CC BY
8
########## ###############################
МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ РАЗРАБОТКЕ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
И. А. А. М. А. П.
ГАРЬКИНА, кандидат технических наук, ДАНИЛОВ, доктор технических наук, ПРОШИН, член-корреспондент РААСН,
доктор технических наук, Ю. Г. ИВАЩЕНКО, доктор технических на
оа последние десятилетия наметился существенный сдвиг в математизации исследований в строительном материаловедении. На место эвристических методов приходят строгие формализованные методы, позволяющие осуществить разработку материалов при значительном сокращении количества экспериментов, в том числе основанных на использовании математических методов планирования эксперимента. Так, появились первые попытки использования современных методов фрактальной геометрии, методов системного анализа, теории принятия решений при управлении в технических системах и др.
Не касаясь многих аспектов применения математических методов в строительном материаловедении, ограничимся рассмотрением чрезвычайно важного вопроса построения моделей кинетических процессов в различных системах (как в гомогенных, так и в гетерогенных) и последующей оптимизации структуры и свойств материала.
Известно [1, 2], что кинетика формирования физико-механических характеристик рассматриваемых материалов чаще всего графически изображается в виде кривых, приведенных на рис. 1. Контролируемый параметр х с течением времени асимптотически приближается к значению х » хт. Между кривыми 1, 2 имеется существенная разница, заключающаяся в наличии или отсутствии точки перегиба.
Рассмотрим кинетический процесс, протекающий в гомогенной системе
сспь
Р и с. 1
(кривая 1). Здесь химический состав и физические свойства материала во всех точках одинаковы или меняются непрерывно без скачков (между частями системы нет поверхностей раздела).
Пусть
ДхД г
х - х
ш
1
Если стабилизированный параметр хт за счет внешнего возмущающего
воздействия изменится на значение Ах,
% **
при снятии этого возмущения параметр х вернется к значению хт. Отсюда следует
= - кг. (1)
С учетом
й\
<к (Зх
~ <И
йъ =
ей
будем иметь
кг.
(1')
Общее решение ъ — се"к\ откуда
(1')
X = хт
начальных условиях г (о) получим
имеет 4- се~м
ш
вид: При х(о) - О
© И. А. Гарькина, А. М. Данилов,
А. П. Прошин, Ю. Г. Иващенко, 2000
XmO
- o-kl
(2)
Таким образом, динамические процессы в гомогенных системах определяются уравнением
^ = (х — хш)
и имеют вид (2). Им соответствует апериодическое звено с передаточной функцией
^р) = т^ГТ *
Предположение, что проявление отдельных структурных элементов подавлено глобальными процессами либо влияние этих элементов на систему незначительно, практически неприемлемо при анализе дисперсных систем, Например композитных материалов.
Характерным для кинетических процессов в дисперсных системах является наличие точки перегиба функции х(0 (кривая 2), определяющей исследуемый процесс.
С математической точки зрения кинетические процессы в гетерогенных системах могут быть описаны дифференциальным уравнением второго по-
рядка тр) = (Т]Р + ^р + 1} '
Иначе говоря, при анализе кинетических процессов необходимо учитывать не только скорость изменения контролируемого параметра, но и (как минимум) ускорение.
В отклонениях от равновесного состояния х == хт будем иметь:
г + 2nz + coqz = 0 (п > 0).
(3)
Пусть ki 2 ~ "Л1 2 — корни харак-
теристического уравнения
к2 + 2nk + col = 0. Рассмотрим
п2-&о > 0.
Имеем
сначала
с1е
-A,t
+ с2е
где
А
1
п +
Я
1
со о ; А2 =
> Я2 > 0.
лП—7
При г(0) = -хт, ¿(0) = 0 с учетом
z(t) = -CjAje
-A,t
с2Я2е
-Хл
будем иметь
хш
х = , _ 3 (Я2е
Х\ -Я
A,t
2
Х\еГ*гх) + Хщ. (4)
Из х = 0 следует
АгЯ
А1 — Д
2
1 -X t
— xme 2
AjA2 Aj —Я
2
xme
-JUt
0,
откуда
Л
1
¿2
е(Я, ~A2)tn.
Точке перегиба соответствует значение I = 1п, определяемое из условия
t
п
1 lnAi
Ai~A2 А2
(5)
Так как А2<Я1, то составляющая
ГП л — 7 ♦ ^
Я!-Я
2
Я2е^1! затухает быстрее, чем
аналогичная составляющая, соответствующая корню Я2. Поэтому значение
Я2 можно определить по концу экспериментально полученного процесса хШ.
Без ограничения общности "рассуждений примем хт = 1 (равносильно масштабированию х(Ш. В силу предыду-
щего
1 - x(t)
1
Ai -X
2
(-Аае~я+ А ^-до-
определим значение такое, чтобы при г >11 выполнялось условие
1 ~x(t)
Я
1
Ai -А2
а2 t
Имеем
/
Xit~hx >> Я2е~А11,
откуда
1
Ai
- г- In > > t Al -л2 л2
случаи или
t » tn.
Таким
1 - x(t)
образом,
- А А —A"lt
А2
Яг
Введем y(t) Тогда y(t + Т) = Ае"А2(
е~Л21 при t » tn.
1 - x(t) « А е~я2*.
-к)({ + т)
откуда
Д
m
Ае^г1
y(t + Т) Ае~я20 + Т)
ея2т (6)
или
А2Т = 1пА
Следовательно,
А2
1пА
Т"
Из х ™ 0 следует А^-^'п -*2е
откуда ге 2'
е-Я21
(г
1
А
А2
>1)
или
.Г - 1
(7)
Рассмотрим функцию
1
У
г— 1
Имеем
1
У
_!_ О - т) - 1яг
Гг-. -Е-
(г- 1)2 при г > 1.
< О
Справедливо
1
1
Иш г
г-1
1
Иш (1 + а)а = е, а = г - 1 а О
Следовательно, в интервале (1, + <*>)
тг"1 не превышает е, поэтому уравнение (7) имеет решение Г > 1 лишь
при е < е. Отсюда следует
¿2 должно
V = Л21п < 1; удовлетворять
(8)
условию
(9)
При этом А2тах = п (тогда А1 = Аг, п = а>0).
Из (5) следует, что
Ни
1
А А
1
2
1п
1
-1
А
¿2
или
1п г г-1
(10)
Из выражения
дV
йг
1 —-— 1пг г
(г-1)
2
< 0
следует, что V = Х2Хп с ростом г умень-
шается (отметим, что ^
г-1 &
<1г
Имеем < п < Х\ < 2 п. При этом к\ при п со(). Вид зависимостей ¿1 = ¿1 (^о.п) И Л2 = А2(<уо»п) приводится на рис. 2.
Рис. 2
Введем безразмерный коэффициент демпфирования £ = —, п > шо, £ £ 1.
Его величина определяется структурой и физико-химическими свойствами материала. Имеем
Я» +
2
1
(11)
Справедливо
dr
dÇ
>0 v Ç > 1,
то есть с ростом Ç
Из
d2r
dÇ2
А
1
значение.-^ растет.
0
следует, что г -г© имеет перегиб в
точке с абсциссой Ç
_2_ V3"
Изменение структуры и физико-хи-мических свойств материала приводит к изменению расположения точки перегиба. Определим связь между абсциссой точки перегиба и параметрами
юр, п модели (или 5 = и щ) •
о) о
Из (5), (11) следует
3tn _
2(и
2
(1пг
2
В силу п2 > суо знак
д\п
дсо0 1пг
определяется
- 2çVpTf.
знаком функции у = Так как у < 0 v Ç > 1, то значение tn
с ростом су о (щ > 0,
убывает £ = —> 1!).
Также справедливо
дп
п
Г^2
(211
J_
< 0 V Ç > 1 (n > ш0!).
lnr) <
Таким образом, с ростом п значение tn уменьшается, точка йердгиба смещается влево.
Для увеличения значения tn следует уменьшать coq и п (предполагается выполнение условия п > (Уо).
Отметим, что cdq определяет упругость системы, а значение п — рассеяние энергии (демпфирование).
Рассмотрим случай кратных корней. Общее решение уравнения (3) имеет вид
z = (cl + c2t) е^, Х\ = А2 = n = (Do
а решение задачи Коши при начальных условиях z(0) = -xm, ¿(0) = 0 дает
xm [1 — (1 + nt)e~nt].
частности, при xm -» 1 х = 1
В
- (1 + nt) é~nt; х - 0 при nt - 1, откуда абсцисса точки перегиба
tn
1 n
(Р2)
Отметим, что значение tn не зависит от хт. При этом
x(tn)
хт(1
2
)
не зависит от п.
Таким образом, точка перегиба
процесса х(0 есть точка 1 2
Мп(-; (1 — —) хт). Увеличение п ведет
к уменьшению 1п, то есть к сдвигу точки Мп влево (щ = п!).
Справедливо
х(1)
/1 1 + Пч
*т (1 —-=—);
х(п) = хщ (1
1 + п2.
.2 )•
П
■
Из приведенного выше вытекает алгоритм определения абсциссы точки перегиба в случае кратных корней, а именно: абсцисса точки Мп равна абсциссе точки пересечения 9 кривой
У. V %# /1 ^
х - x(t) с прямой X 5= хт (I
Невыполнение условия
1\ ..... 2
m
(1
) V П
*А2.
означает
^ » xm nt2e nt > 0 V t on
Из
следует, что
х(0 возрастает с ростом п V
Время то, в течение которого контролируемый параметр примет значение, равное 0,95 хт (приближенное время выхода контролируемого параметра на эксплуатационное значение), определяется из условия
х(т0) = 0,95 х(оо) = 0,95 х
m
или
1 + пт0 = 20е~пто (например, при п - 0,17, т0- 11,3,
1П « 5,88).
Увеличение ведет к уменьшению
абсциссы 1п точки перегиба процесса х(0 при значениях близких к 1. При
1 » процесс х(0 определяется значением Я2. Таким образом, значение
Л2 должно находиться в некотором интервале: большие значения Л2 могут повлечь чрезмерно быстрое увеличение контролируемого параметра в начале процесса; малые значения Л2
могут привести к чрезмерно длительному времени его выхода на эксплуатационное значение. Отметим, что увеличение Л2 (уменьшение 1п) соответствует увеличению щ. Отсюда следует, что увеличение Л2 ведет к постепенному переходу гетерогенной системы в гомогенную (1п = 0), возможно, с потерей необходимых свойств. Так что, как и следовало ожидать, гомогенная система является предельной для гетерогенной при 1п 0.
Качество композиционного материала определяется и значением А^ (или
Л1/А2 ), которое также должно лежать
в определенном диапазоне. Это естественным образом приводит к возможности использования для оценки качества композиционного материала функционала
Ф(Б) = fA2 + а 1/А2 + Ъ Хх/Х2 +
+ с A2/Ai
(13)
где f, а, Ь, с — весовые константы.
Без ограничения общности рассуждений можно принять 1 ~ I (это равносильно масштабированию Ф(Б)). Подставляя А^^, си0) и А2 (£, ю0) в
(13), получим:
Ф(8) - £ - - 1 со0 + + а о>0 +
+ с е-+
Границы областей Ок равных оценок качества композиционного материала определяются как линии уровня
ф as ф (£, со о) = d = const, а области двойными неравенствами
dK-i £ Фф) < dK, К = 1, 2, 3, ..., N,
где N — балльность шкалы; К — класс (оценка качества) композиционного материала в баллах в выбранной шкале. Границы областей равных оценок
определяются функциями
(О02
-Р-
q;
й>01» <°02 - о,
где
- р = 1/2 [Ь (£ + ^-Т)2/
Ч-а в + ^рГГТ),
р2 - Ч > 0.
Уточнение весовых констант а, Ь, с осуществляется в соответствии с нижеприводимой методикой, пригодной для случая глобального аддитивного критерия
Л именно:
1) задаются начальные значения ве
сов
«}°> = l/s;
%
2) вычисляется интегральная оценка
К
2 «14
j=l
3)
определяются коэффициенты корреляции частных оценок К> с оценкой К:
= 2 (к^ - Щ (км - к)/ /^.(крт-кд» X
У
х (KW - К)2
у
j = 1, s;
4) определяются уточненные значе-
ния весовых констант as:
s J
J-0
5) определяется уточненное значение оценки
К
D^Kj;
j=i
б) итерационная процедура по п. 3 — 5 осуществляется до выполнения условия
а
СО
J
1-1)
| < е , j — "Hs.
В результате будет получена оценка
к-У
«<■> к.
Здесь значения весовых констант не сят от их начальных значений а определяются только долей участия частных критериев ^ в общем функционале качества К.
Очевидна возможность использования предложенной методики и в случае
Ж
J »
s m;
к = 2 ai 2 /VKjv-
j=l V=1
Весовые константы р^ определяются аналогично а^ на основе коэффициентов корреляции
у
rVki
1ф - к^) (К$а> - Kj) /
V2 <*J - Kj)2.
Дальнейшая идентификация областей равных оценок осуществляется выбором числовых значений d^ на основе сравнения расчетных границ областей с экспериментальными.
Разработку материалов целесообразно проводить с учетом зависимостей ¿2 и г от 5, <ы<)> п- Справедливо
àh > Q аЯг
dûjQ 9 дп
дг дп
О,
дг
дсо0
О,
> О V <w0» п, п2 - coq > 0.
h
U увеличением coq значения л2 и у-
1 Л.
растут, а т" и Т" убывают; при уве-
2 2 1 А2 * личении п значения А2 и у- убывают,
1 А,
а т~ и т" возрастают.
¿2 я2
Отсюда следует, что выбором coq и
п всегда можно отнести рассматриваемую систему к требуемому классу, определяемому функционалом Ф(Б). Одновременно указанное подтверждает правильность выбора предложенного функционала качества.
Улучшить качество материала можно с использованием вектора-градиента
дФ дФ
grad Ф (Ç, шо)
dÇ ÔCOq
А именно, класс системы улучшается при движении в антиградиентном направлении.
На рис. 3 приводятся области равных оценок при значениях весовых констант { = а = Ь « с а 1/4 и значениях dк = 2,5; 5; 7,5.
р и с. 3
На рис. 4а, б приводятся границы областей равных оценок на плоскости (суо, п) соответственно для значений
со01 и со02. При известных весовых кон-
а
б
Рис. 4
стантах выбор чисел d^-i и dк относит рассматриваемый материал к соответствующему классу в используемой шкале. Так, точка Т соответствует композиционному материалу с параметрами coq = 0,174, п = 0,175.
Зависимость характеристик материала от параметров модели определяется экспериментально.
Синтез материала может осуществ-
ляться градиентными методами на основе предложенного функционала. С незначительными изменениями методику можно применять при наличии существенной связи между со^ и п.
Практическая апробация метода при разработке тяжелых бетонов для защиты от радиации дала положительные результаты.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
0
1. Бобрышев А. Н., Козомазов В. Нм Прошин А. П., Соломатов В. И. Новая кинетическая модель для композитных материалов // Новое в строительном материаловедении. М., 1997. Вып. 902. С. 35 — 40.
Поступила 15.03.99.
2. Соломатов В. Т., Сслясв В. П., Низина Т. А. Исследование химического сопротивления полимерных композитов методом микротвердости // Новое в строительном материаловедении. М., 1997. Вып. 902. С. 29 — 35.
