Методика определения раскрытия трещины в железобетонной армированной балке таврового профиля Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 539.3

Й. Й. ЛУЧКО, е. Г. 1ВАНИК (^BiBCbKa фшя ДПТу)

МЕТОДИКА ВИЗНАЧЕННЯ РОЗКРИТТЯ ТР1ЩИНИ В ЗАЛ1ЗОБЕТОНН1Й АРМОВАН1Й БАЛЦ1 ТАВРОВОГО ПРОФ1ЛЮ

У статл викладено методику визначення ширини розкриття трщини у зал1зобетоннш балщ таврового профшю залежно в1д геометричних розм1р1в полищ i стшки, зовшшнього навантаження i проценту арму-вання.

В статье изложено методику определения ширины раскрытия трещины в железобетонной балке таврового профиля в зависимости от геометрических размеров полки и стенки, внешней нагрузки и процента армирования.

In the paper the method for determination of the width of crack opening of the ferro-concrete beam of the teeform profile in dependence on the shelf and wall geometrical sizes, external load and reinforcement percent is described.

Постановка проблеми

Розрахунок залiзобетонних конструктивних елеменпв за юнуючими офщшними нормативами свщчить про пряму залежнють мiж при-йнятою методикою i ращональнютю та еконо-мiчнiстю проектовано! конструкцii, причому для однакового конструктивного елемента дю-тають рiзну кiлькiсну оцiнку за трщиностшюс-тю, деформативнiстю та несучою здатнiстю. Дослщження утворення та розрахунок розкриття трщини та деформативностi залiзобетонних конструкцш складае певнi труднощi, оскiльки процеси, що мають мiсце при цьому як при на-вантаженнях, так i пiд час експлуатацii важко пiддаються вивченню та прогнозуванню. Також слщ брати до уваги, що для фахiвцiв цi питання мали другорядне значення, нiж розрахунки на мщшсть, оскiльки нормативи обмеженостi до-пустимих напружень в бетонi та арматурi приводили до жорстких конструктивних елементiв, а виникаючi при цьому трщини були нехтува-но малими за розкриттям.

Прогресивнi технологи в бущвельнш справi привели до тдвищення мiцностi бетону та ар-матури, що дало змогу зменшити розмiри пере-рiзiв конструктивних елеменпв, знизити !х вагу. Але при цьому зменшення геометричних параметрiв залiзобетонних балок при одночас-ному зростанш робочих напружень i прогошв приводить до зниження жорсткостi i збiльшуе ймовiрнiсть надмiрного розкриття трщини. Отже, в цих умовах вже не мщшсть, а утворення i розкриття трщини (деформатившсть) стае визначальним чинником у здiйсненнi проект-них розрахункiв об'ектiв будiвництва.

Аналiз дослiджень i публiкацiй з даноТ проблематики

В останнi роки питання трщиностшкост i деформативностi залiзобетонних конструкцш набули першорядного значення для шженерно! практики в будiвництвi. Вирiшення ще! проблеми значною мiрою визначае подальший про-грес у будiвельнiй галузi, зокрема, розширення сфери застосувань затзобетонних конструкцiй, в тому чи^ для споруд, що експлуатуються в агресивному середовищi та умовах тдвищених температур.

Значного успiху в цьому напрямi досягли в> тчизнянi вчеш, якi створили найбiльш обгрун-товану теорда трiщиностiйкостi [1 - 4], на ос-новi яко! для iнженерноi практики розроблено достатньо адекватш методики розрахунку за деформацiями, а також зародження i розкриття трщин [5 - 11]. В представлених роботах про-понуеться враховувати роботу розтягнутого бетону в зош мiж трiщинами за допомогою де-яких коефiцiентiв, залежно вiд марки бетону, проценту армування, величини напружень i характеру дii навантажень. Дальшим продовжен-ням розвитку ще! моделi е трактування крите-рда трiщиностiйкостi, як досягнення деформа-щями на границi певного значення, причому розкриття трщини трактуеться як результат змщнення арматури i бетону в перерiзах, де зародилась i розвиваеться трщина. Вихiдна модель приймаеться у виглядi однорiдного iзо-тропного деформiвного тiла, що мiстить дефек-ти типу пор, включень, трiщин. Напружений стан представляеться як сума напружень у тш з

© Лучко Й. Й., 1ваник е. Г., 2009

трщиною 1 напружень в суц1льному середови-

Недолгом наданих шдход1в е те, що мщ-шсть, деформаци 1 розкриття трщини пов'язаш з низкою коефщ1ент1в, що не повшстю врахо-вують властивост матер1алу, зчеплення арма-тури з бетоном, отримаш з даних випробувань, а не шляхом теоретичних розрахунюв.

Подальший розвиток мехашки руйнування стимулюе зростання робгг стосовно проблематики моделювання { розрахунку затзобетонних конструктивних елемент1в балкового типу з дефектами типу трщин.

Постановка завдання

Внаслщок недостатньо! вивченост пробле-ми процесу зародження, розвитку { поширення трщин в деформ1вних середовищах деяю принципов! положення теори не е прозорими { мають значною м1рою емтричний характер, внаслщок чого виникае потреба розвитку нових шдход1в до вивчення трщиностшкосп затзо-бетонних елемент1в конструкцш 1з застосуван-ням теори пружност1.

Розрахункову схему приймемо у вигляд1 та-врово! балки, шдкршлено! знизу смуговою арматурою. Система складаеться з двох пружних пластин, в перер1з1 мае тавровий профшь, шар-шрно оперта на кшцях { знаходиться шд д1ею довшьного симетрично-розподшеного вщносно середини прогону навантаження.

Виклад основного матерiалу дослiджень

В робот [12] подано шдхщ до розв'язання задач1 про визначення напружено-деформова-ного стану зал1зобетонно! балки таврового профшю з трщиною. В цш робой даються фо-рмули для компонент тензора напружень в бал-щ у довшьному перер1з1, в тому числ1 й там, де знаходиться трщина.

Аналопчно результатам роботи [13] пред-ставимо напруження в зал1зобетоннш балщ у вигляд1 двох складових а'х \ сх, причому сх -напруження, обумовлеш навантаженням вщ виникаючих напружень в стшщ [12]; сХ - напруження в балщ, обумовлеш розклинюванням, { визначаються на основ1 формул Колосова-Мусхелшвш [14]:

с„ =

| К (у, г )<И

(1)

де I - довжина трщини; ) - невщома фун-

кщя, яка описуе форму трщини; ядро в штег-ральному представленш (1) мае вигляд

К (у, г )=-

4п

1

1

___2г(г - у)

г + у г - у ( + у)3

. (2)

Враховуючи, що береги трщини вшьш вщ навантаження, то мае мюце

сХ +сх = 0 при х = 0, 0 < у < I.

(3)

Пщставляючи вираз (1) в умову (2), та вра-хувавши вираз (3), матимемо

Е.

4п

1

1 2г (г - у)

г+у г - у (+у)

Ц = сх (0, у), (4)

звщки, беручи до уваги вираз для сх (0, у) , на-даний у робот [12], дютанемо

Е г — [

4п I

2г (г - у)

г + у г - у ( + у)

ад

= Е [с2к (аку + «¿усЬаку) + С3какэЬаку +

к=1

+С4к (2сЬаку + аку^аку)]ак . (5)

Коефщенти у формул! (5) визначаються з групи основних граничних умов для полищ (плити) та додаткових на стику стшки з арматурою [12].

Виконавши замшу змшних

г = 21£+1); у = 21(п+1);

1 (5+1)

с.

21 (П + 1)

=ф(0; (п)

= с

причому

ад

(П)=Е

с

к=1

28Ь Щ-г (п+1) +

+°-1 (г| + 1)сЬ (п + 1)

3к

ак 0-1 (П+1)

+с

4к

2сЬ а-г (п+1)+^2^г (п+1)§ь (п+1)

отримаемо вираз (5) у виглядк

Ц

El

4п

5-n

K (5, n)

ф(5)Л = сxl (n), (6)

тобто, дiстаeмо сингулярне штегральне рiвнян-ня з ядром

к/ ч +4^п + П2+6П + 4

' (5 + П + 2)3 '

Вiдзначимо, що ядро К(5,п) та права час-тина с х1 (п) рiвняння (6) е заданими на вiдрiзку [-1;1] i неперервними функщями сво!х аргуме-

НТ1В.

Представимо функщю ф(5) у вигляд1

u 00

ф(5) =

Vi-i2

(7)

1

J

<(5) di = п i» (it)

= -1ё--+nu (n)

Vi-i1 (5-n) nk=i-n

Un-1 (n) T (5)

, (8)

i

J

u (5)d5 п ^ u (5k) . (9) Vi-52 (5-n) n k=i5k-nm '

Ш=П1»(5').

(10)

дискретн1й множин1 точок n = nm, сшвпадае з квадратурною формулою Гаусса, якщо шдште-гральна функщя е полшомом степеня не ви-ще 2n.

Наведеш залежносп (8) - (10) застосуемо при розв'язуванш штегрального р1вняння (6). Використавши штерполяцшш формули Лагра-нжа для шукано! функци u (5) по вузлах 2k -1

5k = cos——— п, д1станемо

2n

((5) =

T (5)^

5-5k

(11)

де u (5) - нова невщома функщя, неперервна

на в1др1зку [-1;1].

Розв'язок штегрального р1вняння (6), прида-тного для чисельного анатзу, будемо будувати на основ1 квадратурних формул Гаусса. Зокре-ма, для сингулярного штеграла маемо формулу

Зпдно залежносп u (-1) = 0, маемо особли-вють, яка вказуе на те, що функщя ф(5) мае в точщ 5 = -1 особливють меншого порядку, шж 1

коренева

>/1+5 '

Таким чином, на основi формул (9) - (11) i залежностi (6) дiстаемо систему п лiнiйних ал-гебра!чних рiвнянь:

4пп

I

k=1

1

5k -n„

K (5 k, nm)

в якш Tn (n) - многочлени Чебишева 1-го роду, Un-1 (n) - многочлени Чебишева 1-го роду [15].

2k -1

Вузли 5k = cos-п (k = 1,2,3,..., n) е ну-

2n

nm

лями многочлена Tn (5), а у точках nm = cos-

n

(m = 1,2,3,..., n -1), як е коренями р1вняння Un-1 (n) = 0, формула (8) набувае проспшого вигляду:

I ("i)ku (5k )tg [ ^ п| = 0

ф( k ) = с x1 (nn);

(12)

з яких визначаються n шуканих значень u (5k ) (k = 1,2,3,..., n).

Коефщент штенсивносп напружень знахо-димо на основ1 формули, яка виражена через знайдешзначення u(5k)

K = I (-1)ku (5k )ctg i

k=1

4n

Звичайна квадратурна формула Гаусса для деяко! функци u (5) мае вигляд

Сшвставляючи залежносп (9) i (10), бачимо, що формула для обчислення сингулярного ште-грала з ядром типу Кошi, яка справджуеться на

У вiдповiдностi до критерiя 1рвша-Барен-блатта [1, 2], трщина буде розвиватись при ви-конаннi умови

К1 = К1с ,

в якiй параметр К1с представляе коефiцiент iнтенсивностi напружень для конкретного ма-терiалу, в даному випадку бетону. Зазвичай, вiн визначаеться експериментальним шляхом i за-лежить вiд виду i класу бетону за мщнютю. Зо-крема, в робот [16] дано формулу для визна-чення К1с залежно вщ мiцностi бетону на роз-тяг:

К1с = 4КЫ^,

(12)

в якш Яы - розрахунковий ошр бетону розтягу;

- максимальний д1аметр гранул заповнюва-ча (щебшь, гравш), причому = 1,2... 2 см.

Визначивши значення функци и (Е,к) з на-ведених формул (12). тим самим обчислимо значення функци ф(£,к ), яка визначае форму I

розм1р трщини. Оскшьки на штерват (0; I)

проекщя вектора перемщень на вюь абсцис терпить розрив, то

I

и(+0,у)-и(-0,у) = {ф()^ . (14)

у

Врахувавши залежност (7), (9), подамо формулу (15)у виглядк

и (+0, у)-и (-0, у) = -Е и (^ ). (15)

п к=1

Отримана формула (15) е основною залеж-шстю, з яко! визначаеться розкриття трщини на р1вш арматури (при у = 0).

Як приклад, сшвставимо даш чисельного розрахунку зпдно отримано! залежност (14) на основ1 розвинуто! методики та експеримента-льш результати зпдно норм { правил зал1зобе-тонних конструкцш «СНиП 2.03.01-84» за таких параметр1в конструкций

• модул1 пружност та коефщенти Пуассона для пластин v = 0,11; Е = 21-103 МПа 1 арматури вщповщно V а = 0,25; Еа = 21-104 МПа;

• ширина балки В = 0,25 м та !! висота Н = 0,6 м;

• товщина стшки й = 0,1 м;

• довжина прогону Ь = 0,2 м.

Деяю результати чисельного анал1зу показано в табл. 1 - 4.

При отриманш чисельних результатв необ-хщно задаватись таким значенням довжини трщини, щоб задовольнялось критер1альне сшввщношення (12).

Висновки

Розроблено методику визначення ширини розкриття трщини в зал1зобетоннш балщ таврового профшю залежно вщ геометричних па-раметр1в, величини зовшшнього навантаження \ проценту армування.

Таблиця 1

Розкриття трщини залежно вщ величини зовн1шнього навантаження

Вели- СНиП Дослвдт дат Аналь По-

чина навантаження, т 2.03.01-84, мм Середне Макси-мальне тичш результати хиб- ка, %

1 0,01236 0,0108 0,013 0,0132 18

2 0,0258 0,0245 0,027 0,026 5,7

3 0,041 0,04 0,043 0,0413 3,1

4 0,058 0,059 0,064 0,0576 -2,4

5 0,0785 0,08 0,086 0,0769 -4,03

6 0,107 0,1 0,12 0,099 -1,0

7 0,138 0,139 0,141 0,1385 -0,36

8 - 0,174 0,18 0,176 -2,0

9 - 0,203 0,219 0,201 -1,3

10 - 0,241 0,248 0,2406 -0,6

Таблиця 2

Розкриття трщини залежно вщ прогону балки

Дов- СНиП Дослвдт дат Аналь По-

жина прогону, м 2.03.01-84, мм Середне Макси-мальне тичш ре- зуль- тати- хиб- ка, %

4 0,0123 0,0108 0,013 0,0132 18

5 0,0197 - - 0,0197 -

6 0,0297 0,0293 0,031 0,0305 3,1

7 0,042 - - 0,0416 -

8 0,0585 - - 0,0576 -

9 0,080 - - 0,089 -

10 0,123 - - 0,133 -

11 - - - 0,2171 -

12 - - - 0,375 -

Як показують отримаш результати числових розрахунюв \ !х пор1вняння з вщповщними екс-периментальними даними, при дослщженш за-л1зобетонних балок на розкриття трщини, нормально! до поздовжньо! ос1, використання СНиП 2.03.01-84 е виправданим для балок ¡з процентом армування не бшьше за 2 %, тод1 як розроблена анал1тична методика гарантовано може використовуватись для значень значно бшьшого проценту армування.

Результати, розвинеш в робот, можуть ви-користовуватись в шженернш практищ для визначення ширини розкриття трщини в балщ, яка перебувае тд д1ею р1вном1рно-розподше-ного навантаження з можливютю одночасного

вардавання такими параметрами, як довжина прогону, висота балки та процент армування.

Таблиця 3

Розкриття т р1щими залежно в1д висоти перерiзу балки

Висота, м СНиП 2.03.01-84, мм Дослщт дат Аналь тичн1 ре-зультати- По-хиб- ка, %

Середне Макси-мальне

0,3 - 0,104 0,143 0,104 0

0,4 - - - 0,86 -

0,5 0,0603 - - 0,0617 -

0,6 0,0425 - - 0,047 -

0,7 0,034 - - 0,0363 -

0,8 0,028 - - 0,029 -

0,9 0,0248 - - 0,025 -

1,0 0,020 - - 0,021 -

1,1 0,0158 - - 0,0149 -

1,2 0,0093 - - 0,0101 -

Таблиця 4

Розкриття трщини залежно вщ проценту (площi) армування

Площа арма-тури, см2 СНиП 2.03.01-84, мм Дослщт дат Аналь тичш результата По-хиб- ка, %

Середне Макси-мальне

2 0,928 1,03 1,15 0,978 0,583 -5,3

4 0,517 0,60 0,69 -2,5

6 0,329 0,301 0,341 0,351 14,2

8 0,231 0,25 0,258 0,273 8,4

10 0,165 0,161 0,169 0,170 5,3

12 0,110 0,113 0,12 0,131 13,7

14 0,0903 0,099 0,1 0,1 1,0

16 0,0432 0,044 0,048 0,04 4,3

18 0,025 0,027 0,0285 0,0273 1,1

20 0,01 0,013 0,045 0,013 1,13

Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Панасюк, В. В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами [Текст] / В. В. Панасюк. - К.: Наук. думка, 1968. - 246 с.

2. Панасюк, В. В. Механика квазихрупкого разрушения материалов [Текст] / В. В. Панасюк. - К.: Наук. думка, 1991. - 415 с.

3. Панасюк, В. В. О важнейших исследованиях по физико-химической механике материалов

[Текст] / В. В. Панасюк // Физ.-хим. механика материалов. - 1974. - № 4. - С.3-13.

4. Ковчик, С. Е. Характеристики кратковременной трещиностойкости материалов и методы их определения. Механика разрушения и прочность материалов [Текст]: справ. пособие / С. Е. Ковчик, Е. М. Морозов. - Т. 3. - К.: Наук. думка, 1988. - 436_ с.

5. Лучко, Й. Й. Методи оцшки несучо! здатносп 1 шдвищення трщиностшкосп зал1зобетонних елеменпв конструкцш [Текст] / Й. Й. Лучко. -Льв1в: Слово 1 комерщя, 1997. - 435 с.

6. Кудзис, А. П. Оценка надежности железобетонных конструкций [Текст] / А. П. Кудзис. - Вильнюс: Маклас, 1985. - 156 с.

7. Холмянский, М. М. К использованию расширенной информации при расчете железобетонных элементов на чистый изгиб [Текст] / М. М. Холмянский // Строительная механика и расчет сооружений. - 1978. - № 2. - С.38-42.

8. Зайцев, Ю. В. Моделирование деформаций и прочности бетона методами механики разрушения [Текст] / Ю. В. Зайцев. - М.: Стройиздат, 1982. - 196 с.

9. Зайцев, Ю. В. Моделирование деформаций и прочности бетона методами механики разрушения [Текст] / Ю. В. Зайцев, К. А. Дараган, Б. Ф. Туроколов // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1984. - № 9. - С. 1-4.

10. Иваницкий, Я. Л. Методика определения тре-щиностойкости бетона при сложном напряженном состоянии [Текст] / Я. Л. Иваницкий, Й. Й. Лучко // Бетон и железобетон. - 1986. -№ 10. - С. 30-31.

11. Яйцева, А. Г. К вопросу о теории трещин железобетона [Текст] / А. Г. Яйцева // Бетон и железобетон. - 1984. - № 4. - С.17-24.

12. Лучко, Й. Й. Методика розрахунку напружено-деформованого стану зал1зобетонно! балки таврового профшю з трщиною [Текст] / Й. Й. Лучко, £. Г. 1ваник, М. I. 1гнатишин // Вюник ОДАБА. - Одеса: М1сто майстр1в, 2009. -Вип. 35. - С. 219-226.

13. Лучко, И. И. Распределение касательных напряжений между арматурой и бетоном [Текст] / И. И. Лучко, В. В. Лотыш // Бетон и железобетон. - 1990. - № 2. - С. 38-39.

14. Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости [Текст] / Н. И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1968. -245 с.

15. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1975. - 831 с.

16. Пересыпкин, Е. Н. Коэффициенты интенсивности напряжений: раскрытие трещины в железобетонных элементах [Текст] / Е. Н. Пересыпкин // Бетон и железобетон. - 1978. - № 3. -С. 27-29.

Надшшла до редколегп 15.09.2009.

Прийнята до друку 22.09.2009.