CC BY
73
Тувинский государственный университет
----------- ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И------------
ИНФОРМАТИКИ
THEORY AND METHODOLOGY OF TEACHING MATHEMATICS AND INFORMATICS
УДК 514(07)
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ «ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» ДЛЯ ОБОБЩЕНИЯ И СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЙ ШКОЛЬНИКОВ
Кара-Сал Н.М.
Тувинский государственный университет, Кызыл
THE USAGE OF THE SYSTEM OF TASKS ON "EXPONENTIAL EQUATION" FOR GENERALIZATION AND SYSTEMATIZATION OF KNOWLEDGE OF PUPILS
Kara-Sal N.M.
Tuvan state university, Kyzyl
В статье на основе анализа содержания темы «Показательные уравнения» в школьных учебниках рассматривается система заданий, которая может быть использована учителем для обобщения и систематизации знаний учащихся на заключительном этапе изучения темы.
Выделены типы показательных уравнений и основные методы их решения, разработана система заданий для обобщения и систематизации знаний школьников по данной теме.
Ключевые слова: показательная функция, показательные уравнения, выделение типов и приемов решения показательных уравнений, обобщение, систематизация, повышение качества знаний.
On basis ofanalyzing the content of the theme "exponential equation" in school textbooks it is considered the system of tasks that can beused by teachers for the generalization and systematization of knowledge of pupils in the final stage of theme study.
Types of exponential equations and basic methods for their solution are obtained, the system of tasks for generalization and systematization of knowledge of pupilson the mentioned above topic is developed.
Key words: exponential, exponential equations, the allocation of types andmethods ofsolutionsof exponential equations, generalization, systematization, improving the quality ofknowledge.
В сложившихся в настоящее время социально-экономических условиях приоритет в экономическом развитии страны отдается образовательной политике, основной целью которой является «достижение высокого качества образования и соответствия его актуальным и перспективным потребностям личности общества и государства» [12].
Цели и задачи образовательной политики нашли отражение в новых ФГОС, одним из основных требований которых является «формирование новой системы универсальных знаний, умений и навыков у школьников, составляющих «умение учиться» [12]. Результатом формирования таких умений у школьников является овладение общим приемом решения учебных задач в рамках деятельностного подхода (В.В. Давыдов, П.Я. Гальперин, Д.Б. Эльконин и др.)
В связи с этим особую значимость приобретает отбор учителем содержания учебного материала для обобщения и систематизации знаний школьников.
Отметим, что умения систематизировать и обобщать знания необходимы каждому человеку, так как систематизированные знания прочно сохраняются в памяти, легче актуализируются благодаря связам между ними, успешно применяются в различных ситуациях (А.Д. Семушин, Д.С. Кретинин, Е.Е. Семенов, Л.Я. Зорина, А.Н. Ждан, В.В. Давыдов и др.).
Овладение такими умениями тем более важно для учителя, так как систематизация и обобщение знаний выступают в функции одного из важнейших компонентов той базы, которая связана с аналитико-синтетической деятельностью учителя. Достаточно привести лишь некоторые методические умения учителя, основанные на систематизации и обобщении знаний: умение выявить и использовать возможности учебника, как средства систематизации и обобщения знаний; умение осуществить отбор задач, с помощью которых можно систематизировать и обобщать знания учащихся; умение составлять систематизирующие таблицы и схемы и т.д.
Поэтому неслучайно в качестве основной задачи школы в рамках ФГОС ставится формирование УУД (универсальных учебных действий) у учащихся, которые невозможны без систематизации и обобщения знаний. Эту задачу может выполнить тот учитель, который сам владеет такими умениями.
В статье остановимся на использовании учителем системы заданий по теме «Показательные уравнения» для обобщения и систематизации знаний учащихся на заключительном этапе изучения этой темы в школьном курсе «Алгебра и начала анализа».
Как мы отметили выше, одним из методических умений учителя, связанных с систематизацией и обобщением знаний, является умение выявить и использовать возможности учебника как средства систематизации и обобщения и умение осуществлять отбор задач. Это возможно на основе анализа содержания учебного материала.
Остановимся кратко на анализе учебного материала темы «Показательные уравнения» по некоторым школьным учебникам «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов.
В настоящее время тему «Показательные уравнения» изучают по учебникам «Алгебра и начала анализа», «Алгебра и математический анализ» авторов А.Н. Колмогорова, Н.Я. Виленкина, А.Г. Мордковича, Ш.А. Алимова, М.И. Башмакова и др. [2, 3, 8, 4, 5].
С точки зрения систематизации как теоретического материала, так и задач наиболее удачным, на наш взгляд, является комплект А.Г. Мордковича (учебник и задачник).
Теоретический материал по данной теме составляет содержание главы «Показательная и логарифмическая функция» и излагается на достаточно высоком уровне научности, строгости. Автор приводит следующие типы показательных уравнений и соответствующие методы их решения:
1. Простейшие показательные уравнения:
а) ах = ау о х = у
б) ах = 1 о ах = а0 ^ х = 0
2. Показательные уравнения, сводящиеся к квадратным:
к-а2х+т-ах+I = 0, где к,т,I eR Обозначив ах = ь, получим квадратное уравнение к ■ь2 + + I = 0
3. Показательные уравнения,однородные относительно ах и Ьх.
га\х
а) ах = ЬХ ^ ф = 1 ^ * = 0
б) к-а2х +ш-(а-Ь)х +I ■ Ь2х = 0
Разделив обе части уравнения на Ь2х(или а2х) получим квадратное уравнение к ■ь2 + т ■ t + I = 0
4. Уравнения вида ах = Ь, Ь > 0 ^ х = Ь
5. Показательные уравнения, требующие графического метода решения.
6. Показательные уравнения с параметрами.
7. Комбинированные уравнения, в которых кроме показательной функции участвуют другие элементарные функции (логарифмическая, тригонометрическая и др.)
К основным методам решения показательных уравнений автор относит следующие: • функционально-графический метод;
• метод уравнивания показателей;
• метод введения новой переменной.
В отличие от других учебников у автора имеются оригинальные задания, способствующие
формированию у учащихся таких качеств знаний, как осознанность, гибкость, системность, полнота.
Например, имеется такое задание:
• Будет ли уравнение вида ^(/(х)) = Цд(:г))равносильно уравнению вида f(x) = д(х)?
1) 1/2х - 1 = л/5-3- 2х; 2) ^(3* - 1) = ^(3 - 9х).
• Сколько корней имеет данное уравнение на заданном промежутке: 1) 7ж = со$:г, [0;+~); 2) (0;3]?
Содержание комплекта А.Г. Мордковича позволяет учителю использовать его как средство систематизации и обобщения знаний.
Если обратиться к учебнику А. Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа» профильного уровня [8], то имеются разнообразные типы показательных уравнений, особенно комбинированного типа, что соответствует задачам систематизации и обобщения знаний.
Не останавливаясь на подробном анализе других учебников, лишь отметим, что учебник под редакцией А. Н. Колмогорова в основном ограничивается показательными уравнениями первого и второго типа.
Намного лучше рассматриваемый вопрос излагается в учебнике Ш. А. Алимова и др. [4] Имеются почти все типы показательных уравнений, хотя по сравнению с учебником А. Г. Мордковича некоторые типы представлены меньше в количественном отношении.
В учебнике Н. Я. Виленкина «Алгебра и математический анализ» [3] изложение теоретического материала темы достаточно сложное с подробными доказательствами математических утверждений, предоставлены все типы показательных уравнений, что позволяет на достаточно высоком уровне осуществлять систематизацию и обобщения знаний.
Овладение учащимися общим приемом решения задач по теме «Показательные уравнения» является особенно важным, так как в КИМ (контрольно-измерительных материалах) ЕГЭ по математике предлагаются задания по данной теме как на базовом, так и на профильном уровне.
С другой стороны, анализ ЕГЭ по математике показывает, что выпускники допускают ошибки при выполнении заданий С 1, С 3 в которых требуются умения систематизации и обобщения знаний при решении показательных уравнений и неравенств.
Поэтому при изучении данной темы учитель преследует прежде всего цель, связанную с выделением основных типов показательных уравнений и особенностей работы с ними.
Достижение указанной цели, требует решения ряда задач среди которых отметим следующие: 1) актуализация теоретических основ уравнений (особое внимание следует уделить вопросам равносильности уравнений);
- выяснения места вопросов решения показательных уравнений в системе знаний, отражающих линию уравнений и неравенств в курсе математики средней школы;
- установление особенностей решения показательных уравнений;
- установление целесообразного с точки зрения возможности использования в процессе изучения математики основания для выделения основных типов показательных уравнений.
В предлагаемую нами систему входят следующие задания, требующие систематизации и обобщения:
1) теоретических основ уравнений;
2) приемов тождественных преобразований выражений;
3) свойств элементарных функций;
4) основных типов показательных уравнений и приемов их решения.
Приведем примеры заданий, которые служат базой для систематизации и обобщения знаний по теме «Показательные уравнения»
Пример 1. Какие из следующих уравнений является показательными 1) 2х2-3х=0 2) 6х +36х=0
3) Ух =25 4) х2-5х+6=0
5) 2™ х=4 6) 62х-3х=108 7) 3х+з + 3х=7х+1 +5-7х 8) 4х -5 2х=3? Пример 2. Равносильны ли уравнения
1) 3Ух+4 ■ (3)-х=1 и Ух +4-х=0
2)3 2*п х=9 и sinx =1
3) У0,5 х ■ 2 х2 ■ У2=4 и х2-0.5х+0.5=2
4) cos(3х-1) =cos(3-9х) и 32х + 3х=4?
Пример 3. Найдите область определения функции: 1) у= 2х2+1 2) у=£)
3)у = 3,2х/х+14) у= 2 ух-1
2
5)у = ^ 6) у= У3х-1-1 7)у = 8)у =
Пример 4. Найдите область значений функции:
1) у=9 х 2) у=2 -х 3) у=43х
4) у=15 х +2 5) у=(0,2)х -2 6) у=3х-9
■7\Г, \_ ( 2х, если х<1 0. ,, ._( 2~х, если х<1
7) f (Х)= ( 2, если х > 1 8) f (х)=(-х2 + 1, если х > 1
Пример 5. Какие из заданных функций ограничены сверху (снизу)
1) у= 15х 2) у=фх 3) у=(5,5)х 4) у=-2-х?
Пример 6. Какое из утверждений верно: показательная функция у=ах
1) имеет максимум и минимум;
2) принимает наибольшее и наименьшее значения;
3) принимает значение, равное 0;
4) является нечетной?
Пример 7. Докажите, что для функции у=f (х), где f (х)=2х выполняется равенство:
а) f (*)■ f (х2)= f (х1 + х2)
6) f (х+1)^ f (2х)= 2 13(х)
Пример 8. Докажите, что графиком функций у=3х и у=3-х симметричны относительно оси ординат.
Пример 9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:
1) у=3х на отрезке [-1;2]
2) у=3М на отрезке [-1;2]
3) у=е2х - 5ех -2 на отрезке [-2; 1 ]
4) у=42 х +13 на отрезке [-1;2]
Пример 10.Исследуйте на монотонности следующие функции: 1) у= (0,2)х 2) у=3-х 3) у= 15-х
4) у=(~~)-х5) у=ф-х6) у=©х ?
Пример 11. Найдите координаты точек пересечения графиков функций: 1) у=3х и у= 9; 2) у=3х-2 и у=3 3) у=2 х+1 и у=4 4) у=2Ми у=|х|+1
5) у=|3х - 2 | и у =1 6) у=2-3хи у=|2-3х|.
Результатом решения рассмотренных примеров заданий является систематизация и обобщение знаний, которые служат основой для следующего этапа - систематизации и обобщения типов показательных уравнений и основных методов их решения.
К основным методам решения показательных уравнений относятся: метод уравнивания показателей; метод введения новой переменной; метод разложения на множители; метод использования однородности функции; метод использования монотонности функции; метод оценки; функционально-графический метод.
Обратимся к примерам.
Пример 1. 2х ■ ^4Х ■ 0Д251/* = 4 • л/2;
Так как в уравнении участвуют степени числа 2, то постараемся привести его к виду 2у = 2^.
Используя свойства корня и степеней, имеем:
2*/2 . 4% . (8)/бХ = 27/з * 2х/2 • 22х/б • 2"3/бх = 27/З
2ж/2 • 2"/з • 2_1/2х = 27/З * 2ж/2+ж/З"1/2Х = 27/З
Это уравнение равносильно уравнению: | +1 - ^ = ^
х 1 7 х ^ 2_2х_3_3 > 3х2 - 3 = 14х -2х2 ^ 5х — 14% — 3 = 0
2х 3
V = 142 - 4 • 5 • 3 = 196 + 60 = 256 _14 + 16_30_ _14-16_-2_ 1_
_ 2-5 _ 10 _ 3; *2 _ 10 _10__5__0,2 Алгоритм решения этого уравнения сводится к преобразованию исходного уравнения к первому типу: 2У = показательных уравнений.
Заметим, что необходимо было осуществить соответствующие тождественные преобразования.
Проверкой убеждаемся, что х = -0,2. Ответ: х = -0,2.
Пример 2. /3 • • 2 (1+^) = 81;
Как в предыдущем примере заметим, что участвуют степени числа 3, значит, необходимо заменить исходное уравнение равносильным ему уравнением первого типа: 3Г = 3^. Отметим, что х > 0.
X, . (2+У^+х) _(2+/г+х)/
31/2 . 3 /(1+/ж) . 3 2-(1+/ж) = 34 3 /2 /(/2-(1+/ж) _ 34
1 х х 2 + /^ + ^ 1 -Н----= 4---= 4--
2 1 + /х 2-(1 + /^) 1 + V* 2-(1 + /^) 2
2х — 2—/х — х 8 — 1 2х — 2 — /х — х 7
2 • (1 + /х) ~ 2 • (1 + /х) ~ 2
2-{2х-2-/х-х) = 7-2-{\+/[х)
^ х - 2 - V* - 7 - = 0 ^ х - 8^х - 9 = 0 Обозначим = ь, t > 0, тогда t2 - 8t - 9 = 0 ^ t1 = 9; = -1
ц | ^ ^ = 81. ответ: * = 81.
2) ух=—1 нетрешения^
Пример 3. 2х2"3 ■ 5х2"3 = 0,01 ■ (10х"1)3 [11] ;
Используя свойства степеней, приведем уравнение к виду:
10г = 10^, тогда получим уравнение
10*2-з = ю-2 ■ 103х_3 ^ 10х2_3 = 10_2+3х_3 10х2"3 = 103х"5 ^ х2 - 3 = 3х - 5 ^ х2 - 3х + 2 = 0 х± = 2; х2 = 1. Ответ: х± = 2; х2 = 1.
Пример 4. 2х'"1-3х2 =3х2"1-2х2+2 [11] ;
Анализ условий показывает, что уравнение нужно привести к виду ^ = ^
2 2 2 2 2х 2 3х 2 2х 2 3х
9 2 4 2 3
3х = - -2х -4, - + 2х ■ 4 = — + 3Л
2 3 , 2 3
Разделив обе части уравнения на 3
9 2х 4 3х 1
3
2 3х2 3 3х2
/2\х' _ 4 2 /2\х~ _ 8 /2\*~ _ /2\
\3/ =39 ^ \3/ = 27 ^ 43/ = 43/ = - х2 = ^
х*- = 3 ^ х±
В отличие от других примеров решение этого уравнения сводится сначала к уравнению вида: ах = Ьх, а затем уже к виду аУ = а^.
Следует внимание учащихся обратить на то, что левая и правая части уравнения представляют собой четные функции, поэтому корни уравнения (если они существуют), являются взаимно-противоположными. Пример 5. 3 ■ 52х_1 - 2 ■ 5х"1 = 0,2;
Не решая уравнение, сразу заметим, что участвуют выражения 5х и 52х, следовательно, алгоритм решения уравнения сводится к решению квадратного уравнения после замены 5х = Пример 6. 102/* + 251/* = 4,25 ■ 501/*;
Анализ показывает, что при условии х Ф 0 данное уравнение представляет собой однородное уравнение относительно выражений 101/* и 51/*
Можно сначала обозначить - = t, тогда уравнение принимает вид:
102£ + 25£ = 4,25 ■ 50£,тогда имеем 102£ + 52£ = 4,25 ■ 10£ ■ 5£ 102£ -4,25 ■ 10£ ■ 5£ + 52£ = 0
Алгоритм решения этого вида уравнений сводится к следующим шагам:
1) Разделить обе части уравнения на 52£ или 102£
2) Ввести обозначение и свести уравнение к квадратному
3) Решив квадратное уравнение, перейти к переменной х
4) Написать ответ ^10\2£ 10£-5£ 52£ /Ю\2£
/10\ 101-51 5" /Ю\ /10\
Ы -4,25-—+^ = °, Ы -4,25'(т) +1 = 0
Обозначим = 2£ = п, п2 - 4,25 ■ п + 1 = 0, тогда п1 = 4; п2 = 7
Переходя к переменной г, имеем 2£ = 22; 2£ = 2 2 и =2; и = -2, тогда - = 2; -=-2
XX
11 _ 1 1 ж, = -; х7 = —. Ответ: я-, = -; х7 = — .
Пример 7. (л/3)Ж + (1Уз)Ж_1° = 84;
Заметим, что выражения //3 = 3^5 и 1//з = 31/ю связаны так: (з^ю) = 3^5,
поэтому напрашивается замена (1//з)ж = t, тогда имеем
^+з = 84 или 3•t2+t- 252 = 0
© = 12 + 4 • 3 • 252 = 1 + 12 • 252 = 3025 _ -1 + 55 _ 54 _ _ -1 - 55 _ -56 _ 28
^ _ 2 • 3 ~~Ь~9; 2 • 3 _ ~ _ Т
Так как 1>0 ^ ('//Г)* = 9 ^ 3*/ю = 9 ^ 3*/ю = 32
— = 2 = 20 10
Таким образом, исходное уравнение сводится к квадратному. Пример 8. 2х"1 + 2х"4 + 2х"2 = 6,5 + 3,25 + 1,625 + -;
Проверим, является ли выражение в правой части геометрической прогрессией по характеристическому свойству прогрессии: 3,25 = ^6,5 • 1,625
3,25 = 7105625
3,25 = 3,25 ^ верно
Если ... - геометрическая прогрессия, то
• • ..., тогда знаменатель прогрессии ц = 0,5. по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии _ _ 6,5 _ 6,5 _ 65 2 _ 65 _
5 -1-4-1-0,5-05-10'1-"5 -13 Тогда уравнение принимает вид: 2х"1 + 2х"4 + 2х"2 = 13,
имеем 2х = 16. 2х = 24 ^ х = 4. Данное уравнение приводится к виду 2У = 2^, после предварительного преобразования правой части уравнения, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Пример 9. (J7 + V48) + (J7-V48) =14;
Алгоритм решения таких уравнений сводится к установлению связи между выражениями 7 + V48 и 7 - V48.
Заметим, что (7 + V48) • (7 - V48) = 49 - 48 = 1, т.е. выражения являются взаимообратными 7 - V48 = —или 7 + V48 = —
г 7+V48 7-V48
Второй шаг алгоритма решения таких уравнений - это введение новой переменной (У 7 + V48) = t, тогда получим уравнение
t + i = 14, сводящееся к квадратному^ - 14 • t + 1 = 0,
Ъ = 142 - 4 = 196 - 4 = 192 = 16 • 12 отсюда
14 + 4V12 __ ___14 - 4V12 __
ti =-= 7 + 2V12 = 7 + V48; t2 =-= 7 - V48
1 2 L 2 Третий шаг - переход к переменной х:
|7 + Vi8j = 7 + V48 ^ (7 + V48)2 = (7 + V48)1
X
^ - =1 ^ * = 2 2
Аналогично^ /^Ц/щ) = 7 - V48 ^ (7 - V48) 2 = (7 - V48)1
^ -- = 1 ^ х =-2. Ответ: л^ = 2; х2 =-2.
. с ^ 5'"2(ж~|)
Пример 10. 2tg^ 4) - 2 ■ 0,25 cosz* -1 = 0;
Это уравнение смешанного типа, которое требует предварительных преобразований, тригонометрических выражений. Поэтому преобразуем отдельно показатели степеней
sin2 [х - 4) = - ■ (1 - cos [2.x - 2)) = 2 ■ (1 - sin 2х) 1-sin2x sin2 x + cos2 х- 2 sin х- cos х (sin х- cos х)2
2cos2x 2 ■ (cos2 х- sin 2x) 2 ■ (cos* - sin*) ■ (cos* + sin*)
cos х- sin X sin x- cos X V2'sin^X- 1
1 ( n\
2 ■ (cos* + sin*) 2 ■ (cos* + sin*) C0S (x — 2
Тогда исходное уравнение сводится к уравнению
— 2 ■ (i)2 ^ ^ — 1 = 0, 2tg(x_?) — 2 ■ 2"2^tg(x-?) — 1 = 0
Обозначив 2tg(x"4) = t, имеем t — 2 ■1 — 1 = 0
t
t2 — t — 2 = 0 ^ t± = 2; t2 =—1 Переходя к обозначению, получим
2tg(x"f) = 2 ^ tg(х — = 1 ^ х — ~ = ~ + пк, к ЕЖ °V V 4 4
п
х = —+ пк 2
Заметим, что по условию cos2*^0, тогда + пЕЖ
Значит, ответ х = - + пк.
2
Как видно из решения этого уравнения алгоритмизировать процесс решения сразу не удаётся, поэтому необходимо осуществить тождественные преобразования тригонометрических выражений. При этом переход к показательному уравнению, сводящемуся к квадратному претерпевает ряд шагов с применением приемов: понижения степени; выделения тригонометрической функции; введения вспомогательного аргумента. Другими словами, сами по себе тригонометрические преобразования тоже непростые. Они требуют достаточно высокого уровня владения материалом тригонометрии.
Такие уравнения представляют с собой задачи повышенной сложности и их можно предложить сильным учащимся.
2ЯЖ+7
Пример 11. При каких значениях а функция у = —— имеет максимум в точке х = 4?
2х
Решение: Исходную функцию представим в виде у = 2~х +ах+7 Поскольку функция 2£ монотонно возрастает, максимум функции
у = 2 ~х2+ах+7достигается в той же точке, что и у квадратичной функции /(х) = -х2 + ах + 7. У этой параболы ветви направлены вниз,
следовательно, максимум достигается в вершине параболы, т.е. в точке
a
хв = Но согласно условию хв = 4, следовательно, a = 8. Ответ: a = 8.
Пример 12. При каких действительных р уравнение
4х + 2Ж+2 + 7 = р - 4~х - 2 • 21_ж имеет решение? Решение: Пусть t = 2х > 0. Тогда уравнение примет вид:
4 1
t2 + 4t + (7 - р) + - + - =0. (*)
Это возвратное уравнение. Оно решается заменой переменных
1 t2 +1 (t-1)2 + 2t у = t + -, причем у = —-— =---> 2.
преобразуем уравнение (*):
(t2 + 2 + i) + 4 (t + ^ + (5 - p) = у2 + 4y + (5 - p) = 0.
Так как вершина параболы z = у2 + 4у + (5 - р) расположена слева от оси z и ветви направлены вверх, то корень у > 2 существует тогда и только тогда, когда
z(2) < 0 о 4 + 8 + 5 — р <0 о р > 17. Ответ: [17;
Пример 13. xlg* = 1000-х2;
Алгоритм решения таких уравнений сводится к действию логарифмирования обеих частей уравнения, после чего получим рациональные уравнения (линейные, квадратные и т.д.). lg(xlgx) = lg(1000 • х2), lgx -lgx =lg103 + lgx2
lg2 x = 3 + 2 • lg x, lg2 x — 2 • lg x — 3 = 0
Пусть lgx = t, тогда имеем t2 + 2t + 3 = 0, отсюда t± = 3; t2 = -1 Тогда lgx = 3 ^ x = 103 и lgx = — 1 ^ x =
Пример14. x2"lg2 x"lg*2 - - = 0;
x
Заметим, что уравнение определено при условии х > 0. Перепишем уравнение так:
x2-\g2x-\gx2 _ x-i
Прологарифмируем по основанию 10. lg(x2"lg2x"lgx2) = lgx"\ (2 — lg2 х — 2 -lg|x|) - lgx = - lgx Обозначим lgx = t, тогда {2-t2-2t)-t = -t
^ t- (2 -t2 -2t + 1) = 0 t = 0 или t2 + 2t-3 = 0 отсюда t1 = -3; t2 = 1 Переходя к переменной x, имеем lgx = -3, lgx = 1, lgx = 0 x = 10"3, x = 10, x = 1.
Пример. К какому типу показательных уравнений относятся следующие уравнения? Укажите основной метод решения уравнения:
1 9 • 2*2+6 — 22ж2_5ж+13 = 4 • 25ж' 2. (2 - V3)X + (2 + V3)X = 4;
4. 3х + ^710-1^ = 2 ■ ^710 + 1^ ;
5. 6 ■ 91/* - 13 ■ 61/* + 6 ■ 41/* = 0;
6. 2Х+2 + 72ж+6 ■ 5х = 9 ■ 5Х+1;
7. 8х + 2 ■ 50х = 3 ■ 125х;
8. 4 ■ 3х + 3 ■ 76х - 27 ■ 2х"1 = 0;
9. 64 ■ 9х — 84 ■ 12х + 27 ■ 16х = 0;
10. 3 ■ 25х+1 + 98 ■ 15х = 5 ■ 9Х+1;
Пример 11. 3х + 73х+2 ■ 7х = 3 ■ 7х + 721х; Пример 12. (из заданий по ЕГЭ 2015 г.) Найдите корни уравнения
2 ■ 9*2-4х+1 + 42 ■ 6*2"4* - 15 ■ 9*2-4х+1 = 0, принадлежащие отрезку [-1; 3]. Заметим, что подстановкой х2 - 4х = t исходное уравнение сводится к уравнению
3 ■ 9£ + 7 ■ 6£ - 10 ■ 4£ = 0 или 3 ■ 32£ - 7 ■ (3 ■ 2)£ - 10 ■ 22£ = 0. Разделив обе части уравнения на выражение 22£и используя замену переменной ф£=У,
получим квадратное уравнение 3 ■ у2 - 7 ■ у - 10 = 0, откуда t=0 или х2 - 4х = г. Тогда х=0, х=4.
Убеждаемся,
что корень х=4 не принадлежит промежутку [-1; 3], поэтому х=0 -единственный корень данного уравнения.
На завершающем этапе можно рассмотреть комбинированные уравнения, требующие систематизации и обобщения знаний свойств не только показательной, но и других элементарных функций.
Рассмотрим примеры.
Пример: Решите следующее уравнение и выделите виды знаний, которые необходимо систематизировать.
2 • 23атлдх + 13 • 2<1гадх - ц • 22агЛдх - 4=0
Анализ уравнения показывает, что оно относится к показательным уравнениям комбинированного типа. Переписав уравнение в виде
2 • 23агадх + 13 • 2"гадх = 11 • 22агадх + 4, и применив подстановку 2агс£^ х = t,
получим алгебраическое уравнение третьей степени:
2 • t3 + 13t - 11 • t2 - 4 = 0. Решение этого уравнения допускает несколько способов: метод группировки, использование теоремы Безу; использование схемы Горнера и графический метод. Разложив на множители, имеем (Н)(М)(^) = 0.
Возвращаясь к переменной х, имеем совокупность уравнений 2агс1зх = 1, 2агс1зх = ^ 2а.гс1дх = 4, в которой получим простейшие уравнения, содержащие обратную тригонометрическую функцию:
агсгдх = -1, агсгдх = 2, агсгдх = 0. Тогда получим ответ: х=4д1, х=0. В процессе решения данного уравнения систематизированы методы решения: показательных уравнений, алгебраических уравнений второй третьей степени; простейших уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.
Таким образом, использование такой системы заданий в деятельности учителя по теме «Показательные уравнения» способствует систематизации и обобщению знаний школьников, повышению их качества на завершающем этапе изучения курса «Алгебра и начала анализа».
Тувинский государственный университет
Библиографический список:
1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. - 18-е изд. - М.: Просвещение, 2012.
2. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. Под ред. А. Н. Колмогорова. - 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008.
3. Виленкин, Н.Я. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Профильный уровень. Учебник. - М.: Просвещение, 2015.
4. Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по спец. 032100 «Математика» /Л.В. Виноградова - Ростов н/Д: Феникс, 2005.
5. Давыдов, В.В. Виды обобщения в обучении: Логико-психологические проблемы построения учебных предметов.
- М.: Педагогическое общество России, 2000.
6. Ждан, А.Н. Систематизация // Педагогическая энциклопедия. - М. - Советская энциклопедия, 1966, Т. 3. - с. 849850.
7. Зорина, Л.Я. Дидактические основы формирования системности знаний старшеклассников. - М.: Педагогика,
1987.
8. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений.
- 14-е изд.- М.: Мнемозина, 2013.
9. Сборник задач по математике для поступающих в вузы / Под ред. М. И. Сканави. - К.: Канон, 2013.
10. Талызина, Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. - М.: Изд-во МГУ, 1984.
11. Титаренко, А.М. Форсированный курс подготовки к экзамену по математике. Учебное пособие. - М.: Эксмо,
2010.
12. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. - М.: Просвещение, 2011.
Bibliograficheskij spisok:
1. Algebra i nachala analiza: Uchebnik dlya 10-11 kl. obscheobrazovat. uchrezhdenij / Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov i dr. - 18-e izd. - M.: Prosveschenie, 2012.
2. Algebra i nachala analiza: Ucheb. dlya 10-11 kl. Pod red. A. N. Kolmogorova. - 17-e izd. - M.: Prosveschenie, 2008.
3. Vilenkin, N.Ya. Algebra i matematicheskij analiz dlya 11 klassa: Profilnyj uroven. Uchebnik. - M.: Prosveschenie, 2015.
4. Vinogradova, L.V. Metodika prepodavaniya matematiki v srednej shkole: Ucheb. posobie dlya stud. vuzov, obuch. po spets. 032100 "Matematika" /L.V. Vinogradova - Rostov n/D: Feniks, 2005.
5. Davydov, V.V. Vidy obobscheniya v obuchenii: Logiko-psikhologicheskie problemy postroeniya uchebnykh predmetov. -M.: Pedagogicheskoe obschestvo Rossii, 2000.
6. Zhdan, A.N. Sistematizatsiya // Pedagogicheskaya entsiklopediya. - M. - Sovetskaya entsiklopediya, 1966, T. 3. - S.
849-850.
7. Zorina, L.Ya. Didakticheskie osnovy formirovaniya sistemnosti znanij starsheklassnikov. - M.: Pedagogika, 1987.
8. Mordkovich, A.G. Algebra i nachala analiza. 10-11 kl.: V dvukh chastyakh. Ch. 1: Ucheb. dlya obscheobrazovat. uchrezhdenij. - 14-e izd.- M.: Mnemozina, 2013.
9. Sbornik zadach po matematike dlya postupayuschikh v vuzy / Pod red. M. I. Skanavi. - K.: Kanon, 2013.
10. Talyzina, N.F. Upravlenie protsessom usvoeniya znanij. - M.: Izd-vo MGU, 1984.
11. Titarenko, A.M. Forsirovannyj kurs podgotovki k ekzamenu po matematike. Uchebnoe posobie. - M.: Eksmo, 2010.
12. Federalnyj gosudarstvennyj obrazovatelnyj standart osnovnogo obschego obrazovaniya. - M.: Prosveschenie, 2011.
Кара-Сал Надежда Маасовна - к.п.н., доцент кафедры математического анализа и МПМ, Тувинский государственный университет, Кызыл
Kara-Sal Nadezhda - Ph.D., assistant professor of mathematical analysis and JCI,Tuvan state universitit, Kyzyl
