Применение метода собственного времени Фока к исследованию нелинейной сигма-модели в формализме фонового поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 4. 2009. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 53:51, 530.145.1, 517.9 А. А. Багаев

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СОБСТВЕННОГО ВРЕМЕНИ ФОКА К ИССЛЕДОВАНИЮ НЕЛИНЕЙНОЙ СИГМА-МОДЕЛИ В ФОРМАЛИЗМЕ ФОНОВОГО ПОЛЯ*

Метод собственного времени Фока и метод теплового ядра. Метод собственного времени (иначе - метод теплового ядра, англ. heat kernel method) позволяет решать задачи вычисления квантово-полевых величин. Достоинством метода является явная релятивистская и калибровочная ковариантность каждого шага расчётов, поэтому он представляется удобным для нахождения различных инвариантных объектов, таких как эффективные действия и полные вершины, т. е. порядков петлевых разложений. Другие непертурбативные теоретико-полевые подходы, например, формализм фонового поля, излагаемый ниже, также используют метод собственного времени как средство анализа.

Метод собственного времени был предложен Владимиром Александровичем Фоком в работе [1] (статья имеется в книге [2], см. также [3]). Изначально метод применялся для решения задачи релятивистской квантовой механики. Касательно теории поля пояснил профессор Ю. В. Новожилов в предисловии к [2]: «значение этого метода было понято только в 1950-1952 гг., после того как была создана ковариантная формулировка квантовой теории поля». Развитие метода собственного времени в рамках квантовой теории поля связано с работами Швингера [4] и Девитта [5]. Однако отметим, что основная идея метода теплового ядра, а именно, сведение задачи нахождения функций Грина гиперболических уравнений теории поля к поиску фундаментального решения некоторого параболического уравнения, содержится в работах Фока по теории дифракции [6] - за 5 лет до Швингера. Печально, что авторы большинства современных публикаций, использующих метод собственного времени (самая известная - работа [7]) и учебников (например, [8]), не приводят ссылок на упомянутые работы Фока, они даже не упоминаются само имя учёного. Подобная «традиция» восходит, вероятно, к Девитту. Между тем анзац тепловой функции, предложенный Девиттом, давно известен из теории дифракции, а цепочка рекуррентных уравнений, получаемых при подстановке его в параболическое уравнение, суть не что иное, как уравнения переноса [9]. Хотя непонятно почему их иногда связывают с именем некого американского математика.

Безусловно, эти приёмы были известны В. А. Фоку, однако, многие авторы упоминают только «метод теплового ядра Швингера-Девитта». Совершенно необъяснимым является тот факт, что Фока как автора метода собственного времени (метода теплового ядра) не упоминают не только зарубежные учёные, но и некоторые соотечественники Владимира Александровича, например, [10]. Нелишне будет напомнить, что Юлиус Швингер в своей работе [4] на Фока сослался.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования России, гранты № РНП.2.1.1/1575 и АВЦП № 2.2.1.2/3177.

© А. А. Багаев, 2009

Формализм фонового поля. Введение в теорию внешнего (фонового) поля [11], по которому не проводится функциональное интегрирование при вычислении статсум-мы, позволяет наиболее просто решать задачи вычисления эффективных действий и наблюдать различные эффекты, выходящие за рамки теории возмущений.

В формализме фонового поля удобно изучать перенормировку асимптотически свободных теорий с одной константой связи, таких как поля Янга-Миллса или нелинейная о-модель. В качестве основного объекта исследования для подобных моделей предпочтительно использовать калибровочно-инвариантную форму производящего функционала R коэффициентных функций S'-матрицы, предложеную Л. Д. Фаддеевым [12], нежели более употребительный производящий функционал функций Грина. Для теории поля ф с действием £(ф) она выражается следующей формулой:

R(<pin, Фои*) = Z-1 f eiS^ Dф, (1)

в которой область интегрирования Х>Фо = {ф ^ фin, хо ^ —о, ф ^ фои^ х° ^ ^ +о}, асимптотические поля ф^ и фои1 - расходящаяся и сходящаяся волны решения фо уравнения Клейна-Гордона, соответственно, т. е.

ф«М = ф„(х) + фОи,(х) S a + «, e-k)|ko_dk (2)

разность ф1 := ф — фо удовлетворяет условиям излучения Фейнмана (иначе - ф1 е F):

ф1(х) = J b* elkx\ko=mdk + VinO^ x0 ^ —1ж

что означает отсутствие сходящейся волны при х0 ^—оо и

ф1(х)^У bk e—kX\ko =adk + Vout^^ x0 ^ +°

- отсутствует расходящаяся волна при х0 ^ +о; у in убывают при х ^ То, соответ-

out

ственно; Z - константа нормировки. Можно считать функционал (1) функцией амплитуд а*, а или классического решения фо. Логарифм производящего функционала R^o) обозначим W(фо).

Введём фоновое поле фрь с помощью следующего математического трюка:

Z-1 f р^^^ф = eiW(фо)

ф — фо eF

Z-1 J eiS(v+^ph)Dф = eiW(фрь), (3)

F

фрЬ e D<p0 • (4)

Из W(фо) = W(фрь) не следует равенство фо и фрь, поскольку фоновое поле и фо изначально разные. Поле фо имеет явное выражение (2), а фрь е VVo « {фо} © F.

Однако поскольку мера интегрирования ^ф инвариантна, интеграл (3) игнорирует Т-компоненту фph. Таким образом, существует произвол в определении фонового поля.

Разложение действия в функциональном интеграле (3) в окрестности ф^ порождает диаграммную технику, Ш_1_(фр^ = Б(фph) - классическое действие, а вершины и про-пагатор (рис. 1) также суть функционалы фонового поля. Для полиномиальной теории присутствуют вся последовательность вершин степени от 3 до д, где д - степень полинома (для исходной теории и для теории в формализме фонового поля вершины старшей степени совпадают). В случае неполиномиальной теории число вершин бесконечно.

J (х)

G(x,y) = K 1(x,y) Гз(х1,х2,хэ) Г4(Х1,Х2,Х3,Х4)

Рис. 1. Диаграммная техника в формализме фонового поля:

J — одночастичная вершина, О — пропагатор (функция Грина), Гп — вершины степени п; концы линий соответствуют аргументам функций

Если ставить чисто вычислительные задачи, можно игнорировать граничные условия (4), и вместо исходной теории (определяемой действием Б(ф)) рассматривать теорию с действием Б(ф) и внешним полем фр^ что реализовано, например, в [5, 7]. Как правило, формализм фонового поля понимается именно так.

Более интересна реализация формализма фонового поля, недавно предложенная Фаддеевым [13, 14]. Наличие правил Фейнмана новой теории позволяет устранить вышеупомянутый произвол в определении поля ф^ следующим образом. Мы требуем, чтобы фоновое поле удовлетворяло уравнениям

■ +

0,

(5)

где второе слагаемое - сумма вкладов всех одночастично-неприводимых диаграмм с одной внешней линией (например, рис. 2). Условия (5) называются квантовыми уравнениями движения. В нулевом порядке по Н квантовые уравнения движения совпадают с классическими уравнениями движения. Полную одночастичную вершину 3(х), стоящую в левой части (5) обычно называют «головастик» (англ. tadpole). Предполагается [13], что уравнения (5) однозначно определяют поле фр* по граничным условиям (4).

Рис. 2. Однопетлевая (а) и двухпетелевые (б) одночастично-неприводимые диаграммы с одной внешней линией для теории с й ^ 5

Если поле фр* удовлетворяет квантовым уравнениям движения, то логарифм производящего функционала Ш(ф^) не содержит вклада диаграммы «очки» (рис. 3), так как

а

последний равен нулю. Диаграмма «очки», очевидно, представляет собой сумму всех связных одночас-тично-приводимых вакуумных диаграмм, т. е. графов без внешних линий, которые остаются связными при разрыве любого одного ребра. Следовательно, результат вычисления функционального интеграла имеет вид

Щфрь) = W_i(cpph) - ^lndet A'(cpph) +Г(фрЬ), (6)

где последнее слагаемое - сумма вкладов всех одночастично-неприводимых вакуумных диаграмм. Согласно определению [15, 16], W(фрь) является эффективным действием.

Таким образом, в изложенном варианте формализма фонового поля задача нахождения S-матрицы сводится к вычислению эффективного действия. Это обстоятельство сокращает количество диаграмм в каждом порядке разложения по петлям.

Нелинейная сигма-модель. Общая нелинейная сигма-модель это теория поля X, определяемая следующим действием (см., например, [17]):

S=\J Gab(X)dilXadilXbdx, (7)

где Xа(х) - локальные координаты многообразия M; 1 ^ a ^ dimM; функции Gab(X) являются коэффициентами метрического тензора M.

Модель (7) используется как феноменологическая модель сильных взаимодействий, в частности, она предлагалась для описания мультиплета п-мезонов [18, 19]. Кроме этого, наша модель описывает двумерный голдстоуновский бозон [20, 21] и некоторые явления в статистической физике и физике конденсированного состояния, известны также её приложения к ферромагнетикам и спиновым решёточным моделям. Изучение о-модели интересно и в связи с проблемой инфракрасного поведения в теории Янга-Миллса [22].

Матричная о-модель или главное киральное поле - частный случай (7) с однородным пространством M = M/G (G - компактная группа Ли), когда M = G х G (т. е. M. = G). Она описывается действием

s = 7^2 Jtr {д^д^д^д) d2x, (8)

где поле g = д(х) - функция, принимающая значения в матричном представлении группы G, tr - матричный след, а ео - безразмерная константа связи.

Введём фоновое поле дрь(х). Поскольку динамическая переменная модели (8) является групповой, мы должны заменить аддитивное представление (3) мультипликативным [24]:

д(х) = Н(х)дрЪ(х), (9)

где мы интегрируем по «квантовому» полю h, при этом ln h е F, а ln gph удовлетворяет граничным условиям (4).

Подставим произведение (9) в подынтегральное выражение (8):

tr (dilg-1dilg) = - tr (d^gg-1d^gg-1) =

= — tr (d^gphgph d^gphgph +2<9^gphgphh 1d^h + h 1d^hh 1d^h).

Обозначим Яц = д^д^д-1 и Ь = Н ;д^Н формы Картана на алгебре 0 Ли группы С, с учётом чего получим

^ (д^д-1д^д) = - Яр(Я + Ь)2,

где символом Яр обозначена форма Киллинга на алгебре Ли 0 группы С, т. е. ^(- х •). Тогда действие (8) будет иметь вид

1 1 Гг т

Б(д) = — ^-і(Зрь) - тр2 2ЙР (К11Ь^1д11Ь) + Бр {Ы1д^кЫ1д^Ь) <12х, (10)

е0 2е0 О 1 -1

где классическое действие

ї¥_1{дїіЬ) = -1-І^(КІІКу)<12х. (И)

Далее, совершим замену переменной

Н(х) = еЄоф(х), ф(х) Є 0

и перепишем действие (10) через поле ф, для чего используем известную формулу дифференцирования экспоненты

еп г еп

н~%к = 53 ^ [ • • • [\Ф, ф],..., ф] = 53 ^ ВД”) :

п=1 ' ^ ^ п=1 '

Є(д) = ~2 ІУ-гід^ + ^^ЯпідрЬ,?*),

Єо п=1

где

^підрЬт^) п!/

^і(дрь, Н) = - ^ Яр (ВД)Я) С2х,

л п-1

Бр (ВДФ”)Д,) + - 53 с™ Яр (ВД-т)ВДт))

т=1

- функционалы п-го порядка по степеням поля ф; = п!/(т!(п-т)!) - биномиальные

коэффициенты.

Перенормировка в формализме фонового поля. Вычисление эффективного действия в формализме фонового поля даёт

Ш(дрЬ) = 1 Ш^(дрЬ) +Ш0(дрЬ) + е^д^) + ^4П^п(дРъ), (12)

ео п>1

где Шп(дрь) - вклады (п + 1)-петлевых одночастично-неприводимых вакуумных диаграмм.

Исследования расходимостей в подходе фонового поля [7, 13, 14, 23] приводят к следующей структуре (12):

Шс(дрЬ) = Со Ш_1 + Шс(дрЬ),

Ш1(дрь) = С1 Ш_1 + Ш1(дрь),

п штук

W2(gph) = C2W-1 + D1W1 (gph) + W2(gph), Ws(gph) = C3W-1 + D2D1W1 (gph) + W2(gph)) + W3 (gph),

в старших порядках. Коэффициенты Cn и Dn - расходящиеся константы, а за Wn(gph) обозначены конечные части. В трёхпетлевом и старших приближениях структура расходимостей более сложная, чем в одно- и двухпетлевом. Однако во всех порядках петлевого разложения эффективное действие содержит расходящиеся слагаемые, пропорциональные Wp 1. Это основной результат применения формализма фонового поля к задаче перенормировки.

Все расходящиеся слагаемые (12) комбинируются в множитель при Wp 1 - «бегущую константу связи» (англ. running coupling constant):

^(ffph) — ( — + Со + Cie2 + ... + Cne0" + ... ) W_i(<?ph)

1

р-

ео

Из перенормируемости и асимптотической свободы [24] следует, что можно выбрать ео стремящейся к нулю при снятии регуляризации таким образом, что этот ряд окажется конечным и сойдётся к перенормированной константе связи ег. Расходящиеся слагаемые старших петель (п ^ 2) комбинируются в степени е^, следовательно, эффективное действие принимает вид

^ (Зрь) = — ^-^Зрь) + И/о(й|рь) + 1 (<7Рь) + • • •,

ег

где ^п(дрь) - некоторые конечные функционалы.

В физике наиболее часто применяются две схемы регуляризации - регуляризация по импульсу и по размерности. «Бегущая константа связи» имеет разный вид в различных регуляризациях:

1 1 , Л Л „

е2 (•„■) - е^ТлТ + С° ц + С1 ц 6 + '' '

еМС\ц/ е к11; ц ц

в регуляризации с импульсом обрезания Л (ц - точка нормировки) и

1 _ 1 1^0 _Е Ь1 _2е

еБкЫ е2(е) е

в размерной регуляризации, где е - отклонение размерности от 2 (ц - параметр с размерностью импульса). В старших петлях ещё имеются слагаемые, пропорциональные (1пЛ/ц)п_1 или е1_п, соответственно. Коэффициенты ао и Ьо отрицательны вследствие асимптотической свободы теории (10).

Перенормированная конечная теория должна быть независимой от выбора регуляризации, значит, должно выполняться

Ит емс(Ц) = Ит евя(Ц)-

Л^+^ е\0

Иными словами, должны быть равны в-функции, вычисленные в двух схемах регуляризации

Рмс (е2) = Рбя (е2) • (13)

Исходя из уравнения Гелл-Манна-Лоу, в-функция может быть представлена рядом

йе2(Л)

в(е2) =

сПп —

ц

— в1е0 + в2е0 + О (е0)

поэтому равенство (13) будет выполняться при условии одинаковости всех коэффициентов этого ряда. Про первые два коэффициента известно, что Р1 — с0, в2 — с\. (Для трёхпетлевого и старших порядков коэффициенты в-функции выглядят сложнее [13, 25].) Используя тривиальные соотношения

ц-

сПп — е

1

ц

-2е

е=0

е

— 2,

е=0

заключаем, что в1 — Ь0, в2

261. Тем самым выяснена связь со — Ьо, С1 — 261

(14)

между коэффициентами рядов «бегущей константы связи» в двух регуляризациях. Таким образом однопетлевые коэффициенты при расходящихся множителях в бесконечной части эффективного действия совпадают, а двухпетлевые различаются вдвое.

Установление соотношений (14) достаточно для доказательства независимости теории от схемы регуляризации, поскольку мы сравниваем два универсальных коэффициента в-функции. Трёхпетлевой и старшие коэффициенты определены неоднозначно: при преобразовании «бегущей константы связи»

е2(Л) ^ е>2(Л) — ( 1+ Аке2Й(Лм е2(Л)

к=1

коэффициенты в-функции изменяются следующим образом:

в1 — в1; в2 — в2;

в3 — в3 _ А1в2 + 3А2в1;

е

Выражения для в0 и старших коэффициентов весьма громоздкие и здесь не приводятся. Это общее свойство разложения решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в окрестности особой точки (у нас е2 — 0). Поэтому проверка совпадения в-функций в трёх и более петлях не является необходимой задачей.

Вычисления в однопетлевом приближении. Однопетлевое слагаемое эффективного действия выражается через определитель оператора К:

^о(Зрь) = ~т2 1п<1е^(йгрЬ). (15)

Для дальнейших вычислений перейдём в присоединённое представление алгебры Ли 0, т. е. будем считать, что ф — фАЬА; генераторы ЬА удовлетворяют соотношениям

Зр(гАгв) = -^ьАВ

[іА,іВ ] = / АВС і°,

где, [•, •] - ли-алгебраический коммутатор, а /АВС - структурные константы д. Оператор К изучаемой модели имеет вид

КАВ(дрЬ) = і (дЧАВ - їАКВП^с\) = КАВ - \їАКВТ^д^. (16)

Бесконечная часть детерминанта может быть успешно вычислена с помощью метода собственного времени Фока. Основной объект этого метода - фундаментальное решение оператора К, т. е. решение 0К(х,у^) задачи Коши для параболического уравнения

КАС{дръ)ЪкВ{х,у,в) = -Ц- е£в(ж,у,в), ^

0АВ (х, у, 0) = 6(х — у)ЬАВ.

Для представления правой части (15) воспользуемся аналогией с известной формулой анализа

{ е Ах — е

сіх = — 1п —, А, В > 0, В

которая примет вид

ds

\ndet К(дръ)—\ndet Ко = ^ — J (0^(х, х, з) — х, з)) <і2х.

о

Вклад первой экспоненты - константа, которая не входит в эффективное действие. Следовательно, можно считать, что

1пс^ К(<7рь) = — I —I 0^-А(ж, ж, в)й2ж. (18)

о

Для вычисления бесконечной части детерминанта необходимо выделить расходящиеся части интеграла (18). Задача (17) с произвольным К в (16) не может быть решена явно. Тем не менее, возможно построить разложение 0к (х,у, в) в окрестности нуля:

6КВ (х, У, в) — 0ко (х - У,э)^2 а^Б (х, У)sN, (19)

N=0

где 0Ко (х, в) - решение задачи Коши для свободной теории:

д

О0Ко (х, в) = — вко (х, в),

0Ко (х, 0) — 6(х),

которая легко решается методом Фурье, в результате чего находится

а ( \ 1 - (х-«>2

еКо{х,в) = — е 4, .

и

Коэффициенты разложения а^ (х,у) - гладкие функции, при этом

аЛВ (х,х) — ЬЛВ. (20)

Подставим (19) в (18) и удержим только слагаемые, которые расходятся в нуле

(+ТО +ТО \

J аАА(х,х)с12х J — + J аАА{х,х)£'х J —| + ... .

о о /

Первое слагаемое - константа, поэтому остаётся

lndet К(<7рь) = — — J аАА{х1х)дгх J —. (21)

о

Найти аЛЛ(х,х) можно из цепочки рекуррентных уравнений, получающихся подстановкой анзаца (19) в (17):

—(хц- Уц)мцЛС а!?В(х,у) — 0; (22)

-(хц - Уц)МцЛСа^+1(х,у) +КЛСа%В(х,у) — N + 1)а^1(х,у), N > 1, (23)

где оператор

МАВ = дрЬАВ - 1 /АКВН«(х)

является аналогом ковариантной производной. Уравнение (22) является уравнением параллельного переноса, его решение ао называется голономией. Уравнения (23) - это просто уравнения переноса, известные из теории дифракции.

Используя (23) для N — 1, получим

аЛВ(х,у) — -(хц - Уц)МцЛСа<с;в(х,у) + КЛСа<СВ(х,у).

Положим у — х; так как коэффициенты aN - гладкие функции своих аргументов, первое слагаемое исчезает и остаётся

аЛВ (х,х) — К ЛС (х)аСЛ(х,у)|у=ж.

Для удобства вместо (16) мы можем вычислять детерминант оператора 2К:

аЛВ(х,х) — д2аЛВ(х,У)1У=х - !ЛКСкК(х)дцаСВ(х,У)|у=х. (24)

Вычислим значение первой производной от аЛВ на диагонали. Для этого продифференцируем тождество (22):

(хр ~Ур) (дра£в(х,у) - ^ /АКСПК(х)а%в(х,у)^

д

V

= дуаАВ(х,у) - ^ fAKCR^(x)aoB(x,y) + (хр - ур) (^дудраАВ (х, у) -

-^1АКСду(Ир(х)а%в(х,у))^=0. (25)

191

Положим у — х и найдём, используя (20):

1

дуа£в(х,у)\у=х = - /АКСК^{х)а^в{х,у) = - /АКВК^{х). (26)

Теперь сосчитаем выражение дцдуа^В (х,у)| = , для чего продифференцируем (25):

дц

1у=х'

дуаАВ(х,у) - ^ fAKGRy(x)a%в(x/y) + (хр - ур) ( дудраАВ(х,у) -

1

дцдуа^^В (х,у) -

~ ^ /АК°д\1 {Ку {х)а%в (х,у)) + дуд[1а£в(х,у) -

~ 7} /АКСду (Н* (х)а%в(х,у)) + (хр -ур) ^Лдра^ (х,у) -

~ \ 1АКСд11ду (ДК(х)а%в(х,у))^ = 0.

Приведём подобные слагаемые и возьмём значение на диагонали:

1

д]1дуа^в{х,у) \у=х = - /Акс {д]1(К^{х)а^в{х,у)) +

+ду (К* (х)а%в (х,у))\ = - (/Аквд[1цк(х)+/Аквдуцк(х)+

/ у=х 4 V

+ /ЛКС кК (х)дц аСВ(х,у)|у=х + /ЛКС кК (х)дУ аСВ(х,у)1у=^ .

Теперь воспользуемся (26):

д11дуа^в(х,у) | = ^ /Акв (дцД^ (ж) + дуД^(ж)) +

4 л \^ц^

+ ^ /Акс/сьв (К^(х)К^(х) + (ж)й£ (ж)) . (27)

Подставим (26) и (27) при ц — V, т. е.

«ЧАг(*,»)|„™ = \ /"'«(*) + 11АКС1СЬБв^ЫвЦ„

в (24):

аАВ{х,х) = )- $АквдрК^{х) + ^ /Акс/сьвЦХ(х)Н^(х) -

- 5 1АКС1СКВ^Ш^Ы = 1 /Л,ГЧ<М - 5 (28)

Теперь возьмём матричный след от последней формулы с использованием соотношения

/ ЛВС / СВА. — ^ (С)6ВС,

где {С(С)ЬВС}ВС - матрица оператора Казимира алгебры Ли 0 в присоединённом представлении. Будем иметь

а?А{х,х) = \ /АААам Д* (ж) - ^ /ААС/СЬАД* (ж)й£(ж) = ^ С{С)ПА{х)ПА{х).

Регуляризуя логарифмически расходящийся интеграл в (21) сверху и снизу, запишем результат вычисления однопетлевой бесконечной части эффективного действия

^о(Зрь) =\У^(дрЬ)Ы-.

4п ц

Вычисления в двухпетлевом приближении. После применения теоремы Вика получится сумма вкладов следующих диаграмм «восьмёрка» и «рыбка»:

Wl — ео(^то +

+

(29)

Это выражение разбивается на пять групп подобных слагаемых

+ W(2') + , ^е — wе4) + wе5\

где

— __ ^АВСуВМДг

00 48

дцGMN (х^)^ СВС(х,х) +

+ дцG (х,у)\ = С (x,x) + дцG (x,y)|y=xG (х,х) Е (х)й х; (30)

=____{АВС^ВОЕ

48

+ дцGDCО^у^^^ЛЕ(x,y)|y=x ^2х (31) и13) = /Авс/ВОе I д^А{х^ у)Х\у=СЕС(х, х)с12х. (32)

’ = 258

/ЛкС/^Е/лыэ/ШЕ 11 й2хй2уКЛ(х)КВ(у) х

х дцGMN(x, у) дvGEF(x,y)GCD(x,y)+дцGMN(х,у) дvGED(x,y)GCF(х,у) ; (33)

Wc

(5)

288

/ЛКС/кМЕ/лыэ/ь^11 й2хй2уКЛ(х)КВ(у) х

дцGMF (х, у^СЭ(х, у^Е* (х, у) дvдцGMD(x, у^ЕЕ (х, у№С* (х, у) дv +

+ 2дцGMF(х, y)GED(x, у^С^(х, у)%} . (34)

1

Для вычисления (30)—(34) используем разложение функции Грина в окрестности диагонали:

оо

САВ (х,у) =53 Рм(х - у)а№ (х,у)

N=0

ро(х - у)а^в (х,у)+рі(х - у)аАВ (х,у) + ¥Ав (х,у), (35)

где в множителях Рм (х) заложена информация о поведении функции Грина в окрестности диагонали у = х. Функция ро(х) - старшая сингулярность, рі(х) непрерывна в нуле, [рі] = [ро] + 2. За ¥Ав (х,у) мы обозначили регулярную на диагонали часть Оав(х, у), которая представляет собой нелокальный функционал от фонового поля и нетривиально зависит от размерного параметра ц.

Все слагаемые (30)-(34) имеют следующую структуру:

где подразумевается тензорное произведение функций О и К как матриц с индексами присоединённого представления. Подставим (35) в (36)—(40) и сведём в табл. 1 коэффициенты при расходящихся комбинациях ро и р\.

Чтобы найти явное выражение ро и рх воспользуемся представлением функции Грина в методе собственного времени Фока:

Этот интеграл расходится, необходима регуляризация. Чтобы его вычислить, заметим:

(36)

(37)

(38)

дцС(х, у) — <8> С(х, у) ® С(х, у) ® ДДх) ® Я^(у)д2хд2у, (39)

д^О(х, у) ® С(х, у) — ® С(х, у) ® ДДх) ® Е^(у)д2хд2у, (40)

//

и

(41)

о

Проинтегрируем множители перед гладкими коэффициентами. Для ро имеем

+ оо

о

о

о

х-

.2

Таблица 1

Расходящиеся множители и соответствующие им комбинации гладких

коэффициентов

№ Множитель и42)

1 ду.Ро{у)ду.ро{у)\у=0 - ао ® ао -

2 ду.Ро{у) 9цро(г/)|ц=0 - - ао ® ао

3 ду.Ро{у) ду. ч=0 - - ао® Р

4 ду.Ро{у)ро{у)\у=0 а0 ® а0 а0 ® 9цао + д^ао ® а0 (ао 9ц - Э^ао) ® а0

5 дцРо(у)\у=0 ао ® Г ао ® ду,Е + ® а0 (ао - дца0^ ® Р

6 О Ю д^ао ® а0 дфо ® д^ао д^а0 ® а0

7 ду.Р1{у) 9цро(г/)|ч=0 - - ах ® ао

8 ду.Ро{у)ду.р1{у)\у=0 - ао ® ах + ах ® ао -

^Б)

9 ^ дуРо{у) дур1{у)й2у ао ® ао ® ао -

10 дур0{у)р0{у) дуро{у)(12у - ао ® ао ® ао

Заменим верхний предел внутреннего интеграла на ц-2, где ц - параметр с размерностью импульса. После этого интегралы можно переставить. Теперь интеграл по переменной в можно вычислить:

[ <1в 4

€ 43 ~~2 =

] в2 а

о

следовательно,

Р°(Ж) = _4зг1п^2ж2' ('42')

Теперь вычислим множитель р^ж):

+ 00 1 Г X2

»1 (ж) = --- е 4я (1з.

4п У

о

Поступая аналогично предыдущему вычислению, получаем

О ^ / + ^>

е“4= ^ / / ( / е-4?фЬа I ^ = “ / 1пц2айа:

оо

1 - 2„ 1

— - а (1п[12а — 1)

т2

ж2 (1п ц2ж2 — 1) + ц 2

Слагаемое-константа ц 2 проявится только при исследовании старших порядков, его мы выбросим из рассмотрения. Итого имеем:

р1(х) = —ж2 [1пц2ж2 - 1] . (43)

16п

Проведём то же самое вычисление с учётом того, что размерность пространства координат равна 2 — е. Фундаментальное решение для уравнения теплопроводности в ^-мерном пространстве имеет вид

1 _ (х-у\

Следовательно,

ро(х) = / 8 Зе 4» Лз.

о

При е \ 0 интеграл расходится. Регуляризуем его следующим образом: сначала вычислим интеграл, формально сведя его к гамма-функции Эйлера, а затем, потребуем, чтобы в пределе е \ 0 функция Ро(ж) совпадала с (42). При этом появится параметр регуляризации:

[ а — 7 \Х\2~а [ а 1 7 \Х\2~а [ а 2 г 7

в-2е-48 <1$ = ' ' (1в = Чт-Г ■ ^~2е~г А =

41—й/2 22~л

о

2— \2 ; 22-Л \ 2

Рассмотрим поведение комбинации Г (-§) М* при малых е:

г (-1) = г (-1) '‘"М*!)' = Л г (‘ -1) ,ч.

22 = — |1~е — 2|1~е 1п [г|ж| = — |1~е — 1п|12ж2. (45)

е\о е е

Интеграл (44) будет давать выражение, совпадающее с (42), если из него вычесть первое слагаемое (45), таким образом

= Ь {е 1*“*+”*/2г(-|) М'} (46)

Аналогично получается и выражение для Ро(ж) (степень в в интеграле равна 1—^/2):

>'<■*) = Ш {-^1‘- + »'/2г (-1-|)ИИ'}. (47)

Перейдём к вычислениям бесконечной части согласно табл. 1.

Коэффициенты при первом и втором множителях - константы. Они не представляют интереса.

Третий множитель даёт нетривиальный квадратично-расходящийся вклад

Г2(дРь) = J РАА(х,х)(12X ■ %>0(у) 9ц|у=0 (48)

в регуляризации с импульсом обрезания. В размерной регуляризации правая часть (48) равна нулю, поскольку все расходимости - это полюсы по е, которые во второй производной (46) отсутствуют.

Четвёртое и пятое слагаемые исчезают в силу нечётности соответствующих множителей в обеих схемах регуляризации.

Запишем остальные вклады:

1

ЛВС гВОЕ

Го(зРь) = — ГВЧ

омы

дца0

мы

(ж,у)\у=ъЕС +

+ дц аМЕ(ж,у)\ЬЫС + дц аМС(ж,у)\ЬЫЕ К(ж) +

*ыс

мС

±ЫЕ

У=т

+

дца°°Е(ж,у)\у=тдцаЛ<С(ж,у)\у=т + дца°°С(ж,у)\у=тдцаЛЕ(ж, у)

у=т ^ 0 4 ' ^ ' у^^Т' 0 4 ' и/\у=т

+ д11аЕА(х,у)\\у^хЬЕС}£х+^ ^КС^МЕ^ЬЕ^МЕ ^[ЬММЬЕЕЬСЕ +

+ ьмыьЕОьС'Р^ дцр0(у)%р1(у)ё,2у + [ЬмрЬСоЬЕЫ + ЬМоЬЕРЬсы +

+ 2ЬМРЬЕОЬСЫ] ! дцр0(у)р0(у) (дуР0(у)^^^ ! ^(у)^(у)й2ж —

~ ^ /АВС/ВЕЕ I { [ЬЕЕаАС(х, х) + аЕЕ(х, х)ЬАС +

+ ЬОСа^(ж, ж) + ао>С(ж, ж)ЬЛЕ] • дцР0(у)дцРх(у) \у=0 +

+ аоЛ(ж,ж)ЬЕС • дцрх(у) —цР0(у)\у=0} $ж. (49)

В регуляризации обрезанием, т. е. в пространстве-времени размерности 2 мы имеем

д2р1(х) = -ро(х) + j д11дуро(у)р1(у)г12у = р20(0) б^,

J д11ро(у)дуро(у)ро(у)^у = ^ Ро(0) б^,

д11ро(у)д11р!(у)\у=0 = ^ р0(0), где остаётся единственный расходящийся множитель, который регуляризуется как

1 , л

1_

В размерной регуляризации р§(0) = ^ ^г~ и

д р 1(ж) = -ро(х) + —;

/1 ц 2е

д1Лро(у)р1(у)(12у =

-2е

д^Ро{у)дур0{у)р0{у)<1 у =

дцР0(у)дцР1(у) \у=0 = °.

1 1

е2 2е

-'ц^

е

Комбинации гладких коэффициентов найдём, используя (26)—(28) и очевидный факт

ао(х,у) ду\у=х = -д^а0{х,у)\у=х,

а также соотношение

В итоге (49) даёт

<г„(гр„)}мс = -^и.--,(гр„)1п£

<Го(9Р1.»ш> = ~^§г и'-1(9рк)-^2'

8

Двухпетлевая бесконечная часть эффективного действия в регуляризации по импульсу равна

<^(Зрь)>мс = Г2(зРь) - ^ 1гЛ

Заметим, что

IАВМIМОС! ОВ»(х, х)КАьСьс(х, у) | у=хс?х = с +

+ Т2С,(С) /рАА(х’х)(]2х ’ 9»Ро(у) д»\у=0 = с + Т^дф),

где с - расходящаяся константа. Интеграл в левой части не содержит других расходимостей, кроме квадратичных. Если произвести переопределение действия (введение новой вершины),

("'Оме ~ ("'Оме + ^21АВМ1МОС / Сво(х,х)КаьСьс(х,у)\у=х,

то бесконечная часть нового двухпетлевого вклада в эффективное действие не будет содержать иных расходимостей, кроме как логарифмических [28].

В итоге получаем окончательные выражения для двух рассматриваемых схем регуляризации:

<и/;(9р..»„о = ~^г и'-1(гр|,)1.^,

Перенормировка «головастика». Применение формализма фонового поля, использующего неклассическое дрь предоставляет помимо эффективного действия ещё один объект для изучения - полную вершину 5 или «головастик», которая фигурирует в левой части квантовых уравнений движения (5).

Вычислим бесконечную часть «головастика» в однопетлевом приближении, т. е.

л$А(х) = —.1{х) + ео-^А(х) + ... . (50)

ео

и

Классическая вершинная функция имеет вид

ЛА(х) = і д,ПА(х).

Классические уравнения движения означают .1 (х) = 0, что приводит нас к уравнениям главного кирального поля [29]:

д дрЬ _ д^дрЬдрЬ д^дрЬ = 0,

которые получаются из вариационного принципа для функционала (8).

Применим теорему Вика к (3), после чего возьмём вариационную производную по ф. В итоге получим

3?(х) = -^(1АВЕ1ЕВСд11Овс(х,у)\у=хНЕ(х) +

+ 1АОЕ 1ЕВСд^Овс (х,у)\у=х Е?(х) - IАВЕ 1всод» (Свс (х,х)Я£ (х))У (51)

Для вычисления расходящейся части функции Грина Оав (х,у) можно воспользоваться непосредственно формулой (41):

I у аАВ{х,у) + I е~{~^<18 аАВ{х,у) + . .. | . (52)

о о

Вычислим значение функции Грина на диагонали:

(+ТО

21п — ЪАВ + ! с1в аАВ (ж, х) + .. . | .

Второе слагаемое не является расходящимся при больших импульсах, следовательно

Олв(х,х) = — 1п — ЬАВ. 2п [х

Продифференцируем (52):

(+ТО

^ (ж^ -уу)а£в{х,у) +

о

Г (х-в)2 с1в Ая , 1 [ (х-в)2 с1в . Ая .

+ е 4, — д^а0 (х,у)-~ е 4, (х,у) +

оо

-\-Ж

+ I е~( ^ с1в д^аАВ (ж, у) + ... | .

После взятия значения на диагонали третье слагаемое обращается в ноль, а четвёртое не даёт вклада в расходящуюся часть. Первое слагаемое можно регуляризовать

умножением подынтегральной функции на е е , где е ^ 0; такая регуляризация обращается в ноль на диагонали. Остаётся второе слагаемое, которое по (26) равно

д^С

1

1у=х 4л

Подставляя найденное в (51), получим

Ав(х,у) I = /Акв (х)\п—.

V ’г*/' \у = х л* •> и V ;

А

Л 1(х)

1

24л;

1 ,вкс улвв^вс + /.41,*/Ег>С) ^ (1)д» (*) _

- IАВЕIЕВ°дгНР(х)

1п —.

и

Первое слагаемое равно нулю как свёртка симметричного тензора Ни(х) <8> Ни(х) с антисимметричными структурными константами. Получается [30]:

^(х) = ~С(С)1А(х)\п±.

12п

и

Выводы. Мы вычислили расходящиеся части эффективного действия в двухпетлевом приближении в регуляризации с импульсом обрезания:

W '(дРъ)

1

о

С (С) Л 2

—^ 1п-----------------е20

4п и

С2(С) , Л ~32^~ Ый + •••

и в размерной регуляризации

W '(дРъ)

о

С{С) ц-4л е

С2 {С) 64л2

-2е

+

Ж-1(дрь)

Ж-1(дрь).

(53)

Очевидно, что соотношение (14) выполняется, следовательно, в-функция не зависит от схемы регуляризации.

Этот факт является весьма важным для исследования асимптотически свободных теорий, поскольку перенормированные теории для нелинейной о-модели не зависят от способа регуляризации. Следовательно, мы имеем возможность применять формальную размерную регуляризацию для вычислений перенормировок в этой модели. Полученные результаты оказываются физически верными, поскольку проверено их совпадение с ответами в интуитивно понятной схеме регуляризации с импульсом обрезания, в терминах которой формулируются понятия ренорм-группы и ренорм-ин-вариантности.

Несмотря на формальный характер размерной регуляризации, вычисления с ней оказываются проще, нежели в универсальной регуляризации с импульсом обрезания. Трудности в последней схеме возникают из-за того, что она не сохраняет калибровочную инвариантность теории. В результате этого появляются квадратичные расходимости. Однако в нашем случае этих неприятностей удаётся избежать, и квадратичная расходимость устраняется калибровочно-инвариантным образом. Для калибровочных полей разобраться с наличием квадратичных расходимостей в регуляризации с импульсом обрезания ещё предстоит.

Совпадение результатов использования двух регуляризаций имеет ещё одно значение. Область использования размерной регуляризации ограничена: она не применима к теориям, содержащим киральные фермионы, например, к Стандартной модели

2

1

£

и

2

е

о

2

£

оо-

Рис. 4- Диаграммы, дающие вклад в эффективное действие в регуляризации по импульсу (МО) и размерной регуляризации (БЯ):

1 —5 — номера слагаемых (30)—(34); штрихи на линиях обозначают производные функций Грина

или к суперсимметричным теориям. Применение регуляризации с импульсом обрезания с учётом некоторых предписаний, касающихся удаления неинвариантных членов, может упростить вычисления с данными моделями.

Сама р-функция матричной о-модели имеет вид

в(е2

С(С) 4 С2(С) 6

е------——тг- е

4п

32п2

+ о{?).

(54)

Однопетлевой коэффициент в-функции модели (8) хорошо известен (например, [24]); двухпетлевой коэффициент впервые был получен автором [26-28]. Проверено его совпадение с некоторыми результатами, полученными другими исследователями.

Во-первых, показано совпадение в-функций Би(2)-матричной о-модели (8) и 0(4)-симметричной о-модели [31]:

Б=± / (^п’ 5МП) (Рх-> (п> п) = 1, п е к4.

Во-вторых, установлено, что в-функция общей сигма-модели (7), когда М = = Би(Ы) [32, 33] в асимптотическом режиме N ^ ж даёт формулу, вычисленную для матричной о-модели в случае О = Би(Ы).

Наконец, обнаружено, что (54) совпадает с выражением для инвариантного заряда спиновой цепочки во внешнем магнитном поле [34, формула (5.9)], полученным в результате анализа Би(2) о-модели с помощью анзаца Бете.

Отметим, что в разных схемах регуляризации вклад в в-функцию дают разные диаграммы (рис. 4).

«Головастик» в однопетлевом приближении имеет вид

УА(х)

1 С (О) л

-----ео_Го ------------\- ■ ■ ■

ео 12Л [1

1 А(х).

(55)

По определению, в древесном приближении квантовые уравнения движения являются условиями стационарности эффективного действия, т. е.

еод„

5

Сравнивая (53) и (55), наблюдаем, что уже в однопетлевом приближении указанная закономерность отсутствует.

Аналогичное явление имеет место в теории Янга-Миллса. По-видимому, это общее свойство всех асимптотически свободных теорий. В других теориях поля, например, модели вш-Гордона и ф3 квантовые уравнения движения доставляют экстремум эффективному действию. Однако в случае Янга-Миллса можно добиться восстановления совпадения перенормировок бесконечных частей введением дополнительного нормировочного множителя. Данное действие возможно благодаря однородности квантовых уравнений движения. Определено [35], что этот дополнительный фактор является известной перенормировкой волновой функции (т. е. калибровочного поля), который комбинируется из двух перенормировочных множителей действия поля Янга-Миллса (константы связи и действия в целом) [36]. Для рассматриваемой модели вычислен [30] аналогичный дополнительный множитель:

но его происхождение пока не установлено.

Заключение. Введение формализма фонового поля уменьшает общее количество петлевых диаграмм по сравнению с другими способами представления функционального интеграла теории поля. При этом появляются значительные вычислительные трудности, поскольку возникает необходимость решения дифференциальных уравнений достаточно общего вида. Решение этих уравнений не может быть представлено по теории возмущений в виду отсутствия параметра разложения - фоновое поле не предполагается малым. Единственно возможным средством анализа получаемых объектов является метод собственного времени. Он помогает сократить суммарный объём вычислений и приводит к тем же результатам, которые были получены применением обычной квантовополевой теории возмущений. Но только теорией возмущений данный метод, разумеется, не ограничивается.

Таким образом, формализм фонового поля, будучи одним из наиболее передовых приёмов квантовой теории, базируется на методе собственного времени Фока. Именно это подчеркнул в своём выступлении на юбилейном семинаре академик Людвиг Дмитриевич Фаддеев, упомянув в числе основных заслуг Владимира Александровича в области квантовой теории формализм фонового поля.

Благодарю академика Л. Д. Фаддеева за чуткое научное руководство и ценные критические замечания.

Литература

1. Фок В. А. Собственное время в классической и квантовой механике // Изв. АН СССР. 1937. № 4-5. С. 551-568.

2. Фок В. А. Работы по квантовой теории поля. Л., 1957. 160 с.

3. Новожилов Ю. В., Новожилов В. Ю. Владимир Александрович Фок. (К столетию со дня рождения) // Физ. элементарн. част. атом. ядра. 2000. Т. 31. Вып. 1. С. 3-46.

4. Schwinger J. On gauge invariance and vacuum polarization // Phys. Rev. 1951. Vol. 82. N 5. 664-679.

5. Девитт Б. С. Динамическая теория групп и полей / пер. с англ. М., 1987. 288 с.

6. Фок В. А. Проблемы диффракции и распространения электромагнитных волн. М., 1970.

520 с.

7. Jack I., Osborn H. Two-loop background field calculations for arbitrary background fields // Nucl. Phys. (B). 1982. Vol. 207. P. 474-504.

8. Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс / пер. с англ. М., 1984. 336 с.

9. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач. М., 1972. 456 с.

10. Gusev Yu. V. Heat kernel expansion in the covariant perturbation theory // 0811.1063 [hep-th]. 33 p.

11. DeWitt B. S. Quantum theory of gravity. II. The manifestly covariant theory // Phys. Rev. 1967. Vol. 162. N 5. P. 1195-1239.

12. Faddeev L. D. Inroduction to the functional methods // Methods in field theory (Les Houches Session XXVIII) / ed. by R. Balian, J. Zinn-Justin, Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1976. P. 3-40.

13. Фаддеев Л. Д. Замечания о расходимостях и размерной трансмутации в теории Янга-Миллса // Теор. мат. физика. 2006. Т. 148. № 1. С. 133-142.

14. Faddeev L. Mass in quantum Yang-Mills theory (comment on Clay Millennium problem) // Bull. Braz. Math. Soc. 2004. Vol. 33. N 2. P. 1-12.

15. Коулмен С. Тайная симметрия: введение в теорию спонтанного нарушения симметрии и калибровочных полей // Квантовая теория калибровочных полей: сб. статей / пер. с англ. М., 1977. С. 23-119.

16. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля: в 2 т. / пер. с англ. Т. 1. М., 1984. 448 с.

17. Цвелик А. М. Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния / пер. с англ. М., 2002. 320 с.

18. Weinberg S. Dynamical approach to current algebra // Phys. Rev. Lett. 1967. Vol. 18. N 5. P. 188-191.

19. Meetz K. Realization of the chiral symmetry in a curved isotopic space // J. Math. Phys. 1969. Vol. 10. N 4. P. 589-593.

20. Polyakov A. M. Interaction of Goldstone particles in two dimensions. Applications to ferro-magnets and massive Yang-Mills fields // Phys. Lett. (B). 1975. Vol. 59. N 1. P. 79-81.

21. Polyakov A., Wiegmann P. B. Theory of nonabelian Goldstone bosons in two dimensions // Phys. Lett. (B). 1983. Vol. 131. N 1-3. P. 121-126.

22. Семёнов-Тян-Шанский М. А., Фаддеев Л. Д. К теории нелинейных киральных полей // Вестн. ЛГУ. Сер.: Матем. механ. астрон. 1977. Т. 3. С. 81-88.

23. Abbott L. F. The background field method beyond one loop // Nucl. Phys. (B). 1982. Vol. 185. N 1. P. 189-203.

24. Поляков А. М. Калибровочные поля и струны / пер. с англ. Ижевск, 1999. 312 с.

25. Bornsen J.-P., van de Ven A. E. M. Three-loop Yang-Mills в-function via the covariant background field method // Nucl. Phys. (B). 2003. Vol. 657. P. 257-303.

26. Багаев А. А. Применение формализма фонового поля к исследованию матричной 0-модели // Тр. молодёжн. научн. конф. «Физика и прогресс». СПб., 2007. C. 84-88.

27. Он же. Приложение метода фонового поля к перенормировке нелинейной сигма-модели: дис. ... канд. физ.-мат. наук. СПб., 2008. 135 с.

28. Он же. Двухпетлевые вычисления эффективного действия матричной 0-модели в формализме фонового поля // Теор. мат. физика. 2008. Т. 154. № 2. С. 354-362.

29. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М., 1986. 528 с.

30. Багаев А. А. Замечание о перенормировке квантовых уравнений движения для матричной сигма-модели // Записки научн. семин. ПОМИ РАН. 2007. T. 347. С. 30-33.

31. Hikami S., Brezen E. Three-loop calculations in the two dimensional non-linear 0-model // J. Phys. (A). 1976. Vol. 11. N 6. P. 1141-1150.

32. Friedan D. Nonlinear models in 2 + e dimensions // Phys. Rev. Lett. 1980. Vol. 45. N 13. P. 1057-1059.

33. Idem. Nonlinear models in 2 + є dimensions II Ann. Phys. 19S5. Vol. 163. P. 31S-419.

34. Faddeev L. D., Reshetikhin N. Yu. Integrability of the principal chiral field model in 1 + 1 dimension II Ibid. 19S6. Vol. 167. P. 227-256.

35. Багаев А. А. Перенормировка квантовых уравнений движения для полей Янга-Миллса в формализме фонового поля II Записки научн. семин. ПОМИ РАН. 2005. Т. 325. С. 5-12; Bagaev A. A. Renormalization of the quantum equation of motion for Yang-Mills fields in the background formalism II J. Math. Sci. 2006. Vol. 13S. N 3. P. 5631-5635.

36. Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М., 197S. 240 с.

Принято к публикации І июня 2009 г.