О построении неавтономной системы дифференциальных уравнений по заданной совокупности частных интегралов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ф

ф

Математика

УДК 517.917

О построении неавтономной системы дифференциальных уравнений по заданной совокупности частных интегралов

О. В. Ибушева

Кафедра автоматизации технологических процессов и производств Нижнекамский химико-технологический институт Россия, Татарстан, 423570, г. Нижнекамск, ул.Строителей, 47

Предлагается метод построения неавтономной системы дифференциальных уравнений с заданными свойствами решений. Определяются условия устойчивости множества решений системы. Рассматривается задача построения системы дифференциальных уравнений второго порядка по заданным частным решениям на плоскости.

Ключевые слова: построение, структура, дифференциальные уравнения, множество, неавтономная, устойчивость, функция Ляпунова.

Задача построения системы дифференциальных уравнений по заданным частным интегралам рассмотрена в [1,2]. В [1] дан метод построения множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую на плоскости, и проведён подробный анализ построенной системы. В [2] строится множество систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегральные многообразия, и определяется конструкция систем дифференциальных уравнений из условия устойчивости этих многообразий. В [3,4] решается задача построения автономных систем дифференциальных уравнений по заданному распределению фазовых траекторий. В частности, в [4] определяются условия устойчивости интегральных многообразий, предложен метод выбора коэффициентов, предусмотренных в конструкции системы, исходя из вида интегральных кривых и особых точек. В данной работе рассматривается задача построения неавтономной системы дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегралы. Определяется структура системы уравнений второго прядка из условий устойчивости решений относительно заданных подвижных точек и кривых на плоскости.

1. Определение структуры множества систем дифференциальных уравнений

Как известно, первым интегралом системы дифференциальных уравнений

Введение

17 =

(1)

является функция ш(х, ¿) = С, для которой выполняется равенство

Статья поступила в редакцию 10.11.2007 г.

при любых начальных условиях ж (¿о) = ж0 из области значений переменной ж. Если выполняется равенство

дш , . дш

+ Ж = Р (ш,ж,^), (2)

Р(0, ж, ¿) = 0 при С = 0,

то функция ш(ж,£) = 0 представляет собой частный интеграл системы (1).

Пусть функция ш(ж, ¿) = 0 представляет собой произведение п функций ш = ш0ш1 ...ш„шп+1, где ш0 = 1, шп+1 = 1. Тогда каждая функция шДж,£) = 0 (г = 1,..., п) является частным интегралом системы (1), если Р(ш,ж,£) обращается в нуль при выполнении условий шДж, ¿) = 0 для всех г = 1,..., п.

Пусть в некоторой области О плоскости жОу заданы непрерывные, дифференцируемые функции шДж,у,¿) = 0 (г = 1,...,п), определяющие либо замкнутые кривые, либо отдельные кривые, которые могут пересекаться, либо отдельные точки. Рассмотрим задачу построения системы дифференциальных уравнений второго порядка

— = Х ^у^

# V, , (3)

имеющей заданные функции ш^(ж, у, ¿) (г = 1,..., п) своими частными интегралами. Если начальные условия ж(£о) = ж0, у(£о) = у0 удовлетворяют соотношению шДжо,Уо,^о) = 0, то в силу единственности решения при £ > ¿0 решение системы (3) будет удовлетворять условию

шДж(£),у(£),£) = 0, (г = 1,...,п). (4)

Если начальные условия не удовлетворяют этому соотношению, то в зависимости от того, как будет определяться функция Р(ш, ж, у, ¿) в уравнении (2), траектории будут либо приближаться к кривой (4), либо удаляться от неё.

Общая структура систем дифференциальных уравнений, допускающих частные интегралы (4), определяется в виде [1,2]:

^ж „ ШxШt

— = р1(ж,у,£) - ^(ж,у,£)шу - 2 ,

ау ш2 + ш2

Х (5)

ау п / ч ч шушt

— = р2(ж,у,£) + ^(ж,у,£)шх--^-2 ,

ау ш2 + ш2

где Рх(ж,у,£), р2(ж,у, ¿) —непрерывные функции, обращающиеся в нуль вдоль

дш дш

кривых (4), 0(ж,у,¿) — произвольная непрерывная функция, шх = т;-, шу = -7—,

дж ду

шt = Рассмотрим систему уравнений (5), где функции Р1(ж,у,¿), Р2(ж,у,£) определены в виде [4]:

Р (ж, у, ¿) = Р(ж, у, ¿) ^ Ш0Ш1 ... ш8_1 (а8ш8Ж + взШзу)ш8+1 ... ш„ш„+1,

з=1

Р2 (ж, у, ¿) = Р(ж, у, ¿) ^ Ш0Ш1 . . .Шз_1(7зШзш + ¿зШзу )Шз+1 . . . Ш„Ш„+1

(6)

з=1

где Р(ж, у, ¿) — произвольная непрерывная функция, аз, вз, 7з, — произвольные коэффициенты.

2. Определение условий устойчивости интегральных многообразий

Выбором коэффициентов, введённых в выражения (6), кривую или точку, определяемые уравнением иг(х, у, ¿) = 0, можно сделать устойчивой или неустойчивой. Для этого составим функцию Ляпунова

Уг = 2Мх,У,£)]2 и вычислим её производную с учётом (5), (6). Она будет равна:

—г

иг

Р (х, у, (а3изхшгх + в зизу игх + 7зи зхигу + $зизу игу )и(гз) +

з=1

з=г

+ Р (х,у,г)(ацЛ2х + (вз + Ъ)МгхМгу + 5гЩ2у )и(г) +

П

+ Я(х , y, (изхигу изу игх)игз + игЬ

з=1 з=г

(1 - и(иг,и22) + и(иг,и2)2 - . . .)

(и1х + и1у Н)

иц и (г) + ШзгШгз I х

з=1 з=г

X ((и^х + и2у )и(г) + иг (изхигх + ихуигу )и(гз

з=1 з=г

где иг = иои1 ... иг_1иг+1 ... и„и„+1 2иг

и(иг,и2)= л ,2 . ,2

( 2 I 2 л / ;(изхигх + иху игу )и( гз)

(игх + игу)и(г) з=1

з=г

2

+

иг

(и2х + и2у )и2

гу (г) з=1 з=г

изхи(гз)) + {иху и(гз))

Коэффициенты аг, вг, 7г, можно выбрать так, чтобы

Р(х, у,г)(аги2х + (вз + ^з)игхигу + 5ги2у)и(г) = Хги,

(7)

где Хг — некоторый коэффициент. Учитывая (7), выражение —у можно записать в виде:

= Ы(х,у,г)и2 + ф.

Здесь

Ы (х, у, г) = Р (х, у, (азизхигх + в зи зу игх + ^з изхигу + $зизу игу )и(гз) +

з=1 з=г

+ Хг + Я(х , y, (изхигу — изу игх)игз +

з=1 з=г

+ и8у иц — Щ^и^ — ш2^ и^и^) + _

(и!х + и2у )и(») '

где О —совокупность членов, содержащих множитель и» в степени не ниже третьей.

Из полученного выражения видно, что судить об устойчивости интегральной кривой и» = 0 можно по знаку выражения Л»(ж, у, ¿). Если функции Р(х, у, ¿), ^(ж,у, ¿) и коэффициенты а», Д», 7», ^ выбрать таким образом, чтобы выпол-

, , ёУ

нялось условие ЛДж, у,Ь) < 0, то производная —ц- отрицательна всюду в е-

окрестности кривой и» = 0 и равна нулю на этой кривой. Таким образом, выполнены условия теоремы об устойчивости интегрального многообразия [5], и интегральная кривая будет устойчива.

Если произвольная функция Л,»(ж, у, ¿) является непрерывной и ограниченной при всех Ь ^ ¿о, то функция У ограничена, допускает бесконечно малый высший предел и У > 0 всюду в е-окрестности кривой и» = 0. При выполнении условия

Л»(ж, у, ¿) > 0 производная —^ принимает отрицательные значения. Следовательно, удовлетворяются условия асимптотической устойчивости многообразия [5] и интегральная кривая и» = 0 будет устойчива асимптотически. Пусть теперь Л» выбрано так, что

Л»(ж,у,£) > V > 0,

где V» — некоторая постоянная. Тогда производная —» может быть представлена

ш

в виде

-г— = V У + О, аЬ

где = Л»(ж, у, Ь)и2 + Ю(3) есть неотрицательная в е-окрестности кривой и» = 0 функция. Так как функция У допускает бесконечно малый высший предел и У > 0 всюду в е-окрестности кривой и» = 0, то выполнены условия неустойчивости многообразия [5] и рассматриваемая интегральная кривая и» = 0 в этом случае является неустойчивой.

В случае, если две кривые пересекаются в точке А?-, то функции Р(ж, у, ¿), ^(ж,у, ¿) и коэффициенты а?, Д?, 7?, , а-, в-, 7-, можно выбрать так, чтобы ёи? ёи-

производные ——— были представлены в виде [4]:

С1Ь С! Ь

ёи? = Л и + 0(2) "ёГ = Л?и? +

ёик \ , о(2)

Тогда при Л?, Л- < 0 подвижная точка А?- является устойчивой, при Л? > 0 или Л- > 0 — неустойчивой.

3. Пример

Построить систему дифференциальных уравнений, обеспечивающую движение из произвольной точки (жо,уо) плоскости жОу к точке, совершающей движение по закону ж = — 2кЬ, у = 0. Траектория движения должна огибать препятствие, уравнение движения которого задано в виде:

(ж — 2 + к£)2 + 4у2 = 1.

Частными интегралами искомой системы являются функции: и1(х, у, г) = х + 2кг = 0, и2(х, у, г) = у = 0, из(х, у, г) = 2((х - 2 + кг)2 + 4у2 - 1) = 0.

Функция и(х,у,г) примет вид и = и1и2из.

Система уравнений (5) с учётом (6) запишется в следующем виде:

—х ди

= -Яду - (ди\2

ди ди дх дг

+ (ду)

+

+ Р

—у = ^ди _ —г Я дх (ди)2

и1 и1 и2 и2

а^--+ в1^~ )и2и3 + иЛ а^—--+ в2^~ из

х у х у

и и

ду дг

^ дх) + ^ ду

> +

+ Р

Учитывая, что

и1 и1 и2 и2

+ $1 "ТТ" )и2из + и1\ Ъ^Г + д2~ду)из

х

у

и1 = 1, ди2 = 0, диз

х х х

и1 = 0, ди2 = 1, диз

ду ду ду

и1 = к, ди2 = 0, диз

дг ~дк ду

х

= х - 2 + к.

уравнение (8) будет иметь вид:

(и2и3 + (х - 2 + кг)и1и2)(ки2и3 + к(х - 2 + Ы)и1 и2) (и2из + (х - 2 + Ы)и1и2)2 + (и1 из + 4уи1и2)2 + Р(а1и2 + в2и1)из - Я(и1из + 4уи1 и2), (и1из + 4уи1и2)(ки2из + к(х - 2 + Ы)и1и2)

—х —У

—г

+

+

(и2из + (х - 2 + Ы)и1и2)2 + (и1из + 4уи1и2)2

+ Р(ч1 и2 + 52и1)из - Я(и2из + (х - 2 + Ы)и1и2).

(8)

(9)

Определим значения коэффициентов а1, в2, 71, $2, следуя [4]. Чтобы точка пересечения прямых и1(х,у,г) = 0, и2(х,у,г) = 0 была устойчивой, коэффициенты а1, в2, 71, Ь2, Х1, Х2 необходимо подчинить условиям:

(Я - Рв1) (Я - Рв2)

а1 = Ь2 = 0, = -в1, 12 = -в2,

ди1 ди2 ^ "В) из(0, -2кг, 0) = Х2,

ди1 ди2 ) из(0, -2кг, 0) = Хи

х у и1 и2

х у у х Х1 < 0, Х2 < 0.

2

Полагая Р = 2, ^ = 1 и Лх = -1, Л2 = -2, получим:

я 1 7

в2 = 6' 71 = - 6.

Подставляя значения Р, ^ и коэффициентов ах, ^2, 71, ^2 в (9), можно получить окончательный вид системы. Фазовый портрет системы и её решение при к = 0,1 изображены на рис. 1, 2. При к = 0 система (8) приобретает стационарный вид. Соответствующий такому случаю пример рассмотрен в [6].

Рис. 1. Фазовый портрет системы

Рис. 2. Решение системы при к = 0,1

Заключение

Таким образом, множество систем дифференциальных уравнений, определённых структурой (5), имеет заданные подвижные особые точки и предельные множества. Варьируя коэффициентами в выражениях (6), можно добиться выполнения условий устойчивости, асимптотической устойчивости или неустойчивости рассматриваемых интегральных кривых.

ф

ф

ф

ф

Литература

1. Еругин Н. П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую // ПММ. — Т. 10, вып. 16. — 1952. — С. 659-670.

2. Мухарлямов Р. Г. Построение множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегралы // Дифференциальные уравнения. — Т. 3, № 2. — 1967.

3. Альмухамедов М. И. О конструировании дифференциального уравнения, имеющего своими предельными циклами заданные кривые // Изв. вузов. Математика. — № 1. — 1965.

4. Мухарлямов Р. Г. К обратным задачам качественной теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. — Т. 3, № 10. — 1967.

5. Мухарлямов Р. Г. О построении множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по интегральному многообразию // Дифференциальные уравнения. — Т. 5, № 4. — 1969.

6. Мухарлямов Р. Г. Уравнения движения механических систем. Учеб. пособие. — М.: Изд-во РУДН, 2001. — 99 с.

UDC 517.917

About Construction of No Autonomous System of Differential Equations on Given Particular Integrals

The present paper recommends method of construction of no autonomous system of differential equations with given properties of particular solutions. The conditions of stability of the set of system's solutions are defined. The problem of construction of two-order system of differential equations on given particular solution is considered.

O. V. Ibusheva

Department of Automation and Control System Chemist-Technological Institute of Nizhnekamsk 47, Stroiteley str., Nizhnekamsk, Tatarstan, 423570, Russia

Ф

Ф

Ф

Ф