Метод интегральных уравнений в задаче о свободных колебаниях пластин в сжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.595

Г.А. Шелудько, Т.В. Емельянов, О.В. Науменко, Е.А. Стрельникова

МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧЕ О СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ПЛАСТИН В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Постановка проблеми. Исследование динамического взаимодействия упругих конструкций с жидкостью представляет достаточно сложную проблему, решению которой посвящена обширная литература [1-5]. В работах [4], [5] предложен подход, основанный на использовании метода граничных интегральных уравнений, для решения задачи о собственных колебаниях оболочек вращения, частично заполненных жидкостью. В настоящей работе этот подход развит применительно к изучению деформированного состояния пластин, совершающих колебания в сжимаемой жидкости.

Постановка задачи. Рассмотрим тонкую упругую шарнирно-опертую пластинку. Предположим, что жидкость идеальная, сжимаемая, а ее течение, индуцированное колебаниями пластинки, является безвихревым. При этих условиях существует потенциал скоростей ф(х,у,г,1), удовлетворяющий следующему волновому уравнению

1 а 2ф

"I

^Ф-тт-г = o, С1)

е, оХ

где е - скорость звука в жидкости.

Уравнение колебаний пластинки в жидкости запишем в векторном виде

ш + ми = р, (2)

где Ь, М - операторы упругих и массовых сил; и = (и, V, н) - вектор-функция перемещений срединной поверхности пластинки, Р = ( 0,0, р) - перепад давления

жидкости на пластинку.

Приходим к следующей краевой задаче относительно неизвестных перемещения н и потенциала скоростей ф:

ьи+ми = ^0,0,—р, (ф+ -Ф )), (3)

Оф

е2 ох2

у2ф--Г!т? = ^ (4)

= (5)

дп

§гаёф|а, = 0. (6)

Здесь н - нормальная составляющая перемещений пластинки, £ - поверхность пластинки, рI - плотность жидкости.

Разложение по собственным формам. Будем искать решение задачи (3)-(6) в виде разложения по собственным формам щ (х, у, г) колебаний пластинки в вакууме

т

и(х у, z, X) = £ ик (x, y, г) ек (Х) , (7)

к=1

где ск (V) - неизвестные коэффициенты. Отметим, что для собственных векторов справедливы следующие соотношения [4]:

Ьык = Иык, (Иык, ы}) = , (8)

где Шк - к-я частота собственных колебаний оболочки в вакууме. Из условия (5) следует, что

т

ф (х,у,г,Г) = ^к(х,у,г)скЦ). (9)

к=1

Рассмотрим задачу о малых гармонических колебаниях упругой пластинки. Представим вектор и в форме и = ив10, где О - частота, а и - собственная форма колебаний рассматриваемой пластинки в жидкости. Тогда для определения функций

фД к = 1, т) можно сформулировать следующие краевые задачи:

У2фк + Офк = 0, ^ = ^ , Р е 5, (10)

С дп

Решение краевых задач для уравнения Гельгольца (10) осуществляется методом граничных интегральных уравнений с использованием метода граничных элементов в

его численной реализации [6]. После определения ф^. ( к = 1, т ) подставляем выражения (7), (9) в уравнение (3)

[т \ { т Л т

1>А \ + М\ £скик к=1 ) ) к=1

Умножая последнее уравнение скалярно на и и учитывая свойства (8), приходим к системе дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных коэффициентов ск

к=1

В случае гармонических колебаний получим матричное уравнение

(ш + О2Е)с = -О2рНе, (12)

где ш - диагональная матрица, на диагонали которой находятся квадраты собственных частот колебаний пластины в вакууме, Е - единичная матрица, Н - матрица присоединенных масс.

Придадим уравнению (12) вид

ш(Е + рО2Н)-1 с = О2с .

Тогда нахождение собственных значений сводится к вычислению корней определителя

ш

(Е + рО2Н-О2Е

= о. (13)

Вычисление матрицы присоединенных масс. Для решения краевой задачи (10) применим метод интегральных уравнений. Будем искать решение этой задачи в виде потенциала двойного слоя:

<Р - >=•<Р >1;

соб (О2 \Р - Р0| / с2»"

Р-Р01

аз.

(14)

по поверхности пластинки.

Потенциал (14) удовлетворяет первому из уравнений в (10), исчезает на бесконечности, а удовлетворение граничному условию приводит к гиперсингулярному уравнению вида

ру =

_д_ 4л дпп

Цу •( р >1

соб (о 2 |Р - Р0| / с2 »

Р-Р

аз = щк р».

(15)

Для решения гиперсингулярного интегрального уравнения (15) применим проекционный метод [7]. Для шарнирно-опертой пластинки собственными формами будут

= бш — бш^ , к = к (/,7», к (1,1» = 1, к (1,2» = 2, к (2,1» = 3, к (2,2» = 4. (16)

а Ь

Частоты колебаний пластинки в вакууме вычисляются по формуле

=

Е

И2Т1

(1 »Р, 12

2^/2 72 У —ъ —

2 г.2

ч а Ь J

где Е - модуль упругости, а, Ь - размеры пластинки, к - толщина пластинки, р, -плотность материала пластинки.

При применении проекционного метода для решения уравнения (15) используем разложение неизвестной плотности потенциала в ряд по функциям (16)

п

у к (Р »=Е СЩ (Р».

¿=1

Это приводит к следующей системе алгебраических уравнений относительно С'к

п _

Е Ск (0™. , Щ »=( Щк , Щ » , 7 = 1 П .

¿=1

Матрица, обратная к (рЩ, Щ», представляет собой матрицу присоединенных

масс Н, фигурирующую в соотношении (13).

Определение собственных частот. Собственные частоты определяются из уравнения (13) с помощью гибридного адаптивного метода, описанного в [8,9]. Применяется следующая формула для приближения корня характеристического уравнения (13):

О , = -

2

А + С -

2 (/с - / » Авса (О, - А»

где

А АВС = 2 (А ав -А АС » / (В - А» , А АВ =( /В - /А » / (В - А»

Здесь

/ = /(О) = ёа ш(Е + рО2Н(О2))-1

-О2 Е

представляет собой трансцендентную функцию, определяемую формулой (13).

Численный анализ свободных колебаний прямоугольной шарнирно-опертой пластинки. Рассматривалась прямоугольная шарнирно-опертая пластинка размерами а = 1м; Ь = 1м, толщиной к = 0.1м.

Модуль упругости и коэффициент Пуассона соответственно равны Е = 2.1х106н/м2; V = 0.3. Плотности материала пластинки и жидкости равны рр = 7900 кг/м3; р; =1000 кг/м , скорость звука в жидкости сг =1500м./сек.

На рис. 1 показаны четыре собственные формы колебаний пластинки.

Рис. 1. Собственные формы колебаний пластинки. В табл.1 приведены соответствующие частоты колебаний в вакууме и жидкости.

Таблица 1.

Частоты колебаний шарнирно-опертой пластинки

Номер частоты В вакууме Без учета сжимаемости С учетом сжимаемости

к(1,1)=1 94.848 78.319 78.398

К(1.2)=2 213.408 189.719 189.798

К(2,1)=3 213.408 189.719 189.798

К(2,2)=4 379.392 346.005 346.129

Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что влияние сжимаемости несущественно на низших частотах. Для рассмотренных форм частоты колебаний в жидкости приблизительно на 20% меньше соответствующих частот в вакууме.

Выводы. Разработан метод определения собственных частот и форм колебаний пластин в сжимаемой жидкости. Метод основан на применении сингулярных интегральных уравнений для определения давления жидкости на пластину. Собственные частоты определяются как корни трансцендентного уравнения, для решения которого применен гибридный адаптивный метод. Изучено влияние сжимаемости на частоты колебаний.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Белоцерковский С.М. Исследование на ЭВМ аэродинамических и аэроупругих характеристик винтов вертолетов / С.М. Белоцерковский, Б.Е. Локтев, М.И. Ништ. - М.: Машиностроение, 1992. - 220 с.

2. Kubenko V.D. Nonlinear problems of the dynamics of elastic shells partially filled with a liquid / V.D. Kubenko, P.S. Koval'chuk // Intern. Appl. Mech. - 2000. -36, N.4. - P. 421-448

3. Kumar, V. Dynamic analysis of conical shells conveying fluid / V. Kumar, N. Ganesan // Journal of Sound and Vibration. - 2008. - Vol. 310. - I. 1-2. - Р. 38-57.

4. Еселева Е.В. Собственные колебания сосудов высокого давления при взаимодействии с жидкостью / Е.В. Еселева, В.И. Гнитько, Е.А. Стрельникова // Пробл. машиностроения - 2006. - № 1. - С. 105-118.

5. Ventsel E. S. Free vibrations of shells of revolution filled with a fluid / E. S. Ventsel, V. Naumenko, E. Yeseleva, E. Strelnikova // Engineering analysis with boundary elements. - 2010. - №34. - Р. 856-862.

6. Бреббия К. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел. -М.: Мир, 1987. - 524 с.

7. Кантор Б.Я. Гиперсингулярные интегральные уравнения в задачах механики сплошной среды / Б.Я. Кантор, Е.А. Стрельникова. - Харьков: Новое слово, 2005. - 252 с.

8. Шелудько Г.А. Гибридизация вычислительных процессов. Т. 1. / Г.А. Шелудько, Е.А. Стрельникова. - Харьков: Новое слово, 2006. - 212 с.

9. Шелудько Г.А. Гибридизация вычислительных процессов. Т. 2. / Г.А. Шелудько, Е.А. Стрельникова. - Харьков: Новое слово, 2007. - 182 с.

ШЕЛУДЬКО Гелий Артемович - научный сотрудник Института проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины. Научные интересы:

- методы оптимального проектирования конструкций, гибридные и адаптивные поисковые методы оптимизации, численные методы алгебры и анализа.

ЕМЕЛЬЯНОВ Тимофей - студент Харьковского национального политехнического университета «ХПИ». Научные интересы:

- гидроупругость, численные методы механики сплошной среды, компьютерное моделирование.

НАУМЕНКО Ольга Васильевна - к.ф.-м.н., доцент кафедры физики Харьковского национального аэрокосмического университета «ХАИ». Научные интересы:

- применение сингулярных интегральных уравнений в механике сплошной среды, методика преподавания фундаментальных дисциплин в высшей школе.

СТРЕЛЬНИКОВА Елена Александровна - д.т.н., ведущий научный сотрудник Института проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины. Научные интересы:

- сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения, гидроупругость, метод граничных элементов, метод дискретных особенностей, оптимальное проектирование конструкций..