Методика расчета цилиндрических оболочек при периодических краевых нагрузках Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 678.058

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ НАГРУЗКАХ

Е.Д. Мордовин

ЗАО «Завод Тамбовполимермаш»; zaoskb@rambler.ru Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым

Ключевые слова и фразы: амплитудные и местные значения компонентов напряженно-деформированного состояния; байонетные затворы; обобщенные функции напряжений и прогиба; периодические краевые нагрузки; функции частных решений; цилиндрические оболочки.

Аннотация: Описана методика, предназначенная для расчета амплитудных и местных перемещений и напряжений в коротких и полубесконечных цилиндрических оболочках при периодических краевых нагрузках, имеющих место, например, в байонетных затворах форматоров-вулканизаторов пневматических шин и другой технике (подводных лодок, космических кораблей, аппаратов в химической промышленности и др.).

Напряженно-деформированное состояние короткой цилиндрической оболочки при краевой периодической нагрузке рассмотрено в работе [1]. В данной статье рассматривается циклическое напряженно-деформированное состояние коротких оболочек, используемых, например, в оборудовании с быстродействующими затворами байонетного типа. Байонетные затворы пресс-форм форматоров-вулка-низаторов, в отличие от затворов другой техники, должны быть не только прочными, но и жесткими на изгиб и растяжение. Материал излагается в матричной форме, удобной для программирования расчета на современных ЭВМ.

Циклические воздействия на одном краю оболочки оказывают влияние на напряженно-деформированное состояние другого ее края (полубесконечная оболочка рассмотрена в работе [2]). Автор полагает, что такая методика может использоваться при внедрении в производство новых конструкций форматоров-вулканизаторов [3].

Согласно [1] представим обобщенную функцию напряжений плоской задачи Ф(а) и обобщенную функцию прогиба №(а) в следующем виде

Ф(а) = е/ (а) - е2/2 (а) + £3^ (а) + С4^2 (а) + + е5/3 (а) + е6/4 (а) + е7^3 (а) - ^ (а);

(1)

№ (а) = е/2 (а) + е2/х (а) - е3^ (а) + е4^ (а) -- е5/4 (а) + е6/3 (а) + е7^4 (а) + е8^3 (а)

где су, с2,..., с8 - постоянные, определяемые из граничных условий на краях оболочки; /■ (а) и (а) - функции частных решений уравнения, представленного в [1]:

где

/1(a) = e kam coska; f2(a) = e kam sinka; f3 (a) = ekam cos ka; f4 (a) = ekam sin ka; F1(a) = e—Kam cos Ka; F2(a) = e—Kam sin Ka; F3 (a) = eKam cos Ka; F4 (a) = eKam sin Ka,

k = s(m +1)/2m; K = s(m — l)/2m; s = V%r/2§; m = J4y + -у/16y2 +1; m > 1;

y = (pV^V2f; x = V 12(1 — V2),

(2)

(3)

а - независимая переменная величина вдоль образующей оболочки, 0 < а < Иг, г - радиус срединной поверхности оболочки; 5 - толщина стенки оболочки; I - длина оболочки; V - коэффициент Пуассона материала оболочки; р - порядковые номера членов ряда Фурье [1], р = 1, 2, ...; п - количество распределенных периодических нагрузок на краю оболочки.

Производные от функций (2) представим в виде:

1)/1 (а) + 2т/2(а)];

1/2 (а) - 2т/1(а)]; т2 - 1)/3(а) - 2т/*(а)];

/1 (a) = —k[m/1 (a) + /2 (a)]; /2 (a) = —k[mf2 (a) — /1 (a)]; /3 (a) = k[m/3 (a) — /4(a)]; /4 (a) = k[mf4 (a) + /3 (a)];

m2 —11

m2 —11

m2 —1

)/4(a) + 2m/3(a)];

/1» = к 2 /2 (а) = к2 /3 (а) = к2 /4,(а) = к 2

/Г(а) = -к3[(т2 -3)т/1(а) + (3т2 - 1)/г(а)];

/2' (а) = -к3 [(т2 - э)т/2 (а) - (3т2 -1)/ (а)];

/3' (а) = к3 [(т2 - 3)т/3(а) - (3т2 - 1)/4(а)];

/4" (а) = к3 [(т2 - 3)т/4 (а) + (3т2 -1)/ (а)].

(4)

Обозначим через ,/1 / (а), // (а) (■ = 1,2, 3,4), соответственно, результаты первого и второго интегрирования функций (2):

ЛЛ(а) = - [т/1 (а) - /2 (а)]/к(т 2 +1);

J1/2 (a) = — [mf2 (a) + /1 (a)]/k (m 2 +1); J1/3 (a) = [mf3 (a) + /4 (a)]/k (m 2 +1); J1/4 (a) = [mf4 (a) — /3 (a) V k (m 2 +1);

/2/1 (а) = [(т2 -1/ (а) - 2т/2 (а)]/к2 (т2 + $; /2/2 (а) = [(т2 -1)/2 (а) + 2т/1 (а))/к2 (т2 +1)2; / 2/3 (а) = [(т2 -1/3 (а) + 2т/ (а)У к2 (т2 +1)2; /2/4(а) = [(т2 -1)/*(а) - 2т/,(а)Ук2 (т2 +1)2.

(5)

Аналогичные формулы производных и интегралов функций Р^а) получим, если в (4) и (5) заменим параметр к на К и/(а) на Рг(а).

При а = 0, согласно (2), (4) и (5), имеем:

(6)

(8)

/1 (0) = 1; /2 (0) = 0; /3 (0) = 1; /4 (0) = 0;

Р (0) = 1; р (0) = 0; Р (0) = 1; Р (0) = 0;

/1(0) = -кт; /2(0) = к; /3(0) = кт; /4(0) = к;

/1 (0) = к2(т -1); /2(0) = -2тк2;

/3 (0) = к2 (т2 -1); /4 (0) = 2тк2; (7)

/{" (0) = -к3т(т2 - 3); /2" (0) = к3(3т2 -1);

/3'"(0) = к3т(т2 - 3); /4" (0) = к3 (3т2 -1);

// (0) = - т/к(т2 +1); /1/2 (0) = -1 к(т2 +1);

/1 /3(0) = т/к(т2 +1); /1 /4(0) = -1/к(т2 +1);

/2/1(0) = (т2 -1)/к2(т2 +1)2 ; /2/2(0) = 2т/к2(т2 +1)2 ;

/2/3 (0) = (т2 -1)/к2 (т2 +1)2 ; /2/4 (0) = - 2т/к2 (т2 +1)2 .

Аналогичные формулы производных и интегралов для функций Р(а) получим, если в (7) и (8) заменим к на К и/(а) на Рг(а).

Для определения постоянных с1, е2,..., е8, входящих в решение (1), необходимо иметь систему из восьми уравнений, содержащих граничные условия. В качестве граничных условий данной задачи удобнее использовать статические параметры:

N (а) = - р п Ф(а); £ (а) = Ф' (а); М (а) = —г№" (а)-ПР 2п2№ (а)];

г г Сг (9)

0(а) = —5- [г'" (а) -(2 -V) р2п2№ (а)],

%г

где N (а), £ (а), б(а) - интенсивности нормального, касательного и приведенного по Кирхгофу поперечного усилий соответственно; М(а) - интенсивность меридионального изгибающего момента.

Для всех функций (9) имеются в виду их амплитудные значения по полярному углу ф (см. [1]). Рассматриваемое меридиональное сечение принимается лежащим в плоскости симметрии участка распределенной периодической нагрузки (ф = 0), вследствие чего функция S(a) считается нечетной относительно угла ф, остальные - четными.

Расчетная схема оболочки дана на рис. 1, а. Положительные направления параметров (9) показаны на рис. 1, в. Соотношения (9) справедливы для п > 4. На краях оболочки (рис. 1, а, б) при а = 0 и а = а/ = 1/г параметры (9) имеют вид, соответственно:

К =-ф(0); $ = РпФ'(0); м°р = Д-[к"(0)-пр2п2к(0)]; гг %г

вР = -А к' '(0)-(2 -V) Р 2п2к (0)];

cr

К =-EJn-ф(аг); Slp _ ф,(а/); Mlp = Ak(«i)-np2n2W(щ)];

r r cr

Qlp _ - A k" (ai )-(2 - v) P 2n k (ai)].

Cr

(10)

Положительные направления параметров (10) показаны на рис. 1, а, б. Исключая коэффициенты в правой части уравнений (10), подставляя вместо Ф(0), к (0) и Ф(а/), к (а/) значения функций Ф(а), к (а) (1) и их производных

(4) при а = 0 и а = а/ = //г, и группируя члены при одинаковых постоянных сг-, получаем в развернутом виде систему из восьми уравнений с восемью неизвестными 0]_, С2, ..., с8, записанную в матричной форме:

где

' an a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18^ ' <1' f Л r* A N0

- a21 -a22 - a23 - a24 a25 a26 a27 a28 c2 S0*

- a31 a32 a33 a34 - a35 a36 a37 a38 c3 M 0*

a41 - a42 - a43 - a44 - a45 a46 a47 a48 X C4 _ Q0*

a51 - a52 a53 a54 a55 a56 a57 - a58 c5 N*

a61 -a62 a63 a64 a65 a66 a67 - a68 c6 S*

a71 a72 - a73 a74 - a75 a76 a77 a78 c7 M*

v a81 a82 - a83 a84 - a85 a86 a87 a88 V v c8 v Q* V

N0* 2 r 2 2 pn N 0; S* = 2 r o0. S p; pn M * = Cr 2 5 M p; Q0* = = Crl Q 0 ■ 5 Qp;

N _-

— Nl-

2 2 Np’

p n

2

3

S* _ ?-Slp; M* = ; Q* = -C^

pn 5 5

(11)

Рис. 1. Расчетная схема цилиндрической оболочки при периодических краевых нагрузках:

а - оболочка; б, в - положительные направления амплитудных и местных статических и кинематических параметров соответственно при а = 0, ф = 0 и а Ф 0, ф Ф 0

a11 _ a13 _ a15 _ a17 _ 1 a12 _ a14 _ a16 _ a18 _ 0

a21 _ a25 _ a22 _ a26 _ k; a23 _ a27 _ Km'; a24 _ a28 _ K;

2 21 2 i 2 2

a31 _ a35 _ 2k m; a32 _ a36 _ k m -1 -vp n ; a33 _ a37 _ 2Km;

a34 _ a38 _ K2 (m2 - tj-vp2n2;

a41 _ a45 _ k3(3m2 -1)— (2 -v)p2n2k;

a42 _ a46 _ k3m(m2 - 3)— (2 - v)p2n2km;

a43 _ a47 _ K3(3m2 -1)-(2- v)p2n2K;

a44 _ a48 _ K3m(m2 - 3)— (2- v)p2n2Km;

a51 _ f1 (al); a52 _ /2(al); a53 _ ^1 (al); a54 _ F2(al);

a55 _ f3(al); a56 _ f4(al); a57 _ F3(al); a58 _ F4(al);

a61 _ f\(al); a62 _ f2(al); a63 _ F1/(al); a64 _ F2(al);

a65 _ f3(al); a66 _ f4(al); a67 _ F3(al); a68 _ F4(al);

«71 = f2(al )-YP 2n 2f2 (al); «72 = f1 (al )-YP V f1(al); «73 = F'fe)-YP2п2р2(ai); «74 = Ff'(«i)-YP2«2Fi(ai); a75 = f4' (al)-Yp 2n2 f4 (al); «76 = f3 '(al)-Yp Vf3 (al);

«77 = F4,(al)-Yp2n2F4(al); «78 = F"(al)-Yp2n2F3(al);

^81

= f2,,(al)-(2-y)p n f2(al); «82 = fr(al)-(2-y)p n fi(al);

«83 = ^"(а* )-(2 -V)Р2п2^2(а/); а84 = (а* )-(2 -V)р2п2Е&а*);

«85 = /Г(а/)-(2-п)р2п2/4(а*); «86 = /Г(а/)-(2-п)р2п2/3(а/); «87 = ^Г(аг)-(2-V)р2п2^4(а*); «88 = ^3"(а/)-(2-п)р2п2Л3(а1).

В случае отсутствия каких-либо краевых периодических воздействий на оболочку вместо них в матрицу (11) подставляются нули.

Нормальное окружное усилие, окружной изгибающий и крутящий моменты определяются, соответственно, по формулам:

N(ф) = -2Ф"(а); М(ф) = —^~ [п^'"(а) - р2n2W(а)]; г СГ

(12)

О

Н = (1 -V)—2 pnW/(a),

сг

где 0 < а < 1/г.

Значения постоянных с1, С2,..., С8, входящих в решение (1), можно найти, решая матричное уравнение (11) с использованием обратной матрицы,

' <1Л ' Д11 Д21 Д31 Д41 Д51 Д61 Д71 Д81^ ( л г* Л No

с2 Д12 Д22 Д32 Д42 Д52 Д62 Д72 Д82 So*

<3 Д13 Д23 Д33 Д43 Д53 Д63 Д73 Д83 M o*

<4 Д14 Д24 Д34 Д44 Д54 Д64 Д74 Д84 X Qo*

<5 Д15 Д25 Д35 Д45 Д55 Д65 Д75 Д85 N*

<6 Д16 Д26 Д36 Д46 Д56 Д66 Д76 Д86 S*

<7 Д17 Д27 Д37 Д47 Д57 Д67 Д77 Д87 Ml*

ч <8 J ч Д18 Д28 Д38 Д48 Д58 Д68 Д78 Д 00 00 , Q*,

(13)

где Дц = Ау /А; Ау = (-1)+цМу ; Ац, Му, А - алгебраическое дополнение элемента

ац, минор элемента ау и определитель квадратной матрицы соответственно.

Зная краевые периодические нагрузки и используя (13), можно на ЭВМ вычислить постоянные с]_, С2,..., С8. Подставив найденные значения су в решение (1) и используя функции (2), их производные (4) и интегралы (5), находят значения функций Ф(а), W(а), их производных Ф'(а), Ф”(а), W'(а), W''(а), W'"(а) и интегралов ./1Ф(а), ./2Ф(а) при 0 < а < 1/г. Далее определяют амплитудные зна-

чения статических (9), (12) и кинематических (14) параметров при тех же значениях a (0 < a < l/r):

w(a) = -СтW(a); J(a) = C W'(a); u(a) = —— [nF'(a) + p2n2J1F(a')\;

Ed2 Ed r Edr

(14)

v(a) = -Pn [(2 + n)F(a) - p 2n2 J 2®(a)j,

Edr

где Е - модуль упругости Юнга материала оболочки; w(a), u(a) и v(a) - составляющие перемещения соответственно в радиальном, осевом и окружном направлениях; J(a) - угол поворота нормали к срединной поверхности оболочки в меридиональной плоскости.

Местные компоненты перемещений и усилий в произвольной точке кольцевого сечения могут быть определены по формулам:

ю*(a) = w(a)cospnj; J*(a) = J(a)cospnj; u*(a) = u(a)cos pnj; v*(a) = v(a)sinpnj;

N * (a) = N (a)cos pnj; M * (a) = M (a)cos pnj; Q* (a) = Q(a)cos pnj; (15) N* (j) = N (a)cos pnj; M * (j) = M (j)cos pnj; S* (a) = S (a)sin pnj;

H * = H sin pn j.

Напряженное состояние оболочки зависит от интенсивности внутренних силовых факторов (9) и (12).

Максимальные амплитудные значения напряжений рассчитываются по известным формулам сложного сопротивления:

a(a) = N (a)/5 + 6M (a)/d2 ; o( j) = N (j)/5+6M (j)/52 ;

(16)

t(a) = S (a) / d + 6h/d2,

где t(a) - касательное напряжение, знак (+) соответствует напряжениям на внутренней поверхности оболочки. Напряжения a(a) действуют в осевом, а о( j) -в окружном направлениях.

Местные напряжения в произвольной точке кольцевого сечения определяются по формулам:

о* (a) = a(a)cos pnj; о* (j) = a(j)cos pnj; t* (j) = t(a)sin pnj. (17)

При периодических краевых воздействиях затухание напряженного состояния вдоль меридиана происходит медленнее, чем при осесимметричном краевом эффекте, и по-иному решается вопрос об отнесении оболочки к классу «коротких» или «длинных». При допущении 5%-й погрешности расчета оболочку можно

считать полубесконечной, если e Kmai < 0,05. Логарифмируя обе части данного

неравенства по основанию е, находим al >ln0,05/(-Km). Так как al = l/r, то

l > r ln0,05/(-Km).

Для полубесконечной оболочки функции (1) будут состоять из слагаемых, содержащих только постоянные q, <2, С3 и С4, которые могут быть определены из системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными

«11 «12 «13 «14 ^ ' С ' ( А Г* > N0

- «21 - «22 - «23 - «24 c2 S*

X =

- «31 «32 3 3 « 4 3 « c3 M 0*

«41 - «42 - «43 4 4 « - 4 c4 J , 00* j

В остальном расчет полубесконечной оболочки аналогичен рассмотренному расчету короткой цилиндрической оболочки.

Напряженно-деформированное состояние оболочек от действия распределенных периодических краевых нагрузок определяется наложением отдельных решений для каждого значения cos pnj. Точность решения зависит от суммы удерживаемых членов ряда Фурье [1]. Для оболочек байонетных затворов пресс-форм форматоров-вулканизаторов при n > 12 достаточно удерживать члены под номерами р = 1, 2, ..., 15.

Т аким образом, зная краевые периодические воздействия на оболочки, можно исследовать их циклические напряженно-деформированные состояния. Настоящую методику можно использовать при проектировании байонетных затворов пресс-форм форматоров-вулканизаторов и другой техники.

Список литературы

1. Мордовин, Е.Д. Исследование напряженно-деформированного состояния замка байонетного затвора пресс-форм для шин : дис. ... канд. техн. наук : 01.02.06 : защищена 30.05.80 ; утв. 10.12.80 / Мордовин Евгений Дмитриевич. - М., 1979. -161 с.

2. Львин, Я.Б. Расчет цилиндрической оболочки на циклические краевые воздействия (точное решение) / Я.Б. Львин // Инженерный сборник / Воронеж. инженер.-строит. ин-т. - Воронеж, 1953. - Т. XVII. - С. 23-29.

3. Легостаев, В.Л. Форматоры-вулканизаторы XXI века / В.Л. Легостаев, Е.Д. Мордовин // Вопросы практической технологии изготовления шин : информ.-аналит. сб. / ООО «НТЦ «НИИШП». - М., 2006. - № 4. - С. 55-63.

Technique for Cylindrical Shells Calculation under Periodical Periphery Loads

E.D. Mordovin

ZAO “Tambovpolimermash”; zaoskb@rambler.ru

Key words and phrases: amplitude and local values of tense-deformed condition; bayonet locks; cylindrical shells; generalized functions of tension and deflection; periodical periphery loads; specific solution functions.

Abstract: The paper presents the technique designed for calculation of amplitude and local movements and tensions in short and semi-finite cylindrical shells under periodical periphery loads, which occur in bayonet locks of shaper vulcanizes of pneumatic tires and other equipment (chemical apparatuses, submarines, space aircrafts and others).

Methodik der Berechnung der zylindrischen Umhtillungen bei den periodischen Grenzbelastungen

Zusammenfassung: Es ist die fur die Berechnung der Amplituden- und Lokalumstellungen und der Spannungen in den kurzen und halbunendlichen zylindrischen Umhullungen bei den periodischen Grenzbelastungen, z.B. in den bajonetischen Sperrvorrichtungen der Reifenheizpressen der pneumatischen Reifen und anderer Technik (Apparate der chemischen Produktion, Unterseeboote, Raumschiffe

u.a.) vorausbestimmte Methodik beschrieben.

Methode du calcul des enveloppes cylindriques lors des charges de la contree

Resume: Est decrite la methode destinee au calcul des deplacements d’amplitude et ceux locaux et des tensions dans les enveloppes cylindriques courtes et semi-infinies lors des charges de la contree qui ont lieu, par exemple, dans les fermetures a baionnette des pots de cuisson des pneus et d’autre technique (appareils de l’industrie chimique, sous-marins, vaisseaux cosmiques, etc).

Автор: Мордовин Евгений Дмитриевич - кандидат технических наук, доцент, ЗАО «Завод Тамбовполимермаш».

Рецензент: Куликов Геннадий Михайлович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и механика» ГОУ ВПО «ТГТУ».