Нарушение аномального скейлинга в модели переноса пассивного векторного поля сдвиговым течением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 537.9

Вестник СПбГУ. Сер. 4. Т. 1 (59). 2014. Вып. 3

Н. В. Антонов, Н. М. Гулицкий

НАРУШЕНИЕ АНОМАЛЬНОГО СКЕЙЛИНГА В МОДЕЛИ ПЕРЕНОСА ПАССИВНОГО ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ СДВИГОВЫМ ТЕЧЕНИЕМ*

Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация

Квантовополевая ренормгруппа и операторное разложение применены к модели переноса пассивного векторного поля сильно анизотропным полем скорости. Показано, что в инерционном интервале аномальный скейлинг нарушен и асимптотика парной корреляционной функции составных операторов имеет логарифмическое поведение. Это связано с тем, что матрица критических размерностей не диагонализуется, а приводится к жордановой форме. Благодаря занулению всех многопетлевых диаграмм полученный результат является точным. Библиогр. 39 назв. Табл. 1.

Ключевые слова: ренормализационная группа, турбулентный перенос, операторное разложение, пассивная примесь.

N. V. Antonov, N. M. Gulitskiy

ANOMALOUS SCALING VIOLATION IN A MODEL OF A PASSIVE VECTOR FIELD ADVECTED BY A RANDOM SHEAR FLOW

St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russian Federation

The field theoretic renormalization group and operator product expansion are applied to the model of the stochastic advection of a passive vector field with the most general form of the nonlinear term allowed by the Galilean symmetry. The external velocity field is advected by a Gaussian, 6—correlated in time and obtains preferred direction. It is shown that the inertial range asymptotic behaviour of the pair correlation function of composite operators does not have a power term, but is logarithmic dependence. The anomalous scaling is broken. The matrices, which it is governed by, are not diagonalizable, but have a Jordan form. Since all multiloop diagrams are equal to zero, this is an exact result. Refs 39. Tables 1.

Keywords: renormalization group, turbulence, operator product expansion, passive advection.

Введение и описание модели. В настоящее время математический аппарат квантовой теории поля, созданный для описания взаимодействия элементарных частиц, широко используется в статистической физике, в особенности в теории фазовых переходов 2-го рода (теории критического поведения). Метод ренормализационной группы (РГ), развитый изначально в рамках квантовой теории поля в связи с потребностями физики элементарных частиц, был с успехом применён в начале 1970-х годов в работах К. Вильсона и других авторов к теории критических явлений для обоснования критической масштабной инвариантности (скейлинга) и практического вычисления универсальных характеристик критического поведения — критических показателей и скейлинговых функций.

На данный момент теоретическое описание развитой турбулентности и, в частности, аномального скейлинга в ней в значительной степени остаётся нерешённой задачей [1—4]. Натурные эксперименты и численное моделирование показывают, что отклонения от предсказаний классической теории Колмогорова—Обухова для переноса пассивного

* Работа выполнена при поддержке Санкт-Петербургского государственного университета, грант № 11.38.185.2014, и РФФИ, грант № 12-02-00874-a. Н. М. Гулицкий также благодарит за поддержку фонд Дмитрия Зимина «Династия».

скаляра проявляются даже более сильно, чем для переносящего его поля скорости. Кроме того, оказывается, что проблема переноса достаточно просто поддается теоретическому описанию: даже упрощённые модели, описывающие перенос каким-либо «синтетическим» ансамблем скорости, с заданной гауссовой статистикой воспроизводят многие из аномальных свойств реального турбулентного переноса массы или тепла, наблюдаемые в эксперименте. Проблема турбулентного переноса, сама по себе имеющая важное практическое значение, стала краеугольным камнем в изучении развитой гидродинамической турбулентности [5]. Наиболее значительные успехи были достигнуты на этом пути для модели, предложенной Крейчнаном [6-8]: впервые бесконечный набор аномальных показателей был вычислен на основе микроскопической модели в рамках регулярной теории возмущений [9-15].

В оригинальной модели Крейчнана пассивное поле 0(x) = 0(t, x), где x = {t, x} является скалярным (и описывает, к примеру, плотность примесных частиц либо поле температуры), а уравнение диффузии имеет вид

VtQ = vqA6 + f, Vt = dt + vidi, (1)

где dt = д/dt, di = д/dxi — производные по времени и по координатам соответственно; vq — коэффициент диффузии; Д — оператор Лапласа; f = f (x) — случайная сила, обладающая гауссовым распределением с нулевым средним и корреляционной функцией вида

f (x)f (x')) = S(t - t') C(r/L), r = |x - x'\ . (2)

Параметр L = M-1 является внешним масштабом турбулентности, связанным со сторонней силой, а C(r/L) — некоторая функция, конечная при L ^ ж.

Поперечное несжимаемое поле скорости v(x) = {vi,(x)}, выбирается гауссовым с нулевым временем корреляции, статистически изотропным и несжимаемым, с парной корреляционной функцией вида

Ых)у,(х')) = b(t -t') J ^Р^Бо^щ eik-(3)

где Pij(k) = bij — kikj/к2 — поперечный проектор; к = |k| — волновое число; d — размерность пространства; Dq > 0 — амплитудный множитель; величина 1/m, обратная внешнему масштабу турбулентности L, связанному с полем скорости, обеспечивает ИК-регуляризацию; ^ — произвольный показатель (с наиболее реалистичным «колмогоров-ским» значением ^ = 4/3). Для простоты мы будем отождествлять данный внешний масштаб L, связанный с полем скорости, с внешним масштабом случайной силы L, упоминавшимся ранее в (2).

В нашей работе рассматривается более сложная задача, в которой поле примеси 0(x) является векторным (и описывает, в частности, флуктуирующую компоненту магнитного поля в присутствии главной компоненты 0°, меняющейся на очень больших масштабах [16-28]), а поле скорости v(x) анизотропным [29-33]:

v(t, x) = n • v(t, x±). (4)

В отличие от работ [34-37] подобная постановка задачи не содержит в себе изотропную модель Крейчнана как частный случай, и в этом смысле является «сильно анизотропной». Таким образом, уравнения (1)-(3) принимают вид

dtQi + dk (vk0i — Ло vi6fc) + dP = vq (d\ + fodhQi + fi, (5)

где

/г, х) /к(г', х')) = ь(г — г') с к(т/ь); (6)

^(г, х) Ук(г', х')) = щпк ■ (у(г, х±) у(г', х'±)), (7)

х±) х!)> = 8(4-0 [ 7ТГТ7 Д,(А;), (8)

' к>т

(2п)а

0„(к)=2пЩ1) Б0 (9)

к±

В уравнениях (5)—(9) Р — давление; параметр Л объединяет различные физические модели (значение Л = 1 отвечает линеаризованным уравнениям магнитной гидродинамики; значение Л = —1 — линеаризованному уравнению Навье—Стокса; при Л = 0 в задаче присутствуют дополнительные симметрии [25-27]); С^к(т/Ь) являются безразмерными функциями, конечными при г/Ь ^ 0 и убываюшими при г/Ь ^ то. Параметр /о снимает 0& симметрию оператора Лапласа, меняя её на Ой-\ ®%2: А = д2 ^ д\ + /од2.

Оба поля V и 0 являются поперечными, д^ = = 0, а член дР необходим для согласования динамики и условий поперечности и может быть выражен как решение уравнения Пуассона:

д2Р =(Ло — 1) дукдк(10)

Соотношения

Яо^о/о = до = л^ (11)

определяют константу связи до, которая с точностью до множителя является параметром разложения, и малый (ультрафиолетовый) масштаб Л, на котором вязкие силы начинают играть значительную роль.

Статья построена следующим образом: в начале будет сформулирована квантово-полевая постановка задачи, установлена ренормируемость данной модели, представлены явные однопетлевые результаты для констант перенормировки и РГ-функций, а также установлено существование ИК-притягивающей неподвижной точки; затем будет установлен факт смешивания операторов при ренормировке и представлен результат для матрицы аномальных размерностей; после этого будет показано, что для семейства операторов любого порядка данная матрица является нильпотентной; а в заключительных частях будут представлены асимптотики инерционного интервала Ь ^ г ^ I средних значений составных операторов специального вида (целиком построенных из пассивных полей) и парных корреляционных функций таких операторов.

Квантово-полевая формулировка. Данная стохастическая задача, определяемая уравнениями (5)-(9), эквивалентна квантово-полевой модели с расширенным набором полей Ф = {0, 0', О и функционалом действия

£(Ф) = - ерев'й + е'к [-3(6* - мое* + Ло^н + ^(¿>1 + /0а| )ек

- 2 V-

(12)

Формулировка (12) означает, что статистическое усреднение случайной величины в исходной задаче совпадает с функциональным интегрированием с весом ехр ^(Ф) (см., например, монографии [38, 39]). Модели (12) соответствует стандартная фейн-мановская диаграммная техника с тройной вершиной —(у^д^)0к + Ло(0®д^)Ук и тремя

затравочными пропагаторами: (6г6'к}0, (6г6к}0 и (игук}0 (линия (6'г6'к} отсутствует в диаграммах). В импульсно-частотном представлении вершине отвечает выражение

а

^ЛЛАЛАЛ

УсаЬ = гЬьо Ра - гЛЬас Рь = ^^ЛЛЛЛЛ (13)

(причём р6 является импульсом поля 6).

Пропагаторы (6г6'к}0, (6г6к}0 и (игук}0 представлены в диаграммах перечёркнутой, сплошной и волнистой линиями:

(646'к}0 = г -к

(6г6к }0 = г - к

(^г^к } 0 = г '^ЛЛЛЛЛ к

Линии (игук}0 отвечает выражение (7). Из уравнения Дайсона (17) следует, что в импульсно-частотном представлении остальные два пропагатора имеют вид

(«о = . (14)

-гш + vo(k± + )

<еге,)0 =--^, (15)

ш2 + [У0(к! + м|)

где Огк (к) является фурье-образом функции, входящей в коррелятор (6).

На самом деле уравнение Дайсона (17) является не вполне верным и должно быть модифицировано (см. (24)), вследствие чего пропагаторы (14) и (15) приобретают некоторые аддитивные добавки, также являющиеся функциями импульсов к^ и кц. Однако можно показать, что данные аддитивные члены не дают вклада в расходящиеся части всех диаграмм, которые необходимо вычислить.

В представлении время—координаты пропагаторы (14) и (15) имеют вид

(66'}0 = Рц(к) • в(г - г')ехр{-(г - г')€к] , (16а)

(66}0 = {Огэ (к)/2ек| • ехр - - I'| ек} . (16б)

В данных выражениях ек = ^^(к^ + Лк2); символ Ь является временным аргументом поля 6, а символ Ь' — поля 6'.

Канонические размерности. Анализ УФ-расходимостей основан на анализе канонических размерностей 1-неприводимых функций Грина. Как обычно, данная (динамическая) модель имеет две независимые размерности: импульсную размерность ¿р и частотную размерность ¿р. Полная размерность любой величины Г определяется условием ¿р = ¿р + 2¿р, а сами размерности определяются из требования безразмер-ности каждого члена в функционале действия (12) и нормировочных условий ¿к = = -¿X = 1, ¿Ш = -¿Ш = 0, ¿ШШ = -¿Ш = 1, ¿Ш^ = ¿к = 0. Канонические размерности всех параметров данной модели приведены в таблице (включая ренормированные аналоги).

Из размерности полей и параметров, приведённых в таблице, а также анализа канонических размерностей функций Грина следует, что при любой размерности пространства ¿ поверхностные расходимости присутствуют только в 1-неприводимой функции (6'6)х-гг.

Канонические размерности полей и параметров в модели (12)

F 0' 9 V m, |i, Л v, vo A, Ao f,fo U, Uo Qo 9

dwF 1/2 -1/2 1 0 1 0 0 0 0 0

dp d 0 -1 1 -2 0 0 0 % 0

¿F d + 1 -1 1 1 0 0 0 0 l 0

Уравнение Дайсона для парной корреляционной функции. Введём обозна-Эр)\-гг . Для данных функций уравнение Дайсона имеет вид

r^aß

чение 12 =

r!f = —im • 5„ß + voPj_ • 5„ß + vofo • (pn)2 • 6„ß - S„ß, где Saß является оператором собственной энергии, в диаграммном представлении

Л

(17)

Saß = а

а b d ß

К-т + ...

Характерной чертой всех моделей с нулевым временем корреляции (8) и запаздывающим пропагатором (16а) является тот факт, что все многопетлевые диаграммы, входящие в оператор собственной энергии, содержат замкнутые циклы запаздывающих пропагаторов и как следствие равны нулю.

При вычислении данной диаграммы полезно иметь в виду, что

— нам необходима только расходящаяся часть, т. е. член, пропорциональный р2;

— благодаря выбору коррелятора скорости (8), а именно его пропорциональности 6(кц), все члены, пропорциональные кц, окажутся равными нулю после интегрирования по импульсу к;

— основное поле 0 и вспомогательное поле 0' являются несжимаемыми, т. е. др8р = = ррбр = 0, дав'а = рав'а = 0. Таким образом, все члены, пропорциональные ра или рр, окажутся равными нулю после свёртки с полями 0 или 0 ;

— при интегрировании по вектору к сначала осуществляется усреднение по углам, а затем интегрирование по скалярной величине к = |к|:

[ dk • f (к) = Sd-i • ( dk • (f (к)),

J J m

где Sd-i — площадь (d — 1)-мерной единичной сферы;

(18)

— среднее значение по углам от выражения k^k^/k"2^ пропорционально Pj (n),

а именно

К kj —

PiM) d-1 '

(19)

Используя вышеприведённые правила, несложно вычислить индексную структуру Лр:

Лр = Уа аь(р)Уеа р(р + к)Рьа(р + к)папс, (20)

а затем произвести интегрирование с необходимыми скалярными множителями. После всех необходимых вычислений получается следующий ответ:

Saß — — ^ ' ßo • Cd-l

d — 2 +Л (Л—1)2

Oaß Н--^ _ ^ ' ПаЩ

d1

(pn)2

(21)

5

где = 5^-1/(2я)^_1 и В0 определено в (11). Так как в силу замкнутого цикла запаздывающих пропагаторов все многопетлевые диаграммы равны нулю, данный ответ для оператора собственной энергии является точным.

Ренормировка, уравнение РГ и неподвижная точка. Подставим найденное выражение (21) в уравнение Дайсона (17):

Г

= -im • öaß + vop^ • öaß + vq/q • (pn)2 • 6aß +

+ Dq •

d - 2 + A (A-1)2

daß + ТГ7-.-ту • пащ

2(d - 1)

2(d - 1)

Cd-! • (pn)2

4 '

Из анализа уравнения Дайсона следует, что

— параметры и А0 не требуют ренормировки, т. е.

Zv = 11, = 1;

(22)

(23)

— в результате вычислений оказывается, что структуры и «4П2 входят в выражение (22) с разными коэффициентами. Данный факт означает, что для выполнения мультипликативной ренормировки требуется ещё один новый параметр и0, поэтому корректное уравнение Дайсона имеет вид

rf = -im + vqp;[ • 6aß + vq/q • (pn)2 • öaß + vq/quq • (pn)2 • nanß +

+ D

0 •

d-2 + Л _ 2{d — 1)

Saß +

(Л-1)2 2(d — 1)

anß

Cd-1 • (pn)2

(24)

С учётом (11) и (23) из уравнения (24) следует, что все остальные параметры ренорми-руются следующим образом:

/о = /Zf, uq = uZu, go = gv^Zg, Zg = Zf

(25)

Здесь go = go • Cdf 1, v является ренормировочной массой, g, и и / — ренормированные аналоги затравочных параметров g0, и0 и /0, а Zi = Zi(g, I, d) — константы ренормировки. Все поля Ф и «масса» т в данной модели не ренормируются, т. е. т = то и Zф = 1 для всех Ф.

Ренормированный функционал действия имеет вид

ЫФ) = ^epeö'fc + öfc [~dtQk - М)ек + A(Qidi)vk + y(dl + fZf ■ df)Qk

-IviD^Vk, (26)

где функция Dv выражена в ренормированных параметрах (25).

Уравнение РГ. Базовое уравнение РГ для мультипликативно ренормируемой величины F имеет вид

[Drg + YF] Fr = 0, (27)

где Yf — аномальная размерность F, а РГ-оператор DRG в данном случае имеет вид Drg = Dv + ßdg - Yf Df - yuDu; здесь и далее Dx = xdx для всех переменных x. РГ-функции, в конечном итоге определяющие искомую асимптотику, определяются как

m

n

ßg = D vg = g[-| + Yf (g)],

(28а)

р„ = В»и = -иуп(д, и), (28б)

уР = Ъ» 1п ^ = вд дд 1п , (28в)

где Б» является дифференциальным оператором »д» при фиксированных затравочных параметрах ео = {до, \о,/о,ио, Ло}.

Из уравнения Дайсона (24) следует, что константа ренормировки и аномальная размерность для параметра /0

^-Шг!^'1- (29)

(I — 2 + Л

т = -Щ^Т'д- (30)

Ренормируя новый параметр ио, находим

+ (31)

Используя последнее соотношение из равенств (25), получаем

(1—2 + Л

^ = = (33)

Неподвижная точка. Основное утверждение ренормгруппы состоит в том, что лидирующий член ИК-асимптотики определяется подстановкой д = д*, и = и*, где д* и и* определяются из требований на в-функцию:

Ри(д*,и*) = 0, дивп(д*,и*) > 0; вд(д*,и*) = 0, ддвд(д*,и*) > 0. (34)

Сделав соответствующие вычисления, находим

= + дяШ)=Ч>Ь (35)

-2 Эц|3 и(и*)=Г\~2+1Л -9*- (36)

а — 2 +Л ^^ 2(й —1)

Равенства (35) и (36) означают, что при условии а — 2 +Л > 0 модель обладает ИК-при-тягивающей неподвижной точкой, т. е. ИК-асимптотика (Лг ^ 1, тг ~ 1) корреляционных функций обладает скейлинговым поведением, а соответствующие критические размерности могут быть вычислены как ряды по

Критические размерности. Ведущий член ИК-асимптотики функций Грина даётся подстановкой д ^ д*, и ^ и*, что применительно к РГ-оператору означает равенство

В» — у}В} — у*иВи + у*с] с*(е, »,...)= 0. (37)

Каноническая масштабная инвариантность выражается двумя уравнениями

лк п лк

аа Ва —

О'

Ва —

Оп = 0, (38)

где а = x, ц, V, т, М, и, ], А, д} является полным набором всех аргументов функции Оп, а ¿к и ¿ю — соответствующие импульсные и частотные размерности Оп и а. Решая совместно уравнения (37) и (38), находим, что критическая размерность функции Грина

Д[О] = Дс = 4 + 2^ + у*а- (39)

Критические размерности полей в данной модели совпадают с каноническими, которые приведены в таблице, а именно

Дv = 1, Де = -1, Дв' = d +1. (40)

Данное свойство является ещё одной интересной особенностью модели, так как отличается от классической изотропной модели Крейчнана [21-23] (в которой = 0) и от скалярной анизотропной модели Крейчнана [33] (в которой параметр ] не является безразмерным).

Ренормировка составных операторов. Целью данной работы является вычисление ИК-асимптотики корреляционных функций О^ = }, построенных из операторов вида

Рм,р,т = (ел)р (и3е3)2т, N = 2(р + т), (41)

где N = 2(р + т) — число полей в, входящих в оператор.

Такие операторы ренормируются мультипликативно, РМр = ZNpFRp, и константы ренормировки ZNP = ZNP(g,d) определяются из условия конечности 1-неприводимых корреляционных функций

(рМр(х)в(х1) ...е(х„)) 1_.г =

= рмр(х)е(х1)... е(х„^ = Z-pГwp(x; хь... хп).

Для любого оператора вклад любой из диаграмм в функционал ГМр представим в форме

Гмр = Уар... 1аЬ:::еаеь..., (42)

где УОр... — вершинный множитель; 10(Ь — «внутренний блок», вычисляемый непосредственно из диаграммы, а произведение еаеь ... отвечает внешним линиям.

В соответствии с общими правилами (см., например, [39]), вершинному множителю УОр... с к ^ 0 выходящими линиями соответствует выражение

Укр(х; х1,...,хк) = 5к Рмр(х)/5е(х1) ...5е(хк), (43)

в котором аргументы Х1 ...хк сворачиваются с аргументами пропагаторов ее', выходящих из вершины.

Однопетлевая диаграмма. Однопетлевая диаграмма, дающая в обозначениях (42) ответ для внутренней структуры , имеет вид

ь

Индексная структура для данной диаграммы есть

Уф = Уха^Ь) УгА-Ь) ■ Ра»(к) Р^ (k) ■ ПхПг = -А2 ■ ПхРха (k) ■ П% Р2р(к) ■ какь,

3

где значки г,],х и г обозначают внутренние индексы. После интегрирования данного выражения с учётом необходимых множителей вида (8) и (14) получаем ответ:

Д2 т—|

-Со • -Раь(п) • Папр • С4-1 ■ —-—. (44)

(й - 1) —Р ^

Многопетлевые диаграммы. Любая 1-неприводимая многопетлевая диаграмма, содержащая в себе полюс первой степени по в диаграммном представлении содержит как часть структуру

V.

V!

к

лллллллл»

ь -а

Отсюда интеграл, соответствующий расходящейся части, содержит выражение

1о = 8(кц )8(дц )паУьас(к)паУвау(к + д)Руь (к), (45)

где Уцк — вершина (13), а 5-функции появляются из коррелятора скорости (7). Так как 1о пропорционально сумме кц и д^ с некоторыми коэффициентами, после интегрирования по импульсам с 6(кц) и 5(дц) все расходящиеся части таких диаграмм оказываются равными нулю. По этой причине однопетлевое приближение (44) даёт точный ответ.

Аномальные размерности составных операторов. Учитывая (42), необходимо произвести свёртку вершинного множителя (43), соответствующего конкретному оператору (41), с внешними полями и полученным (точным) ответом (44) для диаграмм:

52

г тт;—£тг 1рк,Р,т] ■ пащ • раЬ(п) еаеь =

О0а • ООр

= 2ш(2ш - 1) • + (2р + 8рт - 2ш(2ш - 1)) • Гм,р,т +

+ (4р(р - 1) - 2р - 8рт) • - 4р(р - 1) • Рм,Р-2,т+2- (46)

Выражение (46) означает, что операторы смешиваются при ренормировке. Причём операторы с одинаковым полным числом полей N образуют замкнутый набор, т. е. при ренормировке переходят только друг в друга. Таким образом, константа ренормировки 2р = \_Zik} и аномальная размерность у_р = {у^} являются матрицами:

Г Zik Г*, уР = 2-1 . (47)

к

В схеме минимальных вычитаний матрица 2 имеет вид

1 = Е + Л, (48)

где Е — единичная матрица, а элементы матрицы А имеют вид

Агк = а,гк-^. (49)

ЛЛЛЛЛЛЛЛЛ

а

У

Для решения уравнений РГ необходимо диагонализовать матрицу у, то есть перейти от семейства операторов {Гк семейству «базисных» операторов {Г1'}, которые обладают определёнными размерностями:

Г,я = и1рБря. (50)

Матрица Пр в выражении (50) приводит матрицу критических размерностей Ар к диагональному (либо жорданову) виду: Ар = и-1 АрПр.

Поскольку матрица ренормировки . имеет вид (48), элементы матрицы аномальных размерностей у равны:

Угк = —Ягк ■ д, (51)

где а^а — коэффициенты из выражения (49). Учитывая (46), а также скалярный множитель, представленный в (44), и симметрийный коэффициент для данной однопетлевой диаграммы, равный 1/2, находим матрицу у:

Л2 ■ /

Удг,Р+1 = ~ ' С<1-1 ' 2т(2т - 1) • д; (52а)

Л2-/ 4(^-1) Л2-/ 4(^-1)

Шр = -л/л ■ СЛ-1 ■ (2р + 8рт - 2то(2то - 1)) • д; (526)

Ум,Р-1 = -773—7Т ' ■ (4р(р - 1) - 2р- 8рт) • д; (52в)

2/

^.р-2 = -щ^Т) •■ -1)} •(52г)

Подставляя значение неподвижной точки д* = а ' ^ (см- (35)), получаем

Л2 ■ /

У%,Р+1 = ~2(г1-2 +Л) ' 2т(2т ~ ^ ' ^ (53а) 2/

= ~ 2(с1 — 2 + Л) '(2Р + ^ " 2т(2т " 1)} ' ^ (53б) 2/

^'Р-1 = ~2(с1-2 + А) ' {МР ~ 1} " 2Р ~ 8рт) ' (53В) 2/

^-2 = -2^-2 + Л)-("4р(р"1))^- (53Г)

Таким образом, матрица критических размерностей для оператора равна:

Амр,мр' = —2(р + т) ■ Ърр, + у*Мр,Мр', (54)

где —К = —2(р + т) — каноническая размерность данного оператора; Ьрр> — символ Кронекера; у*Мр Nр' значение аномальной размерности в неподвижной точке.

Матрица критических размерностей и её диагонализация. Поскольку при решении уравнений РГ будут возникать зависимости от критических размерностей операторов, нам необходимо найти собственные значения матрицы Аыр,мр'. В соответствии с (53) для любого N она является четырёхдиагональной, причём одна из диагоналей находится выше главной диагонали, а две другие — ниже.

В соответствии с (46), замкнутый набор операторов {Г}, смешивающихся при ренормировке только друг с другом, состоит из операторов с одинаковым числом полей 6, т. е. с одинаковым числом N. Таким образом, введём вектор Е:

/

Е

(6Л)

(6Л)

М-2

N

\

К68)2

(™868)

N

(55)

Тогда соотношение между семействами неренормированных операторов {Г} и ренор-мированных операторов {Г, а именно Г = Г^, принимает вид

(6Л) (6Л)

(6Л)

N-2

N

М-4

К68)2 К68)4

(6Л)2 • (пя6я) (п868)

М-2

V

Г /

(ац а12 а1з 0 ... 0

а21 а22 а23 а24 .

0 аз2 азз аз4 .. 0

0 а43 .. .. ап—2 п

V 0 . . ап-1п 0 апп-1 апп

{(6^6^ {(6Л

{тг}

М-2

N-4

К68)2 }1 («Л)4 }'

{(6Л)2 • (^6^-2}1

\

{(«А)

(56)

/

В данных обозначениях строка матрицы 2 соответствует исходному неренормирован-ному оператору, а степень р оператора ГN,p убывает справа налево. Обозначим общий множитель в (53) у, тогда

У = -

Л2 • I

2(й - 2 +Л)

■Ч-

(57)

Построим, пользуясь (53), (54) и (56), матрицу критических размерностей для некоторых семейств операторов. Например, для N = 2 получаем

N = 2 : Д

Np,Np'

-2 + 2у -2у 2у -2 - 2у

(58)

Собственные значения такой матрицы равны к = {-2; -2}. Аналогичная матрица для N = 8 имеет вид

N = 8 : Д

Np,Np'

+ 8у 40у -48у 0 0

2у -8 + 28у 6у -24у 0

0 12у 8 + 24у -28у -8у

0 0 30у -8 - 4у -26у

0 0 0 56у -8 - 56уу

(59)

1

Собственные значения данной матрицы также вырождены: X = {—8; —8; —8; —8; —8}. Оказывается, что данное свойство — верно для любого значения N. Это можно строго доказать, угадав явный вид матрицы Пр:

иР =

( «11 «21

«31

«12 «22

«13

«1 п-1

«1п\ 0

«п-11 «п-12 \ «п1 0

(60)

0

причём все элементы из первого столбца равны 1, а все остальные элементы строятся по следующему правилу: каждый элемент является дробью, числитель которой равен соответствующему элементу треугольника Паскаля (т. е. является сочетанием), а знаменатель одинаков для каждого столбца и равен произведению элементов нижней диагонали исходной матрицы. Построенная по этим правилам матрица для N = 8 имеет вид

П8

1 4/56 6/(56 30) 4/(56 • 30 12) 1/(56 • 30 • 12 • 2)\

1 3/56 3/(56 30) 1/(56 • 30 12)

1 2/56 1/(56 30)

1 1/56

1 /

(61)

Таким образом, для любого N матрица аномальных размерностей (53) является нильпотентной, а матрица критических размерностей (54) — вырожденной:

— ... — А,

N/2 + 1

= —2(р + т) = —N.

(62)

Это означает, что матрица критических размерностей (54) не диагонализуется, а приводится к жордановой форме, т. е.

Ар = ир А р и-1,

(63)

где матрица Ар имеет вид

/—2(р + т) 0

А р

\

1 0 —2(р + т) 1 0 ..

0 —2(р + т))

(64)

Асимптотика средних значений операторов FNíp. Поскольку объектами изучения являются одновременные корреляционные функции двух составных операторов С = ^N2,^2), при операторном разложении будут появляться средние значения

операторов .

0

0

1

0

Так как оператор Г ренормируется мультипликативно, он удовлетворяет уравнению РГ (38), а также уравнениям масштабной инвариантности (37). Совместное решение этих уравнений даёт следующую асимптотику:

~R

F > ос

MAf • Ф ( -Дг ] • С0.

(65)

Восстанавливая опущенные размерные константы и учитывая, что у^ = Ч, получаем

F > (xvtF ■M -

N • (M/|)AF • Ф

J_

Mi

•Cn.

(66)

Здесь Ф является неизвестной функцией безразмерного аргумента; Е — вектор, построенный из базисных операторов (50), обладающих определёнными размерностями; Со — некоторый постоянный вектор (начальные данные); Др — матрица критических размерностей (64); —N = -2(р+т) — единственное собственное значение матрицы Др.

Поскольку матрица Др является вырожденной и имеет вид (64), некоторые элементы матрицы (М/|)Лр содержат множителем 1п(М/|):

(M/|)A F =

(M/i)'k (M/i)'k • ln(M/|)

(n —1)!

4

(M/if

\ 0

■•. (M/i)x • ln(M/|) 0 (M/if

(67)

Поэтому с точки зрения искомой асимптотики вырожденность матрицы Др приводит к появлению логарифмических зависимостей.

Это означает, что после свёртки с вектором Со и с точностью до размерного множителя асимптотика средних значений операторов Г1 равна:

Ff « (M/i)x • Pn/2 (ln M/|), FR « (M/i) • Pn/2-i (ln M/|).

ffjr/2+1 « (M/l)x.

(68)

Необходимо отметить, что нумерация 1, ..., N/2 + 1 в формуле (68) не является произвольной и совпадает с нумерацией, использованной в (55) при определении вектора Е.

Асимптотика корреляционных функций О = (Е1Е2). В последних двух разделах мы рассмотрим непосредственно корреляционные функции двух составных операторов:

О = {ГN1,p1 ГN2,P2), (69)

где ГNp — оператор вида (41), при этом и N1, N2, и р1, р2 могут различаться.

Поскольку корреляторы О ренормируются мультипликативно, он удовлетворяет уравнениям (37)-(38), при этом (см. (27)) оператор

D

RG

-Dr + Dm + Dm + Y*f Df.

(70)

Так как операторы смешиваются при ренормировке, применяя Она к О и обозначая Г^,Р1 как р и Г^,Р2 как р, получаем дифференциальное уравнение

Она О^к = АгьОьк + А^О^.

(71)

Здесь Оц = (Рр), Ац является матрицей критических размерностей коррелятора Оц, суммирование по повторяющимся индексам подразумевается, а N1 и N2 могут различаться, т. е. р и р могут принадлежать разным семействам. Это означает, что матрицы А^ и Акя в дифференциальном уравнении (71) могут иметь различные размерности.

Асимптотика корреляционных функций (3. Для решения данного дифференциального уравнения необходимо перейти к корреляторам Огк, построенным из операторов Г (см. (50)), обладающих определёнными размерностями:

Огк = < Р Р

При этом необходимо помнить, что:

— исходные операторы Г определены в (41), а именно

= (ваеа)р (пяея)2т, N = 2(р + т);

(72)

(73)

— поскольку при ренормировке смешиваются только операторы, имеющие одинаковое число полей N (см. (46)), для каждого N можно ввести вектор Е (55), а именно

Е

( -1 \

-2

(

(ва ва) 2

N

\

(ва ваГ-2 • М)2

(74)

\г^2+1/ \ (nsеs)N

— вектор Е определяется следующим образом (см. (50)):

гН = и^,

(75)

где матрица Пр имеет вид (60) и является диагонализующей для матрицы критических размерностей Ар — матрица Ар, построенная по правилу Ар = и-1 Ар Пр, имеет жорданову форму (см. (64)).

Таким образом, операторы р, из которых состоят корреляционные функции (72), не являются произвольными, а построены с помощью (75) как линейные комбинации операторов р, чья нумерация строго определена в (74).

Корреляционные функции Огк удовлетворяют тому же дифференциальному урав-нениию (71), что и функции Огк:

°па Ой = Агв°й + Аk.sОiLs,

(76)

но матрицы Агк имеют при этом жорданову форму. Если операторы р и р, входящие в функцию Огк, имеют различные числа N1 и N2, то выражение (76) на самом деле представляет собой систему (N1/2 + 1) х (N2/2 + 1) нерасцепляющихся (в силу жордановой формы матриц Агк) уравнений.

Матрицы Д^ и Дк3 при этом имеют вид

Д р

^к1(2) 0

0

1

1(2)

0 " 1(2)

где "1 = -N1 и "2 = -N2.

Из (76) и (77) следует, что существует единственное уравнение, содержащее в правой части только один член:

Ока ОNl/2+1 N2/2+1 = (к1 + к2) • <ОNl/2 + 1 N2/2+1. С точностью до размерного множителя его решение есть

А к _ ак

Оо ^ О

N1/2+1 N2/2+1 ж (Лт)-"1 -к2 • Ф (Ыт, тг, 1тЧ)

(78)

(79)

где Л — характерный УФ-масштаб, введённый в (11).

Если % = N1/2 + 1, а к = N2/2, либо если % = N1/2, а к = N2/2 + 1, т. е. если к + % = (N1 + ^)/2 + 1, то существует два уравнения вида

Ока Оок = ("1 + "2) • Ок + 01

(80)

содержащие О1 в правой части. Их решение содержит уже не только степень, но и логарифм и с точностью до размерного множителя есть

ОК ж (Лт)-"1-"2 • Р1 [1пЛт] • Ф (Ыт, тт, /тЧ) ,

(81)

где Р1 [1пЛт] — полином первой степени от 1пЛт. Из (79) и (81) видно, что асимптотическое поведение суммы Оп + С11 является таким же, как и у самой функции С11:

ОК + ОК = ОК ж (Лт)-"1 -"2 • Р1 [1пЛт] • Ф (Ыт, тт, 1тЧ) .

(82)

Продолжая описанную выше процедуру, несложно убедиться, что существует только одна корреляционная функция, обладающая полиномом максимальной степени от 1пЛт. Это функция б?К1, для которой % + к = 2:

ОК1 ж (Лт)-"1-"2 • ^N1+^/2 [1пЛт] • Ф (Ыт, тт, /тЧ) .

(83)

Таким образом асимптотическое поведение любой из функций ОЦ находится с помощью вышеописанной процедуры и описывается формулами вида (79), (81) и (83).

Асимптотика корреляционных функций О. Чтобы найти асимптотическое поведение корреляторов, построенных из первоначальных операторов без тильды, необходимо воспользоваться выражением (75). Поскольку матрица и-1 является нижнетреугольной, операторы ГК из семейства {Ек} с некоторым фиксированным N выражаются через операторы Гк из семейства {Ек} с тем же самым N следующим образом:

АК ^ рК , рК Гг = ^N/2 + 1 + ,

где а = N/2 +1 и нумерует все остальные операторы.

(84)

0

0

1

Для того чтобы получить искомое решение уравнения РГ для корреляторов Огк, необходимо вновь воспользоваться формулой (50). Обозначим элементы матриц и—1, отвечающих операторам Гг и Гк, которые входят в коррелятор Огк = (Гг Гк), как йаЪ и йaъ. Тогда

О11 = й1,^/2 + 1й1^2/2 + 1 • О N1/1 + 1 N2/1 + 1; (85)

О12 = й1,№1/2 + 1 • ('й2^2/2 • ^1/1+1 N2/1 + й2,N2/2+1 • ОN1 /1+1 N2/1+1) ; (86)

О13 = й1,Nl/2+1 • (^,N2/2-1 • О N1/1 + 1 ,N2/1 — 1 +

+ й3,^/2 • О^/1+1,^/1 + й3,^/2+1 • О^/1 + 1,^/1 + ^ (87)

и т. д. Тот факт, что йа,ъ = йа+1,ъ и йаъЪ = йа+1,ъ при любых а, Ь, а выражение для любой из функций О1 содержит в правой части коррелятор О^ /1+1 N2/1+1, означает, что выражение для любого из корреляторов О^к содержит в правой части функцию ОН1. Учитывая (83), находим, что с точностью до размерных констант асимптотическое поведение парного коррелятора первоначальных операторов из семейства {Е} имеет

вид

ОН, = ОН х (Лг)-'к1-'к2 • Р№+ад/2 [1пЛг] • Ф (Иг, тг, /Г) Уг, к. (88)

Подставляя Х4 = —N1 и Х2 = —N2, получаем конечную формулу для асимптотического поведения парного коррелятора (69):

ОНк = О! « (Лг)Nl+N2 • р№ +N2)/2 [1пЛг] • Ф (Иг, тг, /Г) Уг, к, (89)

где Рх является полиномом степени ж, а Ф — некоторая функция трёх безразмерных аргументов. Её асимптотика изучается с помощью операторного разложения.

Операторное разложение. Представление (89), содержащее произвольную функцию Ф (Иг, тг, /г, описывает поведение корреляционных функций при Лг ^ 1 и любом фиксированном значении Иг. Инерционный интервал I ^ г ^ Ь содержит дополнительное условие Иг ^ 1. Явный вид функции Ф (Иг) никак не определяется уравнениями РГ, поэтому их асимптотика при Иг ^ 0 изучается с помощью операторного разложения Вильсона (ОР).

В соответствии с ОР одновременное произведение двух ренормированных операторов Г1(х')Г2(х") при х = (х' + х")/2 = сопэ! и г = х' — х" ^ 0 представимо в виде

Г1 (х')Г2 (х'') = ^ Ср(г)Р(г, х), (90)

Р

где функции Ср регулярны по И2, а Г — все локальные составные операторы, допускаемые симметрией задачи. Не теряя общности, можно считать, что разложение идёт по операторам Г вида (50), которые обладают определёнными критическими размерностями. Ренормированный коррелятор (Г1 (х)Г2 (х')) получается с помощью усреднения (90) с весом ехр 5д, где Бн — ренормированное действие (26). При этом в ответе возникают величины (Ё) х (Иг)Лр; их асимптотика при И ^ 0 находится с помощью уравнений РГ и имеет вид

(Га) х (Иг)Ка, (91)

где Др — жорданова матрица (64), а (Ыт)ла — матрица вида (67). Необходимо отметить, что из явного вида оператора (70) следует, что при решении дифференциального уравнения (76) |т = 1. Таким образом, матрица (Ы/|)Ла, написанная в (67), переходит в матрицу (Ыт)Ла.

Применяя ОР (90) к коррелятору (Г[(х)Г2 (х')), находим, что функция Ф = = Ф(Ыт, тт, /тЧ) в выражении (89) имеет вид

Ф(Ыт) = ^Аа (Ыт)да, Ыт < 1, (92)

а

причём коэффициенты Аа = Аа(Ыт) регулярны по (Ыт)2 и связаны с коэффициентами Вильсона Са (см. (90)). Здесь и далее мы не различаем два больших масштаба Ы и т, введённые в (6) и (8), и Ф (Ыт) = Ф (Ыт, /тЧ) |/гч=сошл.

Общее утверждение ОР состоит в том, что в разложение (90) входят все операторы, которые возникают в разложении Тейлора, плюс те, которые примешиваются к ним в результате ренормировки [38, 39]. Очевидно, что в данной задаче главный вклад в сумму (92) даётся оператором ГК, обладающим максимальной сингулярностью (см. (92)). Таким образом, подстановка ОР-представления (92) в выражение (89), являющееся решением уравнений РГ, даёт искомую асимптотику парной корреляционной функции О (69) в инерционном интервале:

О = (РыиР1 *КР2> ос № • Р№+лг2)/2 РПЛГ] • Р№+ЛГ2)/2 [1пМг] ■ Ф . (93)

При этом старший член в выражении (93)

С ос • ■ ■ Ф ^^ . (94)

Функция Ф(/тЧ/ЫЧ) в итоговом выражении (94) остаётся произвольной, но предполагается, что она конечна при Ч ^ 0.

Полученное асимптотическое поведение (94) означает нарушение аномального скей-линга — вместо степенной зависимости ж та с показателем а < 0, что, как правило, наблюдается в подобных задачах (см., например, работы [9-13, 21-23, 27, 33]), асимптотика инерционного интервала I ^ т ^ Ь корреляционных функций О логарифмически возрастает.

Заключение. Рассмотренная задача переноса пассивного бездивергентного (поперечного) векторного поля анизотропным полем скорости, подчиняющимся гауссовой статистике и обладающим нулевым временем корреляции, описывается уравнением диффузии с крупномасштабной внешней вынуждающей силой, нелокальным членом давления и наиболее общим видом нелинейности, характеризующимся параметром А ж Ао. Показано, что в отличие от большинства подобных моделей асимптотика инерционного интервала корреляционных функций полей обнаруживает не аномальный скейлинг, а логарифмическую зависимость (94). Степени логарифмов N1 и N2 связаны с канонической размерностью составных операторов (41), целиком построенных из полей 81, и определяют семейство операторов, смешивающихся при ренормировке только между собой. В силу зануления всех многопетлевых диаграмм данный результат является точным.

Авторы благодарят Л. Ц. Аджемяна, Л. Н. Липатова и С. А. Пастона за ценные замечания.

Литература

1. Grauer R., KrugJ., Marliani C. Scaling of high-order structure functions in magnetohydrodynamic turbulence // Phys. Lett. (A). 1994. Vol. 195. Iss. 5-6. P. 335-338.

2. EinaudiG., VelliM., Politano H., PouquetA. Energy release in a turbulent corona // Astrophys. J. 1996. Vol. 457. L113-L116.

3. Salem C., Mangeney A., BaleS. D. et al. Solar wind magnetohydrodynamics turbulence: Anomalous scaling and role of intermittency // Astrophys. J. 2009. Vol. 702 P. 536-553.

4. MininniP.D., PouquetA. Finite dissipation and intermittency in magnetohydrodynamics // Phys. Rev. (E). 2009. Vol. 80. 025401(R).

5. Frisch U. Turbulence: The legacy of A. N. Kolmogorov. Cambridge. 1995. 296 p.

6. Kraichnan R. H. Lagrangian-history statistical theory for Burgers' equation // Phys. Fluids. 1968. Vol. 11. P. 265.

7. Kraichnan R. H. Anomalous scaling of a randomly advected passive scalar // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 72. P. 1016.

8. Kraichnan R. H. Passive scalar: Scaling exponents and realizability // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. P. 4922.

9. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Vasil'ev A. N. Renormalization group, operator product expansion, and anomalous scaling in a model of advected passive scalar // Phys. Rev. (E). 1998. Vol. 58. P. 1823.

10. АджемянЛ. Ц., Антонов Н. В., Васильев А. Н. Ренормгруппа, операторное разложение и аномальный скейлинг в простой модели турбулентной диффузии // Теор. мат. физика. 1999. Т. 120, № 2. С. 309-314.

11. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Barinov V. A. et al. Anomalous exponents to order e3 in the rapid-change model of passive scalar advection // Phys. Rev. (E). 2001. Vol. 63. 025303(R).

12. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Barinov V. A. et al. Erratum: Anomalous exponents to order e3 in the rapid-change model of passive scalar advection [Phys. Rev. E 63, 025303 (2001)] // Phys. Rev. (E). 2001. Vol. 64. 019901.

13. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Barinov V. A. et al. Calculation of the anomalous exponents in the rapid-change model of passive scalar advection to order e3 // Phys. Rev. (E). 2001. Vol. 64. 056306.

14. Falkovich G., Gawtfdzki K., Vergassola M. Particles and fields in fluid turbulence // Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73. P. 913.

15. Antonov N. V. Renormalization group, operator product expansion and anomalous scaling in models of turbulent advection // J. Phys. (A). 2006. Vol. 39. P. 7825-7865.

16. Vergassola M. Anomalous scaling for passively advected magnetic fields // Phys. Rev. (E). 1996. Vol. 53. P. R3021.

17. Rogachevskii I., KleeorinN. Intermittency and anomalous scaling for magnetic fluctuations // Phys. Rev. (E). 1997. Vol. 56. P. 417.

18. Lanotte A., Mazzino A. Anisotropic nonperturbative zero modes for passively advected magnetic fields // Phys. Rev. (E). 1999. Vol. 60. P. R3483.

19. Antonov N. V., Lanotte A., Mazzino A. Persistence of small-scale anisotropies and anomalous scaling in a model of magnetohydrodynamics turbulence // Phys. Rev. (E). 2000. Vol. 61. P. 6586.

20. Antonov N. V., Honkonen J., Mazzino A., Muratore-Ginanneschi P. Manifestation of anisotropy persistence in the hierarchies of magnetohydrodynamical scaling exponents // Phys. Rev. (E). 2000. Vol. 62. P. R5891.

21. Antonov N. V., Gulitskiy N. M. Two-loop calculation of the anomalous exponents in the Kazan-tsev—Kraichnan model of magnetic hydrodynamics // Lecture Notes in Comp. Sci. 2012. Vol. 7125. P. 128-135.

22. Antonov N. V., Gulitskiy N. M. Anomalous scaling and large-scale anisotropy in magnetohydro-dynamic turbulence: Two-loop renormalization-group analysis of the Kazantsev—Kraichnan kinematic model // Phys. Rev. (E). 2012. Vol. 85. 065301.

23. Antonov N. V., Gulitskiy N. M. Erratum: Anomalous scaling and large-scale anisotropy in magneto-hydrodynamic turbulence: Two-loop renormalization-group analysis of the Kazantsev—Kraichnan kinematic model [Phys. Rev. E 85, 065301(R) (2012)] // Phys. Rev. (E). 2013. Vol. 87. 039902.

24. Jurcisinova E., JurcisinM. Anomalous scaling of the magnetic field in the Kazantsev—Kraichnan model // J. Phys. (A). 2012. Vol. 45. 485501.

25. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Mazzino A. et al. Pressure and intermittency in passive vector turbulence // Europhys. Lett. 2001. Vol. 55. P. 801-806.

26. Antonov N. V., HnatichM., Honkonen J., JurcisinM. Turbulence with pressure: Anomalous scaling of a passive vector field // Phys. Rev. (E). 2003. Vol. 68. 046306.

27. Антонов Н. В., ГулицкийН. М. Аномальный скейлинг в статистических моделях переноса пассивного векторного поля // Теор. мат. физика. 2013. Т. 176, № 1. С. 22-34.

28. Зельдович Я. Б., Рузмайкин A. A., Соколов Д. Д. Магнитные поля в астрофизике. М.; Ижевск, 2006. 384 с.

29. Avellaneda M., Majda A. Mathematical models with exact renormalization for turbulent transport // Comm. Math. Phys. 1990. Vol. 131. P. 381-429.

30. Avellaneda M., Majda A. Mathematical models with exact renormalization for turbulent transport II: Non-Gaussian statistics, fractal interfaces, and the sweeping effect // Comm. Math. Phys. 1992. Vol. 146. P. 139-204.

31. Zhang Q., Glimm J. Inertial range scaling of laminar shear flow as a model of turbulent transport // Comm. Math. Phys. 1992. Vol. 146. P. 217-229.

32. Wallstrom T. C. Turbulent diffusion phase transition is due to singular energy spectrum // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1995. Vol. 92. P. 11005-11008.

33. Antonov N. V., Malyshev A. V. Inertial-range behavior of a passive scalar field in a random shear flow: renormalization group analysis of a simple model //J. Stat. Phys. 2012. Vol. 146. P. 33-55.

34. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., HnatichM., Novikov S. V. Anomalous scaling of a passive scalar in the presence of strong anisotropy // Phys. Rev. (E). 2000. Vol. 63. 016309.

35. HnatichM., JurcisinM., Mazzino A., SprincS. Anomalous scaling of passively advected magnetic field in the presence of strong anisotropy // Phys. Rev. (E). 2005. Vol. 71. 066312.

36. Jurcisinova E., JurcisinM. Anomalous scaling of a passive scalar advected by a turbulent velocity field with finite correlation time and uniaxial small-scale anisotropy // Phys. Rev. (E). 2008. Vol. 77. 016306.

37. Jurcisinova E., JurcisinM., Remecky R. Influence of anisotropy on anomalous scaling of a passive scalar advected by the Navier—Stokes velocity field // Phys. Rev. (E). 2009. Vol. 80. 046302.

38. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Oxford, 1989. 1054 p.

39. Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. СПб., 1998. 773 с.

Статья поступила в редакцию 16 мая 2014 г.

Контактная информация

Антонов Николай Викторович — доктор физико-математических наук, профессор; e-mail: [email protected]

Гулицкий Николай Михайлович — аспирант; e-mail: [email protected]

Antonov Nikolay Viktorovich — Doctor of Physics and Mathematics, Professor; e-mail: [email protected]

Gulitskiy Nikolay Mikhailovich — post-graduate student; e-mail: [email protected]