CC BY
27
УДК 539.3
Я. М. ПАСТЕРНАК (Луцький нацюнальний техшчний ушверситет), Г. Т. СУЛИМ (Львiвський нацiональний унiверситет iM. I. Франка), Й. Й. ЛУЧКО ^bBiBCbKa фiлiя ДПТу)
МОДЕЛЮВАННЯ МЕТОДАМИ 1НТЕГРАЛЬНИХ Р1ВНЯНЬ ТОНКИХ АРМУВАЛЬНИХ ЕЛЕМЕНТ1В П1ДЗЕМНИХ СПОРУД ТА ТУНЕЛ1В
Побудовано модель тонкого армування, що враховуе розтяг, зсув та згин останнього. Розроблену модель використано в метод! штегральних р1внянь при дослщженш концентраци напружень у стшщ частково змщ-неного тунелю. Отримано числов1 результата для р1зних значень довжини армування та його ввдносно! жор-сткосп. Здшснено !х анал1з.
Построена модель тонкого армирования, которая учитывает растяжение, сдвиг и изгиб последнего. Разработанная модель использована в методе интегральных уравнений при исследовании концентрации напряжений в стенке частично подкрепленного туннеля. Получены численные результаты для различных значений длины армирования и его относительной жесткости. Произведен их анализ.
In this paper the model of thin reinforcement that takes into account its tension, shear and bending is developed. The model developed is introduced into the integral equation method for study of stress concentration in the wall of partially reinforced tunnel. The numerical results are obtained and analyzed for different values of reinforcement length and relative rigidity.
Вступ
Задач! геомехашки та шженерно! геологи настшьки складш i багатофакторш, що 1х пов-ного формулювання, яке б адекватно вщобра-жало повну картину явища, год! й чекати. Од-нак, як зазначено у робот [1], моделювання таких задач навггь в межах ф1зично й геометри-чно лшшно! теори пружносп дае можливють зрозум1ти найважливш! властивосп поставлено! ¿нженерно! проблеми. Зокрема, тд час про-ектування тдземних споруд, якими е, скаж1мо, тунел1, необхщними е методи моделювання природних та конструкцшних фактор1в, що обумовлюють напружений стан елемент1в спо-руди. Важливим при цьому е врахування впли-ву на напружений стан тонких армувальних складових, що сприяе оптим!заци проекту та зменшуе витрати на буд1вництво.
На цей час склалися два основш тдходи до-слщження тш ¿з тонкими елементами: прямий [2, 3], у якому останш вважають об'ектом ¿з певною товщиною, та спещальний [4 - 6], де на основ! застосування принципу спряження кон-тинуум1в р1зно! вим!рносп [7] тонкий елемент заступають розр1зом уздовж його серединно! поверхш ¡з заданими на ньому певними крайо-вими умовами взаемоди неоднорщносп з мате-р1алом середовища.
Для дослщження напруженого стану тш складно! форми ¡з тонкими криволшшними ар-мувальними елементами видаеться ефективним
поеднання прямих числових методiв зi спеща-льними шдходами. Зокрема у роботi [1] для вивчення заповнених трiщин використано модель типу пружно! основи Вшклера. Подiбна модель введена в схему методу сюнчених еле-менив у роботi [4] для визначення напруженого стану тiл iз тонкими включеннями. Цi моделi дають можливють описувати тонкi неоднорщ-ностi з податного матерiалу, якi е заповнення-ми, однак не можуть вважатися шдкршлен-нями.
Для опису армувальних елементiв констру-кцiй обов'язково необхщно враховувати !х опiр поздовжньому розтягу та поперечному згину. Для тонких пружних елементiв довiльно! жорс-ткосп вiдповiдний пiдхiд [8] розроблено на ос-новi методу iнтегральних рiвнянь. У цьому до-слiдженнi розвинуто практичну реалiзацiю л> нiйчато! моделi [8] на пiдставi врахування опору тонкого елемента згину та обгрунтовано можливють !! використання до моделювання армувальних елемеш!в пiдземних споруд.
1. Формулювання задачi
У задачах iнженерно! геомеханiки, пов'яза-них iз пiдземними будiвлями, необхiдно перш за все постулювати початковий напружений стан масиву прських порiд [1]. Вщповщно до пiдходу [1], повнi напруження у довiльнiй точцi масиву можна подати як суму початкових на-пружень а0 та змiни напружень а' в цiй точцi.
© Пастернак Я. М., Сулим Г. Т., Лучко Й. Й., 2010
Алашг-иш сшвшдношення записуються для до поверхш Г++ ; знаками «+» та «-» позначено
перемiщень: и1 = и. + и'. Як правило, початковi перемiщення вважають рiвними нулю, i тодi повнi перемщення та додатковi перемiщення збiгаються.
При постановщ крайових задач в додатко-вих напруженнях використовують як вектор заданих навантажень ^, так i вектор початко-
вих напружень ^. Додатковi напруження, що необхiдно прикласти до межi, таким чином, дорiвнюють = - ^ .
Якщо початковi напруження ст.. е однорiд-
ними, або близькими до таких, то задачу можна звести до розгляду середовища iз заданим на безмежностi однорiдним навантаженням
ст^1 = ст.. Надалi будемо аналiзувати лише цей
найпростiший випадок. Розгляд загального ви-падку за вщомого поля залишкових напружень не вносить принципових складностей у схему розв'язування задача
Розглянемо задачу про тунелi в однорiдному пружному масивi за висунутих вище припу-щень. Вважатимемо, що матерiал внутршньо! обробки тунелю близький за сво!ми властивос-тями iз матерiалом масиву. Для змщнення мiж матерiалом обробки та власне породою вво-дяться тонкi армувальш елементи. Така задача зводиться до плоско! деформаци середовища з отворами, близько до яких розташованi тоню криволшшш включення (армування).
2. 1нтегральш р1вняння задачi
Створюючи лiнiйчату модель шдкршлення, вилучимо iз розгляду армувальний елемент як геометричний об'ект, а контакты напруження та перемщення перенесемо на його серединну поверхню Гс (вiдповiдно на береги Г++ та Г- ,
рис. 1). Перемщення у тш з розрiзом визнача-ються з тако! тотожностi Сомшьяни [6, 9]:
иг (5) = иГ (5)+Г и. (х, 5) и. (х)^Г(ж) -
с
-[ Т. (х,5)Аи; (х)^Г(х), (1)
с
де ui, (г - компонента векторiв перемiщень та
напружень; u i
hom
перемiщення, що вщповща-
ють однорiдному полю напружень ст. ;
Aui = u+ — u ,
Еиг- = и+ + и ,
величини, що стосуються поверхонь Г++ та Гс , утворених розрiзом Гс (див. рис. 1). 1ндекси у позначеннях вiдповiдають проекцiям векторiв на ос глобально! системи координат Ox1 x2. У формулах прийняте правило Айнштайна тдсу-мовування за шдексом, що повторюеться. Ядра iнтегральних рiвнянь для плоско! задачi теорп пружносп записанi, зокрема в [1].
Рис. 1. Схема моделювання тонкого армування Спрямовуючи внутрiшню точку \ до точки y еГс розрiзу Гс та вважаючи, що в точщ y крива Гс е гладкою, аналопчно до [9] iз (1) отримаемо сингулярне штегральне рiвняння стосовно перемщень:
,2 lu (y ) = (y ) +
+
RPV f Uy. (x,y)H}.(x)dГ(х)-
с
-CTVj^ Tj (x,y) Au.(x)dГ(х),
(2)
T.ti = t+ +1- ; n+ - компоненти вектора нормалi
де позначення RPV означае величину невлас -ного iнтеграла (Riemann principal value); CTV -головне значення штеграла (Cauchy principal value). При числовому моделюванш ламаних розрiзiв чи включень штегральне рiвняння (2) можна використовувати, забезпечивши в обчи-слювальнiй схемi умову, що точка колокаци y не потрапляе у точку зламу. Диференщюючи (2) за yk , використовуючи закон Гука та врахо-
вуючи, що n+ = —n—, отримаемо
1 At (y) = nj (y)[< (y) + +CPVj D1]k (x,y)ltk(x)dГ(х) —
1 с
—HPVf S1]k (x,y) Auk(x)dT(x), (3)
с _
де HPV - скiнчена частина гшерсингулярного iнтеграла (Hadamard principal value).
Отвори в масивi моделюватимемо замкне-ними розрiзами iз заданим на них розривом вектора напружень за врахування умови и+ = 0 для довшьно! точки меж отвору.
Модель тонкого армування повинна вклю-чати чотири лiнiйно незалежнi рiвняння типу
Рк (А/,., Е/,, Аи,, Еи, ) = 0 (к = 1,..,4). (4)
Тодi система рiвнянь (2)-(4) е повною.
Припустимо, що модель тонкого армування (4) дае можливють знайти з И рiвнянь величини Еи , та А/, у явнш формi:
Еи, = РТ ((, Аи})
( - = 1,..,2)
(5)
(6)
«^ 11 П & п+
¿=1
чалл2 Д & п+
к-1 ( т-1 1
+2Е лт* т, а тв„ к+хл 1-1(*у *
т=1 V £=1
+(* + 1)Лар,ак,ВИ {Р + !Л } Е (*)*
А/, = р (, Аи}). Тодi система рiвнянь (2)-(4) набуде вигляду: ИРУ Г и1} (х,у)Е/;(х)ёГ(х)-
с
-СРУ [ Тц (х,у)Аи; (х)^Г(х) =
с
Ри (, ) .
" 2 - иГ (у ) '
7+ (у)|~СРУ{ Б1]к (х,у)Е/к(х)^г(х) -
L 1 с
НРУ{ 81]к (х,у)Аик(х^г(х)
с _
Р (Е/У, Аи- )
2 - п+ (у К (у)'
Таким чином, поставлена задача зведеться до знаходження iз системи штегральних рiвнянь (6) невщомих стрибкiв перемiщень Аи- та напружень Ас -х = Е .
Систему крайових iнтегральних рiвнянь (6) розв'язуватимемо методом граничних елемен-тiв [9] iз використанням лшшчатих розривних квадратичних елементiв.
3. Модель тонкого пружного включення (армування)
Використаемо розроблену авторами модель тонкого пружного включення [8], у якш для к-го граничного елемента тонкого включення маемо таю зв'язки мiж крайовими функщями:
А/. =-а р1 а д,-Ард Аик; 2Еик (*) = и,0 +
де компонента тензора повороту а дорiвню-
ють а11 = п , а12 = п2, а21 =-п2, а22 = п1, а компонента тензорiв А та В означеш так:
Е О 1
А11 = ~Т ; А22 = ~Т ; А12 = А21 = 0 ; В11 = Г„, ;
к к \[2НО' _
В22 =
1
[2АЕ г _
В12 = В21 = 0;
Е =
О ( 7 - к )
2
Лк - якобiан замши змшних на к-тому граничному елементц Р® = 2кс° - зусилля на лiвому
торщ включення; к - стала Мусхелшвш. Тут к - пiвтовщина включення, а верхшм iндексом «, » позначено величини, що стосуються вклю-чення.
Додатково врахуемо у цш моделi особливо важливий для викривлених неоднорщностей згин тонкого включення. Для цього розглянемо рiвновагу к-го граничного елемента включення щодо згинальних моментiв. Вщповщно до
рис. 2, момент Мк (*) у довiльному перерiзi *
граничного елемента к включення дорiвнюе
Мк (*) = -Мк (-1)-аЛ (* + 1) + ( Лп |*1 Е/к (п)(*-пУ п.
(8)
Рис. 2. Схема для запису р1внянь р1вноваги моменпв
Значення моменту Мк (-1) на лiвому торщ граничного елемента к визначаються за наван-таженням, прикладеним до елеменпв 1, (к -1) :
Мк (-1)= Мо (хк )-
-X/ (|11 а- (^ -п*а- (^1 (9)
Де С = -[х^ (0) - х\ (-1)]/ ;
С2 = [ х- (0)-хк (-1)]//, ; Мо (хк ) - момент сил, зумовлений торцьовими зусиллями Р. та моментом М0 на лiвому торцi включення.
Подiбно обчислюемо значення перерiзува-льно! сили Qlk1 на лiвому торцi граничного еле-мента к включення:
Qkn =-пк [р + Х / Л 2 ЪУ^
V г=1 /
(10)
дю дхт
М ( хт)
В
(11)
де В =
160
п, 3
+1)]
груючи (11), отримаемо:
ю
00 = юк (-1)-В£ Мк (^ ^
2 !ик (0 = 12ик (-1)-
+пгк юк (-1)/ ( +1)-
пк/к ^ т
В
|-1 £ Мк (12)
ю
(1) = юк (-1); 2ик1 (1) = Еик (-1) , (13)
:2ык ($) = !
+ю
к-1
X 2 /П + /Х ( +1)
2 к-1 г-1 1
В X X /-/-пГ /-1 Мт (Юй
г=1 т=1
к-1
В X пГ/2 Л Д МГ (С)й ^ п
пк/ ^ п
Д £ Мк ^ п-
В 1-й-1
(* + 1)
к-1
В
/кпк X /11МГ (^ (14)
Г=1
ди
Вiдповiдно до [10], малий поворот ю =—-
дхт
(вибрано додатний напрям за стрiлкою годин-ника) осi тонкого стрижня пов'язаний зi згина-льним моментом сшввщношенням Ейлера-Бер-нуллi
- згинальна жорсткiсть. 1нте-
Умова нерозривносп осi включення, записана у виглядi
,к-1/1\ „к/ ,4. V. к-1 ¡л\ V. к ,
дае можливiсть виконати в (12) рекурсивну шд-становку i знайти середне значення перемщень включення у розгорнутш формi:
Об'еднуючи модель розтягу-стиску-зсуву (7) iз моделлю згину (14) з урахуванням позна-чень (5), отримаемо рiвняння математично! мо-делi тонкого пружного включення, придатнi до впровадження у систему рiвнянь (11).
Середш значення перемiщень и0 та повороту ю0 лiвого торця включення визначимо з рiв-нянь глобально! рiвноваги включення:
2к (СТп -аЦ )-|Гс Ц (х Г(х) = 0;
Мп (1)+ Мп = 0. (15)
Система рiвнянь (6), (7) i (14) разом iз рiвнян-ням глобально! рiвноваги включення (15) е по-вною для сформульовано! задачi.
4. Числовий аналп
Використаемо розроблену модель тонкого включення для дослiдження напруженого стану масиву поблизу тунелю за армування останньо-го розiмкненим пружним шдкршленням. Схему конкретно! задачi зображено на рис. 3.
За основний розмiр приймемо радiус тунелю Я. Для числового аналiзу виберемо таю значення параметрiв задачi: Я1 = 1,1Я, пiвтовщина армування к = 0,01Я . Пружш властивостi ар-матури характеризуватимемо !! вiдносною жор-
О'
сткiстю к = — . Сталi Мусхелшвш для мате-О
рiалiв масиву та арматури вважатимемо одна-ковими i рiвними 1,8 (вiдповiдно, коефщенти Пуассона дорiвнюють 0,3).
Круговi дiаграми значень безрозмiрних ю-
а00
льцевих напружень -, еквiвалентних у да-
а
ному випадку коефщенту iнтенсивностi напружень на контурi тунелю, залежно вiд кута 0
г=1
для окремих значень логарифма вщносно! жор-сткост lgк =[0; 1;...; 5] арматури зображено на рис. 4 (а - а = 135°; б - а = 150°; в - а = 175°). Додатними вважатимемо напруження стиску.
Т Т и I
Рис. 3. Схема задачi для числового аналiзу
Рис. 4, б
Однорщний випадок, коли пружш властиво-ст шдкршлення щентичш властивостям основного матер1алу (на рис. 4 лши з позначкою «^ к = 0»), добре узгоджуеться з вщомим розв'язком Юрша [10]. 1з рис. 4 видно, що для зменшення концентраци напружень до значень, близьких до 1, необхщно вибирати армувальш елементи, жорстюсть яких приблизно на два порядки бшьша за жорстюсть масиву (за виб-рано! для розрахунюв вщносно! товщини арму-вання И).
Рис. 4, а
Подальше збшьшення жорсткостi армування малоефективне, оскiльки воно вже значно мен-ше впливае на змiну значень концентраци напружень сее .
270 Рис. 4, в
Роз1мкнешсть армування чинить ютотний вплив на збшьшення концентраци напружень в окол1 кшщв останнього. Однак з1 збшьшенням кута розхилу армування а цей вплив поступо-
во зменшусться ^ зокрема для а = 175° вже практично не помiтний. Зрозумшо також, що хоча розiмкнутi шдкршлення i зменшують кон-центрацiю напружень на вшьнш поверхнi, у цьому випадку слiд зважати на можливють за-родження i розвитку руйнування у безпосеред-нiй близькостi до 1'хшх кра!в. Цю проблему мо-жна вирiшити на основi результат застосу-вання методiв механiки руйнування [6].
Висновки
На основi класично! теори згину модель тонкого викривленого включення доповнено додатковими складовими, що враховують його опiр згину. Цю модель адаптовано до викорис-тання в методi граничних штегральних рiвнянь. За допомогою розроблено! числово! схеми роз-глянуто задачу про визначення концентрацн напружень в частково шдкршленш тонким елементом стiнцi тунелю. Отриманi числовi результати свiдчать, що найбшьший ефект дае близьке до замкнутого шдкршлення, вщносна жорсткiсть якого на 2 порядки бшьша за вщно-сну жорсткiсть матерiалу масиву.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Крауч, С. Методы граничных элементов в механике твердого тела [Текст] / С. Крауч, А. Стар-филд. - М.: Мир, 1987. - 328 с.
2. Сулим, Г. Регуляризована тотожнють Сомь льяни для задач теори пружносп з тонкостш-ними структурами [Текст] / Г. Сулим, Я. Пастернак // В1сн. Льв1в. ун-ту. Сер. «Прикладна математика та шформатика». - Вип. 13. -2007. - С. 142-150.
3. Опанасович, В. К. О двух подходах к исследованию антиплоской деформации изотропного массива с тонким упругим включением [Текст] / В. К. Опанасович // Прикл. математика и механика. - 1988. - Вып. 1. - С. 116-119.
4. Винницька, Л. Напружено-деформований стан пружного тша з тонким включениям [Текст] / Л. Винницька, Я. Савула // Фiз.-мат. моделю-вання та шф. технологи. - 2008. - № 7. -С. 21-29.
5. Щдстригач, Я. С. Умови теплового контакту твердих тш [Текст] / Я. С. Пшстригач // Доп. АН УРСР. Сер. А. - 1963. - № 7. - С. 872-874.
6. Сулим, Г. Т. Основи математично1 теори термо-пружно1 рiвноваги деформiвних твердих тш з тонкими включениями [Текст] / Г. Т. Сулим. -Львiв: дослвдно-видавничий центр НТШ, 2007. - 716 с.
7. Черепанов, Г. П. Механика хрупкого разрушения [Текст] / Г. П. Черепанов. - М.: Наука, 1974. - 640 с.
8. Пастернак, Я. М. Дуальний метод граничних елеменпв у задачах теори тонких включень [Текст] / Я. М. Пастернак, Г. Т. Сулим // По-шкодження матерiалiв тд час експлуатаци, ме-тоди його дiагностування i прогнозування. Пращ конференций - Тернопшь, 2009. -С. 137-143.
9. Portela, A. The dual boundary element method: Effective implementation for crack problems [Text] / A. Portela , M. H. Aliabadi, D. P. Rooke // Int. J. Numer. Meth. Engineering. - 1992. - 33. -P. 1269-1287.
10. Тимошенко, С. П. Курс теории упругости [Текст] / С. П. Тимошенко. - К.: Наук. думка, 1972. - 501 с.
Надшшла до редколеги 22.02.2010.
Прийнята до друку 01.03.2010.
