Метод наименьших квадратов для кратчайших отклонений точек до прямой линии в прямоугольных декартовых координатах и тригонометрические функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2:519.862.6

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ КРАТЧАЙШИХ ОТКЛОНЕНИЙ ТОЧЕК ДО ПРЯМОЙ ЛИНИИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Станислав Петрович Шкроба1, к. ф.-м. н., доцент Николай Витальевич Никифоров , старший преподаватель Дмитрий Сергеевич Комшанов2, д. экон. н., доцент

1ФГБОУ ВО «Петербургский государственный университет путей сообщения императора Александра I», Россия, филиал г. Великие Луки ФГБОУ ВО «Великолукская государственная сельскохозяйственная академия», Россия, г. Великие Луки

Предлагаются новые методы минимизации взвешенной суммы квадратов кратчайших отклонений заданных точек до искомой прямой. Поставленные задачи решаются с помощью тригонометрических функций без применения средств математического анализа, с помощью специальных тождеств и неравенств. Подчеркнута связь решения задачи с собственными числами и собственными векторами специальной матрицы.

Ключевые слова: метод наименьших квадратов, кратчайшие отклонения, специальные тождества и неравенства, собственные числа и собственные векторы.

Задача 1. Пусть дан набор разных пар вещественных чисел (хк, ук), 1 < к < п, к - целое, п - целое, п > 1. Если на плоскости введена прямоугольная декартова система координат, то пары чисел (х^, ук) автоматически порождают точки М^ =М](хк, ук). Найти на этой плоскости прямую линию Ь такую,

п

что взвешенная сумма квадратов 8 = X ty.dk кратчайших отклонений (к задан-

к=1

ных точек М^ =Мк(хк, у^ ) до искомой прямой Ь имеет наименьшее значение. Считается, что положительные числа (веса) ^, характеризующие вклад

п

квадрата отклонения (к в сумму 8, заранее заданы и выбраны так, что

X tk = 1-

к=1

Если точки Мк = Мк(хк, ук ) равноправны, то tk = 1/ п, 1 < к < п.

Предложен новый способ решения задачи 1, основанный на следующих приемах:

1) сведение задачи 1 к новой задаче на глобальный экстремум уменьшением количества переменных в минимизируемой функции с помощью специального тождества;

2) решение новой задачи с помощью тригонометрических функций, без использования средств математического анализа.

п п

Основные обозначения: х = ^ 1кхк , у = ^ 1кук ,

к=1 к=1

п

= Е fk (xk -х )2> о-.2 = Е fk (- у)2> оу = Е fk (xk -х)(Jk - у)

к=1 k=1 k=1

R - множество вещественных чисел.

Определение. R3 = { (а, 6, с) | а, с е R }, R2 = { (а, 6) | a, b е R }.

9 9

Определение. D3 = { (а, b, с) | (а, b, с) е R3 м а + b Ф 0}. Задача 2. Найти все тройки чисел (а2 , b2 , с2) е D3 (прямые линии L: а2х + b2y + с2 = 0) такие, что min S2(ü,b,с) = S2(a2,b2,с2), где

(ö,b,c)eD3

(axk + byk + с)2 _ k=1

, 2 Е (axk + byk+с)2

^2 (а, b, с) =Е^ +2bVk 2+ с =-

k=1

а2 + b2 а2 + b

2 2

Определение. D2 = { (а, b) | (а, b) е R2 м а + b Ф 0}. Определение. Для любого (а,b) е D2 А2(а, b) = S2(a, b, - ах - by).

Теорема 1 (о сведении задачи 2 к задаче 2.1). Верны утверждения:

2 2 2 2 а ох + 2abo + b о,

1) А 2(a, b) =-z-у-у для любого (а, b) е D2;

а2 + b

_ _

^ л / 1 ч с> / т ч (ах + by + с) _

2) А2 (а, b) = ö2 (а, b, с) - --для любого (а, b, с) е D3;

а2 + b

3) min S2(a,b,с) = min А2(а,b), если последнее наименьшее значе-

(a,b,с)еDз (a,b)еD2

ние существует.

Вместо задачи 2 возникает задача 2.1 на нахождение наименьшего значения функции д^ух переменных А2 (а, b) на множестве D2.

Задача 2.1. Найти все пары чисел (a2, b2) е D2 (прямые линии L: а2(х - х) + b2(у - у) = 0) такие, что min А2(а,b) = А2(а2,b2).

( a,b)еD2

Вместе с задачей 2.1 очень естественно рассматривать задачу 2.2 о нахождении наибольшего значения функции двух переменных А2 (a, b) на

множестве D .

Задача 2.2. Найти все пары чисел (a2, b2) е D2 (прямые линии

L: а2(х - х) + b2(у - у) = 0) такие, что max А2(а,b) = А2(а2,b2).

(a,b^D2

Оказывается, что решения задач 2.1 и 2.2 - это пары чисел (a2 ,b2) е D2, которые являются собственными векторами специальной матрицы.

п =

( 2

0x 0xy 2

\°ХУ О

Определение. Квадратное уравнение

У i

У

0xy 0у-Л

= 0оЛ2 -(ox2 + ^УЛ+ 0*0* -а2уу = 0 (1)

называется характеристическим уравнением матрицы Q, а его корни называются собственными числами матрицы Q.

Определение. Пара чисел (a, b) е D2 называется собственным вектором матрицы Q для собственного числа Л матрицы Q, если (a, b) - решение линейной системы уравнений

a(oy -Л) + boxy = 0, aOxy + b(oy -Л) = 0.

Лемма 1. Верны утверждения:

1) выражение АУ (р• cos^, р• sin^), где р> 0, фе R не зависит от переменной р;

2) g ф)=ау (р • c°s^ р •sin =1 (°у+°у+(°у - °у)cos 2ф+2oxysin эд.

Доказательство.

После подстановки a = р^cos^,b = р^sinфв выражение А2(a,b) достаточно применить известные тригонометрические формулы:

2 1 + cos 2ф . 2 1 - cos sin 2т w

cos ф =---, sin ф =---, smrn-cosm = —-—. Лемма 1 доказана.

Теорема 2 (о сведении задач 2.1 и 2.2 к нахождению наименьшего и наибольшего значений функции одной переменной g(ф)).

Верны утверждения:

1) min А2 (a, b) = min g(ф) = min g(ф);

(a,b)eD <peR фе[0,2л)

2) max A2(a, b) = max g(ф) = max g(ф).

(a,b)eÜ2 <eR фе[0,2л)

Доказательство.

Если воспользоваться простейшими свойствами полярных координат, то видно, что преобразование a = р^ cos<, b = р^ sin< устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами пар чисел D и { (ф, р) | < е [0,2л) и р> 0}. Осталось применить лемму 1 и л - периодичность функции g (ф). Теорема 2 доказана.

Лемма 2.Если D = (oj - o2y)2 + 4oXy > 0,Э е [0,2л) и

2 2

cos^0^0, sin£ = 0

4D 4D

то 3_

2 2

arccos-,— , если > 0,

4D x .

22 —x "av

2ж - arccos-.— , если —„, < 0

VD ^

Доказательство.

»TJT/TiT У — г. ,, y _ 2 <

x ^y 'S xy ■

Введем обозначения: x _ j^ - , y _ 2 j . Тогда верны равенства:

2 2 X у

Б = х + у , совЗ = ^=, вт3 = ^=.

Случай 1. у = 2аху > 0. Если 3 = агссоБ-^, то по определению арккосинуса 3е[0, я] с [0,2я). Кроме того, собЗ = совагссоБ-щ =и

. x

sin3 _ sinarccos^= _ „

vD ^

1-—= -1^1 = x2+y2 4D 4D

Случай 2. y _ 2 jxy < 0. Если 3 _ 2я - arccos-^-, то по определению арк-

косинуса 3 е (я, 2я) с [0,2я). 3 ф 2я, так как иначе - , х - = 1 и у = 0, что противоречит условию у<0. По той же причине Зфя. Кроме того,

п x . x

cos3_^= и sin3_- sinarccos^= _ —

4D 4d \

1--х— = 1 =-у=. Лемма 2 доказана.

х2+у2 4Б 4Б

Теорема 3 (о решении задач 2.1 и 2.2 с помощью наименьшего и наибольшего значений функции одной переменной g).

-2 ■ -2 4D

Пусть известно, что D _ (j^ - j<2)2 + 4 j2y > 0,Ä1 _ —--<y—:— и

2

-2 ■ -2 ■ VD

—x +—v + •.

Л2 _-y-. Кроме того, пусть число 3 выбрано так, как указано в лемме 2. Тогда верны утверждения:

1) g(p)_2(— + — cos(2p-3)) для любого ре R;

2) \ < g(р) < Л2 для любого р е R;

3) min А2(а, b) _ min g(р) _ g(ф _А2(^1, ^21), где р = 3 + ^+ 2як

(a,b)eD2 peR 2

— —

a21 _-p(-1) sin —, b21 _ p(-1) cos—, k - любое целое число, pe R и p> 0;

<

4) max А2(й, b) = max g(p) = = gp = А2(a22, b22), где (р2 = 9 +

(a,b)eD2 peR 2

Q Q

a22 = P(~1)m cos—, b22 = P(.~1)m si1", k - любое целое число, pe R, p> 0;

5) min g(p) = min g(p) = \ = g

peR pe[0,2™)

6) max g(p) = max g(p) = ^ = g

peR pe[0,2™)

9 + Я

v 2 у

9

v 2 у

Доказательство.

1) Применяется второе утверждение леммы 1 и лемма 2.

1 9 9 9 9

g() = 2(а* +ау + (а* -ау )cos2( + 2^xy sin2p;) =

+ +JD

(/_2 2 ч ~ ^

(&x -ay) 0 • о

cos2p +—sin2p

I--VUOi^y/ I I-

4D 4D

-(&1 +&2 +4D (cos9cos2p + sin9sin2p))

УУ

2

= 1(^x2 + ^ + VD cos(2p - 9)).

2) Так как -1 < cos(2p - 9)) < 1, то в силу первого утверждения \ < g(Р) < •

3) g(p) = Л1 ^ cos(2p-9) = -1 ^ 2p-9 = ™ + 2nk ^p = p1 =_+ж +

2

a = a21 = p ■ cosp1 = p ■ cos

9 + K + 2™k] . fQ = -p ■ sin

v

2

у

л

—ъ™к

v2 у

= -p■ sin ™k = 0.

f fQ] fQ] \

sin cosnk + cos sin ™k

v v 2 у v 2 у у

Q к

-p(-1)k sin—, так как cosnk = (-1) и

b = b21 = p ■ sin p1 = p ■ sin

9 + ™ + 2лк

p^

' f — cos —

v V 2 у

V

/¿A

cos™k - sin

— 2

2

sin ™k

= p■ cos

л

V 2 у

p(-1)k cos

Q i

—vnk

v 2 у

Q

2

4)g(p) = ^2 ^cos(2p-9) = 1«2p-9 = 2rnn ^p = p2 =

9 + 2mn 2

a = a22 = p ■ cosp2 = p ■ cos

9 + 2nm

i

cos

v v 2 у

v

f a\

2

cosrnn - sin

b = b22 = p ■ sin p2 = p ■ sin

Q 2

| = p■ cos

л

Q

- + жт I =

v2

sin тип v2 у у

9 + 2шпЛ

p(-1)m cos

v

2

у

= p^ sin 68

fQ v 2 у

у

f \

sin — cosлm + cos — sin лт

v V 2 J V 2 J J

Р-

5) Если к = 0, тор =

Э + л

2 Э

= Р(-1)m sinf .

Е [0, 2л), так как Э е [0,2л).

6) Если m = 0, то (2 = — е [0, 2л), так как 3 е [0,2л). Теорема 3 доказана.

Теорема 4 (об уравнениях прямых L21 и L22, пары прямых L21 ^ L22; перпендикулярность прямых L21 и L22). Верны утверждения:

1) существует единственная прямая линия L21, дающая решение задачи

2.1 и - sin 3(х - х) + cos3 (y - y) = 0 - уравнение L21;

2) существует единственная прямая линия L22, дающая решение задачи

2.2 и cos3(х - х) + sin 3(y - y) = 0 - уравнение L22;

3) [(х - х)2 - (y - y)2]oxy - (х - х)(y - y)(o¡¡ -o-J) = 0 - уравнение L21 ^ L22;

4) Ms (х, y) е L21, Ms(х, y) е L22, L21 ± L22. Доказательство.

1) a21(х - х) + b21(y - y) = 0 - уравнение L21. После применения теоремы 3 и элементарных преобразований это уравнение приводится к равносильному

уравнению - sin 3 (х - х) + cos3 (y - y) = 0.

2) Утверждение доказывается так же, как и первое утверждение.

3) Достаточно перемножить уравнения из первых двух утверждений и

применить формулы: cos2 3- sin2 3 = cos3,2 sin ^cos3 = sin3.

4) Так как Л1 =

' . Э Э - sin—, cos— 2 2

v

Э . Э

1L21,n2 cos-,sin-jlL22 и скалярное

произведение n1 - n2 = 0, то L211L22. Теорема 4 доказана.

Теорема 5 (о связи решений задач 2.1 и 2.2 с собственными числами и собственными векторами матрицы Q).

2 ■ -2 SÍD

Пусть известно, что D = (ст^ -ст^)2 + 4ст2у > 0,Я1 = -y

и

Я2 =

ст2 +ст2+4D

Q =

(2 \ стх CTxy 2

ст„, ст.,

v xy У

. Кроме того, пусть число & выбрано так, как ука-

зано в лемме 2. Тогда верны утверждения:

2

1) Л1 = a-y-и ^

a;2 +G2y +4D

- 2 собственные числа матрицы О;

2) (_ ■ $ собственный вектор матрицы О для собственного числа Л;

-sin—,cos 2 2

3) icos- sin-V собственный вектор матрицы Q для собственного числа Л2.

2 2, Доказательство.

1) Л1 и Л - это корни квадратного уравнения (Л - Л1)(Л -Л2) = 0. Так как

0 0 ООО

Л1 + Л2 = о2 + о2 и Л1Л2 = ст^о2 -&2у, то это квадратное уравнение будет равно-

0 0 0 ООО

сильно уравнению Л2 — (ay + ay)л + ayay — ax^ = 0, которое является характе-

x y

xy

ристическим уравнением матрицы О.

3 3

2) Пусть а = -Бт —, Ь = соб—. Достаточно показать, что пара чисел (а, Ь) является решением следующей системы уравнений:

0,

а(Т2 -Л1) + ЬТ2у

.

атху + Ь(оу -Л1) = 0

Проверим, что верно первое уравнение этой системы. Для этого приме-

ним формулы cos- =

2 2 о

ax —ay- п 2axy

sin3 = '

VD

VD

из леммы 2 и известные тригоно-

2 3 . ^ _ . 3 3

метрические формулы: cos3 +1 = 2cos —, sin# = 2 sin—cos—.

a(ax —\) + ba

. 3

4D_

v

4Dr

xy

. 3 sin—• 2

a

2 ■ VD^

ay +

— sin-

2 3

2

2

ax —ay

v

4D

+1

+ cos-

3 2a

3

+ cosy a

xy

2 v 2

VD / 3

— — sin—

2 v 2

2 4D

3 ■

is— • sin0 =

2 J

3^.3

3

= 0.

2 3

:os — + cos— • 2 sin—cos—

2 2 2 2 j

Аналогично проверяется, что верно и второе уравнение этой системы. 2) Утверждение доказывается так же, как и второе утверждение. Теорема 5 доказана.

E-mail: [email protected]

182112 Псковская область, г. Великие Луки, пр. Ленина д. 2, ФГБОУ ВО Великолукская ГСХА

Тел.: +7 (81153) 7-17-72