Сингулярные операторы и фурье-мультипликаторы в весовых пространствах Лебега с переменным показателем Текст научной статьи по специальности «Математика»

B. М. Кокилашвили, С. Г. Самко

СИНГУЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУРЬЕ-МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА С ПЕРЕМЕННЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ*

Памяти

Соломона Григорьевича Михлина посвящается

Введение

В настоящей статье мы даем развитие ряда идей и результатов С. Г. Михлина, связанное, в частности, с исследуемой в последние годы теории пространств с так называемым нестандартным ростом, известных также как обобщенные пространства Лебега с переменным показателем. Ряд математических задач, связанных с такими пространствами с переменным показателем, возникает в приложениях к механике сплошной среды (в частности, в теории так называемых электрореологических жидкостей). Подобные пространства возникают также в теории дифференциальных уравнений и в вариационных задачах. Все это обусловило значительный интерес к этим пространствам в последние годы. Сошлемся в связи с развитием гармонического анализа в пространствах с переменным показателем суммируемости на обзоры [15, 23] и [38], см. также дальнейшие ссылки в этих обзорах.

В настоящей работе приводятся теоремы об ограниченности Фурье-мультиплика-торов и сингулярных интегральных операторов, а также мажорант частичных сумм тригонометрических рядов Фурье и др., в весовых пространствах Лебега с пере-

менным показателем p(x). Даются также их векторнозначные аналоги. Все эти теоремы получаются с помошью предлагаемого в работе варианта экстраполяционной теоремы Рубио де Франсиа [34] для пространств ^. Здесь мы развиваем некоторые идеи и подходы работ [12, 13]. Существенную роль для доказательства получаемых результатов играют также известные теоремы об ограниченности указанных операторов в случае постоянного p и весов Макенхаупта. Мы даем также теоремы об ограниченности для максимальной функции Харди—Литтлвуда в этих пространствах.

1. Определения и вспомогательные утверждения

Пусть (X, d, «) — метрическое пространство с метрикой d и неотрицательной конечной мерой «. Через B(x,r) = {y £ X : d(x, y) < r} обозначаем шар в X. Предполагается, что мера « удовлетворяет условию удвоения

«B(x, 2r) < C«B(x,r),

где C > 0 не зависит от r > 0 и x £ X. Для локально «-интегрируемой функции f : X ^ R1 рассматривается оператор M, сопоставляющий функции f максимальную

* Данная работа была поддержана Научным Центром CEMAT, Instituto Superior Técnico, Лиссабон, Португалия, во время визита первого автора в Португалию 29 ноября— 14 декабря 2006 года.

© В.М.Кокилашвили (Математический институт имени А.Размадзе, Тбилиси, Грузия),

C.Г.Самко (Университет Алгарве, Португалия), 2008

функцию Харди—Литтлвуда:

м/(х) = вир-рБт—ТТ I I/ЫИмЫ-г>0 р(В(х,г)) .]

В(х,г)

Через Л8 = Л8(Х), где 1 < в < то, обозначаем класс весов т : X ^ М1, являющихся локально почти всюду положительными «-интегрируемыми функциями, удовлетворяющими условию Макенхаупта

sup J ws(y)dp(y)j J w s'(y)d/x(y)j <00

в случае 1 < s < то, а при s = 1 — условию

Mw(x) < Cw(x)

для почти всех x Є X с постоянной C > 0, не зависящей от x Є X. Очевидно, Ai С As, 1 < s < то.

В [10, 30] было доказано, что условие w Є As эквивалентно ограниченности оператора M в пространстве LW(X):

j(Mf (x))s ws (x)dp(x) < C j \f (x)\sws (x)dp(x);

X X

здесь C > 0 не зависит от f.

Пусть Q — открытое множество в X. Через P(Q) обозначаем класс измеримых на Q функций, таких что

1 < p- < р+ < то, (1.1)

где р- = p-(Q)=essinf p(x) и р+ = p+(Q)=esssup p(x).

xen хЄП

Рассмотрим весовое банахово пространство Lp( ^(Q) измеримых функций f : Q ^ C, таких что

р(-) := \\pf llp(• ) = inf { х > 0

i p(x)f(x) p(x

J о А

dp(x) < 1< то. (1-2)

Определение 1.1. Будем говорить, что функция p Є P (i) принадлежит классу Bp(i), если максимальный оператор M ограничен в пространстве Lpp( )(О).

Определение 1.2. Функция p : i ^ C1 называется функцией класса WL (weak Lipshitz), если

A 1

Iр{х) -р(у)I < _1дф. у^ Для d(x,y) < 2> !/ Є Î!, (1.3)

где A > 0 не зависит от x и у.

Введем следующие числа:

1) нижняя граница локальных «размерностей»» в X:

ш(рБ) = яир г>1

(1.4)

1п £

2) нижняя и верхняя границы «размерностей»» (связанных с влиянием бесконечности):

Нетрудно видеть, что ш(рБ), што(рБ), Ыто(рБ) неотрицательны. В последующем, при рассмотрении этих границ размерностей всегда предполагается, что

т(рБ),Шж(рБ), Ыж(рБ) е (0, то).

Заметим, что в (1.4) можно переставить еввш^

если дополнительно предположить, что существует £ > 0, такое что функция рБ(х,т) непрерывна при т е (0, £) равномерно по х е X. Аналогичный факт верен для выражений (1.5)—(1.6).

2. Классы весовых функций

Мы будем иметь дело, в частности, с весами

где вто = 0 в случае, когда метрическое пространство X ограничено. Пусть П = {хо, х1,..., х^}.

Определение 2.1. Будем говорить, что весовая функция вида (2.1) принадлежит классу Ур(.) (X, П), где р(-) е С(X), если

(1.5)

(1.6)

хЕХ

N

р(х) = [¿(х, хк)]вь (1 + ¿(хо, х))в~, хк е X, к = 0, 1, ...Ж, (2.1)

к= 1

ш(аБ) ш(аБ)

~ф^)~< ~рЫ

(2.2)

и

(2.3)

В случае, когда X — ограниченное метрическое пространство, мы рассматриваем более общий класс весов

N

р(х) = П [<1(х,хк)] (2.4)

к=1

с «радиальными» весами, где функции 1Мк(/) принадлежат классу Зигмунда—Бари— Стечкина, для которых допускается осциллирование между степенными функциями с различными показателями.

Обозначим через и = и([0,1]) класс функций и £ С[0,1], 0 < I < то, таких что и(0) = 0,и(Ь) > 0 при Ь > 0 и и — неубывающая на [0,1] функция. Через и обозначим класс функций и, таких что хаи(х) £ и при каком-нибудь а £ К1.

Определение 2.2. ([1]) Будем говорить, что V принадлежит классу Зигмунда— Бари—Стечкина Ф0, если

''К v(t) ,,ч [£ v(t) , v(h)

Г v(t) , I v(t) ,

-----dt < cv(h) и . dt <

Jo t Jh t +

c-

hs ’

где с = с^) > 0 не зависит от h £ (0,1].

Известно, что V £ Ф0, если и только если 0 < ш^) < М(V) < 3, где

w(ht)

\ л-о “(Л) 77 »(Л) ,

т(и)) = эир— ------- --------— и М(-1л)=б ир—-—^--------------------------------— (2.5)

г> 1 !п Ь г> 1 ш Ь

(см. [35, 36, 19]).

Определение 2.3. Будем говорить, что весовая функция р вида (2.4) принадлежит классу У°()С(Х, П), где р(-) £ С(X), если

r1/p(xk) wk (r) е Ф^(мВ) для Xk е П, к = 1,2,...,N, (2.6)

или эквивалентно

wk(r)GU и -^<mK)<MW<!y?, k=l,2,...,N. (2.7)

p(xk) p'(xk)

Заметим, что когда метрическое пространство X имеет постоянную размерность s в том смысле, что справедливо неравенство

cirs < pB(x,r) < C2rs

с постоянными ci > 0 и С2 > 0, не зависящими от x е X и r > 0, неравенства (2.2), (2.3) и (2.7) можно записать в виде

N

—( Г < pk < 1--------< Роо + 'У^, Рк < —— (2-8)

p(xk) p/(xk) pTO k=i p'oo

s s

< rri(w) < M(w) < —-—- , (2-9)

p(xk) p'(xk)

к = 1, 2,... ,N, соответственно.

3. Ограниченность максимального оператора Харди—Литтлвуда в весовых пространствах с переменным показателем

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 3.1. Пусть X —ограниченное метрическое пространство с мерой, удовлетворяющей условию удвоения. Если р € ШЬ(Х) и р € У^^Х, П), то М ограничен

Теорема 3.2. Пусть X — неограниченное метрическое пространство с мерой, удовлетворяющей условию удвоения. Пусть р € ШЬ(Х) и существует К > 0 такое, что

Заметим, что евклидов вариант теорем 3.1 и 3.2 в невесовом случае был доказан в [14], а весовой —в [26, 25].

4. Экстраполяционная теорема

Пусть Т — некоторое семейство упорядоченных пар (/, д) неотрицательных измеримых функций /, д, определенных на открытом множестве П в X. Говоря, что справедливо неравенство

для всех пар (/, д) € Т и весов т € Лч(П) (при некотором ц, 1 < д < то), мы всегда будем иметь в виду, что оно выполняется для всех пар, для которых левая часть неравенства конечна, и что постоянная С зависит лишь от ро и Лч-постоянной веса т.

Теорема 4.1. Пусть X — метрическое пространство с мерой и П — открытое множество в X. Пусть 1 < ро < р~ и вес р, и показатель р(-) € Р таковы, что (р) € В 1 . где р( ) = ■ Предположим, что для заданного семейства Т выполняется,

неравенство

с постоянной C > 0, не зависящей от f и g.

Отметим, что в теореме 4.1 не предполагается, что мера в X удовлетворяет условию удвоения.

Из теоремы 4.1 в силу теорем 3.1 и 3.2 получаем следующее утверждение.

Теорема 4.2. Пусть X —метрическое пространство с мерой, удовлетворяющей условию удвоения, и О — открытое множество в X. Пусть

1) p Є WL(O) и р Є V°sc(Q., П), когда О — ограниченное множество, и

2) p Є WL(O) и p(x) = pTO = const для x Є 0\B(xo, R) при некоторых xo Є О и R >

0, и р Є Vp(.)(О, П), когда О — неограниченное множество. Тогда из справедливости неравенства (4.2) для всех (f,g) Є F из некоторого семейства F и всех w Є Аі(О)

в Lp• )(X).

p(x) = pTO = const для x Є X\B(xo, R). Если р Є Vp(.)(X, П), то M ограничен в Lp )(X).

(4.1)

(4.2)

Q

Q

при всех (/, д) € Т и всех т € Ах(П). Тогда для всех (/, д) € Т с / € Ьрр( ^(П) справед-ливо неравенство

следует справедливость неравенства (4-3) для всех пар (/, д) из того же семейства Т, таких что / Є Ь1^ ^О).

Замечание 4.3. Так как интервалы (2.2), (2.3) и (2.7) — открытые, то существует ро € (1,р_), такое что справедливы импликации

р € Ур{.) (П, П) р_Р0 € У^• )(П, П)

и

р € Уо-)(П, П) р_Р0 € У(~у(. )(П, П),

где р(х) =

1 V ) р0

Доказательство теоремы 4.1. В силу теоремы Рисса, справедливой для пространств с переменным показателем при 1 < р_ < р+ < то (см. [27, 37]), имеем

^(■) = \\/Р°РР°\\ьр(-) < виР J /Ро (х)Н(х)йр(х),

где яир берется по всем неотрицательным Н таким, что \\Нр -Р\\ь(?У() < 1, и мы предполагаем, что / неотрицательна. Зафиксируем любую такую функцию Н. Покажем, что

J /Р0 (х)Н(х)(1р(х) < С\\др\\рь°рП (4.4)

п

с постоянной С > 0, не зависящей от Н, предполагая, что (/, д) — произвольная пара из заданного семейства Т. По предположению р и р таковы, что (р)' Є т-е-

\\р-р0Му\\ьр>п < Со\\р-Ро<р\\ьр(), (4.5)

где постоянная Со > 0 не зависит от у.

Воспользуемся принадлежащей Рубио де Франсиа [34] конструкцией

Бу(х) = ^(2Со)-кМк <р(х), (4.6)

к=0

где Мк — к раз проитерированный максимальный оператор и Со —постоянная из (4.5), Со > 1. Следующие утверждения очевидны:

1) у(х) < Бу(х), х Є О, для любой неотрицательной функции у;

2) \\р-р0Б^\\Ь(гУ( .) < 2\р-Р0у\\ь(еУ( .), (4.7)

3) М(Бу)(х) < 2соБу(х), х Є О, так что Бу Є Аі(О) с постоянной Аі, не зависящей

от у. Поэтому Бу Є АР0 (О).

В силу п. 1 для у = Н имеем

J /Р0 (х)Н(х)3,р(х) < J /Р0 (х)БН(х)3,р(х). (4.8)

пп

Ввиду неравенства Гельдера для переменных показателей, условия п. 2 и условия / €

р( )

Ьр имеем

[ /Ро (х)Бк(х)Зр(х) = [ /Ро (х)рРор_Ро Бк(х)3р(х) < к\\/РорРо\\ьр(■) ■ \\р_РоБк\\ь(ру(. ) <

п п

< С\\/р\\Рь1(-) ■ \\крРо\\ь(Р)'(-) < С\\/р\\ыл-) < то.

Следовательно, интеграл / /Ро (х)Бк(х)Зр(х) конечен и мы можем воспользоваться

п

условием (4.1) применительно к правой части в (4.8), что дает

J /Ро (х)БН(х)3,р(х) < С ! дРо (х)Бк(х)Зр(х). пп

Применяя неравенство Гельдера в правой части, получаем

J /Р0 (х)БН(х)Зр(х) < С\\рд\\Ьр(■)\\р_Р0Бк\\ь(Р)'(.). (4.9)

п

Чтобы доказать (4.4), в силу (4.8) достаточно показать, что ||р_РоБк\\Ь(~^у(.) оценивается постоянной, не зависящей от к. Это вытекает из (4.7) и нормировки \\Нр Ро\\ь(р)’(■ ) < 1. Теорема доказана.

Р( )

5. Приложение к ограниченности в Ьр классических операторов гармонического анализа

5.1. Мультипликаторы преобразований Фурье. Измеримую функцию Мп М1 называем Фурье-мультипликатором в пространстве Ь^ )(М"), если оператор Тт определенный на пространстве Шварца Б(Мп) равенством

Тт/ = т¡,

продолжим до ограниченного оператора в Lpp( )(Rn).

Ниже мы даем обобщение классической теоремы Михлина о Фурье-мультипликато-рах на случай пространств Лебега с переменным показателем.

Теорема 5.1. Пусть p Є P(Rn) П p Є WL и p(x) = pTO = const для Ixl > R при некотором R> 0, и р — весовая функция вида (2.1), где

n n

<!Зк<—~ (5.1)

p(xk) p'(xk)’

Пусть функция т(х) непрерывна всюду в М”, кроме, может быть, начала координат, имеет смешанную производную , имеет непрерывные вне начала координат

производные Пат = , а = (а1, ■■■, &п), всех порядков |а| = а.\ + • • -+ ап <

п — 1 и

\х\1а^ \Ват(х)\ < С, |а| < п — 1,

где постоянная С > 0 не зависит от х; тогда т является Фурье-мультипликатором в Ьр{' }(М”).

Теорема 5.1 вытекает из теорем 4.2 и 3.2 с учетом того, что при постоянном в, 1 < в < то, и весе р € Л8 функция т, удовлетворяющая условиям теоремы 5.1, является Фурье-мультипликатором в Ьр(Кп). Последнее было доказано в [28], см. также [2].

Заметим, что эта теорема для весовых пространств с переменным показателем верна также в более общей форме, именно в форме теоремы Михлина—Хермандера.

Теорема 5.2. Пусть р(^) и р удовлетворяют условиям теоремы 5.1. Пусть функция т : М” ^ М1 удовлетворяет условию

sup

R>0

/ \1/S Rs\a\-n IDam(x)lsdx\ < to

\ R<\x\<2R

для некоторого в, 1 < в < 2 и всех а с \а\ < І, где > 1. Тогда т является Фурье-мультипликатором в Ьр ^(М”).

Теорема 5.2 также выводится из теорем 4.2 и 3.2.

В следующей теореме Aj означает любой из интервалов вида [2і, 2і+1] или [-2і+1, -2і], і Є Z.

Теорема 5.3. Пусть р Є V(М1) П ^¿(М1) и пусть р(х) постоянна вне некоторого конечного интервала. Пусть р имеет вид (2.1) и выполнены условия (5.1)-(5.2) с п =

1. Предположим, что в каждом из интервалов Ді функция т представима в виде

Л

г(А) = J dpA,, А Є Aj

где «дз- —конечные меры, такие что sup varp^j < ж. Тогда m является Фурье-

мультипликатором в Lpp( ^(М1).

В случае постоянного p последняя теорема была доказана в [29] при р = 1 и в [2, 3] при р G Ap.

5.2. Мультипликаторы тригонометрических рядов Фурье. На основе теоремы 4.1 и известных результатов для постоянных показателей мы теперь можем дать обобщение теорем о мультипликаторах Марцинкевича и разложений Литтлвуда—Пэли для тригонометрических рядов Фурье на случай весовых пространств с переменным показателем.

Пусть T = [-'к,'к\, f — 2п-периодическая функция и

f(x) ~ + 53(afc coskx + Ьк siii/гж). (5-3)

fc=0

В соответствии с предыдущими обозначениями включение р € П) означает, что

вес р имеет вид (2.4) с условием (2.6) или (2.7), выполненным с п = 1.

Теорема 5.4. Пусть р € V(Т) П ^Ь(Т) и р € ^“^(Т, П). Предположим, что последовательность Ак удовлетворяет условиям

23' -1

1Ак1 < А и |Ак — АЬ+1| < А,

k=23-

где А > 0 не зависит от к и ]. Тогда существует функция Г(х) € Ьрр( ^(Т) такая,

Ж

что ряд + ^2 Лд;(ад; совкх + Ьк вткх) является рядом Фурье для и

k=0

l|FII Lpc■ ) < cA\\fII

P( ■ ) !

где с > 0 не зависит от / Є Ьр,( ^(Т).

Теорема 5.5. Пусть р Є V(Т) П ШЬ(Т) и р Є У°^(Т, П). Тогда существуют постоянные с\ > 0 и С2 > 0, такие что

ci|

г р( ■ ) <

(ж 2 j -1 2

Е k A :w I

V j=0 k=2j-1 !

< С2І

Г р( ■)

р( ) JR

для всех / £ 1?р ^ (Т), где А]~ (х) = eos kx + b¡~ sin kx, A2-i = 0, Ao = ^. В случае постоянного p и p £ Ap эта теорема была доказана в [28].

5.3. Мажоранты частичных сумм рядов Фурье. Пусть

S*(f) = S*(/,x) = sup ISk(f,x)l, k>0

где Sk(/,x) —частичная сумма ряда Фурье (5.3).

Теорема 5.6. Пусть p £ P(T) П WL(T) и p £ У°^(Г, П). Тогда

над )У,

р(■) < c\\

р( )

для всех f G Lp ^(T); где постоянная с > 0 не зависит от f.

(5.4)

(5.5)

В случае постоянного р и р € Ар теорема 5.6 была доказана в [18].

5.4. Сингулярный интеграл Коши. Рассмотрим теперь сингулярный интеграл

I (т) ¿V

Svlit) = -[ пі J

т —t

где Г —простая конечная кривая Карлесона, а V — натуральный параметр на Г.

Теорема 5.7. Пусть р Є V(Г) П ШЬ(Г) и р Є Ур^Г, П). Тогда оператор Бг ограничен в пространстве Ьрр( ^(Г).

Р

2

Р

Р

Р

Р

В случае степенных весов теорема 5.7 была доказана в [24], где рассматривался также случай бесконечной кривой Карлесона. Для случая постоянного р и р € Ар(Г) теорема 5.7 разными методами была доказана в [22] и [9].

5.5. Многомерные сингулярные операторы. Рассматриваем многомерный сингулярный оператор

Т/(х) = Ііт І К(х,у)/(у) ¿у, х Є М”. (5.6)

є^О ]

\х — у\>Е

Относительно сингулярного ядра К(х, у) предполагается, что оно таково, что выполнены следующие условия:

\К(х,у)\< С\х - УІ—”, (5.7)

\х^ — х Iа 1

|К(х', у) - К(х, у)I < \х' -х\<-\х- у|, (5.8)

|у' — у|а 1

\К(х,у) - К(х,у)\ < С _у^п+а, \У -У\<т2\х-У\, (5-9)

где а — произвольный положительный показатель,

существует lim / K(x,y) dy, (5.10)

є^О J

\x-y\>e

оператор (5.6) ограничен в L2(Rn). (5.11)

Теорема 5.8. Пусть p £ P(Rn) П WL(Rn) и p(x) = pTO = const вне некоторого

шара \x\ < R и пусть р — весовая функция вида (2.1), где d(x,xk) = \x — Xk\ и выполне-

ны условия (5.1) и (5.2). Если ядро K(x,y) удовлетворяет условиям (5.7)-(5.11), то оператор T ограничен в пространстве Lp( ^(Mn).

В случае постоянного p и р £ Ap(Rn) последняя теорема была доказана в [11]. В случае переменного p(-) теорема 5.8 в безвесовом случае была ранее доказана в [16].

5.6. Коммутаторы. Рассмотрим коммутаторы

[b,T ]f (x)= b(x)Tf (x) — T (bf )(x), порожденные оператором (5.6) и функцией b £ BMO(Rn).

Теорема 5.9. Пусть p £ P(Rn) П WL(Rn) и p(x) = pTO = const вне некоторого

шара \x\ < R, а р — весовая функция вида (2.1), где d(x, xk) = \x — xk\; пусть выполне-

ны условия (5.1) и (5.2). Если ядро K(x,y) удовлетворяет условиям (5.7)-(5.11), то коммутатор [b,T] ограничен в пространстве Lpp( ^(Rn).

В случае постоянного p и р £ Ap(Rn), 1 < p < ж, теорема 5.9 доказана ранее, см. [32]. В случае переменного p(-) теорема 5.9 была доказана в безвесовом случае в [20].

5.7. Функция Феффермана—Стейна. Пусть ] — измеримая локально интегрируемая функция в К", В— произвольный шар в К" и /в = уш //(х) ¿х. Рассмотрим

1 1 в

максимальную функцию Феффермана—Стейна

1

M*f{x) = sup 7^7 / I/(ж) - fB\dx. BEX \B\ J

Теорема 5.10. Предположим, что р £ P(Rn) П WL(Rn) и p(x) = рто = const вне некоторого шара \x\ < R; пусть р —весовая функция вида (2.1), где d(x,xk) = \x — Xk\, и выполнены условия (5.1) и (5.2). Тогда

\\Mf ||Lp( ■ >CR„) < C\\M#f |^( ■ >CR„),

(5.12)

где С > 0 не зависит от /.

В случае постоянного р и р £ Ар неравенство (5.12) было доказано в [17].

5.8. Псевдодифференциальные операторы. Определим псевдодифференци-альный оператор а(х, В) равенством

r(x,D)f (x) =J a(x,Ç)e2ni(x’^)f(Ç) dÇ.

Теорема 5.11. Пусть p £ P(Rn) П WL(Rn), p(x) = pœ = const вне некоторого шара \x\ < R и p —весовая функция вида (2.1), где d(x,xk) = \x — xk\; предположим что выполнены условия (5.1) и (5.2). Если

\дрвCT(x,0| < Сав(1 + КГ1“1,

то оператор a(x, D) допускает непрерывное продолжение на пространство Lp( )(Rn).

В случае постоянного р и р £ Ар теорема 5.11 была доказана в [31]. Для переменного р(-) теорема 5.11 другим методом была доказана в безвесовом случае в [33].

5.9. Векторнозначные операторы. Рассмотрим последовательность / =

(/і, • • • , /к, • • •) локально интегрируемых функций /і, /і : М” ^ М1.

Теорема 5.12. Пусть p £ P(Rn) П WL(Rn), p(x) = pTO = const вне некоторого шара \x\ < R, p — весовая функция вида (2.1), где d(x, Xk) = \x — Xk |. Тогда в условиях

(5.1)-(5.2) для любого в, 0 < в < то,

/сю \ в /сю \ в

( 'Em )в j < с Lp( ■ )(Rn) (р/)

'р( ■ )(

где с > 0 не зависит от f.

Р

В случае постоянного числа р и функции р из класса Ap весовые неравенства для векторнозначных функций были доказаны в [2-4] (см. также [8]).

Соответствующие утверждения для векторнозначных операторов справедливы также для сингулярных интегралов, коммутаторов, максимальной функции Феффермана—Стейна, Фурье-мультипликаторов и т. д.

Литература

1. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства сопряженных функций // Труды Московского мат. об-ва. Т. 5. С. 483-522. 1956.

2. Кокилашвили В. М. Максимальные неравенства и мультипликаторы в весовых пространствах Лизоркина—Трибеля // Докл. Акад. Наук СССР. Т. 239. №1. С. 42-45. 1978.

3. Кокилашвили В. М. Максимальные функции в весовых пространствах // Труды Тбил. матем. ин-та им. А. Размадзе АН Груз ССР. Т. 65. С. 110-121. 1980.

4. Кокилашвили В. М. Весовые пространства Лизоркина—Трибеля. Сингулярные интегралы, мультипликаторы, теоремы вложения // Труды Матем. инст. им. Стеклова. Исследования по теории дифференцируемых функций нескольких переменных и их приложения, IX. Т. 161. С. 125-149. 1983 (English Transl.: Proc. Steklov Inst. Math. Vol. 3. 1984. P. 135-162).

5. Михлин С. Г. О мультипликаторах интегралов Фурье // Докл. Акад. наук СССР. Т. 109.

С. 701-703. 1956.

6. Михлин С. Г. К теории многомерных сингулярных интегральных уравнений // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1, №11. С. 3-24. 1956.

7. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. Москва, Физматгиз, 1962. 254 c.

8. Andersen K.F., John R. T. Weighted inequalities for vector-valued maximal functions and singular integrals // Studia Math. Vol. 69. N 1. P. 19-31. 1980/81.

9. Bottcher A., Karlovich Yu. Carleson Curves, Muckenhoupt Weights, and Toeplitz Operators. Basel, Boston, Berlin: Birkhauser Verlag, 1997. 397 p.

10. Calderon A.-P. Inequalities for the maximal function relative to a metric // Studia Math. Vol. 57. N 3. P. 297-306. 1976.

11. Cordoba A., Fefferman C. A weighted norm inequality for singular integrals // Studia Math. Vol. 57. N1. P. 97-101. 1976.

12. Cruz-Uribe D., Fiorenza A., Martell J. M., Perez C. The boundedness of classical operators on variable Lp spaces // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. Vol. 31. N1. P. 239-264. 2006.

13. Cruz-Uribe D., Martell J. M., Perez C. Extrapolation from Ax weights and applications // J. Funct. Anal. Vol. 213. N 2. P. 412-439. 2004.

14. Diening L. Maximal function on generalized Lebesgue spaces Lp (•) // Math. Inequal. Appl. Vol. 7. N 2. P. 245-253. 2004.

15. Diening L., Hasto P., Nekvinda A. Open problems in variable exponent Lebesgue and Sobolev spaces // Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis. Proceedings of the Conference held in Milovy, Bohemian-Moravian Uplands. May 28 — June 2, 2004. Math. Inst. Acad. Sci. Czech Republick, Praha.

16. Diening L., Ruzicka M. Calderon-Zygmund operators on generalized Lebesgue spaces Lp(x) and problems related to fluid dynamics // J. Reine Angew. Math. Vol. 563. P. 197-220. 2003.

17. Fefferman C., Stein E. M. Hp spaces of several variables // Acta Math. Vol. 129. Issue 3-4. P. 137-193. 1972.

18. Hunt R. A., Young W. S. A weighted norm inequality for Fourier series // Bull. Amer. Math. Soc. Vol. 80. P. 274-277. 1974.

19. Karapetiants N. K., Samko N. G. Weighted theorems on fractional integrals in the generalized Holder spaces Ho'(p) via the indices mш and Мш // Fract. Calc. Appl. Anal. Vol. 7. N4. 2004.

20. Karlovich A. Yu., Lerner A. K. Commutators of singular integrals on generalized Lp spaces with variable exponent // Publ. Math. Vol. 49. N 1. P. 111-125. 2005.

21. Khabazi M. Maximal operators in weighted Lp(x) spaces // Proc. A. Razmadze Math. Inst. Vol. 135. P. 143-144. 2004.

22. Khuskivadze G., Kokilashvili V., Paatashvili V. Boundary value problems for analytic and harmonic functions in domains with nonsmooth boundaries. Applications to conformal mappings // Mem. Differential Equations Math. Phys. Vol. 14. P. 195. 1998.

23. Kokilashvili V. On a progress in the theory of integral operators in weighted Banach function spaces // Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis. Proceedings of the Conference held in Milovy, Bohemian-Moravian Uplands. May 28 — June 2, 2004. Math. Inst. Acad. Sci. Czech Republick, Praha.

24. Kokilashvili V., Paatashvili V., Samko S. Boundedness in Lebesgue spaces with variable exponent of the Cauchy singular operators on Carleson curves // Operator Theory: Advances and Applications, dedicated to 70th birthday of Prof. I. B. Simonenko. Basel: Birkhauser Verlag, 2006. P. 167-186.

25. Kokilashvili V., Samko N., Samko S. The Maximal Operator in Weighted Variable Spaces Lp( ) // J. Function Spaces and Appl. (to appear.)

26. Kokilashvili V., Samko N., Samko S. The maximal operator in variable spaces Lp( )(fi,p) // Georgian Math. J. Vol. 13. N1. P. 109-125. 2006.

27. Kovácik O., Rákosnik J. On spaces Lp(x) and Wk,p(x) // Czechoslovak Math. J. Vol.41. Issue 116. P. 592-618. 1991.

28. Kurtz D. S. Littlewood—Paley and multiplier theorems on weighted Lp spaces // Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 259. N1. P. 235-254. 1980.

29. Lizorkin P. I. Multipliers of Fourier integrals in the spaces Lp, g // Trudy Mat. Inst. Steklov, 89:231-248, 1967. (English Transl.: Proc. Steklov Inst. Math. 89 (1967), 269-290.)

30. Macias R., Segovia C. A well behaved quasidistance for spaces of homogeneous type // Trab. Mat. Inst. Argentina Math. Vol. 32. P. 1-18. 1981.

31. Miller N. Weighted Sobolev spaces and pseudodifferential operators with smooth symbols // Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 269. N1. P. 91-109. 1982.

32. Párez C. Sharp estimates for commutators of singular integrals via iterations of the Hardy— Littlewood maximal function // J. Fourier Anal. Appl. Vol. 3. N6. P. 743-756. 1997.

33. Rabinovich V. S., Samko S. G. Boundedness and Fredholmness of pseudodifferential operators in variable exponent spaces // Revista Matematica Iberoamericana, submitted.

34. Rubio de Francia J. L. Factorization theory and Ap weights // Amer. J. Math. Vol. 106. N 3. P. 533-547. 1984.

35. Samko N. G. Singular integral operators in weighted spaces with generalized Holder condition // Proc. A. Razmadze Math. Inst. Vol. 120. P. 107-134. 1999.

36. Samko N. G. On non-equilibrated almost monotonic functions of the Zygmund—Bary— Stechkin class // Real Anal. Exch. Vol. 30. N2. P. 727-745. 2005.

37. Samko S. G. Differentiation and integration of variable order and the spaces Lp(x). Proceed. of Intern. Conference “Operator Theory and Complex and Hypercomplex Analysis”. 12-17 December 1994, Mexico City, Mexico. (Contemp. Math. Vol. 212. P. 203-219. 1998.)

38. Samko S. G. On a progress in the theory of Lebesgue spaces with variable exponent: maximal and singular operators // Integr. Transf. and Spec. Funct. Vol. 16. Issue 5-6. P. 461-482. 2005.

Статья поступила в редакцию 11 ноября 2007 г.