CC BY
11Математика
УДК 511
О КОМПЛЕКСНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМАХ В C2 С ЛОРАНОВСКИМ ГАМИЛЬТОНИАНОМ МАЛОЙ СТЕПЕНИ
Н. Н. Мартынчук1
Рассматриваются комплексные гамильтоновы системы на C х (C\{0}) со стандартной симплектической структурой wc = dz A dw и функцией Гамильтона f = az2 + b/w + Pn(w), где Pn(w) — многочлен степени n, числа a, b G C и ab = 0. Изучается гамильтонова эквива-
C
лпвается, как топологически устроены факторпространства, полученные отождествлением эквивалентных систем, в каждом из рассмотренных классов. Также доказывается, что бифуркационный комплекс для случая систем с гамильтонианом f = az2 + b/w + Pn(w), где ab = 0, n ^ 0, гомеоморфен двумерной плоскости.
Ключевые слова: симплектическая структура, гамильтонова система, гамильтонова эквивалентность, бифуркационный комплекс.
We study complex Hamiltonian systems on Cx (C\{0}) with standard symplectic structure wc = dz A dw and Hamiltonian function f = az2 + b/w + Pn(w), where Pn(w) is a polynomial of degree n, the numbers a, b G C and ab = 0. For some natural classes of these C-Hamiltonian systems we study an equivalence relation in the Hamiltonian sense and determine the topology
C
Hamiltonian function f = az2 + b/w + Pn(w), where ab = 0, n > 0, the bifurcation complex is homeomorphic to a two-dimensional plane.
Key words: symplectic structure, Hamiltonian system, Hamiltonian equivalence, bifurcation complex.
1. Введение. В работе fl] введено понятие C-гамильтоповой системы (Mc,wc,f), где Mc — комплексное многообразие, wc — замкнутая невырожденная голоморфная 2-форма на этом многообразии, а f: Mc — C — голоморфная функция, называемая гамильтонианом. В работах [1-5] исследуются различные вопросы, связанные с C-гамильтоновыми системами следующего вида: (C2,dz A dw,P(z,w)), где P(z, w) — полином. Исследуются условия полноты потоков таких систем (с гамильтонианом, невырожденным относительно своего многоугольника Ньютона), обобщается теорема Лиувилля (для случая гиперэллиптического полиномиального гамильтониана f = az2 + Pn(w)).
В настоящей работе дается обзор основных результатов из [1], а также исследуется гамильтонова эквивалентность C-гамильтоновых систем с гамильтонианом, имеющим вид f = az2 + b/w+Pn(w), где Pn(w) — многочлен степени n G N U {0}. Такой гамильтониан f мы называем (гиперэллиптическим) лорановским гамильтонианом степени n. В разобранных случаях малых степеней устанавливается, как топологически устроено пространство гамильтоново неэквивалентных систем. Также доказывается, что для систем с лорановским гамильтонианом произвольной степени соответствующий бифуркационный комплекс является комплексной плоскостью.
2. Основные определения. Приведем основные понятия и обозначения, используемые в дальнейшем.
Определение 1. С-гамшьто^вой системой называется тройка (Mc, wc, f), где Mc — комплексное многообразие, wc — замкнутая невырожденная голоморфная 2-форма на этом многообразии, а f: Mc — C — голоморфная функция, называемая гамильтонианом.
Определение 2. Векторным полем косой градиент, функции f: Mc — C относительно формы wc называется векторное поле sgradcf на Mc, такое, что для любого векторного поля v на Mc выполнено равенство wc(v, sgradcf) = v(f), где v(f) — производная функции f по направлению v.
Нетрудно видеть, что если Mc = MCN имеет комплексную размерность 2N, a wc = dz A dw = dzi A dwi +... + dzN A dwN, где z = (zi,..., zn) и w = (wi,..., wn) — локальные комплексные координаты на многообразии, то sgradcf = (-fw, fz) = (-fwi,..., -fwN, fzi, • • •, fzN)•
Определение 3. Уравнением, Гамильтона C-гамильтоновой сис темы (Mc, wc, f) называется уравнение z(t) = sgradcf |z(t), где t G I — параметр в некотором интервале I С R, z = (zi,..., z2n) — локальные
1 Мартынчук Николай Николаевич — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mnick45Qbk.ru.
координаты на многообразии. Если sgrade/ имеет в этих координатах компоненты (vi,... ,V2n) то уравнение Гамильтона следует рассматривать как систему 4N уравнений
Xk = Re Vk, yk = Im Vk,
где Zk = Xk + iyk, к = 1,..., 2N.
Определение 4. Голоморфная функция h называется первым интегралом C-гамильтоновой системы (Ис,шс,/), если sgrade/(h) = 0.
Определение 5. Пусть дана C-гамильтонова система (MCN, шс,/) с N первыми интегралами /1,..., /n (/ = /ь diтСM2N = 2N). Тогда отображение F = (/1,..., /N) : Me ^ CN называется отображением момента.
Слоем (или листом) Tç С M2N уровия £ функций /i,..., /n, а также соответствующей C-гамильтоновой системы называется совместная поверхность уровня этих функций, т.е. Tç = F-1(£). Здесь £ =
(6,...,£n), £k е C.
Определение 6. Бифуркационным комплексом C-гамильтоновой системы (MCN, шс, /) с N первыми интегралами /i,..., /n называется факторпространство многообразия MCN по разбиению на связные компоненты прообразов точек CN при отображении момента.
Определение 7. Две С-гамильтоновы системы (Мсд, шсд, /1) и (Мс,2, шс,2, /2) называются гамиль-тоново эквивалентным,и, если существует биголоморфное отображение h : Мсд ^ Мс,2, такое, что выполнены следующие два условия:
1) шс,1 = h*(wс,2);
2) /1 = /2 ◦ h + c гДе c — некоторая константа.
Все основные понятия и утверждения, связанные с вещественными гамильтоновыми системами, можно найти в [6]. Вопросы топологии неособых слоев слоений Лиувилля интегрируемых систем и их симметрии обсуждаются в [7-11]. Обобщение теории на комплексные системы содержится в упомянутых выше работах [1-5], оно возникло в связи с поставленной А. Т. Фоменко задачей обобщить теорему Лиувилля на случай интегрируемых гамильтоновых систем с неполными потоками (гамильтоновы системы, рассмотренные в [1-5], а также в настоящей работе, обладают "в большинстве случаев" неполными потоками).
C
эллиптическим гамильтонианом.
Определение 8. Пусть дан многочлен /(z, w) = az2 + bnwn +... + b0, n е N, a, bn,..., b0 е С, abn = 0. Он называется гиперэллиптическим, многочленом степени n (эллиптическим, многочленом при n ^ 4). Соответствующую С-гамильтонову систему (С2, dz Л dw, /(z, w)) обозначим через Hn(a, bn,..., bo).
Ясно, что эта система имеет не более n — 1 особых слоев и слой Tç особый тогда и только тогда, когда £ _ критическое значение многочлена bnwn+.. .+b0. Система Hn(a, bn,..., b0) называется невырожденной, если v многочлена bnwn + ... + bo критических значений ровно n — 1.
Теорема 1 (Т. Лепский [1]). Пусть дана С-гамилътонова система (C2,dz Л dw,/n(z,w)) с эллиптическим гамильтонианом степени n n = 1, 2, 3, 4. Тогда, имеют место следующие утверждения.
1) Каждая С-гамилътонова сис тема H1(a, b, c) гамильтоново эквивалентна, канонической "линейной" С-гамилътоновой сис теме (С2(и, v),du Л dv,/1(u, v) = u). Все слои С-гамильтоновой системы H1(a, b, c) являются неособым,и, биголоморфными плоскости С и образуют тривиальное расслоение с базой С.
2) Каждая, С-гамилътонова сис тема H2(a, b, c, d) гамильтоново эквивалентна С-гамильтоновой системе 5(2(01,1,0,0) для ai = ab € С\{0} и имеет один особый, слой, Tçx, £1 = с ■ Ограничение системы на С2 \ Tç1 гамильтоново эквивалентно "линейной" системе ((С \ {0}) х (С/2-nZ), du Л dv, /2(u, v) = 2y/aïu). Все неособые слои, С-гамильтоновой системы JC2(a, b, с, d) биголоморфны цилиндру С/2жЪ и, образуют тривиальное расслоение с базой С \ {0}.
3) Каждая, невырожденная С-гамилътонова сис тема H3(a, b, c, d, e) гамильтоново эквивалентна системе H3(r, s, s, 0, 0) для некоторых r, s е С, rs = 0 и 'имеет два, особых слоя Tç^., j = 1, 2. Все неособые слои С-гамильтоновой сис темы H3(a, b, c, d, e) биголоморф ны ТД \ {p} для некоторого Л = Л(£) е С \ R зависящего от слоя Tç, где ТД = С/^nZ + AZ) — двумерный тор, p е ТД.
4) Каждая, невырожденная С-гамилътонова сис тема H4(a, b, c, d, e, к) гамильтоново эквивалент,на, системе H4(r, s, s(p+1), sp, 0, 0) дм некоторых r, s,p е С, rs = 0 и 'имеет m,pu особых слоя Tçj; j = 1, 2, 3. Все неособые слои С-гамилътоновой системы H4(a, b, c, d, e, к) биголоморфны ТД\{p1,p2} для некоторого Л = Л(£) е С \ R зависящего от слоя Tç, где p1,p2 е ТД; p1 = p2.
В работе fl] получены также критерии гамильтоновой эквивалентности пар систем H2(ai,1, 0, 0) и H2(a2,1,0,0), Нз(г1, si, si, 0,0) и Нз(г2, S2, «2,0,0) H4(ri, si, si(pi+1), sipi, 0,0) и H4(r2, S2, S2(P2+1), S2P2, 0, 0)
4. Случай полюса первого порядка. Введем следующее
Определение 9. C-гамильтоновой системой с (гиперэллиптическим) лорановским гамильтони-
m b- n
аном степени (т,п) назовем тройку (С х (С \ {0}),dz Л dw,f), где f(z,w) = az2 + ^ ~^ + S Cjw\
i=i w% j=0
m € N, n € N U {0}, a, bj, Cj € C, abm = 0 и cn = 0 при n > 0.
п
Мы будем рассматривать частный случай, когда гамильтониан / (г, ш) = аг2 + Ь/ш + ^ с^шк. Та-
к=0
кой вид гамильтониана является естественным обобщением (гиперэллиптических полиномиальных) гамильтонианов, рассмотренных в работах [1-3], на случай полюса первого порядка. Для удобства соответствующую систему назовем системой с лорановским гамильтонианом степени п и обозначим через £п(а, Ь,Сп, ...,со).
Рассмотрим С-гамильтонову систему £о(а, Ь, с) с лорановским гамильтонианом степени нуль. Теорема 2. Каждая система £0(а, Ь, с) гамильтоново эквивалентна, системе £0(7,7, 0) пРи 7 = Ь2/а. Любые две системы £0(71,71, 0) и £0(72,72, 0) гамильтоново эквивалентны тогда и только тогда, когда 71 = 72. Все ело и Т4 являются неособым,и, биголоморфным и плоскости С, с двумя проколам,и при £ = с и с одним проколом при £ = с.
Доказательство. Сделаем замену координат в С х (С \ {0})(г, ш) по формулам и = аг/Ь, V = Ьш/а. Положим 7 = Ь2/а. Тогда, очевидно, ^и Л ^ = ^ Л ¿ш и 7и2 + 7/v = аг2 + Ь/ш.
Докажем второе утверждение теоремы. Предположим, что существует гамильтонова эквивалентность между £0(7ь 7ь 0) и £0(72,72, 0) с биголоморфным отображением Н = (и, V): С х (С\ {0}) ^ С х (С\ {0}), и = и(г,ш), V = v(z, ш). Выведем отсюда, что 71 = 72.
По определению гамильтоновой эквивалентности имеем
Ъ*2 + — + С = Ъи2 + —, (1)
ш V
где С — некоторая константа. Рассмотрим произвольный слой Т^ уровня £ системы £0(71,71,0). Он гомеоморфен двумерной сфере с тремя проколами при £ = 0 и сфере с двумя проколами при £ = 0. Отсюда следует, что "нулевой" слой Т0 системы £0 (71,71, 0) обязан перейти при гамильтоновой эквивалентности
в "нулевой" слой Тд системы £0(72,72,0). Значит, С = 0 в (1). Пусть из) = Н--, а у) =
72-и2 Н--. Нетрудно видеть, что sgrаdc/l = (71/1У2, 2712:), sgradc/2 = (7г/^2,
Рассмотрим £ = 0. Тогда Н(Т= Т2, причем "выколотые точки" первого слоя перейдут в "выколотые точки" второго слоя (под "выколотыми точками" слоев Т4, ] = 1, 2, мы подразумеваем их граничные точки в С2, где С — пополненная комплексная плоскость, гомеоморфная двумерной сфере). В слое Т^ выколотые точки имеют вид Р^ = оо), Р^д = (оо, 0), а в слое Т2 соответственно вид = Л;,2 =
(то, 0). Покажем, что Н(Р^;1) = Р^. Для этого определим на слое Т^ голоморфную 1-форму Д^, такую, что 1) = 1 (аналогично определим форму Д2). Нетрудно проверить, что замыкание Т^ слоя Т^
в С2 является регулярной кривой, биголоморфной С, причем проекция Ргг: Т^ —> С, (г, и;) н->■ г, является
биголоморфным отображением, и что в координате г форма Д1 запишется в виде Д1 = ———.-^-77
4 4 71(£/71 - г2)2
Эта форма в точке Р4Д имеет устранимую особенность — нуль второго порядка (чтобы в этом убедиться,
следует сделать замену г ^ 1/г), а в точках Р±1 — неустранимую особенность — полюс второго порядка.
Аналогично форма Д2 имеет устранимую особенность в точке и неустранимую особенность в точках
Р±2- Зафиксируем малое е > 0 и вычислим следующие интегралы:
— [ А1„ — [ Д2 (2)
2т ^ 2т ^ 1 ;
I Tv 71 I I Tv Y2 1
Для этого воспользуемся формулой для подсчета вычета произвольной мероморфной функции д в полюсе а порядка к:
1 йк-1
«*»</(*) = Ит (д{£){г - а)к)
Так как интегралы в (2) суть вычеты соответствующих функций (точнее, 1-форм) в точках Р± 1 и Р^> прямой подсчет дает
-1- Г А1 = Т1 -I. / А2 = Т1 2тгг ] « 471(7ё7тГ)з' 2тгг У ? 4Ъ(^Цъ)3'
и=рЛ/ — \=£ ет./— \=£
I ТУ 71 I I V 72 I
Полученные числа отличны от нуля, а значения аналогичных интегралов, взятых вокруг точек Р^ , 1 и Р^ ,2, равны нулю. Тем самым Л(Р^ 1) = Р^2, откуда Л^Р^) = Р^ или Л^Р^) = Р^- Значит, из равенства интегралов в (3) следует, что -71 (л/^ТтГ)3 = ±72(\/£/72)3- Возводя полученное равенство в квадрат, получаем
71 = 72- □
Следствие 1. Любые две системы £о(а1,Ь1,с1) м £0(а2,Ь2,с2) гамильтоново эквивалентны тогда и только тогда, когда а2^2 = а1&2 ■
Рассмотрим С-гамильтонову систему £(а, Ь, с, й) с лорановским гамильтонианом степени один. Теорема 3. Каждая система £1(а, Ь, с, й) гамильтоново эквивалентна, системе £1(^7,7,0) при г = ^ м 7 = \/Ьс. Любые две системы £1(77,71,71,0) м £1(^2,72,72,0) гамильтоново эквивалентны тогда и только тогда, когда Г\ = г2 и 71 = ±72. Система имеет два особых слоя, Т^±, £± = й ± 2л/Ъс. Все неособые слои Т^ гомеоморфны двумерному тору Т2 с двумя проколами.
Доказательство. Сделаем замену координат в (С х (С \ {0}))(,г,«;): и = \J\z-, V = \f\w- Положим
г = ■у, 7 = \/Ъс. Тогда, очевидно, (1и /\ (IV = (1х /\ (Ы ж ги2 + 7/?; + 7?; = аг2 + &/«; + см.
Докажем второе утверждение теоремы. Пусть имеется гамильтонова эквивалентность Л между £1(г1,7ъ7ъ 0) и £1(г2, 72,72, 0). Рассмотрим особые точки (т.е. нули) векторных полей sgradc/j в С х (С\ {0}) где / — гамильтонианы соответствующих систем, ] = 1, 2. Как нетрудно видеть, это точки (0, ±1). Обозначим их через Р ± При гамильтоновой эквивалентности особые точки переходят в особые, значит, /1(Р+) - /1(Р-) = ±(/2(Р+) - /2(Р-)), откуда 71 = ±72 и особые значения суть £± = /1(Р ±) = ±271-
Для доказательства равенства Г1 = Г2 рассмотрим линейные операторы — линеаризации соответствующих векторных полей в особых точках. Они имеют вид
= ( 0 ^ ^
3 \2г? 0 ) '
Пусть особые точки Р± переходят в себя. Тогда = ((йЛ)|Р±)-1 оо(йЛ)|Р±. А значит, с^А^ = сЫ^А^.
Если же особые точки меняются местами, то будем иметь = с^А^. В первом случае Г171 = Г272
и 71 = 72, а то втор ом г171 = — Г272 и 71 = —72. В обоих случ аях г1 = г2. То, что сист емы £1(г, 7,7, 0) и
£1(г, —7, —7, 0) гамильтоново эквивалентны, очевидно.
Для завершения доказательства теоремы осталось показать, что все неособые слои гомеоморфны
тору с двумя проколами. Рассмотрим компактификацию Т^ любого неособого слоя Т^ ("заклеивающую"
проколы неособого слоя бесконечно удаленными точками) и его проекцию на пополненную плоскость
Ргад : Т^ —>■ С, (г, и)) > и). Нетрудно проверить, что это отображение является двулистным разветвленным
накрытием с четырьмя точками ветвления индекса два (над точками и> = 0 и и> = то пополненной
плоскости есть ветвление, поэтому в качестве компактификации Т^ слоя Т^ можно взять его замыкание в С2
двумерной поверхности рода д = \ XX ^— 1) — (гп — 1) = 1. Здесь кг — индексы ветвлений в особых точках, а т — число листов. Отсюда неособый слой Т^ гомеоморфен тору с двумя проколами. □
Следствие 2. Любые две системы £1(а1, Ь1, с1, й1) и £1(а2, Ь2, с2, й2) гамильтоново эквивалентны тогда и только тогда, когда а2Ь2 = а1&2 и Ь1с1 = Ь2с2.
Рассмотрим С-гамильтонову систему £2(а, Ь, с, 0,й) с лорановским гамильтонианом степени два. Теорема 4. Каждая, сист,ем,а, £2(а, Ь, с, 0, й) гамильтоново эквивалентна системе £2(г, 7,7, 0, 0) при г = а(|)2^3 и 7 = л/сЪ2. Любые две системы £2(77,71,71,0,0) и £2(г2,72,72, 0, 0) гамильтоново эквивалентны тогда и только тогда, когда г171 = т2^2 и, 73 = 72, т.е. когда, выполнено одно из следующих
2тгг(*:-1)
трех условий (здесь £к = & 3 , к = 1,2,3, — корни третьей степени из единицы)-.
1) Г2 = пи 71 = 72, 2) Г2 = езГ1 и 71 = ез72, 3) Г2 = е2П и 71 = е272-
Система имеет три особых слоя Т^., = Щ-сЬ2, ] = 1,2,3. Все неособые слои Т^ гомеоморфны двумерному тору Т2 с тремя проколами.
Доказательство. Сделаем замену координат в С х (С \ {0})(г,гу): и = \J\zy V = \f\w- Положим
г = а(|)2/3, 7 = л/сб2. Тогда, очевидно, (1и Л = с1г Л (1ъи и ги2 + 7/г; + "(V2 = аг2 + Ъ/гю + си]2.
Докажем второе утверждение теоремы. Пусть имеется гамильтонова эквивалентность между системами £2(^1,71,71, 0, 0) и £2(г2,72,72, 0, 0). Рассмотрим особые точки векторных полей sgradc/j, где / — гамильтонианы соответствующих систем, ] = 1,2. Как нетрудно видеть, это точки (0,ек), к = 1,2,3. Всего имеется 6 возможностей "перемешивания" особых точек, причем в действительности реализуются только 3: либо все особые точки остаются на месте, либо ни одна не остается на месте. Докажем это. Предположим сначала, что точка (0, е1) остается на месте. Так как гамильтонова эквивалентность сохра-
/1
остаются на месте. Действительно, в противном случае 71 — 71е3 = 72 — 72е2 и 71е2 — 71е3 = 72е3 — 72е2. Пусть теперь точка (0, е1) переходит в (0, ек), а точка (0, ек) — в (0,е1), к = 2, 3. Тогда точка (0,е5-к) переходит в себя, откуда получаем следующее равенство: (1 — ек)/(ек — 1) = (1 — е5-к)/(ек — е5-к), которое, очевидно, не может иметь места. Тем самым остаются следующие возможные условия на 7^:
ез — е2 е2 — ез
1) 71 = 72, 2) 71 = --72, 3) 71 = --72.
1 — ез 1 — е2
Эти три условия эквивалентны случаям, описанным в теореме. Чтобы получить условия на т^-, можно рассмотреть линеаризации векторных полей в особых точках:
А- = ( 0 —3^ А = \2п 0
Так как матрицы А^- одни и те же для всех особых точек, то аналогично доказательству теоремы 3 получаем, что Т171 = Г272, откуда следуют условия на т^.
Еще необходимо показать, что все три случая, описанные в теореме, реализуются. Достаточно рассмотреть случай 2. Пусть имеются две системы £2(т, 7,7, 0, 0) и £2(езт, е27, е27, 0, 0). Сделаем замену координат в С х (С \ {0})(г, ш): и = езг, V = е2ш. Тогда, очевидно, ¿и Л ¿V = ^ Л ^ш и тг2 + 7/ш + 7Ш2/2 = езти2 + е27^ + е27V2/2.
Аналогично доказательству теоремы 3 рассмотрим компактификацию Т^ любого неособого слоя Т^ ("заклеивающую" проколы неособого слоя бесконечно удаленными точками) и его проекцию на пополненную плоскость Ргад : Т^ —> С, (г, и)) > и). Нетрудно проверить, что это отображение является двулистным
ш=0
плоскости есть ветвление, а над точкой ш = то его нет, поэтому в качестве компактификации Т4 слоя
—2 С
получаем, что компактификация Т 4 неособого слоя гомеоморфна двумерной поверхности рода д = 1. Отсюда неособый слой Т^ гомеоморфен тору с тремя проколами. □
Следствие 3. Любые две системы £2(а1, Ь1, с1, 0, й1) и £2(а2, Ь2, с2, 0, ) гамильтоново эквивалентны тогда и только тогда, когда с1&2 = с2Ь2 и а1с1 = а2с2.
£С
£
лентные между собой системы. Рассмотрим гамильтоновы системы следующего вида: £0(а, Ь, с), £1(а, Ь, с, и £2(а, Ь, с, 0, Они имеют естественную структуру комплексных многообразий, биголоморф-ных соответственно (С \{0})2 х С, (С \{0})3 х Си (С\{0})3 хС. Изучим топологию пространств гамильтоново неэквивалентных систем этих классов. Для этого введем следующее определение. Пусть имеется комплексное многообразие X и его разбиение Е. Скажем, что факторпространство Х/Е имеет естественную структуру комплексного многообразия, если на нем существует такая структура комплексного многообразия, относительно которой каноническая проекция р: X ^ Х/Е является комплексно-дифференцируемой субмерсией (т.е. комплексно-дифференцируемым отображением, дифференциал которого является эпиморфизмом в каждой точке). Заметим, что по теореме о неявных функциях это условие эквивалентно
тому, что Х/Е является многообразием (относительно фактортопологии) и на нем существует такой комплексный атлас {(иа; фа)} с координатными гомеоморфизмами : иа — что его можно продолжить до некоторого комплексного атласа {(иа,в; )} на Х с координатными окрестностями С р-1(иа) и координатными гомеоморфизмами вида = (фа ор, ^^): — V« х где С Ск и С С1 — открытые подмножества соответствующих комплексных координатных пространств.
Следствие 4. Пространства гамильтоново неэквивалентных систем вида £0(а, Ь, с), £1(а, Ь, с, й) м £2(а, Ь, с, 0, й) имеют естественную структуру комплексных многообразий, биголоморфных соответственно С \ {0}, (С \ {0})2 и (С \ {0})2.
Доказательство. Рассмотрим класс гамильтоновых систем вида £0(а, Ь, с) и отображение а0: (С \ {0})2 х С — С \ {0}, где а0(а, Ь, с) = Ь2/а. Пусть Е0 — разбиение Х0 = (С \ {0})2 х С на слои а-1(£1), € С \ {0}. Согласно следствию 1, факторпространство Х0/Е0 — это в точности пространство гамильтоново неэквивалентных систем вида £0(а, Ь, с). Так как функция 00 сюръективна, всюду аналитична и имеет всюду отличный от нуля дифференциал, то она является искомой субмерсией.
Рассмотрим класс гамильтоновых систем вида £1(а, Ь, с, й) и отображение а : (С \ {0})3 х С — (С \ {0})2, где а1(а, Ь, с, й) = (ас/Ь, Ьс). Пусть Е1 — разбиение Х1 = (С \ {0})3 х С на слои а-1^, £2), (£ь £2) € (С\{0})2. Согласно следствию 2, факторпространство Х1/Е1 — это в точности пространство гамильтоново неэквивалентных систем вида £1(а, Ь, с, й). Так как отображение а сюръективно, всюду аналитично и его матрица Якоби имеет всюду максимальный ранг, то оно является искомой субмерсией.
Рассмотрим оставшийся случай. Пусть Л(г, 7) = (г, Г7) — биголоморфизм из (С \ {0})2 в себя. Он переводит все трехточия вида {(г, 7), (£2г, £37), (£зг, £27)} в трехточия вида {(г', 7'), (^2^,7'), (£зг',7')}. Здесь переменные (г, 7) и корни го единицы £3, ] = 1, 2, 3, как в теореме 4. Используя новые переменные (г', 7') в (С \ {0})2, определим отображение а2: (С \ {0})3 х С — (С \ {0})2 формулой а2(а, Ь, с, й) = (г'3,7') = (а3с2/Ь2, ас). Нетрудно видеть, что по аналогии с предыдущими случаями мы получим утверждение следствия. □ 5. Бифуркационный комплекс. Рассмотрим произвольный лорановский гамильтониан /(2, ад) = 22 + Рп(-ш) + Ь/ад. Имеет место
Теорема 5. Бифуркационный комплекс системы (С х (С \ {0}),^с,/) гомеоморфен С. Доказательство. Для начала заметим следующее. Пусть имеется непрерывное сюръективное отображение /: Х — У топологических Т1 (т.е. все точки замкнуты) пространств. Пусть Е — разбиение Х на слои /-1 (у). Предположим, что естественная биекция д: Х/Е — У является открытым отображением. Тогда факторпространство Х/Е гомеоморфно У и д является гомеоморфизмом.
дХ объединения слоев р-1(и) образ / о р-1(и) открыт в У. Здесь р: Х — Х/Е — каноническая проекция.
В нашем случае Х = С х (С \ {0}), а У = С. Докажем, что прообраз /-1(£) связен в Х для любого £ € С Очевидно, что любой слой Т^ = /-1(£) двулистно-разветвленно накрывает плоскость С отображением Ргад(2,ад) — ад, (2, ад) € ТЗначит, Т £ состоит не более чем из двух компонент связности. Но в силу наличия полюса первого порядка, делая обходы вокруг нуля в плоскости переменной ад, мы будем переходить с ветви на ветвь всегда, если ад близко к нулю. Тем самым доказано, что слой Т^ связен для любого £ € С.
/
ности Х/Е осталось лишь доказать открытость соответствующего отображения д. Для этого рассмотрим открытое множество и С Х/Е и его прообраз р-1(и) при канонической проекции. Проверим, что множество /(р-1(и)) открыто в У. Пусть у0 € /(р-1(и)). Тогда слой /-1(у) С р-1(и) содержит лишь конечное число особых точек и бесконечно много неособых точек. Пусть (20,^0) — неособая точка на этом слое. Тогда (/(20,ад0),/ад(20,ад0)) = (0, 0). По теореме о неявных функциях уравнение /(2, ад) — у = 0 в малой окрестности точки (20, ^0) разрешимо относительно одной из переменных 2, ад. Пусть для определенности 2 = 2(ад,у) в этой окрестности. Рассмотрим функцию 2(ад0,у). Она является непрерывной функцией в некоторой малой окрестности Оуо точки у0, причем (2(ад0,ОУ0С О(г0)Ш0). Очевидно, можно считать, что О(ЗД)ги0) С р~1(11). Тем самым Оуо С /(р-1(£/)), и, значит, отображение д открыто. □ Замечание. Пусть / — лорановский гамильтониан степени (т,п). Разрешим т принимать значение 0. Потребуем, чтобы пр ообраз / -1(£) был связен в С х (С \ {0}) для любо го £ € С. Тогда, как видно из доказательства теоремы 5, бифуркационный комплекс системы (С х (С \ {0}),^с,/) будет также гомеоморфен С. Предположим теперь, что существует такое число £ € С, что прообраз /-1(£) несвязен в С х (С \ {0}). Такое возможно тогда и только тогда, когда / = а22 + Ь/ад2к + с для некоторых к € N и {0}, а, Ь, с € С и аЬ = 0. Нетрудно показать, что бифуркационный комплекс системы (С х (С \ {0}), ^с, /), где / = а22 + Ь/ад2к + с, гомеоморфен факторпространству несвязного объединения С и С двух экземпляров
двумерной плоскости по разбиению, склеивающему двухточия вида (£, £) € C U C, £ = с, при k = 0 и одно двухточие (с + b, с + b) € C U C при k = 0.
Автор приносит благодарность А. Т. Фоменко за поставленную задачу, а также Е. А. Кудрявцевой за помощь при написании работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лепский Т.А. Неполные интегрируемые гамильтоновы системы с комплексным полиномиальным гамильтонианом малой степени // Матем. сб. 2010. 202, № 10. 109-136.
2. Кудрявцева Е.А., Лепский Т. А. Топология лагранжевых слоений интегрируемых систем с гиперэллиптическим гамильтонианом // Матем. сб. 2010. 202, № 3. 69-106.
3. Кудрявцева Е.А., Лепский Т.А. Топология слоения и теорема Лиувилля для интегрируемых систем с неполными потоками // Тр. Семинара по векторному и тензорному анализу. 2011. 28. 106-149.
4. Кудрявцева Е.А., Лепский Т.А. Интегрируемые гамильтоновы системы с неполными потоками и многоугольники Ньютона // Современные проблемы математики и механики. 2011. 6, № 3. 42-55.
5. Кудрявцева Е.А. Аналог теоремы Лиувилля для интегрируемых гамильтоновых систем с неполными потоками И Докл. РАН. 2012. 445, № 4. 383-385.
6. Болсинов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Ижевск: РХД, 1999.
7. Bolsinov A.V., Fomenko А.Т. Integrable geodesic flows on two-dimensional surfaces. N.Y.; Boston; Dordrecht; L.; Moscow: Kluwer Academic Plenum Publishers, 2000.
8. Fomenko А. Т., Konyaev A.Yu. New approach to symmetries and singularities in integrable Hamiltonian systems // Topol. and its Appl. 2012. 159. 1964-1975.
9. Фоменко А.Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях // Функц. анализ и его прил. 1991. 25. 23-35.
10. Кудрявцева Е.А., Фоменко А.Т. Группы симметрий правильных функций Морса на поверхностях // Докл. РАН. 2012. 446, № 6. 615-617.
11. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 3-96.
Поступила в редакцию 25.09.2013
УДК 512.815
МИНИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ МОРСА НА ОРБИТАХ В АЛГЕБРАХ ЛИ
В. А. Шмаров1
В статье доказана теорема о том, что на регулярных орбитах присоединенного действия компактных полупростых групп Ли морсовские функции высоты являются совершенными. В случае произвольного линейного представления компактной группы доказана боттовость всех функций высоты на орбитах представления. Подробно разобран случай группы SO4.
Ключевые слова: группа Ли, алгебра Ли, присоединенное действие, орбита, функция высоты, совершенная функция Морса.
A theorem stating that all Morse height functions are perfect on regular orbits of the adjoint action of compact semisimple Lie groups is proved. In the case of arbitrary linear representation of a compact Lie group we prove that all height functions are Bott functions on
SO4
Key words: Lie group, Lie algebra, adjoint action, orbit, height function, perfect Morse function.
1 Шмаров Владимир Альбертович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: smarovvladimirQyandex.ru.
