МОДЕЛЬ ГРАВИТАЦИОННОЙ КЛАССИФИКАЦИИ В АППАРАТАХ С ЯЧЕЕЧНОЙ СТРУКТУРОЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 66.01

Vitaliy S. Danilchuk1, Alexander N. Verigin2, Mikhail A. Ratasep3

MODEL OF GRAVITATIONAL CLASSIFICATION IN DEVICES WITH CELL STRUCTURE

Saint-Petersburg State Institute of Technology (Technical University), Moskovsky Pr. 26, Saint-Petersburg, 190013, Russia. e-mail: [email protected]

A probabilistic gravitational classification model for devices with overflow shelves and machines of the «Zigzag» type is proposed. The model is based on the representation of particle motion as a discrete random walk. The equations for calculating the probabilities with which the particle makes transitions between neighboring cells are proposed. The system of model equations allows one to calculate the probability of particle yield in small and large products, to restore the separation curves and calculate the dispersed composition of the classification products for devices with different numbers of cells and different points of the source material input.

Key words: particulate material, particulate composition, classification, probability of transition, separation curve.

Введение

Основу методов расчета и оптимизации конструкций воздушных классификаторов дисперсных материалов составляют математические модели. Конечной целью математического моделирования классификации является получение расчетных зависимостей, связывающих кривую разделения и дисперсный состав продуктов классификации с конструктивными и режимными параметрами аппарата. При моделировании аэродинамической классификации широкое распространение получили детерминированные и стохастические модели.

Детерминированные модели представляют процесс разделения как движение невзаимодействующих частиц в стационарном потоке газа на основе уравнений движения и взаимодействия частиц со стенками аппарата, а также уравнений поля скоростей несущего газа и уравнений поверхностей ввода-вывода продуктов классификации [1]. Конструкции большинства воздушных классификаторов имеют сложную форму и для точного описания поля скоростей необходимо экспериментальное исследование на модельных аппаратах.

В.С. Данильчук1, А.Н. Веригин2 , М.А. Ратасеп3

МОДЕЛЬ

ГРАВИТАЦИОННОМ КЛАССИФИКАЦИИ В АППАРАТАХ С ЯЧЕЕЧНОМ СТРУКТУРОЙ

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр. 26, Санкт-Петербург, 190013, Россия е-таН; [email protected]

Предложена вероятностная модель гравитационной классификации дисперсных материалов в аппаратах с пересыпными полками и аппаратах типа «Зигзаг». Модель построена на представлении о движении частиц как о дискретном случайном блуждании. Предложены уравнения для расчета вероятностей, с которыми частица совершает переходы между соседними ячейками. Система уравнений модели позволяет рассчитывать вероятность выхода частиц в мелкий и крупный продукты, восстанавливать кривые разделения и рассчитывать дисперсный состав продуктов классификации для аппаратов с разным количеством ячеек и разном месте ввода исходного материала.

Ключевые слова: дисперсный материал, дисперсный состав, классификация, вероятность перехода, кривая разделения.

Для случая разделения сыпучего материала в гравитационном классификаторе, представляющем вертикальную шахту, уравнение движения частиц сферической формы вдоль вертикальной оси описывается уравнением

^ = -*+3РЕ фш -^-' (1)

ат 4 р а '

где и - скорости частиц и воздуха, м/с; рч и ре - плотности частиц и воздуха, кг/м3; Е - коэффициент сопротивления.

Информативность уравнений движения невысока ввиду отсутствия учета взаимных столкновений частиц, увлечения их турбулентными пульсациями и т.д. В то же время именно случайные факторы приводят к "загрязнению" продуктов классификации частицами противоположных классов. Детерминированные модели применяются в основном для оценки влияния определяющих факторов на некоторые характеристики классификации, такие как размер равновесной частицы:

а = 3 р £ ^. (2).

р 4 Рч ё

1. Данильчук Виталий Сергеевич, канд. техн. наук, доцент, каф. химической энергетики, e-mail: [email protected] Vitaliy S. Danil'chuk, Ph.D (Eng.), Associate Professor, Department of chemical power

2. Веригин Александр Николаевич, д-р техн. наук, профессор, каф. химической энергетики, e-mail: [email protected] Alexander N. Verigin, Dr. Sci. (Eng.), Professor, Department of chemical power

3. Ратасеп Михаил Альбертович, канд. техн. наук, доцент, каф. химической энергетики, e-mail: [email protected] Mikhail A. Ratasep, Ph.D (Eng.), Associate Professor, Department of chemical power

Дата поступления - 16 октября 2018 года

Уравнений детерминированной модели недостаточно для расчета дисперсного состава продуктов классификации. Для этой цели необходимо определение кривой разделения - зависимости доли узкой фракции, выносимой в один из продуктов классификации, от размера частиц этой фракции. Кривые разделения являются важнейшей характеристикой классификатора, поскольку несут практически полную информацию о процессе. Они инвариантны по отношению к дисперсному составу исходного материала и дают возможность оценки эффективности процесса.

Для точного расчета кривых разделения, называемых также функциями парциальных выносов, необходимо учитывать стохастическую природу процесса. Поэтому вероятностные модели, позволяющие кроме средних показателей провести расчет кривой разделения, имеют преимущество перед детерминированными моделями.

Теоретические основы стохастического моделирования аэродинамической классификации описаны в [1, 2]. Предполагается, что на движение частиц в воздушном классификаторе, кроме известных сил, также оказывают влияние факторы, имеющие вероятностный характер. К ним относятся: взаимодействие частиц при столкновении, силы сцепления между ними, пульсации потока воздуха, неравномерность подачи материала, обратные и вихревые потоки и некоторые другие факторы.

Базовыми уравнениями стохастической диффузионной модели классификации [1, 2] являются:

- дифференциальное уравнение сохранения массы каждой узкой фракции исходного продукта шириной , d + АЛ) на небольшом участке зоны разделения:

(3)

где (3 - р(х, d) - линейная концентрация частиц фракции, кг/м; щ. - скорость квазистационарного движения фракции, м/с; В - коэффициент макродиффузии, м2/с; д(х, d) - плотность подвода частиц фракции, кг/мс.

- уравнения скорости движения частиц на концах участка:

(4)

чЦ ):

1-%. Ч-* I1 - %,

(6)

рш - п^)х_х - ^ р(х ^) ^ - ^ - ^ Р(Хк )

(5)

1 -I d/

I ехР1

- * |1 - ^

где Н0 - место ввода исходного материала.

Рассчитанные в соответствии с уравнением (6) кривые разделения показаны на рисунке 1.

Ф)

0 0.5 1.6 ,

Рисунок 1. Кривые разделения с разным значением стохастического параметра.

Величина * является параметром модели. В работе [2] приведены рекомендации по определению этого параметра при расчете кривых разделения. Стохастический параметр * компенсирует погрешности, вносимые разными допущениями. Его можно определить по кривой разделения в существующем аппарате, однако, это значение нельзя использовать для расчета процесса разделения в другом аппарате аналогичной конструкции.

В работе [3] предложено в качестве аргумента для построения кривой разделения выбрать не размер частицы, а критерий Фруда рг - , в котором в ка-

и2

честве линейного размера используется размер частицы. Опытные данные аппроксимированы зависимостью вида

(фрг) - 0,5 ехр[- 2,3 к Е - Ег0)] (7)

где к - характеризующий конструкцию классификатора коэффициент; Ег - значение критерия Фруда, соответствующее граничному размеру разделения

gd гр

ЕГ -Е'о

Ш2

где Ш , Ш - скорости переноса частиц фракции че-

/0 ¡к

рез границы зоны разделения; х0, хк - границы зоны

разделения.

Если поток частиц исходного материала в месте ввода принять за единицу, то поток частиц через одну из границ зоны разделения будет соответствовать точке кривой разделения <р(й).

Расчет кривой разделения в гравитационном классификаторе может быть проведен для случая В -еотг(х, d). Для случая, когда сечение шахты постоянно, а ширина сечения ввода частиц Аг мала по сравнению с протяженностью зоны разделения Н в работах [1, 2] приведено уравнение:

Этот результат был получен [3] при экспериментальном изучении воздушных гравитационных классификаторов при разделении материалов с размером частиц от 60 мкм до 10 мм.

Критерий Ег и коэффициент к зависят от

многих конструктивных параметров: размеров секции аппарата, длины полок, высоты аппарата, плотности разделяемого материала [3]. При изменении конструкции: места ввода материала, размеров зоны разделения, числа секций и т.д. параметры, входящие в уравнение (7), изменятся, что делает область применения этой методики ограниченной.

В работе [4] для несвязных неэластичных сферических частиц использован аналитический подход для определения эффективности классификации на базе уравнения динамики сегрегации с введением в уравнение коэффициентов квазидиффузионного перемешивания, миграции и гидромеханической сегрегации. Модель описывает процесс в одной ячейке, что

1 Но

Н

р

позволяет переити к моделированию аппарата в целом.

Благодаря развивающимся компьютерным технологиям и появлению возможности эффективного использования матричных операции исследователи при моделировании классификации стали обращаться к использованию теории цепеИ Маркова. Подход, в основе которого лежит использование теории марковских процессов кратко изложен в [5]. Состояние процесса характеризуется вектором - набором вероятно-стеи пребывания частицы в отдельных зонах аппарата - ячеИках. Рассматривая начальное состояние как локализованное в ячеике, соответствующее месту ввода, и определяя затем асимптотическое состояние системы можно определить кривую разделения. Работы по моделированию в соответствии с описанным подходом независимо проводились в СПбГТИ(ТУ) [6] и в ИГЭУ им. Ленина [5, 7]. Работы имеют общую методологическую основу и отличаются подходом к определению переходных вероятностеи, необходимых для замыкания системы уравнении. Определение переходных ве-роятностеи для частиц различнои крупности, по мнению авторов [5], затруднительно и не очень достоверно. В соответствии с этим замечанием в настоящей работе предлагается надежныи способ вычисления переходных вероятностеи для модели каскадных классификаторов на основе деиствующих в зоне разделения сил и уточненного уравнения осредненнои по времени скорости обтекания частиц воздушным потоком.

Анализ методов моделирования классификации позволяет сделать вывод о том, что определение кривых разделения с учетом конструктивных и режимных параметров может быть проведено только на основании вероятностного подхода к описанию процесса.

В некоторых рассмотренных вероятностных моделях процесса разделения используются параметры, которые определяются для конкретнои конструкции аппарата экспериментальным путем. С этой точки зрения более предпочтительны модели, лишенные трудноопределимых параметров, в которых конструктивные особенности входят в расчетную схему непосредственно.

Построение модели классификации

Далее приводится построение универсальной модели гравитационнои классификации применительно к конструкциям аппаратов с выраженной ячеечной структурой. Примерами таких конструкций [3] могут служить аппараты типа «Зигзаг» и аппараты с пересыпными полками (рисунок 2). На основании ярко выраженных конструктивных особенностей в аппарате с пересыпными полками можно выделить зоны, отличающиеся одинаковым гидродинамическим режимом. Такими зонами (или ячейками) может служить пространство, ограниченное стенками аппарата и соседними полками. Очевидно, что условия классификации в отдельных ячейках одинаковы, что позволяет для описания процесса в аппарате в целом описать его в одной ячейке.

Принцип работы аппаратов состоит в следующем [3]. Исходный материал подается в центральную часть классификатора, мелкие частицы выносятся воздушным потоком в верхнюю часть аппарата и улавливаются в циклонах, а крупные выпадают из нижней части аппарата в бункер сбора крупной фракции.

Анализ гидродинамической обстановки в зоне разделения гравитационного классификатора с пере-

сыпными полками позволяет сделать вывод о вероятностном характере процесса. Главным фактором, оказывающим влияние на движение частиц и, следовательно, на формирование дисперсного состава, является поле скоростей воздушного потока. В то же время в аппаратах рассматриваемых конструкций в отличие от гладкой шахты поле скоростей является трудноопределимым. Сечение аппарата, благодаря установленным полкам, меняется по высоте. На вертикальную скорость потока накладывается вихревое движение в пределах отдельных ячеек. В отдельных участках зоны разделения вектор скорости воздуха направлен вниз. Кроме того, на регулярное течение воздуха накладываются турбулентные пульсации. В этих условиях расчет траекторий частиц становится трудноразрешимой задачей.

С точки зрения конечного результата классификации нет необходимости рассматривать движение частиц материала как непрерывный в пространстве и времени процесс - движение частицы от места ввода к одной из поверхностей выхода можно представить как дискретный процесс смены ячеек через определенные промежутки времени.

Принимая во внимание вероятностный характер движения частиц материала, введем вероятность

С перехода частицы в течение промежутка времени Дг. из ячейки у в расположенную выше нее ячейку у +1, а также вероятность перехода в ячейку у -1, расположенную ниже. Другим возможным исходом движения частицы является возможность остаться в ячейке у . Индекс ( при вероятностях и аа

означает их зависимость от размера частиц. Из условия нормировки вероятность остаться в ячейке у будет равна Га = 1 -с -рл.

Рисунок 2. Гравитационныйй классификатор с пересыпными полками и схема движения частиц в отдельных ступенях разделения

С точки зрения изменения положения частицы по высоте, можно говорить о ее переходе в соседнюю ячейку как о случайном дискретном акте - «шаге». Ввиду одинаковых условий взаимодействия частиц материала с воздухом и стенками аппарата в каждой отдельной ячейке и с учетом возможных переходов, можно построить схему дискретного движения частиц, которая изображена на рисунке 3. Ячейки с номерами 1, 2, ..., 2 являются отображением одинаковых частей объема аппарата, ограниченных стенками и соседними полками. Дополнительные ячейки с номерами 0 и (г +1) введены для учета частиц, вышедших за

пределы аппарата. Вероятность возврата из этих ячеек равна нулю.

На шаге n = 0 элементы вектора Pd (ö) ис-

I—I мелю

Бункер сбора мелкой фракции

y«P<1(r_1V y7Pd(j=±

t^r-fT j F

Ячейка ^^FTY^ аппарата ß,i ( j ad

Воздух

ходных вероятностей имеют значения:

Pd л = 1 Pd ,k = °

(8)

к е г +1, к ф г, й е ...

Уравнение (8) отражает тот факт, что в начальный момент времени частица находится в ячейке с номером г (место ввода), а вероятность ее нахождения в других ячейках равна нулю.

Согласно основному уравнению цепей Маркова, расчет распределения вероятностей на шаге п производится, исходя из состояния на предыдущем шаге, с учетом матрицы переходных вероятностей, которая согласно схеме переходов имеет вид:

Бункер сбора крупной фракции

Рисунок 3. Схема дискретного движения частиц

С точки зрения теории вероятностей представляет интерес распределение вероятностей нахождения частицы в ячейках аппарата на произвольном шаге. Протекающий по описанной схеме процесс известен [8] как случайное дискретное блуждание с поглощающими экранами.

При известных значениях и расчет

вероятности достижения частицей одной из поверхностей выхода может быть осуществлен с использованием метода Монте-Карло, либо с использованием теории цепей Маркова.

В случае равенства промежутков времени

Дгг, в течение которых рассматривается возможное

изменение положения частицы, вероятности уа в общем случае имеют отличные от нуля значения. Очевидно, что величина ус1 определяет время достижения частицей одной из границ разделения и не определяет вероятности ее выхода из аппарата через одну из границ.

С точки зрения вычислительного аспекта проведено сравнение результатов расчета движения частиц при различных значениях вероятностей уа. Показано, что вероятности выхода частиц к границам зоны разделения инвариантны по отношению к значениям уа в пределах 0 <уа < 1. На этом основании

величина уа для ячеек с номерами 1, 2, ..., г может

быть принята равной нулю.

В предположении, что переходы между ячейками независимы между собой, процесс изменения положения частицы является дискретным марковским процессом с конечным числом состояний, в роли которых выступают ячейки 0,1,..., ],..., г, г +1.

Введем вектор р(п) с элементами (п) -

вероятностями перехода частицы размером й в состояние (ячейку) у на произвольном шаге п .

Qd =

1 0 0 0 0 0 .. 0

ßä 0 ad 0 0 0 . 0

0 ßd 0 ad 0 0 .. 0

0 0 ßd 0 ad 0 ... 0

0 0 0 0 0 ßd 0 ad

0 0 0 0 0 0 . 1

(9)

Состояние системы, определяемое элементами вектора Pd (n) на шаге n, найдется путем умножения вектора р(n -1) на матрицу q :

Pd (n) = Pd (n-1) Qd. (10)

С учетом независимости элементов матрицы Q от числа шагов n имеем

Pd (n) = Pd (0) Qdn ■ (11)

Особенностью систем блуждания с поглощающими экранами на границах является вид стационарного распределения при большом числе переходов

limPd(n)= (ad 0 0 0 ... 0 bd)■ (12)

Величины a и b являются вероятностями

выхода частицы соответственно в крупную и мелкую фракции. По физическому смыслу эти вероятности совпадают со значениями кривых разделения, построенных относительно выхода крупного и мелкого продуктов:

ad =?кр (d)> bd =Vu (d) ■ (13)

Использование предела в выражении (12) означает, что для каждой частицы рассматривается число переходов между ячейками, достаточное для достижения одной из границ разделения. На практике оказывается достаточным принять число шагов равным 30...50. При этом распределение вероятностей принимает вид (12).

Алгоритм расчета одной точки (для размера d ) кривой разделения сводится к формированию вектора P (0) и матрицы переходных вероятностей Q,

для которой необходимо знать только два численных значения с последующим многократным умножением сформированных вектора и матрицы.

Для того, чтобы модель могла быть реализована, ее необходимо дополнить уравнениями для расчета вероятностей ad и ßd, которые могут быть

найдены как отношение суммы факторов, действующих в том или ином направлении к сумме всех действующих факторов. Следует отметить независимость введенных вероятностей от времени (от шага п ) и от номера ячейки.

Сделаем предположение о возможности расчета переходных вероятностей аа и Д с учетом сил,

действующих на частицу. Из анализа гидродинамической обстановки в аппарате следует, что наиболее устойчивое направленное воздействие на частицу оказывают сила тяжести и регулярное движение воздуха. Остальные силы либо малы по величине, либо в различные моменты времени имеют случайное направление, в результате чего могут способствовать движению частицы как вверх, так и вниз. Сила инерции способствует сохранению частицей своего положения и скорости. Поэтому действие силы инерции скорее определяет отношение между вероятностью остаться в ячейке у и вероятностью выхода из нее (а + Д), чем отношение между ал и Д. Последнее замечание дает основания исключить из расчета переходных вероятностей силу инерции. Тогда вероятности а и Д найдутся по формулам

а = р , Д =-1^-, (14)

( Р + р Д Рт + Рс

где р - сила тяжести; р - усредненная во времени

вертикальная составляющая силы со стороны воздуха, определяемая по некоторой характерной для рассматриваемого процесса осредненной во времени скорости обтекания частиц воздухом wоб.

Для частиц с миделевым сечением Б сила р

найдется как

р = Б ■

%Рв ■ 2

(15)

где коэффициент % определяется как функция критерия Рейнольдса, в котором в качестве определяющей скорости выступает скорость .

Для определения средней величины относительной скорости рассмотрим две возможные ситуации (рисунок 4). При периодическом столкновении с преградами частица полностью или частично теряет скорость. При потере частицей скорости ^ 0) относительная скорость будет близка к средней скорости воздуха we, вычисляемой как отношение расхода

к проходному сечению классификатора. В другом крайнем случае скорость частицы достигает значения

wч = — wвш), которая имела бы место в установившихся условиях в невозмущенном потоке воздуха. Относительная скорость в этом случае составит величину, равную скорости витания частиц

wоб = wв — wч = wвит . Очевидно, что величина

осредненной во времени относительной скорости движения частицы и воздуха будет находиться между данными указанными значениями.

Рисунок 4. К расчету средней скорости относительного движения фаз

С учетом сделанных замечаний можно предложить уравнение для расчета усредненной во времени скорости обтекания частицы воздухом в гравитационном классификаторе с пересыпными полками:

Wоб =к ■ * + ™вит-(1— *)\щ , (16)

где хи щ параметры модели.

Параметр щ введен для учета периодического изменения направления вектора скорости воздушного потока и изменения проходного сечения по высоте аппарата. Параметр щ определяет размер условно

равновесной частицы. Параметр х введен для учета влияния скоростей обтекания, имеющих место в двух описанных крайних случаях и имеет значения в пределах от 0 до 1. Параметр х позволяет дополнительно учесть эффекты торможения и разгона частиц и получить более точные значения кривой разделения на границах области определения размера частиц. Основные параметры модели, отражающие конструкцию аппарата (число ячеек и положение места ввода) входят непосредственно в расчетную схему и не влияют на величины параметров щ и х, что является преимуществом предлагаемой модели.

Система уравнений (8-16) дополненная известными выражениями для определения коэффициента сопротивления % и скоростей витания частиц позволяет восстановить кривую разделения для аппарата с разным числом полок и разным местом ввода исходного материала.

На рисунке 5 приведен результат расчета кривых разделения в аппарате с различным числом ячеек, построенных относительно выхода в мелкий продукт для случая центрального ввода материала. Кривые разделения, построенные от относительного размера (~ = (/(р частиц, являются своеобразным «паспортом» классификатора и позволяют проводить расчет дисперсного состава продуктов и показателей эффективности классификации.

0.75 0.5 0.25 0

15

V 7 ячеек

11

0 12с!

Рисунок 5. Кривые разделения

Функции распределения размера частиц крупного и мелкого продуктов с учетом найденных значений кривой разделения (р(й) и с учетом дисперсного состава (плотности распределения /мсс(() размера частиц исходного порошка) найдутся из уравнений:

К (I) /ис, (I) ( , | ^ (I) ^ (I) (I . рр)=£- р (()=-

К (l) fo (l) dl

¡9>м (l) fc (l) dl

(17)

Оценка адекватности модели

Для оценки адекватности предложенной модели использованы опытные данные [9], полученные при классификации песков Сары-Джилгинского месторождения, используемые в литейном производстве. В работе приведено описание конструкции аппарата с указанием числа установленных полок и положения места ввода исходного продукта. Дисперсный состав исходного песка, а также составы мелкого и крупного продуктов классификации приведены в виде таблиц, содержащих указания размера сит и величины частных остатков продуктов на соответствующем сите для двух значений скорости воздушного потока - 2,5 и 3 м/с. Сравнение результатов классификации, предсказываемых моделью с приведенными в работе [9] данными проведено в виде построения на одном графике расчетных и опытных кривых полных проходов мелкого и крупного продуктов. При формировании вектора исходного состояния системы и матрицы переходных вероятностей в уравнениях (8) и (9) модели учитывалось число установленных полок и положение места ввода исходного материала в опытном аппарате. Значение скорости воздушного потока в уравнении (16) принималось равным значениям скорости воздуха при получении опытных данных.

На рисунке 6 приведено сравнение рассчитанных по приводимой модели кривых полных проходов F(d) с опытными кривыми для двух опытов с разными значениями скорости воздуха. В обоих случаях расчет проведен при одних и тех же значениях параметров модели классификации х = 0,9 и ф = 0,52.

Из рисунка 6 видно, что расчетные кривые хорошо аппроксимируют опытные значения кривых полных проходов как в первом, так и во втором опытах.

Рисунок 6. Дисперсный состав мелкого (1) и крупного (2) продуктов классификации литейных песков (линии - расчет, точки - опытные данные).

Заключение

Построенная модель гравитационной классификации в аппаратах с ячеечной структурой непосредственно включает в расчетную схему как режимные параметры, так и конструктивные особенности - число ячеек, расположение места ввода исходного материала по высоте аппарата. Модель не имеет параметров, которые необходимо определять при изменении конструкции аппарата и позволяет проводить расчет дисперсного состава продуктов и показателей эффективности.

Предложенный подход к описанию гравитационной классификации в аппаратах с пересыпными полками может быть применен к аппаратам другой конструкции с ячеечной структурой. Например, к аппаратам типа «Зигзаг». Корректировка модели при этом будет касаться только определения параметров ф и х.

Важным преимуществом предложенной модели по сравнению с известными стохастическими моделями является возможность ее применения для расчета многопродуктовых классификаторов с ячеечной структурой. При этом схема расчета остается прежней, изменится только структура матрицы переходных вероятностей.

Литература

1. Мизонов, В.Е., Ушаков С.Г. Аэродинамическая классификация порошков. М: Химия,1989. 160 с.

2. Мизонов В.Е. Стохастическая модель равновесной классификации порошков // Теор. основы хим. технологии. 1984. Т. 18. № 6. С. 811-815.

3. Барский М.Д. Фракционирование порошков. М.: Недра, 1980. 327 с.

4. Борщев В.Я., Кузнецова А.А. Методика расчета каскадного гравитационного классификатора зернистых материалов // Вопросы современной науки и практики. Университет им. Вернадского. 2013. №4(48). С. 147-151.

5. Мизонов В.Е. [и др.]. Применение теории цепей Маркова к математическому моделированию классификации частиц // Труды VII междунар. конф. «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-17), Кострома, 2004. Т. 9. С. 118-119.

6. Егоров О.А. Классификация сыпучих материалов в аппаратах с пересыпными полками и моделирование процесса: автореф. дис. ... канд. техн. наук СПб.: СПбГТИ(ТУ), 2000. 20 с.

7. Калинин С.М. Разработка методов расчета разделительной способности аэродинамических классификаторов порошков: автореф. дис. . канд. техн. наук. Иваново.: Ивановск. госуд. энергетич. ун-т. им. Ленина, 2008. 16 с.

8. Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков: учеб. пособие. М.: МГУ, 1983. 256 с.

9. Барский М.Д., Ларьков Н.С., Клячин В.В., Булыгин И.Ф., Крысова Л.П. Получение высококачественных формовочных песков сухим методом // Литейное производство.1977. № 5. С. 12-13.

d

d