УДК 50.41.25
А.А. Львов, М.С. Светлов, Ю.А. Ульянина
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ К-ИЧНЫХ И ТРОИЧНЫХ ПСП-КОДОВ
В КАНАЛАХ СО СТИРАНИЕМ
Получены аналитические зависимости корреляционных свойств и избыточности для троичных и Личных кодов в системах передачи информации с каналами со стиранием.
Канал связи, ошибки стирания, автокорреляционные коэффициенты, избыточность, минимальное кодовое расстояние
A.A. L'vov, M.S. Svetlov, Y.A. Ul'yanina
PARAMETRIC ESTIMATES OF THE K-ARY AND TERNARY CAP-CODES IN CHANNELS WITH ERASURES
The analytical dependence of the correlation properties and redundancy for the ternary and the K-ary codes in data transmission systems with erasure channels.
Communication channel, erasing mistakes, autocorrelation coefficients, redundancy, minimum code distance
В классической теории кодирования для измерения расстояния между кодовыми словами принято использовать метрику Хемминга, в соответствии с которой расстояние между двумя любыми несовпадающими символами канального алфавита равно единице. Однако такое измерение кодового расстояния не позволяет полностью реализовать потенциал кода в виде псевдослучайных последовательностей (ПСП) по помехозащищенности, в частности определить точно зависимости между корректирующими свойствами (избыточностью) кодов и их корреляционными характеристиками. Целью данной статьи является получение аналогичных оценок с использованием метрики в соответствии с геометрической моделью кода на рис. 1.
d = 1
d = 1
d = 2
Рис. 1. Геометрическая модель кода Рис. 2. Математическая модель К-го канала с ошибками стирания
Математическая модель K-ичного канала с ошибками стирания (без ошибок трансформации) имеет вид:
K-1 ______
qo + £ Pox, =1 qi+Рх, =1 і=1K -1 (1)
¿=1
Здесь q0 и qi - вероятности правильного приема соответствующих символов; р0х и ріх -вероятности одиночных ошибок стирания.
В этом случае формулу для нижней границы избыточности по Хеммингу [1] можно представить в следующем виде:
e0 el eK-1 K "I
k й logk ZZ-I(K "l)11 QПC'i , (2)
i=1
где к - число контрольных разрядов кода; п - длина (число разрядов) кодовых слов; п0 -число нулевых символов кодового слова; щ - число ненулевых символов кодового слова; е - значение кратности исправления ошибок стирания; е0 - значение кратности исправления ошибок стирания для нулевых символов; е1 - значение кратности исправления ошибок стирания для единичных символов; ... еК _1 - значение кратности исправления ошибок стирания для символов (К - 1); dшin - значение минимального кодового расстояния.
Считая, что в формуле (1) равенство, ограничиваясь в ее правой части лишь старшими степенями параметра п и подставляя значение числа контрольных разрядов в формулу для определения коэффициентов избыточности [2], получим зависимость между коэффициентами избыточности кода и значением кратности исправления ошибок стирания для К-ичных
ПСП-кодов учитымя что е0 = 2*1 Рохе , по = 1 Рох,п, п = Рщп , ei = Рще , 1 = 1, К _1:
R = k
( k-1 Y (к -11 Z Po „ _ V i=1 )_ K-1 P e 1"P0П (P,i)' П [Px,e]! ( K-1 K-1 e\ Z PoXi + Z P V i=1 ' i=1
Kk K-1 Z Pox, e i=1 !
(3)
Принимая во внимание, что е = dшin _ 1, и считая, что значения ^т|п минимального кодового расстояния при вычислении коэффициентов корреляции совпадают со значениями кодового расстояния d в формуле вычисления нормированных коэффициентов автокорреляции [2], получим выражения для определения значений коэффициентов избыточности через минимальное кодовое расстояние:
R=k
(K
K-1
ZPoxi (dmin-1)
X (dmin 11
.П-^___________
toPix (dmin-1)]L
Kk
Tp0, (dmin -1)
i=1
( K-1 K-1
(dmin-1)| ZP0xi + ZPix
(4)
Учитывая, что d = п(1 _р)/2, получим формульную зависимость между нормированными автокорреляционными коэффициентами и значением коэффициентов избыточности:
R = k
( k-1 ) (к -11 Z Pox, _ V i=1 )_ KZP \ “(1-p) il Z1Poxi V 2 1J k-1 = 1 -n- i=1 kH 2 -1
P-( "Г-1)]
Kk [Щ -1)] !
n(1-p) Л(K-1 K-1
ZPoxi + Zpix
(5)
Поскольку на практике наиболее часто используемыми ПСП-кодами являются троичные коды, благодаря их свойствам по помехозащищенности, рассмотрим отдельно случай троичного канала. Преобразуем модель К-ичного канала к виду троичного, учитывая, что I = 1, 2.
to и
K-1
Для случая троичного канала. Формула для нижней границы избыточности (2) перепишется в виде:
«о « «2 2
к г III2'°С£П. (6)
% ?1 ?2
,=1
Тогда зависимость между коэффициентами избыточности и кратностью исправления ошибок стирания определится по формуле (7):
Я = к
" I 2 V 2| I Рох _ V ,=1 ) II Ро 2 ( Г4« ,=1 П (Р х) П [ Рх,«]! I 2 2 «| I Рох, +1 Р V ,=1 ' ,=1
3к 2 I Рох,« ,=1 !
(7)
Зависимость между коэффициентами избыточности и минимальным кодовым расстоянием выразится как:
Я = к
2| I Р
V
0 х, =1
I Рох, (Лт , =1
-1)
Рх, (ЛШп -1)
П (рх)__________
П[Рх,(Лшп -1)]!
3к
Рох, (Лшт - 1)
, =1
(Лшш -1)| I Рох, + I Ра =1 г ,=1
(8)
Нормированные коэффициенты избыточности как функции нормированных коэффи-
циентов автокорреляции запишутся в виде:
г п(1-р)
Я = к
2| I Ро
г: Ро х, | -1 ] 2
П
(Рх)
рх1п(12р -1
, п(1 -р) ,
Рх1 —2-------------1
3к
I Р Iп(1 -р)
Ро
-1
(9)
,=1 ‘ V 2
Приведенные зависимости справедливы для несимметричных каналов, однако на практике при моделировании чаще рассматриваются симметричные каналы. Адаптируем полученные выше результаты на случай симметричного канала. Симметричным считаем канал, в котором выполняются равенства:
«о «1 «2 .•
. = еК-1 = ^ ; по = п1 = П2
... = ПК-1 = пх ■
С учетом этих равенств формула для нижней границы избыточности (2) примет вид:
к г 1ое КI (К - 1)^ (СП; )К
(1о)
Зависимость между коэффициентами избыточности кода и значением кратности исправления ошибок стирания для К-ичных ПСП-кодов (3) перепишется в виде:
к (К - ;)Рх (;1)
Я
(Кк [(К - 1)Рх«] (К-1)Рх« [(РХ«) !]2
Зависимость между коэффициентами избыточности и минимальным кодовым расстоянием (4) определится по формуле:
Я = к (К -1) Рх/ (Кк [(К -1) Рх (Лшп -1)] !)3(К-1|Рх(Л--1)[( Рх (Лшп -1)) !]2 Рх 1Л“--1) . (12)
;=1
=1
Нормированные коэффициенты избыточности как функции нормированных коэффи циентов автокорреляции (5) запишутся в виде:
к(к-1) рх
R ■
(13)
Kk
(K -1) px
n(1-p)
-1
N 2(K-1)Px ( "1-^-1
2 Pxl^ -1
Для троичного симметричного канала. Формула для нижней границы избыточности (6) примет вид:
k > iog3 j 2'XC';_ ■ (c';_ )2.
(14)
Зависимость между коэффициентами избыточности кода и значением кратности исправления ошибок стирания для К-ичных ПСП-кодов (7) запишется в виде:
К = 2крх/(зк [2рхв] |Г"[(р,е) I]1'2. (15)
Зависимость между коэффициентами избыточности и минимальным кодовым расстоянием (8) будет находиться по формуле:
2 кРх
R
(16)
(зк[2Рх(¿т. -1)] !)4Р("“-1)[(Рх(Лт. -1)) !]2Рх("-'-1)
Нормированные коэффициенты избыточности как функция нормированных коэффициентов автокорреляции (9) перепишутся в виде:
2кРх
R = -
3'
1__
л 4 Px | "^-1
_1_____
2 Px | -1
•• (17)
_(Л ( ^ -1))
Очевидно, что вероятность правильного приема ненулевых символов существенно выше вероятности правильного приема нулевых символов, поэтому целесообразно использовать коды без нуля.
Для K-ичного канала без нуля. Формулу для нижней границы избыточности (2) можно представить в следующем виде:
e1 e2 eK-1 K-1 t
k > log K EE... E П Cn‘ . (18)
f1 f2 XK-1 i=1
Зависимость между коэффициентами избыточности и кратностью исправления ошибок стирания (3) определится следующим образом:
R = к
Pixie
1 П (PiXi ) Kk П [P,e]!
K-1
j PiXie i=1 *
(19)
Зависимость между коэффициентами избыточности и минимальным кодовым рассто янием (4) перепишется в виде:
1
I \Pixj min — 1)
1 ^1 (Р_Щ )_______________
R = к
Kk П [Pix, (dniin -1)]!
K-1 t \
j Pixi (dnin -1) i=1
(20)
Нормированные коэффициенты избыточности как функции нормированных коэффициентов автокорреляции (5) определятся по формуле:
R = k
і к-і
~КГ П
K і=і І
(Pix, )
n (і-р) 1
Px, I ---:-----і
[ Pix
n (1-p)
1 |]!
(21)
Для троичного канала без нуля. Формулу для нижней границы избыточности (6) можно представить в следующем виде:
«1 «2 2
к г 1о§з ЦПс1- (22)
Ц Ґ2 і=і
Зависимость между коэффициентами избыточности и кратностью исправления ошибок стирания (7) определится следующим образом:
R = k
1.1 Pix, e
(23)
Зависимость между коэффициентами избыточности и минимальным кодовым рассто янием (8) перепишется в виде:
■ . 4p , (d . -і) “Iі/ Z 2= Pix і (dmin-і)
/ \p,xі \dm.n і/ ; J-^i= i
_L П (pj
3k ПP x (dmin - і)]!
R = k
(24)
Нормированные коэффициенты избыточности как функция нормированных коэффициентов автокорреляции (9) будут находиться по формуле:
R = k
3Г П (Pij
n (і-р) _ 2
і=і
(25)
Для Личного симметричного канала без нуля. Формулу для нижней границы избыточности (10) можно представить в следующем виде:
k г log к Z (с
h f-|.
(26)
Зависимость между коэффициентами избыточности и кратностью исправления ошибок стирания (11) определится следующим образом:
К = кРх/(Кк 1{К-1)[РхвхI!)1'Рх«. (27)
Зависимость между коэффициентами избыточности и минимальным кодовым расстоянием (12) перепишется в виде:
кРх
R =
K (к-і)px(dmin-і)[(px (dшп - і))і]
1 Px (dmin -і)
(28)
Нормированные коэффициенты избыточности как функция нормированных коэффи циентов автокорреляции (1з) определятся по формуле:
кРх
R
(29)
k
K
(K-і)Px
n (і-р) 2
-і
У
n (і-р) ,
PxI ----:-----і
e
t
x
Для троичного симметричного канала без нуля. Формулу (14) можно представить в следующем виде:
« \2
k > iog3 ± (с; )2. (30)
t,
Зависимость между коэффициентами избыточности и кратностью исправления ошибок стирания (15) определится следующим образом:
К = кРх/зЩ2Рх«)[(Рхе)!]1'Рх« . (31)
Зависимость между коэффициентами избыточности и минимальным кодовым расстоянием (16) перепишется в виде:
К = , -------------кРх---------------------------------------—-. (32)
32Рх ^ -1)[(Рх (¿т. - 1))]Рх ("Ш1П -1)
Нормированные коэффициенты избыточности как функция нормированных коэффициентов автокорреляции (17) определятся по формуле:
К =------------------------кРх-------------------------------------1-. (33)
к Г п (1-р)
3
т I ;(1—р)
2 Рх\ -
2
2
Таким образом, получены аналитические зависимости между нормированными автокорреляционными коэффициентами и параметрами, характеризующими помехозащищенность, для троичных и К-ичных кодов. Использование этих выражений существенно упрощает оценки помехозащищенности систем, работающих в режиме исправления ошибок стирания, при анализе и синтезе цифровых систем передачи информации, использующих сложные ПСП-коды.
ЛИТЕРАТУРА
1. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки : М.: Мир, 1976. 593 с.
2. Светлов М.С., Ульянина Ю.А. О взаимосвязи избыточности и статистических характеристик троичных и K-ичных ПСП-кодов // АТМ-2011: сб. труд. II Международ. науч. конф. Т.2. Секция 2 / под ред. А.А. Львова и М.С. Светлова. Саратов: ООО «Издательство «Научная книга», 2011. С.65-68.
Львов Алексей Арленович -
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета имени Г агарина Ю.А.
Светлов Михаил Семенович -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета имени Г агарина Ю.А.
Ульянина Юлия Александровна -
магистрант кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Статья поступила в редакцию 10.02.12, принята к опубликованию 12.03.12
x