Сингулярные интегральные уравнения в задаче о колебаниях оболочки с жидкостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.595

У.Е. Огородник, Е.А. Стрельникова, Ю.С. Шувалова

СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О КОЛЕБАНИЯХ

ОБОЛОЧКИ С ЖИДКОСТЬЮ

Постановка проблемы. Катастрофические последствия крупнейших землетрясений последних лет привлекли внимание к теоретическим работам, посвященным оценке и мониторингу аварийного риска при эксплуатации резервуаров с легковоспламеняющимися заполнителями, как при сейсмических воздействиях, так и при внештатных ситуациях на производстве.

Будем моделировать резервуары тонкими упругими оболочками, содержащими жидкость. Рассматривается задача о действии импульсных нагрузок на оболочку вращения с произвольным разветвленным меридианом при частичном заполнении идеальной несжимаемой жидкостью.

Матричное уравнение движения оболочки, частично заполненной жидкостью, запишем в виде

ьи+мй = р1+<2 (1)

где Ь, М - матрицы жесткости и масс; и = (иь м2, и3) - вектор-функция перемещений; Q(t) - вектор внешней нагрузки, Р(Г) - гидродинамическое давление жидкости. Давление жидкости находим из интеграла Коши-Лагранжа, который в линейном приближении имеет вид

Р дф Р0 — = gz + - а (г) X

Р д Рг , (2)

где р 1 - плотность жидкости; г - координата точки жидкости, отсчитываемая в вертикальном направлении, g - ускорение свободного падения, (г) - ускорение горизонтального сейсма.

Обозначим смоченную поверхность оболочки через а свободную поверхность Пусть декартова система координат Охуг связана с оболочкой; свободная поверхность жидкости 5"0 в состоянии покоя совпадает с плоскостью х0у. Считаем, что резервуар с жидкостью подвергается динамическому воздействию. На смоченной поверхности упругой оболочки требуем выполнения условия непротекания, на свободной поверхности задаем динамическое и кинематическое граничные условия. Динамическим граничным условием является равенство давления жидкости на свободной поверхности атмосферному давлению, а кинематическое условие заключается в требовании принадлежности свободной поверхности во все время движения тех частиц жидкости, которые первоначально находились на ней.

Таким образом, получаем следующую краевую задачу

ьи + Ми + р/ф + ,§г + а5(/)х = 2

для определения неизвестных функций и и ф.

Анализ публикаций по теме исследования. Оценка сейсмического воздействия при проектировании резервуаров для хранения различных жидкостей - сложная инженерная проблема, которой посвящено большое количество публикаций [1-7]. В настоящее время для сейсмического анализа и проектирования резервуаров, как правило, используются методы, основанные на многокомпонентной пружинно-массовой аналогии Хауснера. Этот подход позволяет рассмотреть сложное динамическое поведение резервуара и его содержимого в упрощенной форме. для проведения исследования прочности и устойчивости резервуаров при импульсных и сейсмических нагрузках принимаются упрощенные гипотезы. Предполагается, например, что жидкость состоит из двух частей: движущейся вместе с емкостью как жесткое целое и части, движущейся со своей собственной частотой. Определение границ этих частей жидкости производится эмпирически. Не учитывается также упругость стенок резервуара. Отсутствуют работы, в которых бы учитывалась геометрическая нелинейность материала и нелинейный характер поведения жидкости. Даже в стандарте БиЯОСОББ 8 [8] принимается аналогичная упрощенная схема расчета сейсмического отклика. Нами предложен подход, основанный на использовании метода граничных элементов, для решения задачи о собственных колебаниях упругих оболочек вращения, заполненных жидкостью, и для решения задачи о собственных колебаниях жидкости в жестких резервуарах. Этот подход имеет определенные преимущества. В разрешающих уравнениях функции и их производные определяются только на границах области, что позволяет существенно уменьшать размерность систем уравнений. Этот метод дает также качественно новые возможности в моделировании связанной динамической задачи, именно он и будет применен в данном исследовании.

Цель статьи. Целью данного исследования является разработка метода расчета частот и форм колебаний упругих оболочек, содержащих жидкость. Метод основан на применении теории потенциала, что привело к необходимости численного решения систем сингулярных уравнений.

Метод решения динамической задачи для оболочки, частично заполненной жидкостью.

Будем искать собственные формы колебаний оболочки в жидкости в следующем виде

т

{/(х,у,г,г)=Хск(г)ик(х,у,г) (3)

к=1

где функции и к (х, у, 2) - собственные формы колебаний оболочки в вакууме, Ск (г) - неизвестные коэффициенты. Потенциал скоростей ф представим в виде суммы двух потенциалов ф = ф + ф . Для определения ф! сформулируем следующую краевую задачу:

У2ф1 = 0, ^ = ^, м е 5, ^ = 0, м е 5. (4)

дп дг дг

Здесь w( х, у, 2, г ( X, у, г ) ск (г ) , функции (х, у, 2) - н°рмальные компоненты

к=1

собственных форм колебаний пустой оболочки.

Отметим, что из соотношения (3) и второго из уравнений (4) следует, что

т

фАз^О = £ Ф^ О, .у, г) ¿ДО

к=1

Для определения функций ф!к имеем т краевых задач, аналогичных (4): Потенциал ф2 ищем в виде

п

Ф2 (х, у, 2, г) = ^ ёк (г)ф2 к (х, у, 2) к=1

где функции ф2к - собственные формы колебаний жидкости в жестком сосуде.

Для определения потенциала ф2 сначала рассмотрим вспомогательную задачу о колебаниях жидкости в жестком сосуде с учетом силы гравитации. Такая задача описывается следующими уравнениями

У2Ц> = 0, £^ = 0, Ме^.- = 4, Ф + ^ = Ме5,

дп дп

Последнее уравнение здесь представляет собой динамическое условие (равенство давления атмосферному) на свободной поверхности. Дифференцируя это уравнение по / и учитывая третье соотношение, получим

ЯШ

^Р+е-= 0 ,Мео„- (5)

о /-ч ? и

дп

Рассмотрим задачу (5) как проблему собственных значений и будем искать ее решение в виде

¥(х, у, 2,г) = е,к у( X, у, 2) • Для функции у/имеем следующую задачу о гармонических колебаниях жидкости в жестком сосуде:

У> = 0, ду = 0, м е 5, ^ = , м еа0.

дп дп g

Решая эту задачу, получим ряд собственных значений кк и соответствующих им собственных функций, которые обозначим ф2к. Далее, после решения этой вспомогательной задачи ищем потенциал ф2 в виде

п

Ф2 (х, у, 2, г) = £ йк (0 Ф2А (х, у, 2) ■

к=1

Окончательно, приходим к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных коэффициентов ск (г), к = 1,...,т, ёк (г), к = 1,...,п ■

с ■ (*) + (*) + рг X ск U>lk^WJ ) +

к=\ 4 ' (6)

+Р/

£ 4 (ф2г,'^ ) + Я (г,') + а, {t)(x,wJ) = (б, и}), у = 1, т

7=1

(Ф2г,Ф21)к=1 у дп )

Поскольку предполагается, что в начальный момент времени (например, до начала землетрясения) система «оболочка-жидкость» покоилась, то принимаются нулевые начальные условия

с*(0) = 4(0) = 0, к = \,...,т; 4(0) = ^(0) = 0, к = \,...,п. (7) Таким образом, схема решения связанной динамической задачи для оболочки вращения, частично заполненной жидкостью, состоит из следующих этапов. Каждый из них представляет собой самостоятельный интерес.

1. Определение частот и форм свободных колебаний оболочки в вакууме методом конечных элементов.

2. Определение частот и форм колебаний жидкости в жесткой оболочке под действием силы тяжести с использованием метода граничных элементов.

3. Определение частот и форм колебаний упругой оболочки без учета действия силы тяжести с использованием метода граничных элементов.

4. Решение системы дифференциальных уравнений второго порядка с использованием метода Рунге-Кутта 4го и 5го порядка.

Задачи определения частных потенциалов сводятся к решению систем сингулярных интегральных уравнений.

Опишем решение смешанной задачи для уравнения Лапласа (4).

Будем искать гармоническую функцию ф в виде суммы потенциалов простого и двойного слоев, т. е. используем прямую формулировку метода граничных интегральных уравнений.

^¿П|Р - Ро| - Ро|

Здесь предполагается, что £ = и 50; точки Р и Р0 принадлежат поверхности 5". (поэтому перед ф множитель 2 л, а не 4 л).

Величина I Р - Р0 I представляет собой декартово расстояние между точками Р и Р0. Для смешанной задачи (4) представление (8) приводит к следующей системе сингулярных интегральных уравнений:

А

~дп\Р - Ро| 1 \Р - Ро| 0 \Р - Ро|

Бо (9)

я^р-Ро^-Я"Р-РО^Ро е Бо

относительно неизвестных функций ф и д.

Поскольку 51 - оболочка вращения, то функцию V представляют в виде

м = w{r, z )ео8а0 (10)

где (г, z,9) - цилиндрические координаты, а - заданное целое число (количество узловых диаметров). Будем искать решение системы интегральных уравнений (4.2) в виде ф = ф(г, z)ео8а9; q = q(г, z)ео8а9 .

С учетом полученных формул устанавливаем, что система (9) принимает вид

Я

2лф^о)+ -ф^)^,zо)г(z)йГ--q(pMP,Ро)рйр = ->Р(Р,Ро)г^1;Ро е Б Г о Г

Я

/ЖУо^, zо)г-q(p)^(P,Ро)рйр = -w(z)^(Р,Ро)г^^1; Ро е % (11) Г о Г

Здесь

2лф(РоН^дП^^1 -Я"¡Р-Р!^1'; РоеБ1

б(z, zо)= 4

л/а + Ь

1

2г

2 ^ ,(Z0 - Z)2 Еа(к)-Ра (к)

г - ^ + ип - z

а - Ь

£9-£

а - Ь

Еа(к )п

; Ро )=т^т Ра(к).

л/а + Ь

Для численного решения системы (11) использован метод граничных элементов с постоянной аппроксимацией плотности на элементе. Элементы в данном случае - это участки образующей. На не особых элементах используются стандартные квадратурные формулы Гаусса, на особых применяются аналитические формулы для вычисления интегралов с логарифмической особенностью.

В качестве примера рассматривается полусферическая оболочка, заполненная жидкостью при различных уровнях Н (рис. 1). Параметры оболочки изменены по сравнению с приведенными выше: радиус ^=2.54 м, толщина й=0.0254 м, модуль упругости £=10 ГПа (0.1-1011 Па), коэффициент Пуассона у=0.3, плотность материала р=2770 кг/м3. Плотность жидкости - 1000 кг/м3. Условия закрепления -шарнирное опирание по контуру оболочки.

На основе численного решения системы сингулярных уравнений и проблемы собственных значений построены графики изменения низшей собственной частоты, которые показаны на рис. 2.

Выводы и перспективы дальнейших исследований. Разработан метод решения задачи определения частот и форм колебаний оболочки вращения, частично заполненной жидкостью. Метод позволяет изучать также импульсные и сейсмические воздействия на резервуар с жидкостью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kubenko V.D., Koval'chuk P.S. Nonlinear problems of the dynamics of elastic shells partially filled with a liquid // International Journal of Applied Mechanics. - 2000. - 36(4). - pp. 421-448.

2. Amabili M., Paidoussis M. P. Review of studies on geometrically nonlinear vibrations and dynamics of circular cylindrical shells and panels, with and without fluid-structure interaction // Applied Mechanics Review. -2003. - 56(4). - pp. 349-381.

3. Kumar V., Ganesan, N. Dynamic analysis of conical shells conveying fluid // Journal of Sound and Vibration. - 2008. - 310(1-2). - pp. 38-57.

4. Malhotra P. K. New method for seismic isolation of liquid-storage tanks // Journal of Earthquake Engineering and Structural Dynamics. - 1997. -26(8). - pp. 839-847.

5. Sanchez-Sanchez H., Cortes S.C., Dominguez A.M. Structural behaviour of liquid filled storage tanks of large capacity placed in seismic zones of high risk in Mexico // Proc. of 13th World Conference on Earthquake Engineering. - Vancouver, B.C., Canada. - 2004. - Paper № 2665.

6. Sanchez-Sanchez H., Cortes S.C. Seismic response of cylindrical tanks for oil // Proc. of 14th World Conference on Earthquake Engineering. - China, 2008.

7. Jhung M.J., Jo J.C., Jeong S.J. Impact analysis of a water storage tank // Nuclear Engineering and Technology. - 2006. - Vol. 38, № 7.

8. EUROCODE 8. Design provisions of earthquake resistance of structures, Part 4., Silos, tanks and pipeline. European Committee for Standartization, Brussels, 1998, 220 p.

ОГОРОДНИК Ульяна Евгеньевна - аспирант Института проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины. Научные интересы:

- методы численного анализа прочности конструкций, численные методы решения интегральных уравнений, механика разрушения.

СТРЕЛЬНИКОВА Елена Александровна - доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Института проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины. Круг научных интересов:

- сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения, гидроупругость, метод дискретных особенностей

Z

Рис. 1.Полусферическая оболочка

20 -1-1-1-1-1

У 0.0 0 2 0 4 0 6 0.8 H/R

Рис.2. Влияние уровня заполнения на частоты

ШУВАЛОВА Юлия Сергеевна - доцент Украинской государственной железнодорожной академии.

Круг научных интересов:

- численные методы решения интегральных уравнений в задачах динамики пластин и оболочек, методы компьютерного моделирования, методика преподавания фундаментальных дисциплин в высшей школе.