Оценка конвективных членов в одной модели терморасщепления графита Текст научной статьи по специальности «Математика»

имеем семнадцать условий: четырнадцать граничных условий (3) - (4), два условия трансверсальности (11) и равенство гамильтониана нулю в конечный момент времени, имеющее место для оптимального управления р°.

3. Анализ задачи. Уравнения задачи имеют первые интегралы:

¡|Л0Г||2 = 1, ||M°r||2 = const, Н (г, у,, с, <ptrj Лог, р, xtr, М"г, рн) = О,

MoroAiif=N* = const.

Использование двух последних интегралов и кватернионной замены переменных №' = Лог о Мог позволяет понизить порядок системы на пять единиц без усложнения правых частей уравнений. Правые части уравнений (6) Fb F2, F3 являются сложными функциями фазовых и сопряженных переменных. Анализ этих уравнений показал, что при выполнении условия Ул = (l/2)N30r уравнения и соотношения краевой задачи существенно упрощаются, а порядок системы понижается еще на единицу.

Заключение. В статье сформулирована краевая задача принципа максимума, к которой сводится задача оптимального управления ориентацией орбиты КА как деформируемой фигуры. Использование новой модели орбитального движения КЛ позволяет наиболее эффективно рассматривать общую задачу оптимального управления движением КА как композицию двух взаимосвязанных задач: задачи управления формой и размерами орбиты КА и задачи управления ориентацией орбиты КА, поскольку введенный новый кватернионный оскулирующий элемент непосредственно характеризует собой ориентацию мгновенной орбиты КА в отличие от других, ранее использованных кватернионных переменных. Получены первые интегралы уравнений краевой задачи, установлено условие, при выполнении которого уравнения краевой задачи существенно упрощаются.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Челноков Ю. Н. Применение кватернионов в задачах оптимального управления движением центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. II // Космические исследования. 2003. Т. 41, № 1. С. 92 - 107.

УДК 517.958:536.2

К. Г. Бахтин, В. Ю. Ольшанский

ОЦЕНКА КОНВЕКТИВНЫХ ЧЛЕНОВ В ОДНОЙ МОДЕЛИ ТЕРМОРАСЩЕПЛЕНИЯ ГРАФИТА

Рассматривается математическая модель процесса получения термически расщепленного графита (ТРГ) из окисленного графитового порошка (ОГ) в металлической пресс-форме. Порошок ОГ равномерно распределен в заданной области и подвергается нагреву извне. При достижении критической температуры появляется подвижная граница раздела ОГ - ТРГ.

Плотность ТРГ, получаемого при расщеплении в свободном объеме, может быть в десятки раз меньше плотности ОГ. Точный учет возникающего поля скоростей сыпучей среды (ОГ) является достаточно сложной задачей. Для оценки влияния конвективных членов на движение фаницы раздела фаз поле скоростей задавалось априорно. Задача Стефана решалась методом сквозного счета со сглаживанием коэффициентов [1,2] с использованием локально-одномерной разностной схемы [3].

1. Пусть ОГ' и ТРГ занимают области Z), и /Л соответственно, о = сг(г) - разделяющая подобласти D, подвижная граница, D = D, uft, Г = dD. Если поля скоростей v частиц известны, то ноля температур {/¡(х,_у,г) в областях D: определяются из решения задачи Стефана:

P.^i i + Vigrad и, j = grad ut), / = 1,2, (1)

ul(x,y,O)=f0{x,y\ (x,y)s D, (2)

du-

Ui(x,y,t)= f]{x,y) или ki-~ + ul(x,y,t)Bio = ue Bio , (x,y)e Г, t > 0, (3) an

u\(x,y,t)=u2(x,y,t)=u,, (*,_y)ea, (4)

k\ C!ri-*2^~ = Wva-viJ> (х.зОест. (5)

on an

Здесь pi,ci,ki - плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности вещества в области D;, ив - температура внешнего нагрева, Bio — число Био, v,„ - нормальная составляющая (по отношению к границе а) скорости частиц в области Dn vCT — скорость движения границы сг.

Рассматривались две упрощенные модели процесса.

Модель А. Средняя плотность вещества в областях D, мала и постоянна, Pi(t)= р2(0= 7Рог> гДе Рог ~ плотность порошка ОГ; 7 < 1, ку > 1, где у - начальная доля графита в единице объема; к - коэффициент расширения ОГ в свободном объеме. Считаем V,- = 0, / = 1,2. Равномерное начальное распределение ОГ в области D осуществляется при помощи наклеивания ОГ на слои бумаги. Величину коэффициента теплопроводности в области Dx можно приближенно оценить, если считать, что имеются тонкие плоские слои графита, чередующиеся со слоями воздуха. Полагая, что углы, задающие нормаль к плоскому слою, являются равномерно распределенными случайными величинами, для кг получим К =*эф w 0,75у ког.

Модель В. На первом этапе (при 0 <t <Т1) сопротивление расширению ТРГ со стороны ОГ пренебрежимо мало; плотность ТРГ в области D-, постоянна р2 = Рог/к> v2 = 0. Плотность вещества в области D] увеличивается до значения p,(7j ) = рог по закону

Р1 (') = (трог - Р2)Д1 + Р2' № = $¡(0/5, где 5;(г\ 5 - площади областей Д, С в момент времени ?. На втором этапе (при />Г,)имеем р,(/) = рог и р2(0 = рог (у - ц)/(1 - ц).

Для р,=р|(г) из уравнения неразрывности получим

<Уп'у = -(1пр](?))/. При равномерном сжатии ОГ к центру получаем

г !

у1х = -0,5(1пр, ),-х, vly = -0,5(1пр)), - у.

2. В соответствии с методом «сквозного счета» [1,2] отыскивается решение уравнения

р(ы)(с(г/)+ \8(и - и*))[ V ^^и + ^Л-сИу^к^^^ы). (6)

V Зг)

Условия (4), (5) на границе фаз при этом выполнены автоматически. При переходе к разностной схеме входящая в уравнение 5-функция на некотором интервале температуры -Л|,м» + Д2) заменяется сглаженной функцией 5 > 0; вне указанного интервала функция 5 равна нулю. В результате вводится сглаженная теплоемкость с(и), значение которой вне интервала сглаживания равно значению ci в области О,; внутри (и, - Л:.и, + Д2) определяется из условия сохранения баланса тепла.

В качестве области £> рассматривается прямоугольник, то есть ха < х < хЬ, уа < у < уЪ, в котором вводится произвольная неравномерная

сетка юА г = 1,Лг1,у = 1,Л^2, х, = ха, Хд^ = хЬ,у1 = уа, - уЪ}. На

временном отрезке вводится сетка = {ги, п = 1,2,—} с шагом т„ = - 1п. Обозначим и--," — значение искомой функции (распределение температуры и ) в точке (х,,у /) в момент = и,у — промежуточное

значение в момент ¿п+0.5т„. Локально-одномерная схема [3] для задачи (6) имеет вид

"IX,-

(хм -хм)

А;^, (х„У/)еО; (7)

Ф',.;и)

и

- Фи/ад )—

р(гМ<-)

Л я+1

Л2 =

1

' У,.1

"7,7+1_

-У). 17

, П+1

Л я+1

V /—¡Г

/7+1 -

..п+1

п+1

Г/,,/-1/2 )

•у,7+

Нелинейные уравнения (7), (8) относительно функций Wy и w,"*1 соответственно решаются итерационно; каждая из итераций находится по формулам прогонки.

3. Численно задача решалась для области

D = {-0.5 <х< 0,5,0<у< 0.5} с граничными условиями 1-го и 3-го рода. На нижней границе прямоугольника D задавалось условие равенства нулю теплового потока. На остальных границах при условиях 1-го рода температура внешнего нагрева ие =2, а при условиях 3-го рода Bio = 1. Температура фазового перехода и, = 1. В расчетах теплофизические параметры всюду брались следующими: сог=0.25, стр, =0.34, £ог=1, £ТРГ=0.1, рХРГ = 1, у = 0.1, к = 60, X = 0.21. Начальное распределение температуры /0 = 0.066, (х,>')е D и Г . На рисунке представлены положения межфазной границы в определенные моменты времени, полученные из численного решения задачи для граничных условий 3-го рода для моделей А (рисунок, а) и В (рисунок, 6). Для модели В (см. рисунок, в) каждому моменту времени соответствуют две кривые: 1, - свободная граница, вычисленная при решении без учета поля скоростей частиц ОТ; 2, (маркированная кривая) - с учетом скорости.

a ö

Сравнение результатов при учете поля скоростей в обоих случаях с аналогичными результатами для v( =0(/ = 1,2) показало, что в математической модели необходимо учитывать массоперенос.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Самарский A.A., Моисеенко Б. Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана //ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, № 5. С. 816-827.

2. Будак Б. М., Соловьева Е. Н., Успенский А. Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, № 5. С. 828 - 840.

3. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. М.: Наука, 2Q01. 319 с.