Метод собственного времени Фока-Швингера и инфракрасные расходимости в модели g\\f Qp Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 4. 2009. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 53:51, 530.145.1+517.9

Н. Г. Веселкова, Ю. М. Письмак

МЕТОД СОБСТВЕННОГО ВРЕМЕНИ ФОКА-ШВИНГЕРА И ИНФРАКРАСНЫЕ РАСХОДИМОСТИ В МОДЕЛИ ду2у *

Введение. Впервые метод собственного времени (МСВ) был предложен В. А. Фоком [1], для решения уравнения Дирака во внешнем электромагнитном поле. Решение представлялось в виде контурного интеграла по параметру, имевшему смысл собственного времени.

Значение МСВ было по-настоящему осознано только в 1950-1952 гг., после того, как была создана ковариантная формулировка квантовой теории поля [2, 3]. Как известно, собственное время является инвариантом. Это обстоятельство важно с точки зрения современной квантовополевой теории элементарных частиц, в которой релятивистская инвариантность является одним из главных требований. В конкретных задачах, например, при выборе способа регуляризации и выделения расходимостей тока, собственной энергии и поляризации вакуума в квантовой электродинамике предпочтительны ка-либровочно и релятивистки инвариантные подходы. Одним из них является МСВ, если интегрирование по собственному времени проводится в конце вычислений [4]. В рамках МСВ была впервые исследована проблема калибровочной инвариантности [4] и определения «позитронной» функции Грина для уравнения Дирака [5].

Почти через 20 лет после его возникновения МСВ стал активно использоваться для расчётов в моделях квантовой теории поля, так как оказался эффективным для проведения процедуры перенормировки, необходимой для устранения ультрафиолетовых расходимостей. Развитый в работах Швингера [4], МСВ был успешно использован для вычислений радиационных поправок в квантовой электродинамике и при рассмотрении задачи поляризации вакуумма заданным электромагнитным полем [6]. Полученные результаты представляют собой интегралы по собственному времени от конечных калибровочно инвариантных выражений. Ультрафиолетовые расходимости в них порождаются расходимостью интегралов при снятии регуляризации.

Важным этапом в развитии МСВ можно считать работу Барбашова [7], в которой предлагается способ формального решения уравнений теории поля в виде функционального интеграла. В ней были получены выражения для функций Грина, удобные для расчёта их инфракрасных асимптотик с использованием процедуры перенормировок [7] в моделях с безмассовым полем.

В предлагаемой работе рассматривается обобщение формализма [7] на теории поля с лагранжианом произвольного вида в пространстве произвольного числа измерений В На его основе проводится анализ проблемы инфракрасных расходимостей в модели взаимодействия массивного скалярного поля с безмассовым.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 07-01-00692а, при поддержке Министерства образования России, грант № РНП2.1.1/1575, а также SORS research, a. s.

© Н. Г. Веселкова, Ю. М. Письмак, 2009

Постановка задачи. Расчёт функций Грина в квантовополевых моделях может быть сведён к решению следующего класса задач. Рассмотрим линейный оператор Ь(Р,Я), действующий в абстрактном гильбертовом пространстве Е. Записывая векторы этого пространства в дираковских обозначениях, имеем

Ь(Р,Я)\^) = |ф), (1)

где \у), \у) Є Е, а Р = (Рі, ..,Рп), Я = (Яі, ...,Яо) - совокупности операторов, удовлетворяющих коммутационным соотношениям:

[pi, Р] = [Я, ] = 0, [Рі, ] = Щз,

где каждое Щу - так называемое с-число, т. е. величина, коммутирующая со всеми операторами Я и Р. Таким образом, Я и Р аналогичны операторам координаты и импульса квантовой механики. Кроме того, будем предполагать эрмитовость операторов Яі, что позволит в дальнейшем построить для них Я - представление в базисе, в котором операторы Я диагональны. Будем допускать зависимость Ь не только от Я и Р, но и от других некоммутирующих операторов, предполагая лишь коммутативность этих операторов с Я и Р. Если для матрицы существует обратная, то, совершая линейное преобразование Р' = п-1Р, мы получим набор операторов Р', коммутирующих с операторами Я з на символы Кронекера б^, поэтому мы в дальнейшем можем без ограничения общности задачи положить п3 = 63.

При построении функций Грина в теории взаимодействующих полей возникает задача, которая в общем виде сводится к решению относительно |у) уравнения (1). Формально можно записать его в виде

М = Ь-1(P,ЯШ,

и мы приходим, таким образом, к задаче о построении обратного оператора к Ь(Р, Я). В рамках МСВ его предлагается представить в виде интеграла от оператора эволюции и (в), удовлетворяющего уравнению

• <2>

с начальным условием

и (0) = I. (3)

Если оператор эволюции известен, то

сю

L-1 = —i lim i e-esU(s)ds. e^+oj

0

В настоящей работе для матричных элементов оператора эволюции U(s) в представлении, в котором оператор Q диагонален, даётся вывод явного выражения, допускающего запись в терминах функционального интегрирования. При этом каких-либо существенных ограничений на вид оператора L(P, Q) мы не накладываем, предполагая только, что это полином или формальный ряд по операторам P, Q.

В настоящей работе мы демонстрируем применение МСВ для нетеоретиковозмущен-ческих задач квантовой теории поля на примере анализа инфракрасных сингулярностей в модели в евклидовой квантовой теории двух скалярных полей с действием

S = ^ [<9ф<9ф + + то2\|/2 + #\|/2ф] .

Для пропагатора поля у мы получим главное асимптотическое приближение на больших расстояниях.

Матричные элементы оператора эволюции. Выберем в качестве базисных векторов пространства Е собственные функции \я) эрмитовых операторов Я^, спектр которых мы предполагаем непрерывным. Так как операторы коммутируют между собой, они имеют общие собственные функции, образующие полную систему

ЯМ) = чМ), {я\я') = % - я'),

и произвольный вектор \/) пространства Е в данном базисе имеет вид

\/) = J /(я)\я)Ля-

Мы предполагаем, что в пространстве Е можно определить преобразование трансляции Т(я), обладающее свойствами

т (я')\я) = \я + я').

Эти преобразования образуют абелеву ^-параметрическую группу. Для её генераторов

д

Ті = тгТія)

д=0

выполняются соотношения

д д д {я\%\я>) = -—Ь(я-я'\ {я\Т^1\я') = -—Ь(я-я')я,р Ш#\я') = -ъ —

Таким образом, в силу равенства хб(х) = 0,

д_

' д я,

{я\[Т1^3\\я') = (я3-я'1)—Ъ(я-я>) =

д д

= ~о^- [ІЧі - ч'эЖч - ч')\ - &(я - Іі')~0^ІЧі - ч'і) = —ЬцЬ(ч - я') = ~{я\[Ріі Яз\\я')-

Следовательно, операторы Кі = Рі + Ті коммутируют со всеми операторами Я з и являются в рассматриваемом базисе диагональными:

Р\я) = Ыя)\я) = МЯ)\я), [Рі,із(Я)] + [Рз,МЯ)] = 0.

Мы видим, что генератор трансляций Ті связан с оператором Рі соотношением Ті = = /і(Я) — Рі. Мы рассмотрим только случай Рі = Ті. Кроме того, мы будем предполагать, что Ь(Р, Я) записан в симметризованном виде. В этом случае справедливо равенство

д д\

. (4)

сс=|5>=0

Решение для общего случая, когда нет равенства (4) и /(Я) = 0, получаются формальной заменой в выражении для матричного элемента и (в) оператора Ь на оператор Ьв^, для которого выполняются соотношения

дд

ьеВ(р, д) = ьеВ ( —, —

= Ь(Р + / (Я),Я). (5)

а=в=0

Решение уравнения (2) с начальным условием (3) можно представить в виде суммы вольтерровского ряда, которая в компактной записи имеет вид

U(s) = T exp Uj L(x)dx | .

Здесь Ь(т) - оператор Ь(Р,Я), в котором предполагается формальная зависимость составляющих его операторов Р и Я от параметра т € [0, в] и Т обозначает операцию упорядочения операторов в соответствие со значением параметра т (операторы с большим значением располагаются правее тех, у которых оно меньше). Обозначим а(т), в(т) наборы функций а(т) = (ах(т),..., ад (т)), в(т) = (^(т),..., (т)) и введём оператор

ф(т) = ф+(т) + ф~(т), где ф+ (т) = в(т)Я, ф~(т) = а(т)Р. Пользуясь тем, что под знаком Т-упорядочения все операторы коммутируют, мы можем записать

Щ.) = Гехр |,| Ь *| Техр |У ф(,)А

а=в=0

Вычислив коммутатор операторов ф+, ф : [ф (т), ф+ (т')] = а(х)Р(х') и воспользовавшись теоремой Вика, получим

T exp 11 ф(х^х j = exp I j dxa(x) j p(x')dx'| eJ0 $>+(T)dTeJ0 <TMdT.

Так как Pi = -Ti, в силу сделанных нами предположений, мы имеем:

T (a) = e-aP, (q\eaP\q) = (q\q - a) = b(q - a - q),

(q\eSoS *-iT)dT\q') = 5 ^q' - j a(x)dx - q^ , {q\ef0 ф+ (x)dx = ef0 qe(x)dx(q\.

Таким образом,

<'і№)'"'> = r“P j./i *} х

X 5 iq' - j a(x)dx - q J ef0 dTa(T) /oW)dT'+/oS qe(T)dT

а=в=0

Для проведения расчётов может оказаться удобным представление матричных элементов оператора эволюции и (в) в виде

№Ш) = -Щв I е^-^ир(3м, (6)

где

Ц,(», я) = Техр |.| і А1 х

X е!0 ¿т(х)10 в(т')ат' + !0 дІІ(т)іїх+і /0 ра{х)а%

■ (7)

а=в=0

Полученные нами выражения сходны с формулами Вика-Хори для порождающих функционалов функций Грина и й-матрицы в квантовой теории поля, для которых существуют также версии в рамках формализма функционального интегрирования [10]. Построим аналогичное представление для матричных элементов оператора эволюции. Интегралы по траекториям. Определим функцию е(в) с помощью соотношения

1 = е(в) ! вК «т)х(т)*(8)

где интегирование проводится по всем вещественным функциям ^(т), х(т) на интервале т € [0,в], и Х(т) обозначает производную функции х(т). Сдвигом переменных интегрирования

т т

£(т) ^ £(т) - ^ Р(т/)йт/, х(т) ^ х(т) + а(т')^'

0 0 в интеграле в правой части (8) мы получаем соотношение

в}£ ^та(т) = е(в) I в}° ВДХ(т)Л+/0а а(т)ВДЛ+/0а Р(т)[Х(т)-Х(«)]*Я^Х. (9)

Таким образом, вследствие того, что

Ф ерх = Ф(Х)ерх,

а также (7), (9) мы имеем

Кр(в, д) = е(в)I Те*К Шт)+*р, х(т)-х(^)+я)Лт+0 «т)х(т)*^Ях. (10)

Подынтегральные выражения в интегралах (8), (10) инвариантны относительно сдвига поля х на постоянный вектор, поэтому вклады данные интегралов пропорциональны объёмам ^-мерного пространства, которые мы можем явно выделить в каждом из них. Для этого вставим в подынтегральное выражение интеграла (10):

СЮ

1 = J 6(х(«) - оМо

и, меняя порядки интегрирования, получим

Ир(з,д) = е(з) J ¿о І ТеіК ь£(т)+ір’ ХМ-^*-/» «т)х(т)*6(х(5) - о)^Х- (11)

Сделав в (11) сдвиг переменной интегрирования х(т) ^ х(т) — Я + о, преобразуем данное выражение к следующему виду:

Кр(в, д) = е(8)У® І Теіії Шт)+ір, х(т))*+/о ^(х)х(х)ахЬ(%(в) — д)Щ,®Ъ (12)

где Уо = / ¿о - объём ^-мерного пространства. Аналогичная процедура с интегралом в правой части (8) приводит к следующему результату:

1 = е'(8) ! Є» ^(х)х(х)ЛхЬ(х(в) — д)9^х,

где мы ввели обозначение о'(в) = с(в)Уо.

В интеграле (12) можно произвести замену ^(х) ^ ^(х) — р, где р - постоянный вещественный вектор. Класс функций ^(х) и мера интегрирования от этого не изменятся. Так как функциональный интеграл, который получается в результате такой замены, не зависит от р, мы можем, совершая его аналитическое продолжение в комплексную область, положить р = ір. Это приводит к более простому представлению

Кр(з,д) = с'(в) І ТеіК Ш%)’ х(х))ах+Іо‘ ї(т)х(т)<іт+іріх(0)-<і']ь(-х(8) — д)Щ,®Ъ (13)

которое при подстановке в (6) даёт возможность проинтегрировать по вектору р и по-

лучить в результате запись матричных элементов оператора эволюции в виде

(д'\и(в)\д) = с'(в) І ТеіК ДВД-х(т))*+/о ^(х)х(х)йхЬ(х(0) — д')Ь(х(в) — д)Щ,®х- (14)

С точки зрения приложений, особый интерес представляют операторы вида

Р 2

ь(р’д) = ш+ут (15)

где М - числовой параметр. Для них интегрование по ^ в (14) вычисляется явно:

д\и(в)\д) = с(в, М) ! ТеіІо ь(Мх(х), х(х))ахЬ(%(0) — д')0(х(в) — д)&х, (16)

где

с(8,М) = с'(з) [ е‘/о

не зависит от вида функции У(ф). Обозначим Ь(0)(Р), ир\в,д), и(0)(в) оператор Ь(Р,ф) (15), функцию ир(в,д) и оператор эволюции для случая У(ф) = 0. Пользуясь (6), (7), получаем

Г / X \ 2

і I о \ , _• г s,

«Г(*.',)=ехр * \

а=0

(2п)

c(s,M ) = {q'\U(0) (s)\q)

eif0s L(°> (Mx(T))dT§(x(0) - q')b(x(s) - q)DX

(17)

В силу (16), (17), мы можем переписать выражение (6) для матричных элементов оператора эволюции в виде

J Té /S L(MX(х), ï.(x))dxDx

ыиш) = eil;L„(WSx , (18)

{q,q'}

где мы использовали обозначение

J ■■■ Dx = J ■■■ ô(x(0) - q')à(x(s) - q)D х-

{q,q'}

Для рассматриваемого случая оператора L(P,Q) в форме (15) мы получили выражение, в которое входят интегралы по траекториям, соединяющим в ^-мерном пространстве точки с координатами q, q'. Оно может быть использовано для расчётов по теории возмущений.

Формализм интегралов по траекториям в квантовой теории был предложен Р. Фейнманом [11, 12]. Так же, как и в обычной теории поля, интегралы по траекториям можно представить в виде сумм диаграмм Фейнмана. Для построения диаграммной техники вычислим гауссов интеграл

G(J) = I é ¡'о [l(0) (m'X(x))+x(x)J(x))]dxDx. (19)

{q,q'}

Для этого совершим в (19) сдвиг переменной интегрирования х(т) ^ х(т) + ю(т), выбрав в качестве ш(т) функцию

S

1C тт'

ш(т) = — A(x,xr)J(xr)dx', Л(х,х') =--------в(х-х>)х>-в(х>-х)х, (20)

0

где мы использовали обозначение 0(т-т') для пороговой функции Хевисайда. Нетрудно убедиться, что ш(0) = m(s) = 0, со(0) = /0(т - s)J(т)ёх/(Ms), d>(s) = тJ(^^/(Ms), ш(т) = J(т)/М. Эти соотношения и возможность замены х(0) ^ q', x(s) ^ q под знаком интеграла по х в G(J) позволяют с помощью интегрирования по частям преобразовать G(J) к виду

G(J) = ( éSo[l(0)(mfeW+^MD+IxM+raMRx =

{q,q'}

s s s

exp<( l- J((q- q,)x + q>s) J(xïdx+2~M J J J(x)A(x’x')J(x')dxdx' } G(0)-

0 0 0

Так как

TeiSo V^.{x))dx = e/o 'f{x)biç)dxrpei^v00))*

G=0

для интегралов по траекториям в правой части (18) получается следующий результат:

/ 5 \ і ( V(о(т))&

№Ш) = {дрмшмоу'с -»- Те» = т^Ш) х

\ 50 / а=0

* Г Г 6 . , „ 5 , , , I ¿/т/(о(т)+<^±^)*

х ехр < ---- —— Д(т, т')—-—- сіхсіх' > Те 0

Р ' 2М У У 6а(т) ^ ’ 5а(т/) '

00

. (21)

а=0

Таким образом мы получили выражение, аналогичное формуле Вика-Хори [8-10] для матричных элементов оператора эволюции и (в) для оператора Ь(Р^) (15), из которого следует, что линией в диаграммах теории возмущений для данного объекта является пропагатор гЛ(г, х/)/М, а вершинам соответствуют производные от IV ч )т+д . Как будет показано ниже, данная диаграммная техника может использоваться для получения нетеоретиковозмущенческих результатов.

Проблема инфракрасных расходимостей в квантовополевых моделях. Метод собственного времени оказывается удобным для описания асимптотического поведения корреляционных функций в моделях с дальнодействием. В качестве простейшего примера рассмотрим евклидову теорию двух скалярных полей с лагранжианом взаимодействия вида

= ду2(х)ф(х).

Мы полагаем, что масса поля ф равна нулю, и пренебрегаем поляризацией вакуума. Тогда задача вычисления квантовополевой функции Грина 0(х, у) (парного коррелятора) поля у может быть сформулирована следующим образом. Вначале находится функция Грина поля у в заданном классическом поле ф. Эта функция удовлетворяет уравнению

{-а2 + т2 + дф(х)} с(ф; х,у) = Ь(х - у).

Парный коррелятор поля у является функциональным средним от функции 0(у; х, у):

с^(х,у) = {{0(ф; x,y))), (22)

где усреднение проводится по гауссовому распределению, для которого

((ф(х))) =0, ((ф(х)ф(у))) = ¿(х - у)

и ¿(х — у) является пропагатором поля ф

д 2(1(х — у) = —Ь(х — у).

В более общем случае

¿(х - у) = (х - у)-21.

Для вычисления функции Грина С(ф; х, у) методом собственного времени мы можем пользоваться формулой (18) для ядра оператора эволюции и (в) и получить в итоге представление для С(ф; х,у) в виде

СЮ

С(ф; х,у) = -I!(х\и(в)\у)3,в. (23)

о

Для рассматриваемой нами задачи входящие в (15) величины имеют вид

М=-\, V(Я) = то2 + <?ф(<3).

Таким образом, в нашем случае

(х\и(в)\у) = Ыо(х,у; в)и(в, ф; х,у),

где

и0{в\х,у)= ехр|і

и (в, ф; х,у) = ехр у!

-----------\- вто

4в

г = х — у,

(25)

X 2(т)

+ дф(Х(т))

вт> ®х,

{хУ}

<3 1 = / ехр { -і I /• ^Х-

4

{х,У}

Для дальнейших расчётов удобно сделать замену переменной интегрирования х(т) = = \г\ го (т/в). В результате получим:

и (в, ф; х,у) = Я I ехр у!

г2йз2 (т) 4й

+ вдф(\г\го(т))

вт> &го,

ехр < г

,г2го2(т)

4в

вт> &го.

Так как

«е-7*» = ехр |

и для пространства размерности В:

в(х, х') =

Г(В/2 — 1)

4пп/2(х — х')2(п/2 ^'

то, усредняя и (в, ф; х, у) по полю ф, мы приходим к следующему результату:

и(в,х,у) = {{и(в, ф; х,у))) = Я ^го ехр {гК(го; в, г)} ,

где

1 1

К{Щ8,г) = I <£ + */I [гоа)-го(р)]2(1-в/2Чф

(26)

2

4

1

и

, _ гд2Т{В/2 - I)*2

“ 8жп/2г2(°/2-1') '

Тем же методом, который был использован для вывода формулы (21), можно получить аналогичное представление для функции и (в, х, у):

')

0 0

1 1

ехр Ы ) I (о(У - о(р) +

00

, (27)

а=0

где мы обозначили Д(т, т') функцию Д(т, т'), определение которой дано в (20), при в = 1.

При вычислении асимптотики пропагатора 0(х,у) при \(х — у)\ = \г\ ^ ж можно использовать интегральное представление

СЮ

G(x,y) = J ио(1з,х,у)и (гв,х,у)(1з, (28)

0

которое следует из (22)—(24) при развороте контура интегрирования в комплексной плоскости на мнимую ось. Расчёт асимптотики методом Лапласа даёт хорошо известный для пропагатора свободной теории результат, при этом стационарной оказывается точка вс = \г\/2т. Если считать д настолько малым, что основной вклад в интеграл (28) при больших \г\ также, как для свободной теории, даёт малая окрестность стационарной точки вс, и вс - величина порядка \г\, то в выражении (28) можно использовать

приближение 1Л(гв, х, у) для и (г в, х, у), которое получится, если в правой части (27)

положить формально Д = 0:

и(в, х, у) = ехр \г^J J \£ — р\2 ° ФФ ^ • (29)

00

Интеграл в показателе экспоненты вычисляется явно:

1 1 1

\2-Е ¿„¿'г — 1 [ , п „\3-Di

3 — В У ^ ^ J м (3 — В)(4 — В)'

0 0 0

В итоге мы имеем:

га282Т (Щ

1пЫ(в,х,у) =------5----------------------+ о(|^|). (30)

2ят(£>-2)(£)-3)(£)-4)

Здесь о(х) обозначает функцию, которая стремится к нулю, когда её аргумент стремится к бесконечности.

х

Мы видим, что (30) расходится при В = 3, В = 4. Причина в том, что для этих размерностей пространства рассматриваемая нами формально теория не существует и требует специального доопределения. Обычно для этого используют процедуру перенормировки, которая предполагает вначале регуляризацию, например, продолжение по размерности, в котором размерность В рассматривается формально как комплексный параметр. При этом результаты вычисления оказываются конечныем при всех значениях

В, кроме некоторых целочисленных. Параметры теории и константы перенормировки теории предполагаются зависящими от В таким образом, чтобы результат оказался существующим и при физичесчких размерностях. Модели, обладающие этим свойством, называются перенормируемыми. Такова, в частности, и рассматриваемая нами теория, если размерность пространства не превышает шести.

При заданной регуляризации возможны различные процедуры нормировки, сводящиеся друг к другу конечной перенормировкой параметров теории. В так называемой схеме минимальных вычитаний перенормированные результаты получаются из регуля-ризованных простым отбрасыванием сингулярных в окрестности физических значений размерности пространства полюсных членов ряда Лорана по отклонению размерности от физической. Таким образом, в рассматриваемом нами приближении мы получим для В = 2:

д2в2

1п и{8,х,у) = —\п(\г\)(1 + о(\г\), (31)

для В = 3:

д2в2

ЫЩв, х, у) = 1п(г;)(1 + о(\г\), (32)

а при В = 4:

д2в2

1п и{8,х,у) = ^^\п(\г\)(1 + о(\г\). (33)

Из этих результатов видно, что асимптотика больших расстояний для пропагатора сушественно зависит от размерности пространства. Для интервала 2 ^ В ^ 4 чем меньше размерность, тем сильнее убывание пропагатора G(x, у) с ростом расстояния \г\ = \х — у\, для В = 5, 6 главный член асимптотики G(x,y) такой же, как в свободной теории. Для размерностей В = 2, 3, 4 главное асимптотическое приближение G(x, у) нетрудно вычислить в явном виде методом Лапласа, пользуясь апроксимация-ми и (в, х, у) (31)—(33) в интеграле (28). Если разложить результаты в ряд по константе взаимодействия д, нетрудно убедиться, что последующие члены ряда дают больший вклад в асимптотику, чем предыдущие. Таким образом, методом собственного времени удалось решить нетеоретиковозмущенческую задачу.

Заключение. В данной работе мы продемонстрировали возможности применения функциональных методов квантовой теории поля и статистической физики для задачи

об обращении наиболее общего вида оператора Ь(Р^) алгебры Гейзенберга в рамках предложенного В. А. Фоком метода собственного времени. Её решение в виде интегралов по траектории получено без их аппроксимаций конечнократными интегралами. Функциональный формализм удобен для решения методом собственного времени нетеоретиковозмощенческих задач. Его дальшейшее развитие и применение в исследованиях моделей квантовой теории поля, статистичекой физики и теории стохастических процессов несомненно будет способствовать получению новых важных результатов.

Литература

1. Фок В. А. Собственное время в классической и квантовой механике // Изв. АН СССР. 1937. № 4-5. С. 551-568; Fock V. Die Eigenzeit in der Klassischen- und in der Quantenmechanik // Sow. Phys. 1937. Bd. № 12. S. 404-425.

2. Фок В. А. Работы по квантовой теории поля. Л., 1957. 160 с.

3. Новожилов Ю. В., Новожилов В. Ю. Владимир Александрович Фок. (К столетию со дня рождения) // Физ. элементарн. част. атом. ядра. 2000. Т. 31. Вып. 1. С. 3-46.

4. Schwinger J. On gauge invariance and vacuum polarization // Phys. Rev. 1951. Vol. 82. N 5. P. 664-679.

5. Nambu Y. The use of the proper time in quantum electrodynamics // Progr. Theor. Phys. 1950. Vol. 5. N 1. P. 82-94.

6. Новейшее развитие квантовой электродинамики / под ред. Д. Д. Иваненко. М., 1954. 396 c.

7. Барбашов Б. М. Функциональные интегралы в квантовой электродинамике и инфракрасная асимптотика функций Грина // Журн. эксп. теор. физики. 1965. Т. 48. Вып. 4.

С. 607-621.

8. Wick G. C. The evaluation of the collision matrix // Phys. Rev. 1950. Vol. 80. N 2. P. 268-272.

9. Hori S. On the well-ordered 5-matrix // Progr. Theor. Phys. 1952. Vol. 7. N 5, 6. P. 578-584.

10. Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. Л., 1976. 238 с.

11. Feynman R. Spase-Time approach to non-relativistic quantum mechanics // Rev. Mod. Phys. 1948. Vol. 20. N 2. P. 267-387.

12. Фейнман. Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям / пер. с англ. М., 1968. 382 c.

Принято к публикации 1 июля 2009 г.