CC BY
25
УДК 539.3
В.И. Гнитько, У.Е. Марченко, В.В. Науменко
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ОБОЛОЧКИ С ЖИДКОСТЬЮ ПРИ СЕЙСМИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Введение. Оболочки вращения, заполненные жидкостью, представляют собой наиболее распространенный тип резервуаров для хранения химически опасных веществ. Разрушение подобных резервуаров под действием сейсмических нагрузок может привести к негативным экологическим последствиям. Изучению данной проблемы посвящены работы [1-3]. В данной работе предложен метод расчета динамических характеристик оболочек вращения с жидкостью, подверженных действию кратковременных импульсных нагрузок. Метод основан на сведении задачи об определении давления жидкости к системе сингулярных интегральных уравнений. Связанная задача теории упругости решается с помощью комбинации МКЭ и МГЭ. Дифференциальные уравнения нестационарной задачи решаются численно методом Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядка.
Постановка задачи. Рассматривается связанная задача о движении оболочки вращения, частично заполненной жидкостью, которая подвергается сейсмическому воздействию. Будут рассмотрены задачи о свободных и вынужденных колебаниях таких оболочек.
На первом этапе рассмотрим задачу о собственных колебаниях "пустой" оболочки, т.е. рассмотрим задачу:
ЦЩ+М[Щ = 0 (1)
и представим и в виде е,п*й(х,у,2). Тогда уравнение (1) примет вид ЩГ\ — С12М[и] = 0, что соответствует проблеме определения собственных частот и собственных форм. Допустим, эта задача решена и найдены Ок, щ - собственные частоты и собственные формы "пустой" оболочки. При этом выполнены следующие соотношения:
Ц[щ ]-ОМ [щ ] = 0 к = 1,2,...
(М [щ ], wJ) = 81ч
т.е. формы колебаний "пустой" оболочки ортонормированны по матрице масс. Следовательно
(Ц.щ ], щ) = .
Потенциал скоростей р будем искать в виде суммы двух слагаемых, относительно которых сформулируем соответствующие краевые задачи:
Р = Р + Р2. (2)
Решение задачи о свободных колебаниях идеальной невесомой жидкости в упругом резервуаре. Рассмотрим следующую краевую задачу:
ЦЩ+М[Щ = -р,
др
Ы
р = о (3)
др _дщ , др
дп дг 1 дг
= 0
5„
<
Предположим, что V = ешй\ ср1=е1Шф1. Будем искать и в виде ряда по собственным колебаниям "пустой" оболочки:
т
(4)
и =
к=1
Рассмотрим ряд смешанных краевых задач для уравнения Лапласа:
[Дфк = 0
дфк
■ = w,r
Ф4 = о
■ Оа
(5)
дн к к о
Решение краевых задач вида (5) описано в [4]. После нахождения соответствующих функций фк , потенциал скоростей ^ представим в следующем виде:
ъ = ЮеШ Е сф к •
(6)
к=1
С учетом соотношений (4) и (6) первое уравнение в системе дифференциальных уравнений (3) примет вид после сокращения на егт:
Ь
Е
к=1
-ю2М
Е
к=1
СЛ
= -Р,1 Ю Е Ск41к
к=1
гЕ сф
(7)
(8)
В силу линейности операторов Ь и М имеем
т т
Е с, ОМ К ] - ю 2 Е Ск [М К ] + рфк ] = 0 •
к=1 к=1
Умножим скалярно обе части равенства (8) на собственные формы "пустой" оболочки. Получим
т
скФ*Ес 5ц+р , )] =0 •
к=1
Эта проблема собственных значений для оболочки, частично заполненной жидкостью. Матрица (ф, ^ ) = {Рщ } называется матрицей присоединенных масс.
Решение задачи о собственных колебаниях жидкости в жестком сосуде с учетом сил гравитации. Рассматривается следующая краевая задача для уравнения Лапласа относительно
д?2
дн
= 0
Ы ' дп
Требуется найти собственные частоты и формы колебаний жидкости.
Рассмотрим ср2 = ешф2. Первое из условий на свободной поверхности продифференцируем по I и, подставив £ из второго условия на свободной поверхности, получим
д?2 _к2
дн %
д$2 = 0
. дн
к
к
<
о
Эта задача сводится сначала к решению системы сингулярных интегральных уравнений [5], затем к проблеме собственных значений. Обозначим решение задачи (9) через
кк 'Ак •
Представим потенциал ср2 в следующем виде:
п
(р2 (х, у, г, 0 = £ 4 Ш2к (х, у, г) .
k=1
Здесь
dk (t) - неизвестные коэффициенты, Ф^(х, У,z) - решение краевых задач:
iMk = 0 дф2 к
л = о L;
дп S
дф
2 к
дп
Кл
S„ g
2
= ^ Ф-кк
Построение системы дифференциальных уравнений. Землетрясение начинается из состояния покоя, что приводит к нулевым начальным условиям. Ненулевое решение системы дифференциальных уравнений будет иметь место только для нулевой и первой гармоники. Поскольку правая часть имеет вид A(t, р, z) + B(t, р, z)cos9 . Для применения стандартных процедур решения системы ОДУ требуется свести полученные системы обыкновенных дифференциальных уравнений II порядка к системам обыкновенных дифференциальных уравнений I порядка.
Приведем систему дифференциальных уравнений нулевой гармоники в виде:
i=1
^с'к0it) 5,. + (<&,мл0)] + рг £4о(0,wJ0) + tfjoCj(0 = ~P,g^о)
к=1
j = 1,2,..., m0
г.
4o (0 + к'о^-о C0~| аг + gTj Ск0 (О
к=1
Л
^ , ф2-г + g(H, Фк,) = о
дп
(10)
i = 1,2,..., п0
СО = ¿^С0 к = \,2,...,т0
/=1,2,...,п0
при нулевых начальных условиях ек0 (0) = 0, (0) = 0 и систему дифференциального уравнений первой гармоники в виде
ту щ
\ Z ¿г (о +)]+(о+рг Е (о (4> ^)=- (о (/**), ^)
¿=1 1=1
р
j=i,2,...mi
щ
к=1
Ф ,Ф2, ] = -^t (t )(р,Ф1,)
дп
(11)
i = 1,2,...ni
cpkl(t) = ckl(t) к = \,2,...щ d*(t) = dn(t) / = 1,2,...и, при нулевых начальных условиях (0) = 0, dfx (0) = 0 .
<
Численные результаты. Чтобы убедится в надежности предложенного числового алгоритма проведено сравнение с результатами, полученными при помощи МКЭ для первой и нулевой гармоник. Рассмотрим цилиндрическую оболочку с плоским дном частично заполненную жидкостью.
Параметры резервуара следующие: радиус - R=1м, толщина - h=0.01м, длина L=2м, модуль упругости Е=210 МПа, коэффициент Пуассона у=0.3, плотность
3 3 «-»
материала р=7800 кг/м , плотность жидкости р!=1000 кг/м . Уровень заполняющей жидкости - Н=0.8 м. Граничные условия: ^=^^9= 0 при z=0 и r=R.
Мы анализируем связанную задачу вынужденных колебаний. Радиальное нагружение (рис. 1 ) было внезапно приложено на цилиндрическую поверхность резервуара, д(г,г,= д0соъкф(г,г)ехр(—/т), где q0=0.1 МПа, т =14.210-6 с. Время в
конце гп = 5 -10 3 с.
Рис. 1. Импульсное нагружение
Радиальное перемещение отклика было вычислено в четырех точках, точка 1 (узел 91) расположена на смоченной части стены, точка 2 (узел 121) принадлежит границе свободной поверхности жидкости, точка 3 (узел 69) находится вблизи основания, точка 4 (узел 161) находится на вершине стенки оболочки. На рис. 2-3 представлен отклик на вынужденное движение вычисленный предложенным методом -сплошная линия и конечно-элементным комплексом - штриховая линия.
Рис. 2. Временная диаграмма радиального перемещения в точках 1, 2, 3, 4 (а=1)
Рис. 3. Временная диаграмма радиального перемещения в точках 1, 2, (а=0)
Иллюстрации демонстрируют хорошее согласование результатов, полученных различными методами. Это свидетельствует о надежности метода и предложенного алгоритма.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Sanchez-Sanchez H. Structural behaviour of liquid filled storage tanks of large capacity placed in seismic zones of high risk in Mexico [Электронный ресурс] / H. Sanchez-Sanchez, S.C. Cortes, A.M. Dominguez // Proc. of 13th World Conference on Earthquake Engineering (1-6 of August 2004). — Vancouver, B.C., Canada, 2004. — Paper No 2665. — Режим доступа:http://www.iitk.ac.in/nicee/wcee/article/13_2665.pdf.
2. Sanchez-Sanchez H. Seismic response of cylindrical tanks for oil [Электронный ресурс] / H. Sanchez-Sanchez, S.C. Cortes // Proc. of 14th World Conference on Earthquake Engineering (12-17 of October 2008). — Beijing, China, 2008. — Режим доступа: http://www.iitk.ac.in/nicee/wcee/article/14_06-0156.PDF.
3. Jhung M.J. Impact analysis of a water storage tank [Электронный ресурс] / M.J. Jhung, J.C. Jo, S.J. Jeong // Nuclear Engineering and Technology.
- 2006. — Vol. 38. — N 7. — P. 681—688. — Режим доступа: http://article.nuclear.or.kr/jknsfile/v38/JK0380681.pdf.
4. Strelnikova E. Free and forced vibrations of the shells of revolution interacting with the liquid / E. Strelnikova, E. Yeseleva, V. Gnitko, V. Naumenko // Proc. of XXXII Conference "Boundary elements and other mesh reduction methods". Transaction: Modeling and Simulation. — New Forest: Wessex Institute of Technology, 2010. — V. 50. — P. 203—211.
5. Brebbia C.A. Boundary element techniques: theory and applications in engineering / C.A. Brebbia, J.C.F. Telles, L.C. Wrobel. — Berlin and New York: Springer-Verlag, 1984. — 464 p.
Гнитько Василий Иванович - старший научный сотрудник Института проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины. Научные интересы:
- нелинейные задачи статики и динамики оболочек, МКЭ и МГЭ.
Марченко Ульяна Евгеньевна - аспирант Института проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины. Научные интересы:
- компьютерное моделирование статических и динамических процессов в механике сплошной среды.
Науменко Виталий Васильевич - доцент Харьковской Государственной Академии железнодорожного транспорта. Научные интересы:
- математическое моделирование процессов плескания жидкости в резервуарах.
