. 2.
Виходячи з аналiзу результат, наведених на рис. 2, можна порiвняти вплив на процес накопичення деформацш характеристик по1'здо-потоку (показано на прикладi рiзних швидко-стей руху - варiанти розрахунюв «2» i «3») та параметрiв конструкцiï колiï (показано на при-кладi рiзноï товщини баластного шару - варiан-ти розрахункiв «4» i «5»).
Таблиця 2
BapiaH^ розрахуншв
Table 2
Variants of calculations
Номер розрахунку Вар1ант розрахункових формул Змшш параметри
1 A
2 B Vmc=120 км/год; ^вант =40 км/год
3 Vnac =160 км/год; ^вант =80 км/год
4 C Vnac =160 км/год; ^вант =80 км/год; Äg =60 см
5 Vnac =160 км/год; FBaHT =80 км/год; Нб =40 см
Прим1тка. Упас, Квант - швидкосп руху пасажирських i вантажних по!зд1в вщповвдно; Иб - тов-щина баластного шару.
Пропущений тоннаж, млн т
Рис. 2. Вичерпання ресурсу залежно ввд часу експлуатацп: 1-5 - номери розрахуншв за табл. 2.
Fig. 2. Exhaustion of resources based on operational time: 1-5 - numbers of settlements on the table 2.
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверснтету затзннчного транспорту, 2015, № 4 (58)
Ще раз пiдкреслимо, що рiзницю у строках отримано за умови однакового мiжремонтного утримання дшянки у всiх розглянутих випад-ках. Тому для практичного використання дощ-льно говорити про тотожний висновок - змiну у витратах на мiжремонтне утримання при при-значенш модершзаци у однаковий термiн за пропущеним тоннажем.
Наукова новизна та практична значимкть
Вперше для моделювання накопичення де-формацiй залiзничноl коли використано такий показник, як ентротя системи. Це дало змогу розробити методику оцшки строюв життевого циклу експлуатацп затзнично1 коли з ураху-ванням таких факторiв, як структура по1здопо-току, конструкщя верхньо1 будови коли, рух поlздiв з високими швидкостями.
Висновки
Виконано теоретичш дослiдження та отримано анаттичну методику для моделювання процесу накопичення деформацiй залiзничноl коли на основi ентропи системи. Використання ентропи дало змогу навести старшня залiзнич-но! коли в мiжремонтний перiод як випадковий процес накопичення деформацш в результатi реакци на зовшшне навантаження, виражене через показники мехашчно1 роботи.
Термiн служби залiзничноl коли залежить не тiльки безпосередньо вщ пропущеного ван-тажу, а й вщ динамiчного характеру навантаження та пружно-жорстюсних показникiв зал> знично1 коли. Врахування таких показниюв дае змогу порiвнювати варiанти з рiзними параметрами по1здопотоку, рiзними встановленими швидкостями руху, характеристиками констру-кцп коли тощо.
Розгорнут аналiтичнi залежностi доведено до практично1 методики, що дае змогу викону-вати порiвняння варiантiв, обмежуючи розра-хунки до залежностей, необхiдних для врахування параметрiв, за якими вони вiдрiзняються.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Гиляров, В. Л. Кинетическая концепция прочности и самоорганизованная критичность в процессе разрушения материалов / В. Л. Ги-
ляров // Физика твердого тела. - 2005. - Т. 47. -Вып. 5. - С. 808-811.
2. Даншенко, Е. I. Зал1знична кол1я. Улаштуван-ня, проектування 1 розрахунки, взаемод1я з ру-хомим складом : тдруч. для вищ. навч. закл. : у 2 т. / Е. I. Даншенко. - Кш'в : 1нпрес, 2010. -Т. 2. - 456 с.
3. Даншенко, Е. I. Правила розрахуншв зал1знич-но! коли на мщнють 1 стшшсть : ЦП-0117 / Е. I. Даншенко, В. В. Рибкш. - Ки!в : Транспорт Укра1ни, 2004. - 64 с.
4. Коновалов, А. А. Энтропия, деформация, теплоемкость и жизненный цикл [Електронний ресурс] / А. А. Коновалов. - Режим доступу: Ы1р:/Мт-tas.ru/rus/doc/0016/001c/1840-kon.pdf. - 2012. -Назва з екрана. - Перев1рено : 12.06.2015.
5. Курган, Д. М. Визначення рацюнального роз-подшу пойдопотошв на мереж1 зал1зниць / Д. М. Курган, М. А. Заяц // В1сн. Дншропетр. нац. ун-ту зал1зн. трансп. 1м. акад. В. Лазаряна.
- Дншропетровськ, 2010. - Вип. 34. - С. 88-93.
6. Курган, Д. М. Вплив стану зал1знично1 дшянки 1 структури попдопотоку на життевий цикл коли / Д. М. Курган, I. О. Бондаренко // Вюн. Дншропетр. нац. ун-ту зал1зн. трансп. 1м. акад. В. Лазаряна. - Дшпропетровськ, 2007. - Вип. 19. - С. 67-77.
7. Курган, Д. Н. Модель напряженно-деформированного состояния железнодорожного пути на основе волновой теории распространения напряжений / Д. Н. Курган, И. О. Бондаренко // РгоЫешу Кокдтс^а. - 2013. - Вип. 159. - С. 99-111.
8. Курган, Д. М. Особливосл сприйняття навантаження елементами зал1знично1 коли при ви-соких швидкостях руху / Д. М. Курган // Наука та прогрес трансп. В1сн. Дншропетр. нац. ун-ту зал1зн. трансп. - 2015. - № 2 (56). - С. 136-145. doi: 10.15802/stp2015/42172.
9. Куриленко, Г. А. Прогнозирование циклического ресурса деталей с макротрещинами термографическим методом / Г. А. Куриленко // Изв. Томск. техн. ун-та. - 2012. - Т. 321, № 2.
- С. 36-39.
10. Научные основы моделирования взаимодействия пути и подвижного состава в современных условиях эксплуатации / М. М. Железнов,
B. О. Певзнер, В. П. Соловьев, С. С. Надежин // Бюллетень ОУС ОАО РЖД. - 2014. - № 4. -
C. 2-29.
11. Положення про проведення планово-запо-б1жних ремонтно-колшних робгг на зал1зницях Укра1ни : ЦП-0287 / А. Бабенко, Г. Линник, К. Мойсеенко [та ш.]. - Ки1в, 2015. - 45 с.
12. Расчёт долговечности упруго-наследственных сред при длительном циклическом нагружении / В. И. Дырда, С. П. Сокол, Е. В. Калганков
[и др.] // Геотехшчна мехашка. - 2013. -№ 108. - С. 111-122.
13. Регель, В. Р. Кинетическая природа прочности твердых тел / В. Р. Регель, А. И. Слуцкер, Э. Е. Томашевский // Успехи физ. наук. - 1972. - Т. 106. - Вип. 2. - С. 193-228.
14. Техшчш вказ1вки щодо оцшки стану рейково! коли за показниками кол1евим1рювальних вагошв та забезпечення безпеки руху по1зд1в при вщступах в1д норм утримання рейково1 ко-л1 : ЦП-0267 / О. М. Патласов, В. В. Рибкш, Ю. В. Палейчук [та ш.]. - Кшв, 2012. - 25 с.
15. Транспортна стратепя Украши на перюд до 2020 року [Електронний ресурс] : затв. розпо-рядженням Кабшету Мшютр1в Украши ввд 20 жовт. 2010 р. № 2174-р. - Режим доступу: http://zakon1.rada.gov.ua/laws/show/2174-2010-%D1%80. - Назва з екрана. - Перев1рено : 12.06.2015.
16. Fischer, S. Superstructure Stabilization of Ballast Bedded Railway Tracks with Geogrids / S. Fischer, F. Horvat // Hungarian J. of Industry and Chemistry. - 2011. - Vol. 39, № 1. - P. 101106.
Д. Н. КУРГАН1*
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету затзничного транспорту, 2015, № 4 (58)
17. Horvat, F. Evaluation of railway track geometry stabilisation effect of geogrid layers under ballast on the basis of laboratory multi-level shear box tests / F. Horvat, S. Fischer, Z. Major // Acta Technica Jaurinensis. - 2013. - Vol. 6, № 2. -P. 21-44.
18. Jiang, H. C. Identifying topological order by entanglement entropy / H. C. Jiang, Z. Wang, L. Balents // Nature Physics. - 2012. - Vol. 8. -Iss. 12. - P. 902-905. doi: 10.1038/nphys2465.
19. Maximum entropy fracture model and its use for predicting cyclic hysteresis in Sn3. 8Ag0. 7Cu and Sn3. 0Ag0. 5 solder alloys / J. P. Tucker, D. K. Chan, G. Subbarayan, C. A. Handwerker // Microelectronics Reliability. - 2014. - Vol. 54 (11). - P. 2513-2522. doi: 10.1016/j.micro-rel.2014.04.012 .
20. Thermodynamical property of entanglement entropy for excited states. / J. Bhattacharya, M. No-zaki, T. Takayanagi, T. Ugajin // Physical review letters. - 2013. - Vol. 110. - Iss. 9. - P. 091602. doi: 10.1103/PhysRevLett. 110.091602.
1 Каф. «Путь и путевое хозяйство», Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна, ул. Лазаряна, 2, Днепропетровск, Украина, 49010, тел./факс. +38 (056) 373 15 42, эл. почта ки^ап@Ьга^.сот, ОЯСГО 0000-0002-9448-5269
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАКОПЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ПУТИ НА ОСНОВЕ ЭНТРОПИИ СИСТЕМЫ
Цель. В работе предусмотрено проведение теоретических исследований возможности использования методов, которые определяют срок эксплуатации железнодорожного пути не только по показателям общего объема нагрузок, а и учитывают его структуру и динамические характеристики. Цель таких исследований -создание модели накопления деформаций для оценки сроков эксплуатации железнодорожного пути с учетом указанных особенностей. Методика. Для моделирования процесса постепенного изменения состояния за время эксплуатации (накопление деформаций) железнодорожный путь представлен как система, которая состоит из множества частиц разных материалов, собранных в цельную конструкцию. Уместно говорить не о появлении деформаций какого-то определенного размера в определенном сечении пути, а о вероятности такого события на участке. Если оперировать вероятностью появления отклонений, состояние системы удобно характеризовать количеством разрывов условных внутренних связей. Одинаковому состоянию системы могут соответствовать разные комбинации разрывов. Чем больше количество разрывов, тем больше количество вариантов изменения структуры системы, которые соответствуют ее текущему состоянию. Такой процесс можно представить как постепенный переход от упорядоченного состояния до хаотичного. Для описания приведенной характеристики системы используется такой численный показатель, как энтропия. Результаты. При старении системы ее энтропия постоянно увеличивается. Рост энтропии выражается изменениями внутренней энергии системы, определяемыми с использованием механической работы сил, действие которых приводит к деформациям. Это дает возможность определить количественный показатель разрыва связей в системе как последствие выполнения механической работы. По результатам теоретических исследований разработана методика оценки сроков жизненного цикла эксплуатации железнодорожного пути с учетом таких факторов, как: структура поездопотока, конструкция верхнего строения пути, движение поездов с высокими скоростями. Научная новизна. Впервые для моделирования накопления деформаций железнодорожного пути применен
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 4 (58)
такой показатель как энтропия системы. Практическая значимость. Развернутые аналитические зависимости доведены до практической методики, что дает возможность анализировать участки пути с разными конструкциями или с разными условиями эксплуатации по срокам накопления деформаций.
Ключевые слова: энтропия; верхнее строение пути; остаточные деформации; расчет пути на прочность; напряжения в пути; срок службы пути
D. M. KURHAN1*
1 Dep. «Railway and Railways Facilities», Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. Lazaryan, Lazaryan St., 2, Dnipropetrovsk, Ukraine, 49010, tel. +38 (056) 373 15 42, e-mail [email protected], ORCID 0000-0002-9448-5269
ACCUMULATED DEFORMATION MODELING OF PERMANENT WAY BASED ON ENTROPY SYSTEM
Purpose. The work provides a theoretical research about the possibility of using methods that determine the lifetime of a railway track not only in terms of total stresses, and accounting its structure and dynamic characteristics. The aim of these studies is creation the model of deformations accumulation for assessment of service life of a railway track taking into account these features. Methodology. To simulate a gradual change state during the operation (accumulation of deformations) the railway track is presented as a system that consists of many particles of different materials collected in a coherent design. It is appropriate to speak not about the appearance of deformations of a certain size in a certain section of the track, and the probability of such event on the site. If to operate the probability of occurrence of deviations, comfortable state of the system is characterized by the number of breaks of the conditional internal connections. The same state of the system may correspond to different combinations of breaks. The more breaks, the more the number of options changes in the structure of the system appropriate to its current state. Such a process can be represented as a gradual transition from an ordered state to a chaotic one. To describe the characteristics of the system used the numerical value of the entropy. Findings. Its entropy is constantly increasing at system aging. The growth of entropy is expressed by changes in the internal energy of the system, which can be determined using mechanical work forces, which leads to deformation. This gives the opportunity to show quantitative indication of breaking the bonds in the system as a consequence of performing mechanical work. According to the results of theoretical research methods for estimation of the timing of life cycles of railway operation considering such factors as the structure of the flow of trains, construction of the permanent way, the movement of trains at high speeds was developed. Originality. For the first time to simulate the accumulation of deformations of railway tracks this figure as the entropy of the system was used. Practical value. Analytic dependences have been brought to practical techniques that make it possible to analyze the track sections with different designs or with different operating conditions in terms of deformation accumulation.
Keywords: entropy; permanent way; residual deformations; railways calculation for strength; tension in a railway; working life of permanent way
REFERENCES
1. Gilyarov V.L. Kineticheskaya kontseptsiya prochnosti i samoorganizovannaya kritichnost v protsesse razrusheniya materialov [Kinetic concept of strength and self-organized criticality in the process of destruction of materials]. Fizika tverdogo tela - Physics of Solids^ 2005, vol. 47, issue 5, pp. 808-811.
2. Danilenko E.I. Zaliznychna koliia. Ulashtuvannia, proektuvannia i rozrakhunky, vzaiemodiia z rukhomym skladom [Railroad. Arrangement and design calculations, interaction with rolling stock]. Kyiv, Inpres Publ., 2010, vol. 2, 456 p.
3. Danilenko E.I., Rybkin V.V. Pravyla rozrakhunkiv zaliznychnoi kolii na mitsnist i stiikist. TsP-0117 [The terms of payment of railway track for strength and stability. TsP-0117]. Kyiv, Transport Ukrainy Publ., 2004. 64 p.
4. Konovalov A.A. Entropiya, deformatsiya, teploemkost i zhiznennyy tsikl [Entropy, deformation, heat capacity and life cycle]. Available at: http://trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/1840-kon.pdf, 2012 (Accessed 12 June 2015).
5. Kurhan D.M., Zaiats M.A. Vyznachennia ratsionalnoho rozpodilu poizdopotokiv na merezhi zaliznyts [The definition of rational allocation of train-flows on the rail network]. Visnyk Dnipropetrovskoho natsionalnoho universytetu zaliznychnoho transportu imeni akademika V. Lazariana [Bulletin of Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. Lazaryan], 2010, issue 34, pp. 88-93.
Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2015, № 4 (58)
6. Kurhan D.M., Bondarenko I.O. Vplyv stanu zaliznychnoi dilianky i struktury poizdopotoku na zhyttievyi tsykl kolii [The influence of the railway plot state and structure of the train flow in the life cycle of a track] Visnyk Dnipropetrovskoho natsionalnoho universytetu zaliznychnoho transportu imeni akademika V. Lazariana [Bulletin of Dnipropetrovsk National University of Railway Transport named after Academician V. Lazaryan], 2007, issue 19, pp. 67-77.
7. Kurhan D.M., Bondarenko I.O Model napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya zheleznodorozhnogo puti na osnove volnovoy teorii rasprostraneniya napryazheniy [Model the stress-strain state of railway track based on the wave propagation theory stresses]. Problemy Kolejnictwa, 2013, issue 159, pp. 99-111.
8. Kurhan D.M. Osoblyvosti spryiniattia navantazhennia elementamy zaliznychnoi kolii pry vysokykh shvyd-kostiakh rukhu [Features of perception of loading elements of the railway track at high speeds of the movement]. Nauka ta prohres transportu. Visnyk Dnipropetrovskoho natsionalnoho universytetu zaliznychnoho transportu - Science and Transport Progress. Bulletin of Dnipropetrovsk National University of Railway Transport, 2015, no. 2 (56), pp. 13-145. doi: 10.15802/stp2015/42172.
9. Kurilenko G.A. Prognozirovaniye tsiklicheskogo resursa detaley s makrotreshchinami termograficheskim metodom [Prediction of cyclic life of parts with cracks thermographic method]. Izvestiya Tomskogo tekhnicheskogo unversiteta [Bulletin of the Tomsk Technical University], 2012, vol. 321, no. 2, pp. 36-39.
10. Zheleznov M.M., Pevzner V.O., Solovev V.P., Nadezhin S.S. Nauchnye osnovy modelirovaniya vzaimod-eystviya puti i podvizhnogo sostava v sovremennykh usloviyakh ekspluatatsii [The scientific basis of modeling the interaction of the track and rolling stock in modern conditions]. Bulleten Obedinennogo uchenogo soveta OAO «RZhD» [Bulletin of the United Scientific Council of JSC «Russian Railways»], 2014, no. 4, pp. 2-29.
11. Babenko A., Lynnyk H., Moiseienko K., Patlasov O., Yakovlev V. Polozhennia pro provedennia planovo-zapobizhnykh remontno-koliinykh robit na zaliznytsiakh Ukrainy. TsP-0287 [Statutes of scheduled preventive maintenance repair and track work on the Railways of Ukraine. TsP-0287]. Kyiv, 2015. 45 p.
12. Dyrda V.I., Sokol S.P., Kalgankov Ye.V., Kolbasin V.A., Tolstenko A.V. Raschet dolgovechnosti uprugo-nasledstvennykh sred pri dlitelnom tsiklicheskom nagruzhenii [The service life of elastic-hereditary environments with long-term cyclic loading]. Heotekhnichna mekhanika - Geotechnical mechanics, 2013, no. 108, pp. 111-122.
13. Regel V.R., Slutsker A.I., Tomashevskiy E.Ye. Kineticheskaya priroda prochnosti tverdykh tel [The kinetic nature of strength solids]. Uspekhi fizicheskikh nauk - Advances in Physical Sciences, 1972, vol. 106, issue 2, pp. 193-228.
14. Patlasov O.M., Rybkin V.V., Paleichuk Yu.V., Solomakha S.O., Panchenko P.V. Tekhnichni vkazivky shchodo otsinky stanu reikovoi kolii za pokaznykamy koliievymiriuvalnykh vahoniv ta zabezpechennia bezpeky rukhu poizdiv pry vidstupakh vid norm utrymannia reikovoi kolii. TsP-0267 [Technical guidance on the assessment of the condition of a rail track on track indicators of measuring cares and ensure the safe movement of trains with departures from the norms of the track. TsP-0267]. Kyiv, 2012. 25 p.
15. Transportna stratehiia Ukrainy na period do 2020 roku [The transport strategy of Ukraine for the period till 2020]. Available at: http://zakon1.rada.gov.ua/laws/show/2174-2010-%D1%80 (Accessed 12 June 2015).
16. Fischer S., Horvat F. Superstructure Stabilization of Ballast Bedded Railway Tracks with Geogrids. Hungarian Journal of Industry and Chemistry, 2011, vol. 39, no. 1, pp. 101-106.
17. Horvat F., Fischer S., Major Z. Evaluation of railway track geometry stabilisation effect of geogrid layers under ballast on the basis of laboratory multi-level shear box tests. Acta Technica Jaurinensis, 2013, vol. 6, no. 2, pp. 21-44.
18. Jiang H.C., Wang Z., Balents L. Identifying topological order by entanglement entropy. Nature Physics, 2012, vol. 8, pp. 902-905.
19. Tucker J.P., Chan D.K., Subbarayan G., Handwerker C.A. Maximum entropy fracture model and its use for predicting cyclic hysteresis in Sn3. 8Ag0. 7Cu and Sn3. 0Ag0. 5 solder alloys. Microelectronics Reliability, 2014, vol. 54 (11), pp. 2513-2522. doi: 10.1016/j.microrel.2014.04.012.
20. Bhattacharya J., Nozaki M., Takayanagi T., Ugajin T. Thermodynamical property of entanglement entropy for excited states. Physical review letters, 2013, vol. 110 (9), pp. 091602. doi: 10.1103/PhysRevLett.110.091602.
Стаття рекомендована до публ1кацИ' д.т.н., проф. В. Д. Петренком (Украгна ); д.т.н., проф.
Д. В. Лаух1ним (Украта)
Надшшла до редколегп 13.05.2015
Прийнята до друку 01.07.2015
