Модели информационных K-каналов с памятью Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАТИКА

УДК 519.711.3

МОДЕЛИ ИНФОРМАЦИОННЫХ К-КАНАЛОВ С ПАМЯТЬЮ

А. А. Львов1, М. С. Светлов2, Ю. А. Ульянина3

1 Доктор технических наук, профессор кафедры информационных систем и технологий, Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А., [email protected]

2Доктор технических наук, ведущий научный сотрудник, Институт проблем точной механики и управления РАН, Саратов, [email protected] 3Аспирантка кафедры информационных систем и технологий, Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А., [email protected]

Исследование недвоичных (К-ичных, К ^ 3) информационных каналов (ИК) с памятью как сложных стохастических структур — математически достаточно сложная задача. Существенный интерес представляет синтез упрощенных математических моделей таких каналов, позволяющих относительно просто выявить важнейшие закономерности протекающих в них реальных процессов. Моделирование К-ичных ИК (К-каналов) с памятью — актуальная задача, решение которой имеет как теоретическое, так и явно выраженное практическое значение. В работе рассмотрены модели дискретных К-каналов с памятью, построены их графы переходных вероятностей для различных режимов работы, оценены вероятности исходов приема символов используемого канального алфавита.

Ключевые слова: К-канал, математическая модель, переходная вероятность, безусловная вероятность.

ВВЕДЕНИЕ

Синтез и исследование многофункциональных цифровых систем передачи информации (ЦСПИ) требуют математического моделирования наиболее ответственной части этих систем - информационного канала (ИК). Анализ ИК современных систем показал, что наибольший интерес при их описании представляют модели цифровых каналов с памятью. Простейшие модели таких каналов подробно рассмотрены в работах [1—3]. Особый интерес представляют модели цифровых ИК со стираниями [4—6]. Рассматриваемые в большинстве работ модели не позволяют в полной мере адекватно оценить влияние искажений в ИК на процессы передачи-приема символов канального алфавита. Целью настоящей работы является обсуждение принципов синтеза наиболее важных с теоретической и практической точек зрения вариантов математических моделей К-каналов на базе модели Маркова.

1. МОДЕЛЬ НЕСИММЕТРИЧНОГО К -КАНАЛА ОБЩЕГО ТИПА

Наиболее общий вариант модели ИК — модель несимметричного К-канала, в котором помехи или, в общем случае, любые искажения передаваемого сигнала приводят к ошибкам произвольного типа — трансформации и (или) стирания. В таком канале возможно возникновение взаимных ошибок трансформации символов г, ? канального

алфавита (г, ] = 0,1, 2,..., К — 1; г — ]) с вероятностями р^ и ошибок стирания с вероятностями рго., приводящих к переходу канальных символов г в символы стирания жг, отсутствующие во входном канальном алфавите. При синтезе моделей использована ранее предложенная авторами кодовая метрика [7], в соответствии с аксиомами которой переход ненулевых (токовых) символов канального алфавита друг в друга или в «чужие» символы стирания обусловлен двукратными ошибками в отличие от трансформаций и стираний с участием нулевых символов, соответствующих однократным ошибкам. Поэтому считается, что в последовательном синхронном канальном интерфейсе в каждом такте синхронизации в канале может возникнуть лишь однократная ошибка, искажающая один символьный разряд передаваемого кодового слова. Другими словами, не возможны однотактные трансформации токовых символов друг в друга и стирания алфавитных символов в «чужие» символы стирания.

Матрица Ро.нс переходных вероятностей такой модели имеет вид

Ро нс -

Ч0

Я0

«00

От •

«о

Я

Щ #

я]0

0о; 3

р0] Роз

Р0з

р0з

0т ;

Р0/

р00 р0

р00

„¿0 р30 0о;

Р°тг

р0о3

р0о3

р0г

р0о3

р0о3

р0о3

Р0

рт,- 0

Р

3тз 0г

рг0 ро3 0 р0о; Р3т3-

' ' р0/ р30г р0тг.,- р

(1)

В матрице (1) обозначено: , я0 (я0, Я]) — условные вероятности правильного приема (1 + 1)-го нулевого и токового символов соответственно при правильном приеме 1-го нулевого (токового) символа; д0г, д^, (я0°, Я]0) — условные вероятности правильного приема (1 + 1)-го нулевого и токового символов соответственно при трансформации 1-го нулевого (токового) символа; р03-, р00 (р03, р30) — условные вероятности трансформации (1 + 1)-го нулевого и токового символов соответственно при правильном приеме 1-го нулевого (токового) символа; р0], р00 (р00, р^) — условные вероятности трансформации (1 + 1)-го нулевого и токового символов соответственно если 1-й нулевой (токового) символ трансформирован; , (^0°, 3) — условные вероятности правильного приема (1 + 1)-го нулевого и токового символов соответственно при стирании 1-го нулевого (токового) символа; р0°;, р00; (р0т, р^) — условные вероятности трансформации (1 + 1)-го нулевого и токового символов соответственно при стирании 1-го нулевого (токового) символа; р^., р0з.0 (р0Тз., р^.) — условные вероятности стирания (1 + 1)-го символа при правильном приеме 1-го нулевого (токового) символа; р0т^., р0Т3. (р0Т.,-, Р000) — условные вероятности стирания (1+1)-го символа при трансформации 1-го нулевого (токового) символа; р0Т], р00; (РсТг^-, РзТ) — условные вероятности стирания (1 + 1)-го символа при стирании 1-го нулевого (токового) символа.

Следует заметить, что значения последующих символов, в общем случае, не зависят от значений предыдущих символов на входе канала, поэтому для 1-х и (1 + 1)-х символов выполнение условия г — ] не обязательно.

Граф переходных вероятностей, соответствующий матрице (1), приведен на рис. 1.

Уравнение математической модели:

Р (10)

К-1

Я0 ( Я0 + Я]0 + £ (р00 + + Р00 + РТ3- 0 ) +

/ К-1 \

+ Е (+ ^ + Е (р00 + р0т^ + Р00 + 1 +

/ К-1

I 0т; 0о; , ^^ ^ 0о; . 0тА I 0о; . 0о;

+Р0о; Я0 1 + Я] ' + (^О* + Р0т;у) + Р]0г + Р^о:;

К-1

+Р (1г)

] = 1 К-1

Яг

я0 + я] + ^ (р5-0 + р0о^ + Р]0+рк- +

]=1 К-1

К-1 , / К-1 \

+ Е (Рг0 Я00 + Я]0 + £ (р?0 + Р^) + Р?0 + Р0гЛ +

0

У

]

(К-1

гх* , гх* , \ л /„гх* , „гх* \ , „гх* , „гх* | \

+ } + } + Рох;; + р^о + р,*; I)

= 1.

(2)

В уравнении (2) Р(10) и Р(1г) — вероятности поступления на вход канала 1-го нулевого и токовых символов канального алфавита соответственно.

Рис. 1. Граф переходных вероятностей модели несимметричного К-канала общего вида: 1 — 2 — д°°; 3 — 4 — д°; 5 — С*; б — д°°; 7 — ; 5 — д°°-; 9 — д°]; 10 — д°]; 11 — д°°° 12 — д°°; 13 — д°; 14 — д]°; 15 — ; 16 — д]; 17 — д°°; 15 — д^; 19 — д°°; 20 — д]°; 21 — д '

д? °

22 — д]°; 23 — ^; 24 — ; 25 — д°°°;; 26 — дё°; 27 — д°%; 25 — д5°.; 29 — д°°;; 30 — д^;;

31 — д; 32 — д] ; 33 — д°°;; 34 — д]°.; 35 — д°°; 36 —

] °;

Граф на рис.1 и уравнение (2) в совокупности представляют собой математическую модель марковского несимметричного К-канала с ошибками трансформации и стирания.

Условные вероятности «0(1 + 1/1), (I + 1/1) правильного приема, р0}(I + 1/1), р}0(1 + 1/1) трансформации и р0х. (I + 1/1), р}-х. (I + 1/1) стирания (I + 1)-х нулевого и единичного символов соответственно запишутся в виде

к-1

«0 (I + 1/1) = «0«° + Е (Р0г«0° + Р0х* «о *) + Рг0«0° + «г«0 + Ргх* «0 *,

г=1 К-1

(I + 1/1) = «0+ Е (Р0г} + Р0х* «?х0 + Рг0+ «г+ Ргх* } ,

г=1

К-1

Р05 (1 + 1/1) = «0Р(} + Е (Р0гР°!} + Р0х*Р0х0 + Рг0Р0] + ^0} + Ргх*р0}, г=1

К-1

Р}0 (1 + 1/1) = «0Р°0 + Е (Р0гР°0 + Р0х*Р°Ох0 + Рг0Р°0 + «гР^ю + Ргх*р}0 ,

г=1 К-1

Р0х; (1 + 1/1) = «0Р0х; + Е (Р0гР0х; + Р0х*Р0х; ) + Рг0Р(]х; + ФР0х; + Ргх*р0:х'

г=1

к-1 / \

Р}х; (1 + 1/1) = «0Рх;0 + Е (Р0гР0х; + Р0х*Р0О; ) + Рг0Р0х; + «гР}х; + Ргх*рД

г=1 ^ '

(3)

Система (3) позволяет определить значения безусловных вероятностей Я] правильного приема, р0], Р,70 трансформации и р0тз., р^. стирания для нулевого и токовых символов соответственно.

2. МОДЕЛЬ СИММЕТРИЧНОГО К-КАНАЛА ОБЩЕГО ТИПА

Представленная выше модель не проста для практической реализации, поэтому предпочтительнее использовать модели симметричных ИК, соответствующие ЦСПИ с искусственным симметрированием за счет особого построения первой решающей схемы приемных устройств систем. В этом случае будут выполняться соотношения:

Яг = Я

40 = ^0, Я? = Я0,

яг = Ят,

р0о; рго; pо,

Я0' = q0О = я0р, Я0' = З^0 = ^, 50 ; = 50 ; = 3°,

q°0i = Яг01 = яО,

]

000 р0] = ^70 = ртр,

р0] = ^ю = ртр,

¿°; _ ¿°; _ о

р0] = р]0 = ртр, р0 — р0 — р0

"0° 3 0 "о'

р0о3 = р]

р0г = рг0 = р0,

0г 0г г0 г0

p0j = р70 = Л] = р70,

0г 0г г0 г0 р0°3 = р] о 3 = р0°3 = ро3 0,

р0о; _ р0°; _ р'о» _ рг°;

р0о3 ^о, р0о3 ^о, ,

(4)

где Я0, я, р0, р° — вероятности правильного приема нулевого, токового, трансформации, стирания (1 + 1)-го символа при правильном приеме нулевого, правильном приеме токового, трансформации, стирании 1-го символа; , ^0, (я0, Ятр, , р0р, р?р, р?р, р?р, р°, р°, р?, р°) — условные вероятности правильного приема нулевого (правильного приема токового, трансформации, стирания) (1 + 1)-го символа соответственно при правильном приеме нулевого, правильном приеме токового, трансформации, стирании 1-го символа.

Тогда матрица Ро.нс переходных вероятностей (1) преобразуется к виду матрицы Ро.с:

р!. с -

'Я00

тр

Я0

Я

тр

Ят

яО

р°

рт0р т

ртр тр тр

ртр ро

Р° р°

тр .^о .

(5)

Граф переходных вероятностей для модели (5) симметричного ИК с ошибками трансформации и стирания представлен на рис. 2.

Рис. 2. Граф переходных вероятностей модели симметричного К-канала общего вида По аналогии с (2) уравнение математической модели запишется в виде

я0 + Ят0 + К (рт0р + р°^ + я ^0 + ятт + к (ртр + +

+ро (+ Зттр + к (рр + рХр)) + дХ + дтХ + К (р* + рХ)

= 1.

(6)

Граф на рис. 2 и обобщенное соотношение (6) в совокупности представляют собой математическую модель марковского симметричного ИК с ошибками трансформации и стирания.

По аналогии с предыдущим вариантом модели условные вероятности до(1+1/1), д(1+1/1), ро(1+1/1), рХ(1 + 1/1) правильного приема нулевого, токового, трансформации, стирания соответственно для (1 + 1)-го символа запишутся в виде

до(1 +1/1) = дод° + дд5 + К (род0р + РхяХ), Ят (1 + 1/1) = додт0 + ддтт + к (родттр + Мх),

ро(1 + 1/1) = дорор + др^р + к (рор^р + р х р?р) ,

р? (1 +1/1) = дорХ + дрХ + к (рор? + р?рХ).

(7)

Решая систему уравнений (7), можно получить формулы для определения безусловных вероятностей д0, д, р0, р .

Следует заметить, что в уравнении (6) не учитываются априорные вероятности Р(1о) и Р(1т) появления на входе канала 1-х нулевых и токовых символов соответственно, так как для симметричных К-каналов эти вероятности практически всегда считаются одинаковыми, если рабочее кодовое множество является полным: Р(10) = Р(1т) = Р(1) = 1/к.

3. МОДЕЛЬ СИММЕТРИЧНОГО К-КАНАЛА С ОШИБКАМИ ТРАНСФОРМАЦИИ

Особый интерес представляют частные случаи модели симметричного К-канала с ошибками произвольного типа. Матрица Рт переходных вероятностей модели симметричного К-канала с ошибками трансформации (без стираний) запишется в виде

Рт =

д00т

д0т

тр д0

дтт дтт

тр дт

ртр рттр

тр ртр

Граф переходных вероятностей модели (8) представлен на рис. 3.

(8)

Рис. 3. Граф переходных вероятностей модели симметричного К-канала с ошибками трансформации

Уравнение математической модели:

до (д° + д° + Крт0р) + д (ят + дтт + Кр^р) + +ро (д? + дттр + Кр^) = 1.

(9)

Граф на рис. 3 и обобщенное соотношение (9) в совокупности представляют собой математическую модель марковского симметричного ИК с ошибками трансформации.

По аналогии с предыдущим вариантом модели условные вероятности д0(1+1/1), д(1+1/1), р0(1+1/1), рХ(1 + 1/1) правильного приема нулевого, токового, трансформации, стирания соответственно для

(I + 1)-го символа запишутся в виде

Оо (I + 1/1) = оо Оо + оОо + Кро 5(7, От (I + 1/1) = до + ффТ? + Кроф(Р, ро(1 + 1/1) = №0р + ФР(р + КрорТР.

(10)

Решая систему уравнений (10), можно получить формулы для определения безусловных вероятностей до, о, ро.

4. МОДЕЛЬ СИММЕТРИЧНОГО К -КАНАЛА С ОШИБКАМИ СТИРАНИЯ

Матрица Рс переходных вероятностей модели симметричного К-канала с ошибками стирания (без трансформаций) запишется в виде:

Рс =

Оо Оо Ох

Ото р°х

от

рХ

отх рХ

(11)

Граф переходных вероятностей модели (11) представлен на рис. 4.

Рис. 4. Граф переходных вероятностей модели симметричного К-канала с

ошибками стирания

Уравнение математической модели:

Оо (о£ + ОС + КрХ) + О (от + Отт + КрХ) + ро (о°р + Оттр + КрХр) = 1.

(12)

Граф на рис. 4 и уравнение (12) в совокупности представляют собой математическую модель марковского симметричного ИК с ошибками стирания.

По аналогии с предыдущим вариантом модели условные вероятности Оо(1+1 /I), о(1+1/1), ро(1+1/1), рх(I + 1/1) правильного приема нулевого, токового, трансформации, стирания соответственно для (I + 1)-го символа запишутся в виде

Оо(1 + 1/1) = Оо Оо + ОО° + Крх оХ, Ох(1 + 1/1) = Оо оХо + ОО° + KPxОx,

рх (I +1/1) = оо рХ + орХ + Крх рХ.

(13)

Решая систему уравнений (13), можно получить формулы для определения безусловных вероятностей оо, О, рх.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Синтезированные на базе простой модели Маркова варианты математических моделей несимметричных и симметричных информационных К-каналов с ошибками произвольного типа дают возможность более адекватного оценивания процессов передачи - приема информации в современных ответственных ЦСПИ. Как показали результаты проведенного моделирования, при синтезе систем,

работающих в условиях действия помех большой интенсивности, когда гс.п. = /с.п.//р.к. ^ 1 (гс.п., /с.п., /р.к. — средние значения интенсивности, частоты случайной импульсной помехи, частоты формирования рабочих кодовых слов в канале соответственно), вызывающих как ошибки трансформации, так и стирания, может быть обеспечена достоверность приема информации, превышающая минимально на порядок аналогичные показатели при использовании традиционных вариантов моделей ИК с памятью.

Библиографический список

1. Pimentel C., Blake F. Modeling Burst Channels Using Partitioned Fritchman's Markov Models // IEEE Transactions on Vehicular Technology. 1998. № 47. P. 885-899.

2. Васильев К. К. Математическое моделирование систем связи. Ульяновск : УлГТУ, 2008. 170 с.

3. Теория электрической связи : учеб. пособие для вузов / К. К. Васильев [и др.]. Ульяновск : УлГТУ, 2008. 452 с.

4. Гладких А. А. Основы теории мягкого декодирования избыточных кодов в стирающем канале связи. Ульяновск : УлГТУ, 2010. 380 с.

5. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники : в 3 т. Т. 1. М. : Сов. радио, 1974. 552 с.

6. Финк Л. М. Теория передачи дискретных сообщений. М. : Сов. радио, 1970. 728 с.

7. L'vov A. A., Svetlov M. S., Ulyanina Yu. A. Analysis of pseudo-random sequences in the non-binary communication channels // Naukowa mysl informacyjnej powieki-2014. Techniczne nauki : Materialy X Miedzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji. Polska, Przemysl, 2014. P. 37-41.

Models of Information /-Channels with Memory

A. A. L'vov1, M. S. Svetlov2, Yu. A. Ulyanina1

1 Saratov State Technical University named after Gagarin Yu. A., 77, Politechnicheskaya str., 410054, Saratov, Russia, [email protected], [email protected]

2Institute of Precision Mechanics and Control, Russian Academy of Sciences, 24, Rabochaya str., 410028, Saratov, Russia, [email protected]

Analysis of non-binary (K-ary, K ^ 3) information channels (IC) with memory as complex stochastic structures is rather complicated mathematically. Of significant interest is the synthesis of simplified mathematical models for such channels that allow clarifying relatively simply the most important regularities occurring in real processes. Modeling of IC (K-channels) with memory is a vital problem that has both theoretical and practical importance. In this paper models of discrete K-channels with memory are presented, their graphs of transition probabilities for various operating conditions built, and probabilities of outcomes of reception for symbols of the used alphabet estimated.

Keywords: K-channel, mathematical model, transition probability, unconditional probability.

References

1. Pimentel C., Blake F. Modeling Burst Channels Using Partitioned Fritchman's Markov Models. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 1998, no 47, pp. 885-899.

2. Vasiliev K. K. Matematicheskoe modelirovanie sistem sviazi [Mathematical Modeling of Communication Systems]. Ulyanovsk, Ulyanovsk State Tech. Univ. Press, 2008, 170 p. (in Russian).

3. Vasiliev K. K. Teoriia elektricheskoi sviazi [Theory of telecommunications]. Ulyanovsk, Ulyanovsk State Tech. Univ. Press, 2008, 452 p. (in Russian).

4. Gladkih A. A. Osnovy teorii miagkogo dekodirovaniia izbytochnykh kodov v stiraiushchem kanale sviazi [Fundamentals of the theory of soft decoding redundant codes in the erasure channel communication]. Ulyanovsk,

Ulyanovsk State Tech. Univ. Press, 2010, 380 p. (in Russian).

5. Levin B. R. Teoreticheskie osnovy statisticheskoi radiotekhniki [Theoretical Foundations of Statistical Radio Engineering]. Vol. 1. Moscow, Sov. Radio, 1974, 552 p. (in Russian).

6. Fink L. M. Teoriia peredachi diskretnykh soobshchenii [Theory of discrete message transmission]. Moscow, Sov. Radio, 1970, 728 p. (in Russian).

7. L'vov A. A., Svetlov M. S., Ulyanina Yu. A. Analysis of pseudo-random sequences in the non-binary communication channels. Naukowa mysl informacyjnej powieki-2014. Techniczne nauki: Materialy X Miedzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji, Polska, Przemysl, 2014, p. 37-41.