CC BY
56
УДК 624.046.012.45: 539.376
РОЗРАХУНОК ЗАЛІЗОБЕТОННИХ РАМ МСЕ З УРАХУВАННЯМ ПОВЗУЧОСТІ Й ВІБРОПОВЗУЧОСТІ
С.О. Слободянюк, професор, д.т.н., А.П. Буратинський, асистент,
ДВНЗ «Придніпровська державна академія будівництва та архітектури»,
м. Дніпропетровськ
Анотація. Розроблено методологію розрахунку n разів кінематично невизначених залізобетонних рам, з урахуванням повзучості і віброповзучості, на основі методу скінченних елементів (МСЕ) і рекурентних формул, які дозволяють спростити й автоматизувати розрахунок стрижневих систем на тривалі процеси - усадку, повзучість і віброповзучість бетону.
Ключові слова: деформаційний розрахунок, повзучість, віброповзучість, метод скінченних елементів, нормальні напруження.
РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ РАМ МКЭ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ И ВИБРОПОЛЗУЧЕСТИ
С.А. Слободянюк, профессор, д.т.н., А.П. Буратинский, ассистент,
ГВУЗ «Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры», г. Днепропетровск
Аннотация. Разработана методология расчета n раз кинематически неопределенных железобетонных рам, с учетом ползучести и виброползучести, на основе метода конечных элементов (МКЭ) и рекуррентных формул, которые позволяют упростить и автоматизировать расчет стержневых систем на длительные процессы - усадку, ползучесть и виброползучесть бетона.
Ключевые слова: деформационный расчет, ползучесть, виброползучесть, метод конечных элементов, нормальные напряжения.
DESIGN OF REINFORCED CONCRETE FEM FRAMES WITH ACCOUNT OF CREEP AND VIBROCREEP
S. Slobodyanyuk, Professor, Doctor of Technical Sciences,
А. Buratynskyi, assistant, Prydniprovs’ka State Academy of Civil Engineering
and Architecture, Dnepropetrovsk
Abstract. The methodology of designing of n times of kinematically indeterminate reinforced concrete frames with account of creep and vibrocreep based on the finite element method (FEM) and recurrence formulas that allow to simplify and automate the design of framed structures for long processes (shrinkage, creep, vibrocreep concrete) is developed.
Key words: deformation calculation, creep, vibrocreep, finite element method, normal stresses.
Вступ
Будівельні конструкції у промисловій галузі працюють на різноманітні тривалі статичні й динамічні навантаження. Якщо конструкції
виконані із залізобетону, то за таких навантажень проявляються такі характерні явища як повзучість і віброповзучість бетону. Тому для розрахунку стрижневих залізобетонних конструкцій, з урахуванням повзучості й віб-
роповзучості, потрібна розробка методу, що дозволяє врахувати ці явища й автоматизувати процес розрахунку. Розробка будь-якого методу, з повним урахуванням як зовнішніх навантажень, так і внутрішніх особливостей роботи матеріалу, є завжди актуальною і проблемною. Нами для вирішення цієї проблеми був обраний основний метод будівельної механіки - метод скінченних елементів (МСЕ) з реалізацією в математичному пакеті (МП) «MathCad».
Аналіз публікацій
Розрахунок стрижневих систем, з урахуванням деформацій поздовжнього вигину елементів, називається деформаційним розрахунком, а розрахунок без урахування деформацій поздовжнього вигину будемо називати недеформаційним розрахунком. На сьогодні недеформаційні розрахунки конструкцій і систем, з урахуванням повзучості бетону, досить добре розроблені такими вченими, як: А.Р. Ржаніцин [1], Н.Х. Арутюнян [2],
А.Б. Голишев [3], Є.А. Яценко [4], А.Ф. Яременко [5], С.Ф. Клованіч [6] та інші.
Деформаційний розрахунок стрижневих залізобетонних конструкцій, з урахуванням тривалих процесів (усадки та повзучості) МС, МП і МСЕ, був розроблений Є.А. Яценко і С.О. Слободянюком в 2002 році [7].
Літератури з деформаційного розрахунку статично невизначених залізобетонних плоских систем, з урахуванням армування і віб-
роповзучості, в пошуку ми не виявили. Таким чином, точного деформаційного розрахунку залізобетонних стрижневих систем з урахуванням віброповзучості на сьогодні ще не розроблено, незважаючи на актуальність.
Мета і постановка задачі
Метою роботи є розробка методології розрахунку рам з урахуванням тривалих процесів. Для досягнення цієї мети слід розв’язати таку задачу як триразовий розрахунок кінематично невизначеної залізобетонної рами, і на її основі відпрацювати загальну методологію розрахунку будь-якої складності з урахуванням тривалих процесів на основі МСЕ.
Розрахунок рами МСЕ
Загальний порядок розрахунку таких конструкцій йде від простого до складного: 1) недеформаційний розрахунок (класичний МСЕ); 2) деформаційний пружний розрахунок (з урахуванням деформацій поздовжнього згину стрижнів системи); 3) деформаційний розрахунок з урахуванням усадки і повзучості; 4) деформаційний розрахунок з урахуванням віброповзучості бетону.
Класичний МСЕ є загальновідомим, а блок-схема алгоритму деформаційного розрахунку МСЕ у пружній постановці і з урахуванням тривалих процесів є такою:
Таблиця 1 Блок-схема алгоритму МСЕ
Пункти блок-схеми алгоритму МСЕ Деформаційний пружний розрахунок Деформаційний розрахунок з урахуванням повзучості та віброповзучості
Формування вихідних матриць І, Р , ^^^ Z (t), P(t), Sg (t), S g (t), rg (t), ag
Матриці жорсткості £-го СЕ у глобальній системі координат ^ = атвгваш rg (t) = aTgrg (t)ag
Матриці жорсткості всієї системи g r ■“Wi II R R(t) = Z rg (t) g=1
Вектор вузлових переміщень системи Z = R-1 P Z (t) = R(t) 1 P(t)
Вектор вузлових зусиль £-го СЕ в місцевій системі координат від всього навантаження , * ^ Sg = rsasZ + Sg —► * i Sg (t) = rg (t)agZ(t) + Sg (t)
Розглянемо раму з такими вихідними даними: Р = 875 кН, q =106,6 кН/м, М=144,1 кНм, Ео = 32500 МПа, ЕІ = 65647,484 МНм2; ЕоІ2 = 6473,052 МНм2; Е</з=108874,72 МНм2; І1 = 6631,059 МНм, І2 = 359,614 МНм,
Із = 37543,01 M^; ц = AJA = 0,060932; ц = 0,080035; Цз = 0,039248; h = I/I = = 0,059657; h = 0,132403; h = 0,091666; П1 = S/I = 0,00232 м-1; n = 0; Пз = - 0,02639 м-1; es1= Ss/A = 0,0009932 м; es2 = 0; es3 =
= - 0,012311 м; при ф0і = 1,74, ф02 =1,51, ф03 = 1,45 - відповідних межах характеристики повзучості скінченних елементів (СЕ).
1. Недеформаційний розрахунок. Формуємо матриці жорсткості кожного скінченного елементу і вектор вузлових навантажень
Розрахункова схема і вид поперечних перерізів стійки та ригелів показані на рис. 1. Розрахунок виконано на основі методу скінченних елементів, а тривалі процеси враховувались матричними методами теорії старіння [8-10].
Рис. 1. Розрахункова схема і поперечні перерізи рами
Основну систему методу показано на рис. 2 із зазначенням погонних жорсткостей елементів. Ступінь кінематичної невизначеності такої рами дорівнює 3. Розрахунок виконується з урахуванням деформацій поздовжнього згину, а також з урахуванням фактора часу t. Окремі балки системи розв’язано в [11].
Рис. 2. Основна система методу переміщення-МСЕ
Г1 = ,2
-21
І2
6 зі1 - 6 311
311 2% - 311 112
- 6 - 311 6 - 311
311 112 -311 21-2
г2 =-
г3 =-
6 і2 і3 6 - і2 і3
3І2 2і22 - 3І2 22 і , Р
- 6 і2 і3 - 6 і2 і3 -
і2 і3 22 і і2 і3 - 22 і2
6 3і3 -6 3і3
2і3 3і3 3і 2 - 3і3 І32
Т і 0\ - 3І3 6 -3І3
3і3 і32 - 3і3 2і32
Р+
М+
12
(1)
Матриці перетворення координат
1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 1
, а2 = , а3 =
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0
(2)
Матриця жорсткості всієї системи
R1 = а^г1а1
R2 = а^г2а2, R = R1 + R2 + R3. R3 = а^га
(3)
Вектор вузлових переміщень системи дорівнює
0,00009
0,0000245
-0,0000462
(4)
Вектори вузлових зусиль СЕ від невузлового та всього навантаження
діх д1 діх д1
2
12
2 12
З20 = З30 = |0 0 0 0"
31 =|-355,96 142,06 -699,38 1557,92| ,
32 = |-2,6 -48,87 -48,87 -48,87|-1,
33 = |1230,96 48,87 -1230,96 -1230,96|-1. (5)
2
і
0
а1 —
-1
2. Деформаційний пружний розрахунок рами будемо виконувати так само, як і недеформа-ційний, але відмінність полягає у формуванні векторів і матриць жорсткості окремих елементів, де необхідно врахувати деформації поздовжнього згину [10]
повзучості, визначаються як матриці жорсткості окремих елементів, де враховано деформації поздовжнього згину та які помножені на функції часу [10]
Гі(0 = /1*А(05 г2(0 = ^(і), г3ф = г** Ц(і). (10)
6П2(У1) 311Ф4(У1) _6гЬ(у1) 311ф4(у1)
2, 311ф4(У1) 2112фг(у1) -311ф4(у1) 112ф?(у1)
~ І2 -6г(2(у1) -311Ф4(У1) 6Пг(у1) -311ф4(у1) ’
311ф4(У1) 112фз(у1) -311ф4(у1) 2112ф2(у1)
6Л2(у2) 312Ф4(У2) -6Л2(у2) 312ф4(у2)
2*2 312Ф4(У2) 22ф2(у2) -312ф4(у2) 1^ф3(у2)
І2 2 -6Л2(у2) -312ф4(у2) 6П2(у2) -312ф4(у2) ’
312Ф4(У2) 1^ф3(у2) -312ф4(у2) 21^ф2(у2)
6П2(У3) 313ф4(у3) -6г2(у3) 313ф4(у3)
2*3 313Ф4(У3) 2132ф2(у3) -313ф4(у3) 132ф?(у3)
12 3 -6Пг(у3) -313ф4(у3) 6П2(У3) -313ф4(у3)
313Ф4(У3) 132ф?(у3) -313ф4(у3) 2132ф2(у3)
= 0,00197, V, = 0,248, V = 0,00045 (6)
Вектор вузлових навантажень системи
Чк
$
Р+^- м+-
2 12ф4(Уі)
(7)
Вектор вузлових переміщень системи
0,00009
0,0000245
-0,0000462
(8)
Вектори вузлових зусиль СЕ від невузлового та всього навантаження
^1 =
Чк1 $ Чк1 $ 1 , 52 = 53 = = 0,
2 12ф4(у1) 2 12ф4(у1)
—355,94 —2,6 1230,94
142,16 —699,4 , = —48,71 2,6 , 53* = 48,71 —1230,94 . (9)
1557,98 1,94 3521,01
=
3. Деформаційний розрахунок з урахуванням повзучості бетону. Матриці жорсткості кожного скінченного елемента, з урахуванням
Вектор вузлових навантажень системи дорівнює
Р(0 =
Р+Й. м+Чк^
2 12ф4(Уі)
(11)
Розв’язуючи систему рівнянь із трьома невідомими за допомогою формул Крамера, отримуємо вектор вузлових переміщень, який у нескінченності дорівнює
г(оо) =
0,0002015
0,0000661
-0,0001035
(12)
Вектори вузлових зусиль СЕ від всього навантаження при і = да дорівнюють
51(«) = 1-360,24 132,77 -695,1 1524,751'
52И = 1-1,91 -45,8 1,91 11,331-
(13)
^(оо) = |1235,24 45,8 -1235,24 3536,41| .
4. Деформаційний розрахунок з урахуванням віброповзучості бетону. Розрахунок ведеться як і для повзучості, але матриці впливу повзучості помножуємо на коефіцієнт вібропов-зучості Свп= Кв-С [8], де Кв - коефіцієнт віб-роповзучості, і нами взятий у прикладі рівним Кв = 2.
Вектор вузлових переміщень при цьому дорівнює
2(оо) =
0,0002983
0,0001037
-0,0001533
(14)
Вектори вузлових зусиль СЕ від всього навантаження при і = да дорівнюють
51(<х>) = |-361,77 128,9 -693,57 1513,49|_1, S2(<x>) = |—1,72 -46,54 1,72 15,2|-1, (15)
S3(<x>) = 11236,77 46,24 -1236,77 3540,4І-1.
0
0
Усі результати розрахунку нами тут наведені графічно - у вигляді епюр внутрішніх зусиль на рис. 3 та графіків зміни переміщень у часі при повзучості і віброповзучості бетону на рис. 4-6. У стовпчику цифр зверху вниз
подано значення розрахунку: 1) недефор-маційного, 2) деформаційного, 3) повзучості і 4) віброповзучості. Аналіз зусиль наведено у табл. 2.
Рис. 3. Епюри згинальних моментів М(і), поперечних сил Q(t), поздовжніх сил Щ(і) і реакції в опорах R(t) рами з урахуванням тривалих процесів
Рис. 4. Графік зростання зміщення верхнього ригеля Z1 з урахуванням повзучості (-віброповзучості (— — —) при і діб
) і
Рис. 5. Графік зростання кута повороту верхнього ригеля Z2 з урахуванням повзучості (--------------) і віброповзучості (—--------) при і діб
Рис. 6. Графік зростання кута повороту нижнього ригеля Z3 з урахуванням повзучості (--------------) і віброповзучості (—-------) при t діб
Таблиця 2 Аналіз зусиль рами з трьома невідомими
Положення Згинальний момент Поперечна сила
Верхній ригель, защемлення 1557,92 1524,75 1513,49 699,38 695,1 693,57
-2 % -3 % -0,6 % -0,8 %
Середина верхнього ригеля 598,08 609,99 613,69
+2 % +2,6 %
Стійка, верх 2,04 11,33 15,2 2,6 1,91 1,72
+455 % +645 % -26 % -34 %
Стійка, низ 48,87 45,8 46,54 2,6 1,91 1,72
-6 % -5 % -26 % -34 %
Нижній ригель, защемлення 3520,91 3536,41 3540,4 1230,96 1235,24 1236,77
+0,5 % +0,6 % +0,4 % +0,5 %
За результатами табл. 2 можна сказати, що повзучість та віброповзучість в основному сприяють зменшенню зусиль у всій стрижневій конструкції з часом на 0,6-34 %. У нижньому ригелю виникають найбільші за значенням моменти та поперечні сили, але у відсотковому значенні приріст зусиль від тривалих процесів є невеликим (0,4-0,6 %). Це і те, що вплив деформацій поздовжнього згину є незначним, можна пояснити великою жорсткістю ригелів відносно стійки.
Також розрахунок рами з трьома невідомими показав, що приріст переміщення від повзучості і віброповзучості відносно пружного значення становить: для 21 (вертикального переміщення) 123 % і 231 %, для г2 (поворот) 175 % і 329 %, для 23 (поворот) 124 % і 233 % відповідно.
Розрахунок за рекурентними формулами
Авторами розроблено нову методологію розв’язання задач тривалих процесів, яка дозволяє спростити й автоматизувати розрахунок тривалих переміщень і зусиль за такими рекурентними формулами. Виходимо з того, що пружні розв’язки вже відомі. Тривалі переміщення: г()= г* Fl(t), і= 1, 2, ... п
невідомих, де zi - пружне і-е переміщення, а Fi(t) - функція часу для і-го переміщення. Дана функція враховує повзучість-віброповзучість системи і визначається за рекурентною формулою
П*
F1 (і) = П*[П(і)]-1 [П (і)], (16)
де D - пружний визначник системи; [D(t)]"1 -зворотна матриця визначника системи в часі; Dl - пружний визначник для і-го переміщення; [Dl(t)]"1 - матриця визначника в часі для і-го переміщення.
Тривалі зусилля: 5/0 = 5*Т(), де Т'(0 -функція часу для у-го рядка вектора вузлових зусиль £-го СЕ. Дана функція враховує по-взучість-віброповзучість системи і визначається за рекурентною формулою
5п
Т, (t) = (1—-5*)(Lg 1) +
5 *
- + -
5 *
(17)
де 5* - зусилля пружного деформаційного
о П
розрахунку; - зусилля, пружне від неву-злового навантаження, 5”(0 - тривале зусилля від невузлового навантаження, і приро-
щення зусилля від повзучості-віброповзу-чості визначається з рівняння
— Az * ^
ASg (t) _ rgagIgAz(t), (18)
де А і(і) = 2*( Fl (і) -1).
Ці формули були перевірені при розрахунку тієї ж самої рами, і були отримані аналогічні результати, які представлено на рис. 3-6.
Розрахунок нормальних напруг
Деформаційний розрахунок стрижневих систем повинен закінчуватися визначенням у часі напруг в арматурі та бетоні за максимальним внутрішнім зусиллям. Зіставлення їх з нормативними значеннями дозволяє встановити термін нормальної експлуатації споруд. Рівняння для розрахунку нормальних напруг в арматурі та бетоні, з урахуванням тривалих процесів, взяті з [10] та мають такий вигляд: в арматурі е-го ряду
КОе = Оер + Оеи = Хаеф> ( ф =Р* и) (19)
ф=р
де оЄф - узагальнені напруження в арматурі від дії « ф », представлені силовим зовнішнім навантаженням або несиловою деформацією (усадка, набряк) бетону. Узагальнене напруження в арматурі дорівнює
сЄф = ГфС^ф- ЖфО^ + ТфОЩф, (20)
де пружні компоненти визначаються за формулами
ом = ф уе
Оеф 1 ,
MN _аe (Mф + NфУє ) N _ аeNV
„«Р у ’ °єФ a •
У red Л
Нормальні напруження в бетоні
кл„ _у £свф- ку°и, ( ф =а и) (21)
ф_ p
де аеф - напруження в бетоні від узагальненої дії «ф», ou = E0єu - умовне несилове напруження бетону. Узагальнене напруження в бетоні визначається при розв’язанні співвідношення
„вф _ ГфСвф - ЖфС^ + ТфСвф, (ф =p,u), (22)
де пружні компоненти визначаються за формулами
„M _ Mф У „MN _ (Mф + Nф У) „N _ Nф
вф _ т , вФ _ у ’ вф _ . .
1 У red Л
До формул також входять узагальнені оператори повзучості [3] та віброповзучості [1], які мають вигляд
V - Cm, Л-E + Cm, Ж p - Cвn + Ci,
к - E + (ц + 'к^вп + (Цк - res )Cln ,
Ти - E + kCm , Гр - E + (ц + 1)Cm + C, Жи - Cen, Tp - E + (k + 1^ +kC2,
Ги - E + C . (23)
Розрахунок нормальних напружень ми провели тільки в найнебезпечнішому місці рами (де виникають максимальні згинальні моменти) - для верхнього ригеля у місці жорсткої опори, а також для нижнього ригеля. Дані за розрахунком наведено в табл. 3.
Таблиця 3 Нормальні напруження рами
Місце Вид розрахунку, МПа Нормативне значення міцності матеріалу, МПа
пружний деформаційний з повзучістю з віброповзучістю
Жорстка опора, верхній ригель (Стиск I Розтяг)
Бетон -0,82I 1,185 -0,722I 1,047 -0,645I 0,938 -17,0I1,20
Арматура -4,572I 6,819 -ii,417I 17,058 -17,534I 26,234 -365,0I365,0
Жорстка опора, нижній ригель (Стиск I Розтяг)
Бетон -1,223I 1,195 -1,093I 1,04 -0,975I 0,891 -17,0Ii,20
Арматура -7,072I 6,899 -16,049I 15,295 -24,062I 22,512 -365,0I365,0
Розраховані нормальні напруження бетону та арматури рами, з урахуванням повзучості та віброповзучості бетону (табл. 3), показали, що вони не перевищують нормативних значень міцності бетону і арматури у часі.
Висновки
Розроблено методологію розрахунку п раз кінематично невизначених залізобетонних рам, з урахуванням повзучості і віброповзу-чості, на основі МСЕ і рекурентних формул, які дозволяють спростити й автоматизувати розрахунок стрижневих систем на тривалі процеси - усадку, повзучість і вібро-повзу-чість бетону.
За результатами розрахунку одержано значні поправки за кінематичними (123-329 %) і статичними (-34...+645 %) характеристиками рами відносно пружних значень. Це свідчить про те, що деформації повзучості та вібропо-взучості бетону слід обов’язково враховувати у практиці проектування стрижневих
залізобетонних конструкцій.
Література
1. Ржаницын А.Р. Теория ползучести /
A.Р. Ржаницын. - М.: Стройиздат, 1968.
- 416 с.
2. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести / Н.Х. Арутюнян. -М.: Гостехтеориздат, 1952. - 324 с.
3. Голышев А.Б. Проектирование железобетонных конструкций: справочное пособие / А.Б. Голышев, В.Я. Бачинский,
B.П. Полищук. - К.: Будівельник, 1990.
- 544 с.
4. Яценко Е.А. Методы расчета железобетонных конструкций на длительное воздействие с учетом ползучести бетона: дис. ... доктора техн. наук: 05.23.01 / Е.А. Яценко. - М.,1989. - 364 с.
5. Яременко А.Ф. Приближенный расчет многоэтажных рам регулярной структуры на горизонтальное нагружение I А.Ф. Яременко II Механика симметричных неоднородных сред и ее приложения, 1997. - С. 115-121.
6. Клованич С.Ф. Расчет железобетонных конструкций методом конечных элементов при длительных воздействиях I С.Ф. Клованич. - К.: НИИСК, 2004. -Вып. 61, Т. 1. - С. 153-15S.
7. Яценко Е.А. Теория длительной прочности и устойчивости железобетонных систем с учетом ползучести бетона I Е.А. Яценко, С.А. Слободянюк. - Днепропетровск: ПГАСА, Пороги, 2002. -250 с.
8. Слободянюк С.А. Метод начальных параметров виброползучести бетона I
С.А. Слободянюк, А.П. Буратинский II Бетон и железобетон в Украине. - 2010.
- № 5. - C. 6-7.
9. Буратинский А.П. Метод решения задач виброползучести I А.П. Буратинский II Вісник Придніпровської державної академії будівництва та архітектури. -2011. - № 10. - С. 45-50.
10. Слободянюк С.А. Деформационный расчет и устойчивость стержневых железобетонных систем с учетом длительных процессов: дис. ... доктора техн. наук: 05.23.01 I С.А. Слободянюк. - Днепропетровск, 2002. - 280 с.
11. Буратинский А.П. Расчет защемленной балки на виброползучесть с учетом армирования I А.П. Буратинский II Теоретические основы строительства: 21-й Польско-Украинский семинар. -Warsaw, 2013. - С. 3S1-3S4.
Рецензент: О.Г. Кіслов, професор, д.т.н.,
ХНАДУ.
Стаття надійшла до редакції 2 грудня 2013 р.
