Методы высокого порядка точности решения задачи Коши для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95+519.62

Я. М. ПЕЛЕХ (НУ «Льв1вська пол1техшка)

МЕТОДИ ВИСОКОГО ПОРЯДКУ ТОЧНОСТ1 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ1 КОШ1 ДЛЯ НЕЛ1Н1ЙНИХ 1НТЕГРО-ДИФЕРЕНЦ1АЛЬНИХ Р1ВНЯНЬ ВОЛЬТЕРРА

Розглянуто нове застосування безперервних дроб1в до розвитку числових метод1в для виршення штегро-дифференщальних р1внянь. Запропоноваш числов1 методи високо! точносп для виршення початково-значущих проблем в штегро-дифференщальних р1вняннях Вольтера.

Ключовi слова: нелшшш штегро-диференщальш р1вняння Вольтера, задача Кош1, перетворення Фельбе-рга, ряд Тейлора

Рассмотрены новые приложения непрерывной дроби к развитию числовых методов для решения интег-ро-дифференциальных уравнений. Предложены числовые методы высокой точности для решения начально-значимых проблем в интегро-дифференциальных уравнениях Вольтера.

Ключевые слова: нелинейные интегро-дифференциальные уравнения Вольтерра, задача Коши, преобразование Фельберга, ряд Тейлора.

The new applications of continued fraction to the development of numerical methods for the solution of integro-differential equations are considered. The numerical methods of high-order accuracy for the solution of initial-value problems in Volterra integro-differential equations are proposed.

Keywords: nonlinear integral-differential equations Volterra, Felberg transformation, Taylor series

Актуальшсть проблеми

Обчислювальний експеримент дозволяе в багатьох випадках замшити реальний процес i отримувати як якюну, так i кшькюну характеристику процесу, що моделюеться.

Задачi гiдроакустики, кшетики, автоматичного управлiння, електронiки, багатовимiрноI оптимiзацii, теорiI в'язко-пружностi приводять до необхщносп розв'язання нелiнiйних штег-ро-диференщальних рiвнянь. Оскiльки розв'язки таких задач в замкнутому вигщщ можна отримати лише в окремих часткових випадках, виникае проблема побудови наближе-ного розв'язку таких рiвнянь.

Одним з ефективних способiв побудови таких наближень е неперервнi (ланцюгов^ дроби, якi при вiдповiдних умовах мають високу шви-дкiсть збiжностi, володiють властивiстю моно-тонностi i двосторонностi, а також малочутливi до похибок заокруглень. Процес !х обчислень е циктчним i легко програмуеться на ПК.

Постановка задачi

Розглянемо на в^^зку IL : [х0, x0 + L] задачу Кошi для нелiнiйного штегро-диференщального рiвняння

i( x0 ) = г

(1)

t'(x ) = F

x, u (x), J g (x, s, u (x), u' (s )ds

Припустимо, що розв'язок задачi (1) iснуе i единий, а функци F i g володдать необхiдною для дослiдження гладюстю.

Використовуючи апарат неперервних дробiв [1, 2] та щею побудови методiв типу Рунге-Кутта [3,4], пропонуються наближенi методи високого порядку точносп для розв'язування рiвняння (1).

Побудова методiв типу

Рунге-Кутта-Фельберга

Введемо на вiдрiзку IL сiтку ah = {a=x0 < x1 < x2 < ... < xN = b} з кроком h = x„+1 - xn.

Для побудови чисельного методу високого порядку точносп ((m + p) -го порядку, m = 1,2,3...) потрiбно використовувати моди-фiковане перетворення Фельберга [5].

Перетворимо дане рiвняння до е^валент-но! системи

u' (x ) = F [ x, u ( x ), z ( x )],

x

Z (x) = J f (x, s, u (s ), z (s ))ds (2)

x0

де f [x,s,u(s),z(s)] = g[x,s,u(s),F[s,u,z]] .

© Пелех Я. М., 2011

Введемо новi функцп у (х) i ф(х), що задо-вольняють умовам

у (х ) = и ( х0 ) = и0, у{к )(х0 ) = О, ф(хо ) = ^ (хо ) = 0, ф(к)(хо ) = 0, к = 1,2,..., т +1(3) за допомогою перетворення

т+1

(х - х0 )к

((х)=х(х,у)=у(хкц- к!

( Лк

(4)

-уг^ [х,и (х),2 (хЯ

|х=х, т+1

г (х ) = е(х, у ) = ф(х ) + 1

к=1

(х - х0 ) к!

^дк-1

(5)

дя

к-1

/ [ х, 5, и (5 ), 2 (5 )]

Пiдставляючи в (2) замють и (х) i 2 (х) 1'хш вирази iз (4), (5), а замють и'(х) - вщповщний

вираз, одержаний при диференщюванш ств-вiдношення (4), отримаемо наступну задачу для визначення невiдомих функцш у (х) i ф(х) :

у'( х ) = О [ x, у ( х ), ф( х )]

х

ф(х )= | 4 [ х, 5, у (5 ), ф(5 )] йъ

х0

з початковою умовою

у |х=х0 = у0 = и0

де

О [ х, у (х ), ф(х )] = ^ [ х, х(х, у ), е(х, ф)]-

(6)

(7)

(8)

т+1 |

- '(х х0) Г^* [х, и, г]] , (9)

(к -1)! I йхк У ^

4 [ х, 5, и (5 ), ф( )] = / [ х, 5, х( у ), е(5, ф)]-

-I

(х - х0 )

к-1

( лк-1

к=

1 (к - 1)!

Т / [х, 5, и, г ]

(10)

яю в силу умов (3) володдать властивостями

О )0

( д РУ л

,дкр . V У х=х.

= 0, ^ =хР = ^

(Р = 0, т; к = 0, т + 2)

Представимо ф( х) iз (6) у вигщщ

ф(х) = ип (х) + V(х) , п = 0,1,2,. (12)

де

хп

ип (х ) = | 4 [ х, 5, у (5 ), ф(5 )] ,

х0 х

V (х ) = | 4 [ х, 5, у (5 ), ф(5 )] .

х0

Тодi отримаемо систему

у'(х) = О[х,у(х),ип (х) + V(х)],

х

V (х) = | 4 [х, 5, у (5 ), ип (5 ) + V (5 )] (13)

х0

яка в сукупност з (12) е^валентна (6), (7).

Допустимо, що у вузлах х1,.,хп вiдомi на-ближення до точного розв'язку задачi (6), (7), а також наближення до функцп ип (х) вщповщ-но! точностi. Для наближеного розв'язку в точ-щ хп+1 потрiбно мати наближення для у (хп+1) i

V (хп+1), яю шукаемо у виглядi

у'(х) = Оп [х,у(х),vn (х)] ,

х

vn (х) = | 4п [x,5у (5),vn (5)]й ,

хп

де °п [хУ,^] = О[x,у,ип + ^],

4" = 4 [ х, 5 у,ип + vn ]. Наближення у(х) i V(х) в точщ хп + И порядку О(Ит+Р), р = 2,3 знайдемо, використо-

вуючи ланцюговi дроби.

Розвинення в ряд Тейлора по степеням И в отт точки хп для у (хп+1) i V (хп+1) мае вигляд

у (хп+1 ) = у (хп)+ I V >(хп) + О (Ит+5)

1=т+2 т+4 1 '

V(хп+1 )= I V')(хп) + О(Ит+5),

*=т+2

де

у(т+3) (хп ) = (Ох»+2 )п + (Оу )п (ОхГ* )п + (О )п ()п ,

У(4)( ) = ( ^ )„ + ( т + 3)х

х[(у) ) + (^) (т*)

+&)ЯУ{т+3)(х„ ) + (Су )^т+3)(х„ )

^П+2)(ХП ) = )„ ,

^+3) (Хп ) = (т + 3)(^ )п + (Ч,т+2 )п +

+ (У )п (т+1 )п )п )п

(хп ) = (т + 4)

т + 3

(У+1 )п + (х,т+2 )п

+ (т+3 ) + + [(т + 4) (у ) + (т + 3) (у ) х (("' )п + + [(т + 4) (9xv )и + (т + 3) )и ] х х(т- ) +(у )пУ+3)(хи ) + & )пУ"-+3)(*и )

Для побудови наближень порядку О (кт+3),

шукаемо 1х в наступному вигляди Розглянемо

Уп+1 =

Уп

Уп - аИк1

, К,п+1 = ЬпКх,

ви

Уп = У (Хп ) , к1 = (Хп + аЛ Уп , ^п,п ),

К = V ( Хп + К Хп +аА Уп , ^п,п ) 04) Параметри а11, Ьп, а1; а1 визначимо з умо-

щоб |у (Хп+1)-Уп+^ = О (йт+3) ,

К (Хп+1)- ^.п+и! = О (Кт+3) > що у випадку якщо Уп - а11к1 Ф 0, Уп Ф 0, екв1валентно

|у (Хп+1 )бт+ 2 - Рт+ 2\ = О (т+3 ),

Де йт+2 = Уп - «11к1, Рт+2 = У2 •

I Кт+2 ^т+3 Г

У (Хп+1 ) вт+2 - Рт+2 = | У (Хп ) + (+2) )п + (+3) ^ )п + (У )п (Хт+1 )„ + )п )

- т+2

т+3

О

т+1/1

"а11а1 ^Хт+1

(К"4)!Х{Уп + (т + 2)!— - (т + 3).

Уп (у (Хп ) - Уп ) +(т + 2). Схт+1 [ Уп - а11аГ+1 (т + 2) У (Хп )]

(т + 3))

(т + 3)а11аГЧт+2 + О (т+4 ) - (Уп )

т+3

+

(т + 3)!

{У(т+3)(Хп)Уп -ЧОТ2(т + 3)У(Хп^} + О(Кт+4)

,(Хп+1 )-

' т+2

■т+Ъ

п,п+1

(т + 2)! п (т + 3)!

у(т+3) + О (Кт+4)- Ь11К1

г т+ 2

(т + 2)!

х ^ 1 - Ьи (т + 2)а1т+1(тОп +

т+3

____{[(т + 3) - Ьп (т + 2)(т + 3)аГ

"(«У )п (х- )п )п )п } + О (Кт+4 )

)п + 1 + Ь„ (т + 3)ат+2 (,+2 )п +

Прир1внявши до нуля вирази при Кт+2, вра- 3 яко1 сл1дуе ховуючи при цьому, що Уп = У (хп ) + О (Кт+3) , а =

отримаемо систему алгебра1чних р1внянь

1

Ь,, =■

(т + 2)ат+1 ' 11 (т + 2)ат+1 '

а11а1т+1 =

ь а т+1 = 11 1

(т + 2 )' 1

(т + 2)'

де а1, а1 - дов1льн1 в1дм1нн1 в1д нуля числа. Поклавши, наприклад, а1 = а1, отримаемо

а11 = Ь11 =

1

(т + 2 )

т +1

1

1

Знайдемо наближення до у (Хп+1) i уп (Хп+1) порядку О (кт+4 ) , представивши !х наступним

чином:

Уп+1 =-

Уп

1—

(( + а12 к2 ))

(а21к1 + а22к2 )уп (°11к1 + °12к2)

1--7—;-т^- (15)

Уп (( + а12 к2 )

= Уп +

От

к ( + ¿12К2 )2

(¿11 - ¿21 )К1 (¿12 + ¿22 )К2

(16)

де

п гч т+1 I /-, щт+1 _

11 12 ^^ 2 —

1

т + 2

а2ат+1 + а22«т+1 = 0

(а11 + а21 )ат+2 +(а12 + а22 )

а т+2 =-

т + 3

(а12 + а22 )21аГ+1 =

. _т+1 , _т+1

¿11а1 + ¿12 а2 =

1

(т + 2 )(т + 3) 1

т + 2

и ~т+1 . и —т+1 /л ¿21а1 + ¿22а 2 = 0

(¿11 + ¿21 )ат+2 +(¿12 + ¿22)

(¿12 + ¿22 )У21а1т+1 =

а

т + 3

(т + 2 )(т + 3)

Покладемо аi = аi, ¿^ = , (, j = 1,2) у21 = у 21 . Тодi маемо двi множини розв'язкiв: I) а1 Фа2, то

1 -( т + 2 ) а12а

т +1 2

(т + 2)

а

т +1

= (

(т+3)а1 -(т+2)

(т+2)(т+3)(а2 -а1 )а (т + 2)-а1 (т + 3) (т + 2)(т + 3)(а2 -а1)

т+1

/ \ т+1

Ча1 У

.т+1 а12'

У 21 =

т

а

Ча1 У

(т + 2) -а1 (т + 3) '

(18)

Рт+3 =(а11к1 + а12к2 ) , От+3 =(а11 - а21 )к1 -(а12 + а22 )к2 , к1 = (Хп + аА Уп ,ип + ^ ) К1 = [ Хп + К Хп +аА Уп ,ип + ^ ] ,

ип = ^ (Хп ) ,

к2 = (Хп + а2к Уп + У21к1, ип + У21К1 ) , К2 = [Хп + К Хп +а 2К Уп +У21к1,ип +У21К1 ] .

РозвинУвши У ( Хп+1 ) , V ( Хп+1 ) , ^ , К

( = 1,2) в ряди Тейлора в околi точки Х = Хп i

прирiвнявши в рiзницях У (Хп+1)- Уп+1 i

V (Хп+1)- vn+1 до нуля коефщенти при степенях

кт+2, кт+3 отримаемо наступнi системи алгеб-ра!чних рiвнянь

де а12, а1; а2 - параметри т + 2

а1 Ф

а,,а2 Ф0

, чл-1 ^2

т + 3 II) а1 =а2, то

1

(т + 2)) т + 2

т+3

т +1

- а,,

У 21 (т + 2 )(т + 3)) т + 2

т+3

т +1

1

т+3

У 21 (т + 2)(т + 3)) т + 2 т + 2 т + 3 '

т +1

-а,,

(19)

1 (17а)

1 (17б)

де а12 - параметр, у 21 - довiльне вщмшне вiд

нуля число.

При такому виборi параметрiв, взявши два i три поверхи дробу (15) i вiдповiдно один i два поверхи дробу (16) отримаемо наближення до У (Хп+1) i V (Хп+1) (т + 2) -го порядку точносп у

першому випадку i (т + 3) -го порядку точносп

у другому випадку.

Зауваження. Якщо у формулах (18), (19) покласти а21 = а22 = 0 , то отримаемо традицшш формули Рунге-Кутта-Фельберга.

Знаючи Уп+1 i vn+1 обчислюемо

Фп+1 - ф(Хп+1) iз (12), а тодi з (4), (5) знаходимо

наближення до и (Хп+1) i г (Хп+1) .

Висновки

Для знаходження наближеного розв'язку за-дачi Кошi для iнтегро-диференцiальних рiвнянь Вольтерра побудовано методи Рунге-Кутта-

Vn+1 =

1

3. Fehlberg, E. New high-order Runge-Kutta formulas with step-size control for systems of first and second order differential equations [Текст] / E. Fehlberg, // Z. Angew. Math. Mech. - 1964. -44, - S. 17-29.

4. Холл, Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] / Дж. Холл, Дж. Ватт. М.: Мир, 1979. - 312 с.

5. Ломакович, А. Н. О приближенном решении одного нелинейного интегрального уравнения типа Вольтерра двусторонним методом вида Рунге-Кутта-Фельберга [Текст] / А. Н. Ломакович, В. А. Ищук // Вычислительная и прикладная математика. - К.: Наук. думка. - 1974. -Вып. 23. - С. 29-40.

Надшшла до редколегп 14.06.2011. Прийнята до друку 20.06.2011.

Фельберга порядку точност О (Нт+2) i

О(кт+3(т=1,2,3,...), що базують на ланцюго-

вих (неперервних) дробах. При вщповщних значеннях параметрiв, що входять в запропоно-ваш обчислювальш схеми, отримуемо класичш методи високого порядку точность

Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Джоунс, У. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения [Текст] / У. Джоунс, В. Трон. - М.: Мир, 1985. - 414 с.

2. Скоробагатько, В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике [Текст] / В. Я. Скоробагатько. - М. : Наука, 1983. - 312 с.