CC BY
192
УДК 373.1.02:372.8
Л. А. Апайчева, Л. Е. Шувалова
МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ НЕИЗВЕСТНУЮ В ОСНОВАНИИ И ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ
Освещаются вопросы решения уравнений, содержащих неизвестную в основании и показателе степени. В результате проведенного анализа работ по данной теме делается вывод, что нет однозначного ответа, какие условия нужно накладывать на функции из уравнения. Основным способом решения уравнений данного вида являлось логарифмирование обеих частей уравнения, при котором некоторые корни теряются. Поскольку уравнения такого вида встречаются в школьном курсе математики за среднюю школу, то учащимся необходимо овладеть методикой их решения. Приведен алгоритм решения уравнений рассматриваемого вида и разобраны примеры. Решение уравнений данного типа играет важную роль в формировании логического мышления учащихся, развивает их способности, интуицию, познавательную активность.
Ключевые слова: степенная функция, корень уравнения, область допустимых значений, сложная экспонента.
Поводом к написанию данной статьи послужила книга С. И. Колесниковой [1], в которой, в частности, рассматривается уравнение вида
АхТ(Х) = Лх)^.
(1)
Автор накладывает условия на функции из уравнения (1). Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения Дх) > 0. С помощью определения сложной экспоненты Д(х)ф(х) = = 10ф(х)1§ Лх) автор выводит условие равносильности уравнения (1) (см.: [1, с. 87]):
Л (х)9( х) = Д (х) *
о
Л (х) -1, Л(х) > 0, ф( х) = * (х).
(2)
Следует заметить, что решения уравнений вида (1) постоянно вызывают споры. Нет однозначного ответа, какие условия нужно накладывать на функции Лх), ф(х), *(х), тем более что в школьном курсе математики за среднюю школу уравнения вида (1) встречаются. Поэтому учащимся необходимо овладеть методикой их решения. В настоящее время в школьных учебниках практически нет заданий на эту тему. Ранее же в школьном курсе примеров такого типа было значительно больше.
В пособиях [2, 3] и в работах других авторов рассматриваются только случаи, когда основание степени Лх) > 0. По-видимому, это мнение вызвано тем, что основным способом решения уравнения вида (1) является логарифмирование обеих частей уравнения. Однако известно, что логарифмируя уравнение и(х) = ¥(х) по основанию Ь (Ь > 0, Ь Ф 1), мы сужаем ОДЗ уравнения,
так как логарифм существует только для положительных чисел.
Согласно определению корня уравнения и степенной функции [4, с. 564] при решении уравнений вида (1) должны быть отдельно рассмотрены следующие случаи: Лх) = 1, Лх) = -1,
Лх) = 0, Лх) > 0.
Следует провести краткий обзор работ по данной теме. В сборнике задач под редакцией М. И. Сканави [5, с. 127] предложен пример
х - 3х1 = х - 3х 2, для которого даны ответы:
{2; 3; 4; 11}, т. е. рассмотрены все выше приведенные случаи. В решебнике [6, с. 346] случай х - 3 = 0 исключен. В статье [7, с. 157] для уравнения х - 4|2 \х - 4|^ 3 рассмотрены два слу-
, . х + 2 х - 3 чая: |х - 4| = 1; —5— = ——, однако опущен корень х = 4. В статье [8] рассмотрены решения уравнения Лх)ф(х) = *(х) на множествах: а) М\ тех х, для которых Лх) > 0; б) М2 тех х, для которых Лх) = 0; в) М3 тех х, для которых Лх) < 0, причем если а < 0, то число аа определено только для любого целого числа а (а £ 7).
В учебнике украинских авторов [9, с. 395-396] отмечено, что в том случае, когда при решении уравнения вида (Лх))ф(х) = (Лх))*х) из условия не следует, что основание степени Лх) > 0, необходимо рассмотреть три особых случая: основание Лх) равно -1, 0, 1 (понятно, что в этих случаях выражения Лх)ф(х) и Лх)*(х) могут быть равными даже тогда, когда показатели ф(х) и *(х) разные), а затем приравнять показатели (ф(х) = *(х)). Если же из условия следует, что Лх) > 0, то рассматриваем только один особый случай - основание
Вестник ТГПУ (ТБРББиНеПп). 2015. 1 (153)
степени равно 1 Дх) = 1) - и приравниваем показатели степеней (ф(х) = £(х)).
Последний раз в диагностической контрольной работе по математике № 2 для подготовки к ЕГЭ (МИОО, 7 декабря 2011 г.) предложена система неравенств вида:
1сВз_х (х +1) • 1с§х+5 (4 - х) > 0;
2 2 х-1.2 2 2
—х - — + —х --
3 3 3 3
< 2.
Второе неравенство из системы сводится к уравнению
2 2 —х — 3 3
= 1,
2 —х 3 2 3 = 1
2 —х 3 2 3 = -
2 —х 3 2 3 Ф 0
х - 1,2 = 0
или
х = 2,5, х = 1,2, х = -0,5.
Системе неравенств удовлетворяет только значение х = 1,2.
Итак, подводя итог сказанному и следуя [6, с. 279], рассмотрим способы решения уравнения вида (1).
При решении уравнения вида (1) нужно рассмотреть четыре случая и воспользоваться правилами возведения в степень.
1. ф(х) = g(x). Корни этого уравнения являются корнями данного уравнения (1), если уравнение (1) имеет смысл.
2. Дх) = 0. Корни этого уравнения являются корнями данного уравнения (1), если ф(х) > 0 и (х) > 0.
3. Дх) = 1. Корни этого уравнения являются корнями данного уравнения (1), если существуют функции ф(х) и g(x).
4. Дх) = -1. Корни этого уравнения являются корнями данного уравнения (1), если значения функций ф(х), g(x) от этих корней - целые числа одинаковой четности или дробные несократимые с нечетными знаменателями и одинаковой четности числителями. В силу перехода к уравнению-следствию могут появиться посторонние корни. С целью устранения ошибок необходимо проводить проверку результатов по исходному уравнению.
Пример 1. Решите уравнение хх = х_2_3х.
Решение: рассмотрим случаи: а) при х = -1 имеем верное равенство (-1)1 = (-1)1; б) при х = 1 имеем 11 = 11 - верное равенство; в) при х = 0 получаем 00, 0 - посторонний корень; г) приравняем показатели степени: х2 = -2 - 3х или х2 + 3х + + 2 = 0. Отсюда находим х = -2, х = -1. Проверка: (-2)4 = (-2)4 - верное равенство. Ответ: {-2; -1; 1}.
Пример 2. Решите уравнение (1 - х2)(2+х) = - (1 _ х2)(8х-2)(х+ 2)
Решение: а) полагаем 1 - х2 = 1, при х = 0 имеем 14 = 1-4 - верное равенство; б) 1 - х2 = 0, х = 1, х = -1; при х = 1 получаем 09 = 018 - верное равенство; при х = -1 01 = 0-10 не имеет смысла, х = -1 - посторонний корень; в) 1 - х2 = -1, х2 = 2, х = - -\/2, х = \/2 Иррациональные корни х = ± не входят в определение степени; г) приравняем показатели степени:
(2 + х)2 = (8х - 2) (х + 2) или
(2 + х) (2 + х - 8х + 2) = 0, (2 + х) (4 - 7х) = 0.
4
Отсюда х = -2, х = 7. При х = -2 имеем (1 - 4)0 = (1 - 4)0 - верное равенство; при х = 7
верное равен-
Ответ: |0; 7; 1|.
В книге [2, с. 112] корень х = 1 для данного уравнения исключен, поскольку на ОДЗ этого уравнения накладывается условие 1 - х2 > 0, т. е. -1 < х < 1.
Овладение методикой решения уравнений вида (1) развивает творческие способности учащихся, их логическое мышление, интуицию, познавательную активность. Учащиеся приобретают навыки исследовательской работы. У школьников происходит глубокое усвоение учебного материала.
В результате учащиеся начинают делать первые шаги по решению новых проблем, привыкают к самостоятельному поиску, учатся управлять собственной мыслительной деятельностью, постепенно овладевают самоконтролем, развивают наблюдательность [10].
(. 16 ^7
имеем 11--
I 49
ство.
-'1 -1
Список литературы
1. Колесникова С. И. Математика. Решение сложных задач единого государственного экзамена. 3-е изд. М.: Айрис-пресс, 2007. 272 с.
2. Потапова М. К., Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В. Конкурсные задачи по математике: справочное пособие. М.: Столетие, 1995. 544 с.
3. Ткачук В. В. Математика - абитуриенту. М.: МЦНМО, 2004. 922 с.
4. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988. 848 с.
5. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы: учеб. пособие / под ред. М. И. Сканави. СПб., 1994. 516 с.
6. Мазур К. И. Решебник всех конкурсных задач по математике сборника / под ред. М. И. Сканави. Вып. 2. Киев: Украинская энциклопедия им. М. П. Бажана, 1994. 279 с.
7. Кравцев С. В., Макаров Ю. Н., Максимов М. И., Нараленков М. И., Чирский В. Г. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных. М.: Экзамен, 2001. 544 с.
8. Вуколова Т. М., Потапов М. К., Шевкин А. В. Об уравнениях вида f(x)j(x) = g(x) // Математика в школе. 2008. № 7. С. 37-40.
9. Нелин Е. П. Алгебра и начала анализа: двухуровневый учеб. для 10 кл. общеобразоват. учеб. заведений / пер. с укр. Е. П. Нелина. Харьков: Мир детства, 2006. 448 с.
10. Макусева Т. Г., Яковлева Е. В. Использование логических задач в процессе самостоятельной работы студентов // Вестн. Томского гос. пед. ун-та (TSPU Bulletin). 2010. Вып. 12 (102). С. 102-104.
Апайчева Л. А., доцент, кандидат физико-математических наук. Нижнекамский химико-технологический институт (филиал) КНИТУ
Пр. Строителей, 47, Нижнекамск, Республика Татарстан, Россия, 423570. E-mail: [email protected]
Шувалова Л. Е., старший преподаватель.
Нижнекамский химико-технологический институт (филиал) КНИТУ
Пр. Строителей, 47, Нижнекамск, Республика Татарстан, Россия, 423570. E-mail: [email protected].
Материал поступил в редакцию 26.09.2014.
A. L. Apaycheva, L. E. Shuvalova METHODIC TECHNIQUES FOR SOLVING EQUATIONS CONTAINING THE UNKNOWN AT THE BASE AND INDEX
The article is devoted to the solutions to the equations containing the unknown at the base and index. A detailed analysis of the problem proved that there is no decisive answer as to what conditions need to be imposed on the equation function. The primary way of solving such equations is taking the logarithm of both members of the equation, in this case some roots are lost. It should be noted that equations of such type are studied at school and pupils are to master the skills of solution to such equations. The article suggests algorythm of solution of these equations, analyses certain examples. The conclusions are drawn that solving such equations can greatly contribute to the development of students' logical thinking as well as their abilities, intuition and cognitive power.
Key words: power function, equation root, acceptable region, complex exponent.
References
1. Kolesnikova S. I. Matematika. Reshenie slozhnykhzadach Edinogogosudarstvennogo ekzamena [Mathematics. The complex problems solution of the uniform state examinations]. 3th ed. Moscow, Ayris-press Publ., 2007. 272 p. (in Russian).
2. Potapova M. K., Olehnik S. N., Nesterenko Yu. V. Konkursnyye zadachi po matematike. Spravochnoe posobiye [Competitive problems in mathematics. The handbook]. Moscow, Stoletie Publ., 1995. 544 p. (in Russian).
3. Tkachuk V. V. Matematika-abiturientu [Mathematics for a university entrant]. Moscow, MTSNMO Publ., 2004. 922 p. (in Russian).
4. Matematicheskiyentsiklopedicheskiyslovar'[Encyclopedic Dictionary of Mathematics]. Moscow, Sovetskaya Entsiklopediya Publ., 1988. 848 p. (in Russian).
5. Skanavi M. I. (Ed.). Sbornik konkursnykh zadach po matematike dlya postupayushchikh vo vtuzy [The competitive problems workbook in mathematics for university entrants]. St. Petersburg, 1994. 516 p. (in Russian).
6. Mazur K. I. Reshebnik vsekh konkursnykh zadach po matematike sbornika pod redaktsiey M. I. Skanavi [The solution of all competitive problems in mathematics collection edition by Skanavi M. I.]. 2th ed. Kiev, Ukrainskaya entsyklopediya M. P. Bazhan Publ., 1994. 279 p. (in Russian).
7. Kravtsev S. V., Makarov Yu. N., Maksimov M. I., Naralenkov M. I., Chirskiy V. G. Metody resheniya zadach po algebre: ot prostykh do samykh slozhnykh [Methods of problems solution in algebra: from easy to the most difficult]. Мoscow, Examen Publ., 2001. 544 p. (in Russian).
8. Vukulova T. M., Potapov M. K., Shevkin A. V. Ob uravneniyakh vida /(х)фМ = g(x) [About equations of a form fx)*1 = g(x)]. Mathematics in the school, 2008, no. 7, pp. 37-40 (in Russian).
EecmHUK ^m (TSPUBulletin). 2015. 1 (153)
9. Nelin E. P. Algebra i nachala analiza: Dvukhurovnevyy uchebnik dlya 10 kl. obshcheobrazovat. ucheb. zavedeniy [Algebra and analysis beginnings: The two-level textbook for 10 classes of comprehensive schools]. Translated from Ukrainian by Nelin E. P. Kharkov, Mir detstva Publ., 2006. 448 p. (in Russian).
10. Makuseva T. G., Yakovleva E. V. Ispol'zovanie logicheskikh zadach v protsese samostoyatel'noi raboty studentov [Logic problems using in the independent work students course]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta - TSPU Bulletin, 2010, vol. 12, pp. 102-104 (in Russian).
Apaycheva A. L.
Nizhnekamsk Institute of Chemical Technology (branch of) Federal State Budget Institution of Higher Vocational
Education "Kazan National Research University of Technology".
Pr. Stroiteley, 47, Nizhnekamsk, Tatarstan Republic, Russia, 423570.
E-mail: [email protected]
Shuvalova L. E.
Nizhnekamsk Institute of Chemical Technology (branch of) Federal State Budget Institution of Higher Vocational
Education "Kazan National Research University of Technology".
Pr. Stroiteley, 47, Nizhnekamsk, Tatarstan Republic, Russia, 423570.
E-mail: [email protected]
