CC BY
43
№ 10 жовтень 2011
V =
M
об
(4М + kP)
v тр '
/ж
(12)
Для визначення сил тертя, що діють на кожне колесо, складемо рівняння обертального руху коліс відносно їх осей. Для ведучих коліс з урахуванням того, що сила тертя Fj направлена вперед,
^ 0,5Mоб - Мтр - 0,25Pk pP
F = ---------------------
r
gr
(13)
Сила, що діє на кожне із ведених коліс, F2 направлена назад. Отже, для веденого колеса
М - 0,5Pk
F = тр __________
РР
gr2
со
(14)
r
Висновки. Аналіз отриманих формул і графіків на рисунках 1 і 2 дозволяє зробити такі висновки:
- при відомих експериментальних величинах опору перекочуванню шин із масивним гумовим ободом і пневматичних шин по абсолютно жорсткій поверхні запропоновані формули дозволяють виділити частку опору, яка припадає на гістерезисні витрати;
- при максимальному навантаженні на колеса з масивним гумовим ободом та пневматичними шинами при високому тиску при русі по абсолютно жорсткій основі на гістерезисні витрати опору руху у першому випадку припадає від 0,24 до 0,6, а в другому близько 0,88 від загального.
ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Бондаренко Л. М. Деформаційні опори в машинах / Л. М.Бондаренко, М. П. Довбня,
В. С. Ловейкін - Дніпропетровськ : Дніпро - VAL, 2002. - 200 с.
2. Джонсон К. Механика монтажного взаимодействия / Джонсон К. - М. : Мир, 1989. -510 с.
3. Подъемно-транспортные машины / [В. В. Красников, В. Ф. Дубинин, В. Ф. Акимов и др.]. - М. : Агропромиздат, 1987. - 272 с.
4. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механіки / С. М. Тарг - М.: Наука, 1970. -480 с.
5. Tabor D. The mechanism of rolling friction: the elastic range / Tabor D. - Proc. Roy. Soc., 1955. - p. 198.
УДК 624.4.04 : 539.376
МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВИБРОПОЛЗУЧЕСТИ
А. П. Буратинский, асс.
Ключевые слова: ползучесть, бетон, виброползучесть, интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода, коэффициент виброползучести, высокочастотные напряжения
Постановка проблемы. Разработанный д. т. н., проф. С. А. Слободянюком модифицированный метод начальных параметров ползучести (ММНПП) [3] позволяет решать задачи ползучести в матричной форме. Тем самым решается проблема интегральных уравнений ползучести железобетонных конструкций. Существует аналогичная проблема при решении задач виброползучести железобетонных конструкций.
Цель статьи. Разработать метод решения задач виброползучести.
Анализ публикаций. В 1986 проф. Е. А. Яценко [5] для решения задач ползучести в матричной форме был предложен метод начальных параметров, где в качестве аргумента принята функция условного фактора времени. Этот метод назывался методом начальных параметров ползучести (МНПП).
Дальнейшее развитие решения задач ползучести в матричной форме было найдено в 1998 году проф. С. А. Слободянюком [3]. Он предложил построения метода с явным фактором времени и метод получил название «модифицированный метод начальный параметров ползучести» (ММНПП).
41
Вісник ПДАБА
Материалы исследования. Следуя методике [3], разработаем аналогичный метод для решения задач теории виброползучести. Назовем его методом начальных параметров виброползучести (МНПВП).
Виброползучесть - это свойства материала деформироваться при длительном действии постоянных и высокочастотных напряжений после завершения упругого деформирования в момент приложения нагрузки.
При одноосном напряженном состоянии бетонного элемента связь между деформациями e(t) и соответствующими высокочастотными во времени напряжениями o(t) выразим на основе линейного интегрального уравнениям Вольтерра 2-го рода:
t
Е0є(ґ) = a(t)a(t) + ja(r)Ken(t,r)dr + E0eyc (t) , (1)
t0
где Eo - модуль упругости бетона в момент начала нагружения при t = t00, a(t) = a + ppe~r3(t-to) - характеристика упругих деформаций; cp3 и y3 - параметры изменения модуля упругости во времени; a = Е001 Ех - предельная величина характеристики упругих деформаций.
На основе [3; 4] выразим интегральное ядро виброползучести через ядро ползучести:
д
к вп (t,T) = K в K (t, т) = -K в — [a(T) + ppt, т)], (2)
дт
где p(t,r) - характеристика ползучести; Кв- коэффициент виброползучести [1; 4].
В наследственной теории старении характеристика ползучести, предложенная И. Е. Прокоповичем и И. И. Улицким, выражается функцией [2]:
-уМ-т) -у т -y t
tp(t,T) = ^[1 -e 1 ] + p„[e 2 -e 2b
(3)
где P1 и p2 - предельные характеристики обратимых и необратимых деформаций ползучести соответственно; у1 и у2 - постоянные, характеризующие скорость деформаций ползучести.
В ядро ползучести (2) подставим (3) и выполним преобразования, получим:
K (t,r) = K (yp e вп ’ J ву'3Y3
~г3(т~ to) + -Y1(r"t)
+ Yff
-r2*
+ Y2p2e 2).
(4)
Затем выражение (4) подставив в (1) и после преобразований получим:
-Yt t . YE
E^s(t) = a(t)a(t) + K y-^pe ^ \а(т)в 1 dz+Key2P2 Sa(T)e dт+KвУзPзe 30 ja(r)e >3 dz + E^s c(t). (5)
в t в t в t 3>C
t0 t0 t0
В момент начала нагружения t = to и выражение (5) принимает вид закона Гука для упругих деформаций бетона:
E0s0 = a0 , (6)
где принято a(t0) = a + p3 = 1; s(t0) = s0; a(t0) = a0.
Продифференцируем выражение (5) по t и сгруппируем, после чего получим следующее выражение:
E0s(t) = [ГэР^~к)(Кв -1) + Кв(yp + y2p2e~Jl2)]a(t) + a(t)&(t) - Kjpe-1* ja^^dr + E()8yc(t) ,(7)
t0
_ ... ds(t) da(t) , „ dsyc(t) „
где обозначено s(t) =-----; a(t) =----; є (t) = — ----. При t = t0 уравнение (7) принимает
dt dt dt
Y3t0 \ , , ~Г3т
вид:
-Y2t0
E0s0 = [ЬР3(Кв -1 + Кв(Y1p1 + Y2p2e 2 a +a0 + E0syc0. Продифференцировав (7) по t второй раз и сгруппировав, получим:
(8)
42
№ 10 жовтень 2011
2 -Y(t-(D) 2 2 -Yt -Y(t-Y)
EQS(t) = [-Y>3e 3 °К-1) + Кв(~r\-h? e 2)]CT(t) + 3 °К -2) +
-Y2t 3 -h1tt T\T
+ *(h 9*1 + Y2<P e 2 )]ff(t) + a(t)a(t) + K^^e 1 jO» 1 dz + EQs (t).
1 2 t
t0
После подстановки t = t0 получим:
E0s0 = [ ~r23Vs( Кв -1) + Кв (~r2Ifi-Y22P2e ~ї2‘°)]а° + [YsVs( Кв - 2) + Кв (YlVi + + y2fe ~Г2‘0)]6° + ё° + E°s yc°.
(9)
(10)
Дифференцируя выражение (9) и далее многократно по t и после каждого дифференцирования принимая t = t0 , получим систему алгебраических уравнений, записанных здесь в свернутой матричной форме:
Ens = (E + С )а + Епє . (11)
0 v вп 0 ус v ’
В (11) стрелочками обозначены бесконечномерные векторы начальных параметров деформаций и напряжений; Е - матричная единица; Свп - матрица влияния виброползучести. Вид указанных векторов и матричной единицы следующий:
Є 0 а 0 1 0 0... 0
є 0 ; а = а 0 ; e = 0 1 0... * ру = о о •to
є 0 а 0 0 0 1... syc0
(12)
В векторах (12) точками над буквами обозначен порядок производной по t, а нолики внизу обозначают, что функции и их производные взяты при t = t0 .
Матрицу влияния виброползучести рационально выразить в виде суммы трех матриц: обратимых С1в, необратимых С2в и упругих С3в деформаций:
С
вп
С,в+С2в+С
^3в>
(13)
значение которых следующее:
0 0 0 0 0 0
Y1 0 0 0 0 0
-її Ї1 0 0 0 0
Y\ -ї12 Ї1 0 0 0
-Y14 ї13 -Y12 Ї1 0 0
ї15 -ї14 ї13 -ї12 Ї1 0
С2в = Кв?2е
0 0 0 0 0 0
Ї2 0 0 0 0 0
-ї22 ї2 0 0 0 0
y2 - 2ї22 ї2 0 0 0
-h 3ї23 - Y ї2 0 0
Ї2 - 4ї24 6ї23 - 4Y22 ї2 0
43
Вісник ПДАБА
С3в _ р3
0 0 0 0 0 0
(К в - 1)Y3 0 0 0 0 0
1 50 1 (Кв - 2)Y3 0 0 0 0
(Кв - 1)Y3 - (2К в + 3)Y22 (Кв - 3)Y2 0 0 0
- (Кв - 1)Y34 (3Кв - 4)Y33 - (3К в + 6)Y32 (Кв - 4)Y3 0 0
(Кв - 1)Y3 1 1 * 1 О - (4Кв - 10)Y32 (Кв - 5)Y3 0
а b
х
Элементы матриц (13) вычисляются по рекуррентным формулам. При вычислении числовых коэффициентов элементов матриц С2в и С3в, укладывающихся в схему применяется алгоритм x = a - b.
Дальнейшая методика расчета соответствует [3].
В частном случае, когда коэффициент виброползучести Кв=1 из матрицы влияния виброползучести, получается матрица влияния ползучести [1], то есть Свп= С, а С1в = С1, С2в = С2, Сзв = С3.
Рассмотрим пример расчета МНПВП. Берем одноосный бетонный элемент единичной длины (рис. 1), на торцах которого приложено напряжение o(t)= а + Аа sinrn(t-t0), где а =10 МПа и Да =0.5 МПа.
■%Н
Рис. 1. Нагрузка на бетонный образец При учете только квазипостоянных напряжений во времени:
a(t) amax + amin
(а + Аа) + (а - Аа)
_ а.
(14)
2 2
В любой момент времени начальные параметры возбуждающей функции будут иметь вид:
а_|а 0 0 0 ...|T (15)
Тогда разрешающие уравнение (11) в развернутом виде без учета усадки будет иметь вид:
1
1 0 0
a 21 1 0
a31 a31 1
(16)
Искомую деформацию виброползучести найдем через ряд Тейлора улучшенной сходимости [3]:
s(t) _^0 +—
Y
Ё0 [1 - e~Y(t-t0)r А
+(^+-)
Y2 Y
[1 - e -
Т
2!
+...
(17)
Чтобы получить точное уравнение деформаций виброползучести в общем виде, в (5) подставим а(t) = а+ Аа sinrn(t - t0) и проинтегрируем. После преобразований получим:
E0s(t) _ (a + Р3Є Y3(t t()))(CT + ДстєіпюД-/0)) + Квар(\-e Y1(t t())) +
K в ДаР1Ї1
2 2 Y1 + a
К в ДаР2Y2
Y1 sma(t - ?0) -a cosa(t -10) + ae
-Y1(t-t 0)
+ Квар2(е
-Y1t0
- e~Yt) +
22 Y2 +®2
K в ДстР^3
ae
-Y2t 0
-e Y2t(Y2sina(t-10)-acosa(t-10)) a- e~Y3t ( y3 sin a(t -10) -a cos a(t -10))
22 Y32 +a2
+ К вар3(1 - e ~Y3(t-t0)) + .
(18)
1
1!
44
№ 10 жовтень 2011
Было получено точное интегральное решение по (18) и МНПВП по (17) при следующих значениях: Кв = 2, t0 =53 суток, Еь = 30 000 МПа, f = 50 Гц, а = 2nf = 27,13 1 06 1/сут; q>1 =0.5, Ф2 = 1.5, (ръ = 0.2, a = 0.8, y = y = Y3 = Y = 0.004 1/сут.
Результат точного решение и по МНПВП графически показаны на рисунке 2.
а
б
Рис. 2. Нагрузки (а) и деформации виброползучести бетонного образца (б)
Анализ результатов показывает, что решение МНПВП при 5 членах ряда практически совпадает с точным решением. Расхождение на 600 сутках не превышает 1 %.
Выводы. Таким образом, разработан метод теории динамической ползучести бетона, названный методом начальных параметров виброползучести (МНПВП). Он позволяет решать различные граничные задачи виброползучести в матричной форме вплоть до получения начальных параметров искомой функции, а определение искомой функции при любом времени можно производить с помощью ряда Тейлора улучшенной сходимости.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Бондаренко В. М. Некоторые вопросы нелинейной теории железобетона. - Х. : ИХУ, 1968. - 324 с.
2. Прокопович И. Е. Влияние длительных процессов на напряженное и деформированное состояние сооружений. - М.: Госстройиздат, 1963. - 260 с.
3. Слободянюк С. А. Модифицированный метод начальных параметров ползучести // Вісник ПДАБА - Д. : ПДАБА, 1998. - №3. - С. 33 - 38.
4. Шкарбелис К. К. Влияние вибраций на ползучесть железобетонных конструкций // Сб. «Вопросы динамики и динамической прочности». - Вып. 4. - М.: Стройиздат, 1956. -
С.27 - 35.
5. Яценко Е. А. Метод начальных параметров теории железобетона // Исследование по механике строительных конструкций и материалов. - Л. : ЛИСИ, 1986. - C. 66 - 72.
УДК 691.54:691.327
СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИИ УСТРОЙСТВА ПОДЛИВКИ ПОД ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЕ ОБОРУДОВАНИЕ ИЗ ВЫСОКОКАЧЕСТВЕННОГО, ВЫСОКОПОДВИЖНОГО, БЕЗУСАДОЧНОГО ФИБРОБЕТОНА
К. К. Мирошниченко, к. т. н., доц., Н. В. Савицкий, д. т. н., проф.
Ключевые слова: фибробетон, безусадочный фибробетон, технологическое оборудование, подливки под фундамент
45
