Метод сглаживания в задаче расчета терморасщепления графита Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:536.2 К. Г. Бахтин, В. Ю. Ольшанский, А. В. Серебряков

МЕТОД СГЛАЖИВАНИЯ В ЗАДАЧЕ РАСЧЁТА ТЕРМОРАСЩЕПЛЕНИЯ ГРАФИТА

Для описания процесса получения пенографита из модифицированного графитного порошка используется следующая модель. Графитный порошок находится между двумя металлическими пластинами, которые нагреваются извне. При достижении некоторой критической температуры начинается процесс терморасщепления графита и появляется граница раздела графит - пенографит. При отсутствии металлических пластин математической моделью процесса нагрева слоя графита является классическая многофазная задача Стефана [1 - 3].

1. Пусть И2 - толщины металлических пластин, 21 - расстояние между пластинами, х - расстояние от внутренней поверхности первой пластины, х = 4(0 - уравнение подвижной границы между графитом и пе-нографитом, р,, с;, к{ - плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности соответственно /-го компонента (/ = 0 — пластины, / = 1 — графит, г = 2 - пенографит);

/0=(-М)и(2/,2/ + й2), /,=№2 /), /2= МО)-

Температура и = н,(х,0 должна удовлетворять уравнениям

<5и; д ( . ди;

Пусть ?» - время достижения критической температуры и, на поверхности контакта пластины с графитом. Тогда при г < требуется найти решения уравнений (1) (г = 0,1), удовлетворяющие условиям

= 0, у = 1,4, х, = —А|, х4=2 1 + И2, (2)

иа\р],г)=и\х],г\ 7=2,3, х2=0, х3 = 2/, (3)

V дх дх )

= 0, 7 = 2,3, (4)

и,(*,0)=/„(*), х е/,,/ = 0,1. (5)

Здесь /о = /о> /I =(0,2/).

При г = I, на первой пластине появляется граница раздела компонент, и до момента появления границы раздела на второй пластине имеем следующую задачу: найти закон движения границы 4(0 и решения ы,(х,0 (/ = 0,1,2) уравнений (1) в областях /, , удовлетворяющие условиям (2), (3) и условиям

При t > tt появляются дополнительные условия

(8)

Здесь л - удельное количество тепла на переход графит - пенографит.

При соответствующей симметрии задачу можно решать для областей /0 = (-#, 0), I1 = (£;(/),/), /2 = (0,£(;)) с условием равенства нулю теплового потока при х = /.

2. Эффективным методом решения краевой задачи для уравнения параболического типа с разрывными коэффициентами и условием (8) на подвижной границе является метод сглаживания [4, 5]. Введение б-функции Дирака приводит задачу к отысканию непрерывного решения квазилинейного уравнения

Решение уравнения (9) должно удовлетворять условиям (2) - (4), (6) и начальному условию (5).

При численной реализации дельта-функция на некотором интервале (и, - А,,и, + Л2) заменяется дельтообразной (размазанной) дельта-

функцией 5>0, вне указанного интервала функция 8 равна нулю. В результате функция р(и) заменяется размазанной (сглаженной) теплоёмкостью с (и) следующим образом: с(и) = с (р> э при и<и,- Л,, с(и) = с2 р2 при и>и,+ Д2, с(и) = сд= const при и, - А, < и < и, + Д2 . Постоянная сЛ выбирается так, чтобы на интервате (и, - Д|,и, + Д2) для функций с(и) и р(и) сохранялось изменение энтальпии.

Для разностной аппроксимации уравнения (9) использовалась чисто неявная схема. Нелинейное разностное уравнение решается итерационно, каждая из итераций находится по формулам прогонки.

В качестве начального времени в схеме сглаживания выбираюсь некоторое малое время t = t0 > 0, а в качестве начального распределения температуры - главная часть асимптотического (при малом t) разложения решения.

Проведённые расчеты (при отсутствии пластин) показачи, что при увеличении величин Ар, и kjk2 сходимость разностной схемы ухудшается. Для пары графит - пенографит имеем кх/к2 к 10, и конечно-разностная

(9)

где р(ы) = с(ц)р(и)+ -и.).

аппроксимация на интервале сглаживания градиента теплового потока имеет большую погрешность.

Оказывается удобным использование переменной Кирхгофа v(x,t): сЫ = к{и)(1и. Уравнение (9) преобразуется к виду

,5v

p{u{V))— = k(u{V))

d2v

dt dx~

В случае, когда к(и) - кусочно-постоянная функция, имеем

[¿[(м-м»), и<и,,

к2 (и ~ и,), и

> и.

(10)

(П)

Па поверхности контакта пластины с графитом (при /</„) и пено-графитом (при t>tt) должны выполняться условия непрерывности теплового потока (4) и (6). Решение уравнения (10) с непрерывной производной ду/дх этим условиям не удовлетворяет. Введение новой пространственной переменной 2 - г(х) позволяет удовлетворить условиям (4) и (6). При

-,хе

->*е

(о,4

при /<f„,

-,хе[-Н, 0), со

уравнение (2.3) приводится к виду

dv д v к — = — dt dz

при о/, (12)

(13)

где

к =

к0с0р0,z е [- Н/к0,0), 1 /c1c1Pi,ze(0,//7cl],

k0c0p0,ze[- Н/к0,0\ к2

при/<?., к = -I -?-c1pl,ze(^(i),/), при/•>;„. к\

k2c2p2,ze[0^(t)l

Непрерывному решению этого уравнения с непрерывной производной dv/dz соответствует непрерывное решение исходной задачи с непрерывным тепловым потоком на поверхности контакта пластины с графи-том/пенографитом.

Исходная задача (при наличии пластины) решалась численно методом сглаживания. Для получения непрерывного решения во всех областях использовалось преобразование (12). В частности, для коэффициентов &0=30, Л, =1, к2=0Л, с0Ро=5, С|Р; =1, с2р2 - 0.0077 кусочно-постоянный коэффициент к принимает значения, имеющие сильное отличие в областях пластины, графита и пенографита. Но и при таких коэффициентах разностная схема в методе сглаживания (при использовании замены (12)) хорошо сходится.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тихонов А. //.. Самарский А. А. Уравнения математической физики. N4: Изд-во Моек, ун-та, 1999. 798 с.

2. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М: Мир, 1972. 587 с.

3. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. М: Едито-риал УРСС, 2003. 784 с.

4. Самарский А. А., Моиссепко Б. Д. Экономичная схема сквозного счёта для многомерной задачи Стефана// ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, № 5. С. 816 - 827.

5. Будак Б. М, Соловьева Е. Н., Успенский А. Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, № 5. С. 828- 840.

УДК 539.3

В. Л. Березин, В. А. Глухарёв, Ю. П. Гуляев

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА СОПРОТИВЛЕНИЯ ВИНТОВОГО ЗАХВАТА ПРИ ВНЕДРЕНИИ В ТРАНСТРОПНЫЙ ЦИЛИНДР

Имеется транстропный цилиндр радиуса R, в который внедряется винтовой захват, имеющий следующие характеристики: R7 - радиус винтового захвата, h - шаг винтового захвата, Rs - радиус криволинейного стержня захватного механизма./ \

Напишем уравнения поверхности' i винтового захвата при условии

(Rs sin9)/(/?z + Rs eos 9)« 1 (рис.1):.....;

x = (Rz + Rs cos0)cos<¡>,__

}y = (R.¿ 4-C0s9)sin<¡) , (1)

z = Rs sin 9 + h (ф + ф,)/27с,

где фй - угол между касательной к винто вой линии и плоскостью, ф, - угол между осью х и радиус-вектором точки винтовой линии, лежащей в плоскости ху, ф2 < ф < ф3, Фз = Фо — Ф1 > ф3 = фт + ф2, Фо - угол, на который нужно ещё повернуть захват, чтобы его начало достигло плоскости ху.

Введём обозначения: S^ =зшфв, Сф =созфв, К - коэффициент трения, S = tJ(2iiRz)2 + h2 - длина винтовой линии протяжённостью в один оборот. Также введём в произвольной точке винтовой линии триэдр векто-