CC BY
24
УДК 517.51
ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ СЛУЧАЙ РЕГУЛЯРНОСТИ В ЗАДАЧЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Д. В. Фуфаев
Студент механико-математического факультета, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, [email protected]
В работе обобщаются теоремы Лебега и Иессена-Марцинкевича-Зигмунда о дифференцировании неопределенных интегралов в на случай промежуточной регулярности системы множеств. Рассматриваются приложения полученных результатов к разложению в ряд Фурье-Хаара и орторекурсивному разложению по системе брусов.
Ключевые слова: ряды Фурье, орторекурсивные разложения, интеграл Лебега, система Хаара.
ВВЕДЕНИЕ
Фундаментальная теорема Лебега гласит, что соотношение
lim ——-— I f (y) dy = f (x)
выполняется для почти всех x е RN, если f — локально интегрируемая, по Лебегу, функция, где B(x,r) — шар радиуса r с центром в точке x, а | ■ | — мера Лебега, причем вместо шаров можно брать систему множеств более общего вида, удовлетворяющих условию регулярности. Позже Иессен, Марцинкевич и Зигмунд получили схожий результат уже для произвольных систем множеств, но при этом потребовалось наложить дополнительные условия на функцию f. Таким образом, охваченными оказались случай произвольных систем множеств и случай регулярных систем. Имеет смысл рассмотреть промежуточный случай регулярности системы множеств с целью получить промежуточные результаты.
Определение 1. Пусть f е L^RN). Ее неопределенным интегралом назовем функцию множества:
F(I) := J f (x)dx,
где I — измеримое множество, а интеграл понимается в смысле Лебега по мере Лебега.
Под брусом А будем понимать множество (а1;b1) х (а2;b2) х ••• х (aN;bN) (где —га < аг < Ьг < +га), в которое, быть может, добавлены некоторые точки границы или содержащие всю свою границу. В дальнейшем в качестве множеств I будем рассматривать только брусы.
ГN
Их диаметром будем называть число diam А = J (bk — ак)2. Пусть Е = {Ак}keN — последователь-
у k=1
ность (или система) брусов. Будем рассматривать системы брусов, обладающие свойством Витали, т. е. для любого x е RN и любого е > 0 существует брус А е Е такой, что x е А, diam А < е.
Скажем, что система Е регулярная, если существует такое число L > 0, называемое параметром регулярности системы, что для любого бруса А = (а1;b1) х ••• х (aN;bN) , А е Е, справедливо неравенство:
max{b1 — а1,..., bN — aN} min{b1 — а1,..., bN — aN} ^ L <
Например, в качестве системы брусов можно взять все брусы, вершины которых имеют рациональные координаты, а в качестве регулярной системы — те из этих брусов, для которых выполнено условие регулярности для некоторого числа L.
Определение 2. Интеграл функции f е L1(RN) называется дифференцируемым по системе брусов Е в точке x, если существует следующий предел:
DoF(x) := lim -— / f (y) dy < га,
~ V ' diamA^G |А| JA V''
где предел берется по всем А э x, А е Е. Число DsF(x) называется производной интеграла F по системе Е в точке x. Будем говорить, что интеграл функции слабо дифференцируем (в точке x), если он дифференцируем по любой регулярной системе брусов и сильно дифференцируем, если он дифференцируем по произвольной системе. Очевидно, сильная дифференцируемоть влечет слабую. Также введем:
DsF(x) := lim f f (y) dy, DsF(x) := lim f f (y) dy,
|А| VД " diamA^Ü |А| VД
xfcAfcs xGAGs
тогда дифференцируемость будет означать равенство верхнего и нижнего пределов.
Давно известны следующие теоремы (см. [1, гл. IV, § 6, теорема 3] и [1, гл. IV, § 13]): Теорема 1. Пусть функция f е L1(RN). Тогда DsF(x) = f (x) для почти всех точек x е RN, где Е — любая регулярная система брусов.
Теорема 2. Пусть функции f, f lnN-1(|f| +1) е L1(RN). Тогда DsF(x) = f(x) для почти всех точек x е RN, где Е — любая система брусов.
Определение 3. Пусть f е L1 (RN), Е = {А} — регулярная система брусов в RN. Тогда регулярной функцией Харди - Литтлвуда функции f назовем следующую функцию fв:
fß(x) := sup I |f(x)| dx-
НэДЭх |А| JД
Замечание. Не трудно проверить, что введенная функция Харди - Литтлвуда эквивалентна кубической функции Харди - Литтлвуда (см. [2, с. 14]) в том смысле, что каждая оценивается через другую с постоянной, зависящей лишь от размерности и параметра регулярности L.
Определим функцию распределения для функции fe: A(a) = ^{x е RN : |fe(x)| > а}. Для нее выполнено следующее равенство:
сю
J |fe(x)| dx = -J adA(a). (1)
X :fß (x)>e e
Лемма 1 [2, с. 15-17]. Пусть f е L1 (RN). Тогда для любого а > 0
А(а) * "а У |f (x)| dx,
x:| f (x) | >a/2
где C — константа, зависящая только от размерности N.
Заметим, что введенные выше определения и теоремы можно сформулировать и в случае, когда функция f определена на одном брусе, например, на [0,1]N, и система Е полностью лежит внутри него. Введем обозначение I := [0,1].
2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Теорема 3 (многомерное неравенство Харди - Литтлвуда). Пусть f, f ln(f + 1) е L1 (1N), f ^ 0, и задано s > 0. Тогда справедливо неравенство
[ fe (x) dx * а/ f (x)ln(f (x) + 1) dx + в/ f (x) dx + s,
JiN JiN JiN
где А и В суть константы, зависящие от s, но не от f.
Доказательство. Разобьем функцию на ее большую и малую части и используем равенство (1):
с с
/fe(x)dx = / f"(x)dx' + / f,,(x)dx'*s-/adA(a) *s+/A(a)da+A(s)s-
IN x:fß (x)<e x:fß (x)>e e e
В последнем неравенстве проинтегрировали по частям и использовали тот факт, что А ^ 0. Оценим слагаемые, используя лемму 1:
A(s)s * "Ss J f (x) dx * C||f ||Li,
x:f (x)>e/2
с сю 2f (х)
J А(-) ¿а ^ С ^ - ^ /(х) ¿х ¿а = С ^ J /—2 ¿-¿х =
е е х:/(х)>а/2 х:|/(х)|>е/2 е
= С У /(х)(1п(2/(х)) - 1пе) ¿х ^ СII/ 1п(/ + 1)||Ь1 + (1п2 + 11пе|)||/||Ь1;
х:|/(х) | >е/2
итак, получили нужное неравенство с А = С и В = С(1 + 1п2 + 11пе|). □
Наложим промежуточные условия на систему брусов, чтобы получить промежуточные условия на функцию. Пусть представлено в виде произведения Б сомножителей: = Мм +
(где Мг — натуральные числа), и пусть 5 = (А^= (А^ х А^ х ••• х А^?, где
А г I г,1 ,г,ь / г,2 гг,2\ < г,м,- 7 г,м,-\ >—> г л г 1
к = (-к ;) х (-к ;ок ) х ••• х (-к г;ок' г), причем все системы 5г = (Ак— регулярны
(при этом система 5 не обязана быть регулярной). Назовем такую систему Б-регулярной.
Можно ввести эквивалентное определение: пусть Р^ — ортогональный проектор на подпространство Мм в пространстве . Тогда система 5 Б-регулярна, если регулярна каждая из систем Р^ (5). Через Р^1 будем обозначать оператор — Р^, т.е. проектор на ортогональное дополнение к Мм.
Теорема 4. Пусть функции /, / 1п°-1 (|/1 + 1) е Ь1 (М^). Тогда БнР(х) = /(х) для почти всех точек х е где 5 — любая Б-регулярная система брусов.
Доказательство. Докажем по индукции. Случай Б = 1 — результат теоремы 1. Пусть Б > 1. Предположим, что для всех к < Б утверждение доказано, докажем для к = Б.
Очевидно, достаточно рассмотреть функцию / на брусе , причем можно предположить, что эта функция не отрицательна.
Обозначим через х набор первых М1 координат, через у — последних N — М1, тогда функцию / можно обозначать как /(х,у).
Положим (х, у) = [/(х,у)]п — срезки функции / (см., например, [3, определение 5.16]). Далее, Нп = / — . Построим функции Н^ по первым М1 координатам, а именно пусть брусы из 5 имеют вид А1 х А2, где размерность А1 равна М1, тогда
НП(х, у) = вир -л^ Мм, у) ¿м. Р1(Е)ЭД1 Эх |А1^Д1
Возьмем произвольное е > 0. По теореме 3 справедливо неравенство
/ / АП(х,у) «ЪЧу < А / / Н„(х,у)1п(Н„(х-,у) + 1) ¿х^
У/N-М1 У/М1 У/N — М1 J/М1
+В I I Нп(х,у) ¿х^у + 1 е2,
N — М1 7 / М1 2
из которого, в частности, следует, что Нв(х,у) е Ь1(/^).
Интегралы в правой части неравенства стремятся к нулю, поэтому существует такое число К, что (для краткости Н = Нк, у = ) —м1 //м1 Нв(х, у) ¿х^у < е2. Пусть Е — множество таких точек (хо,уо) е , что
1) //^М1 Нв(х0, £)1пв-2(Нв(х0, £) + 1) < го (интегрирование здесь идет по последним координатам),
2) неопределенный интеграл В(А) = ^ Нв(х0, £) где А — брус из системы Р-^(5), имеет в точке у0 производную Нв(х0,у0) по системе брусов Р-^(5).
Ниже мы докажем, что ^^у Нв(х, у) 1пв-2(Нв(х, у) + 1) ¿х^у < го (заметим, что в случае Б = 2 это утверждение сразу следует из многомерного неравенства Харди - Литтлвуда, поэтому доказательство будет проводится для Б > 2). Тогда множество Е будет иметь меру 1, так как по теореме Фубини условие 1) будет выполняться для п. в. х0 е /М1, а условие 2) выполняется для п. в. у0 е -м1, как только выполнено условие 1), по предположению индукции.
Вспомним следующее неравенство Йенсена для кратного интеграла, которое следует из неравенства для функции одной переменной (см., например, [4, гл. X, § 5, теорема 6]): для выпуклой функции ф и интегрируемой на брусе В функции / справедливо неравенство
ф (!в / (х) ^ ^ |В| ¡в Ф(|В I/(х)) ¿х,
заметим, что функция ф(х) = х 1пп(х + 1) — выпукла для х ^ 0 и п е N.
По определению функции Харди - Литтлвуда для любого е > 0 существует брус В(ж,у) С IМ1 (зависящий, вообще говоря, от (ж, у)) такой, что
/ Нв(ж,у)1п°-2 (ж,у) + 1) ¿ж ¿у <
Л ™
< I тттт-гг Мп, уЫп + е | 1пв-2 | ---— Ып, у) ¿п + е + 0 ¿ж ¿у =
= [ ( [ КУ] +,е^ 1п^-2 ( / ^ +,е ¿п + Л ¿ж ¿у <
л Iм \ о В(х,
у) 1В(ж,у)1 / V В(х,у) |В(ж,у)| /
л \ п о-2/ \ п \ Мп,у) + е применим неравенство Иенсена для ф(ж) = ж 1п (ж + 1) и /(п) = ——;-—, очевидно, интегриру-
|в (ж,у)|
емой:
< [ _1_ [ |В(жу)| ^(п ,у)+ е 1п°-2 (|В(ж у)| ^ ,у)+ е + Л ¿п^у =
<Л* |В(ж,у)^в(х,у) |В(ж,у)1 |В(ж,у)| 1п 1|В(ж,у)1 |В(ж,у)| +1) ^^
Г г, г х х , П-2
'IN |В (ж,у)^В(х,у)
(Л.(п, у) + е) 1п (^(п, у) + е + 1) ¿п ¿ж ¿у <
< / Р(ж,у) + е)1п°-2(й(ж,у) + е + 1)]в ¿ж¿у.
Л ™
В силу произвольности е > 0 и по неравенству Харди - Литтлвуда для некоторого 7 > 0 имеем
/ ^в(ж,у)1п°-2(йв(ж,у) + 1)^у < [^(ж,у)1пв-2(^(ж,у) + 1)]в¿ж^у < Л ™ 71 о
< А ^(ж, у) 1пв-2(^(ж, у) + 1) 1п[^(ж, у) 1п°-2(й(ж, у) + 1) + 1] ¿ж ¿у+ +В / ^(ж,у)1п°-2 (Л,(ж,у) + 1) ¿ж ¿у + 7.
Л ™
Второй интеграл, очевидно, сходится. Оценим первый интеграл:
/ ^(ж,у)1п°-2(^(ж, у) + 1)1п[^(ж,у)1п°-2(^(ж, у) + 1) + 1] ¿ж ¿у <
Л™
< / ^(ж,у)1п°-2(^(ж,у) + 1)1п[^(ж, у)1пв-2(^(ж,у) + 1) + й(ж,у) + 1п°-2(^(ж, у) + 1) + 1] ¿ж ¿у =
Л к
= ^(ж,у)1п°-2(^(ж,у) + 1)1п[(^(ж,у) + 1)(1пв-2(^(ж,у) + 1) + 1)] ¿ж ¿у =
Л ™
= ^(ж,у) 1п°-1 (Л.(ж, у) + 1) ¿ж ¿у + / ^(ж,у)1п°-2(^(ж, у) + 1) 1п[1пВ-2(^(ж, у) + 1) + 1] ¿ж ¿у.
Лк
Первый из этих интегралов сходится по условию теоремы. Оценим второй интеграл:
/ й(ж, у) 1пв-2(^(ж, у) + 1) 1п[1п°-2(^(ж, у) + 1) + 1] ¿ж ¿у <
л™
< / ^(ж,у)1пв-2(^(ж,у) + 1)1п[(1п(й(ж,у) + 1) + 1)°-2] ¿ж¿у =
л ™
= (Я - 2) / ^(ж,у)1пв-2(^(ж,у) + 1)1п[1п(^(ж,у) + 1) + 1] ¿ж¿у <
л ™
< (Я - 2) / й(ж, у) 1п°-2 (^(ж, у) + 1) 1п(й(ж, у) + 1) ¿ж ¿у =
л ™
= (Я - 2) / ^(ж,у)1пв-1(^(ж,у) + 1) ¿ж ¿у,
Л о
а этот интеграл сходится. Таким образом, показали, что
/ he(x, y)lnD-2(he(x,y) + 1) dxdy< ra. JiN
Следовательно, мера множества E равна 1.
Обозначим через H, F, G неопределенные интегралы функций h, f, g соответственно. Пусть (x0, y0) — точка множества E и А = Ai х А2 — произвольный брус из системы 5, содержащий эту точку. Имеем:
H (А) 1 Í 1 Í 1С
ТАГ = |А2|,/д31А1Г1h(u v) du * |A2| 1 h"(xo'v)
Полагая diamA ^ 0, получаем DgH(x0,y0) ^ he(x0,y0). Таким образом, так как (x0,y0) — произвольная точка множества меры 1, то получаем 0 ^ DsH(x0,y0) ^ s всюду, кроме, быть может, множества меры меньшей, чем s (например, по неравенству Чебышева). С другой стороны, так как функция g ограничена, ее неопределенный интеграл дифференцируем почти всюду. Поэтому
0 ^ DF(x0, У0) - DHF(x0, У0) ^ s (2)
всюду, кроме, быть может, множества меры меньшей, чем s. В силу произвольности s, неравенство (2) обращается в равенство почти всюду, что и требовалось доказать. □
3. ПРИМЕНЕНИЯ
Данный результат может использоваться, например, при изучении сходимости почти всюду разложений интегрируемых функций по системам, для которых есть смысл вводить свойство регулярности, подобное изложенному выше. Рассмотрим два примера, в которых этот результат используется непосредственно: разложение в кратный ряд Фурье по системе Хаара и орторекурсивное разложение по системе характеристических функций брусов.
Рассмотрим разложение в ряд Фурье по (ортонормированной) системе функций Хаара, а именно по системе функций
Xn(x) := Xni (x1 )Xn2 (x2) ■ ■ ■ XnN (xN),
где n = (n1, n2,..., nN) G ZN, x = (xi5 x2,..., xN) G RN, а Xk(x) — k-я функция Хаара на отрезке [0,1], k = 0,1,... (см. [5]). Будем рассматривать разложение по подпоследовательностям индексов, являющихся степенями двойки, то есть n = (n1 ,n2 ,...,nN) = (2mi, 2m2,..., 2mN). Тогда частичные суммы разложения будут иметь следующий вид:
i12-mi i22-m 2 iN2-mN
Sn(x) = 2-mi 2-m2 ... 2-mN / / " / f (у) ^ (3)
(i1 -1)2-mi (i2-1)2-m2 (iN-i)2-mN
при (ik - 1)2mk < xk < ik2mk, ik G N, k = 1, 2,..., N.
Это выражение можно интерпретировать как отношение интеграла по брусу с длинами ребер 2-mk, содержащему точку x, к мере этого бруса. В этом случае условие регулярности брусов, по которым идет интегрирование, можно переформулировать как условие ограниченного возрастания системы индексов mk. А именно рассмотрим возрастающий мультииндекс n = (n1 ,n2,...,nN) (возрастание означает, что min ni ^ ra). Назовем его возрастающим ограничено, если sup — ^ L < ra,
и возрастающим D-ограничено, если все мультииндексы Pj(n) возрастают ограничено (как индексы размерности Mj )(действие оператора проекции на ZN является ограничением его действия на RN). Тогда D-ограниченное суммирование ряда Фурье - Хаара будет означать D-регулярность системы брусов, по которым идет интегрирование в (3). Таким образом, доказали следующее утверждение:
Теорема 5. Пусть функции f, f lnD-1(|f | + 1) g L(1n). Тогда частичные суммы ряда Фурье-Хаара D-ограничено суммируются к f почти всюду.
Напомним определение орторекурсивного разложения. Пусть H — пространство со скалярным определением над полем R или C, {ek} — конечная или счетная система ненулевых элементов H, и f G H.
2) Sn(x) = 77^ /д f (x)dx иначе. Здесь k = max{k = 1,..., n : Ak Э x}.
Определение 4. Рекурсивными коэффициентами Фурье элемента f по системе {ek} называются числа fk, задаваемые следующим образом:
1) fi = (f,ei)||ei||-2;
n
2) если определены fk при k = 1,..., n, то определим n-й остаток ряда как rn(f) = f — ^ fk,
k=1
и следующий коэффициент /n+i = (r„(f),e„+i)||en+i||-2.
Ряд fkek называется рекурсивным рядом Фурье элемента f е H по системе {ek}. k=1
Систему брусов Е будем называть удовлетворяющей условию вложенности (или — системой с вложением), если для любых А^, Aj е Е из А^ П Aj = 0 и i < j следует Aj с А^. Рассмотрим орторекурсивное разложение функции f е L(RN) по системе характеристических функций брусов системы Е, т.е. по системе {xk(x)} = {хдк(x)}.
Лемма 2 [6]. Пусть Е — система с вложением. Тогда для любой локально интегрируемой функции частичная сумма рекурсивного ряда Фурье имеет вид
1) Sn (x) = 0, если ни один из А^ с номером i ^ n не содержит точки x; 1
А |
Подробнее об орторекурсивных разложениях по системе характеристических функций брусов изложено в [6].
Теорема 6. Пусть функции f, f lnD-1(|f| + 1) локально интегрируемы на области G с RN, Sn (x) — частичные суммы орторекурсивного разложения по системе характеристических функций брусов D-регулярной системы с вложением Е = {An}nGN. Тогда Sn(x) сходятся к f для почти всех x е G.
Доказательство. Учитывая явный вид частичной суммы разложения, сходимость ее в точке x е Rn равносильна дифференцируемости неопределенного интеграла функции f в этой точке по системе Е. По теореме 2 он дифференцируем для почти всех x е RN, поэтому разложение сходится к f почти всюду. □
Автор выражает благодарность профессору Т. П. Лукашенко за постановку задачи и консультации.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00417) и гранта Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (проект НШ-1096.2014.1).
Библиографический список
1. Сакс С. Теория интеграла. М. : Факториал Пресс, 5. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды.
2004. 496 с. М. : АФЦ, 1999. 560 с.
2. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М. : Мир, 1973. 342 с. 6. Белоусов К. В., Лукашенко Т. П. О некоторых
3. Лукашенко Т. П., Скворцов В. А., Солодов А. П. свойствах орторекурсивных разложений функций мно-
°б°бщенные итегралы. М. : Книжный д°м «.ЛЖГО- ГИх переменных по системе характеристических функ-КОМ», 2010. 280 с.
, jj и п т 1 » » ций брусов // Совр. проблемы математики и механики.
4. Натансон И. П. 1еория функций вещественной пе- ff
ременной. СПб. : Лань, 2008. 560 с. 2011. Т. 6, № 1. С. 52-60.
The Intermediate Case of Regularity in the Problem of Differentiation of Multiple Integrals
D. V. Fufaev
Moscow State University, Department of Mechanics and Mathematics, Leninskie Gori, GSP-1, Moscow, 119991, Russia, [email protected]
The paper deals with generalization of Lebesgue and Jessen-Marcinkiewicz-Zygmund theorems of the differentiation of multiple integrals for the intermediate case of regularity of the system of sets. The application of the result to the Fourier-Haar series and to orthorecursive expansions with respect to system of indicators of multi-dimensional intervals is considered.
Keywords: Fourier series, orthorecursive expansions, Lebesgue integral, Haar system.
This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 14-01-00417) and by the Grant of the President of the Russian Federation for state support of leading scientific schools (project no. H^-1096.2014.1).
References
1. Saks S. Teoriia integrala [Theory of the integral]. Moscow, Faktorial Press, 2004, 496 p. (in Russian).
2. Stein I. Singuliarnye integraly i differentsial'nye svoistva funktsii [Singular integrals and differential properties of functions]. Moscow, Mir, 1973, 342 p. (in Russian).
3. Lukashenko T. P., Skvortsov V. A., Solodov A. P. Obobshchennye integraly [Generalized integrals]. Moscow, Knizhnyi dom «LIBROKOM», 2010, 280 p. (in Russian).
4. Natanson I. P. Teoriia funktsii veshchestvennoi pere-mennoi [Theory of functions of a real variable]. S.-Peter-burg, Lan', 2008. 560 p. (in Russian).
5. Kashin B. S., Saakyan A. A. Orthogonal series.
Y^K 517.538
Translations of Math. Monographs, vol. 75, Providence, RI, Amer. Math. Soc., 1989. (Rus. ed.: Kashin B. S., Saakian A. A. Ortogonal'nye riady. Moscow, AFC, 1999, 560 p.).
6. Belousov K. V., Lukashenko T. P. O nekotorykh svoistvakh ortorekursivnykh razlozhenii funktsii mnogikh peremennykh po sisteme kharakteristicheskikh funktsii brusov [On some properties autorecording expansions of functions of many variables by system characteristic functions beams]. Sovremennye problemy matematiki i mekhaniki [Modern problems of mathematics and mechanics], 2011, vol. 6, no. 1, pp. 52-60 (in Russian).
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДВУМЕРНЫЕ РЯДЫ ПО СИСТЕМЕ {sin x sin kx}
И ИХ АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА
И. И. Шарапудинов
Доктор физико-математических наук, заведующий отделом математики и информатики, Дагестанский научный центр РАН, Махачкала, [email protected]
В настоящей статье вводятся двумерные специальные ряды по системе {sin x sin kx}. Показано, что эти ряды выгодно отличаются от двумерных косинус-рядов Фурье тем, что их частичные суммы вблизи границы квадрата [0, п]2 обладают значительно лучшими аппроксимативными свойствами, чем суммы Фурье. Приводится оценка скорости сходимости частичных сумм специального ряда к функциям f (x,y) из пространства четных 2п-периодических по каждой переменной непрерывных функций.
Ключевые слова: специальные ряды по системе {sin x sin kx}, двумерные ряды, покусочная аппроксимация.
ВВЕДЕНИЕ
Представление функций в виде рядов по тем или иным ортонормированным системам с целью последующего их приближения частичными суммами выбранного ортогонального ряда является, пожалуй, одним из самых часто применяемых подходов в теории приближений и ее приложениях. Наряду с задачами математической физики, для решения которых указанный подход является традиционным, появились и продолжают появляться все новые важные задачи, для решения которых также все чаще применяются методы, основанные на представлении функций(сигналов) в виде рядов по подходящим ортонормированным системам (см., например, [1-9]). При этом часто возникает такая ситуация, когда функция (сигнал, временной ряд, изображение и т.д.) / = /(£) задана на достаточно длинном промежутке [0, Т] и нам требуется разбить этот промежуток на части —, ] (^ = 0,1,..., т), рассмотреть отдельные фрагменты функции, определенные на этих частичных отрезках, представить их в виде рядов по выбранной ортонормированной системе и аппроксимировать каждый такой фрагмент частичными суммами соответствующего ряда. Такая ситуация является типичной для задач, связанных с решением нелинейных дифференциальных уравнений численно-аналитическими методами [4,6], обработкой временных рядов и изображений и других [5-7], в которых возникает необходимость разбить заданный ряд данных на части, аппроксимировать каждую часть и заменить приближенно
