О двусторонней оценке нормы оператора Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 1 (2018). С. 96-117.

о двусторонней оценке нормы оператора фурье

и.А. ШАКИРОВ

Аннотация. В работе изучается поведение константы Лебега Ln оператора Фурье, определенного в пространстве непрерывных 2-^-периодических функций. Известные её интегральные представления, выраженные через несобственные интегралы, имеют громоздкий вид. Они сложны как для теоретических, так и для приближенных расчётов. Здесь для Ln получено новое интегральное представление, выраженное через сумму интегралов Римана, определенных по конечным сужающимся областям. Установлены эквивалентные ему другие интегральные представления, составляющие которых строго оценены с двух сторон. Затем на их основе проведена двусторонняя оценка самой константы Лебега. Проблема верхней оценки константы Ln решена полностью. Улучшены известные нижние ее оценки.

Ключевые слова: частные суммы ряда Фурье, норма оператора Фурье, константа Лебега, асимптотическая формула, оценка константы Лебега, экстремальная задача.

Mathematics Subject Classification: 34А25, 22Е05

1. Введение

Если ряд Фурье непрерывной, 2^-периодической функции х = x(t) является её равномерно сходящимся разложением, то частные суммы этого ряда

■ ( 1 \

Snx(t) = 1 í x(s)Dn(t - s) ds, Dn(t) = Sin r +}> 1, (1)

2 J 2 sin 2

0 2

служат приближенным выражением для исходной функции [1], [2]. Соответствующий полиному (1) оператор Фурье

Sn : В^ Hi С В, В = С [0, 2тт] или В = L (0, 2тг), (2)

действующий в В, имеет минимальную норму ([3], [4]) среди всевозможных проекторов

Рп : В ^HTn С В, Hi = |t„(í) | Tn(t) = ао + ¿(ак cos kt + bk sin kt) j .

Другими словами, при любых натуральных значениях параметра п справедливо неравенство

||Рп|в ^ llSra||-B = Ln,

согласно которому среди упомянутых проекторов наибольшего внимания заслуживает норма оператора (2). Величину Ln называют константой Лебега, для которой верна формула

ж

2ж 2

L„ = l- í \D„W|dí = 22 1 Sln(2n+ 1)f 1 d, п € N. (3)

2 J 2 J Sin Г

00

I.A. Shakirov, On two-sided estimate for norm of Fourier operator. © Шакиров И.A. 2018. Поступила Ц июля 2016 г.

Она является основной характеристикой процесса приближения исходной функции полиномами (1), участвует при оценке погрешности приближения в неравенстве Лебега (фундаментальном неравенстве)

- ^ (1 + Ьп)ЕI(х), х е В, п е К,

где Е^ (х) - наилучшее приближение функции х(Ь) тригонометрическими полиномами вида Тп(£); п = 0 соответствует тривиальному случаю приближения.

Свойства оператора (2) и его обобщений, соответствующие им фундаментальные характеристики достаточно подробно изучены А. Лебегом, Л, Фейером, Г, Харди, II. Литт-лвудом, Г, Сёге, А. Зигмундом, II. Марцинкевичем и др. Существенный вклад в развитие данного направления внесли советские математики С.Н. Бернштейн, А.Н. Колмогоров, Н.П. Корнейчук, С.М. Никольский, И.П. Натансон, А.Н. Степанец, С.Б. Стечкин, Ю.Н. Субботин, II.К. Суетин, А.Ф. Тиман, М.Ф. Тиман, В.М. Тихомиров, С.А. Теляков-ский, их многочисленные ученики и последователи.

В начале прошлого века для константы (3) Л. Фейером [5] было установлено асимптотическое равенство

4

Ьп = —1пп + 0(1), п ^ го. (4)

ж2

Затем им же в [6] и Г. Сёге [7] найдены формулы для вычисления точного значения константы (3) вида

1 о п 1 1 1 а ^ 1 к(2п+1)

1 2 1 пк 16 ^ 1 1

=--+-> -, Ьп = ^> —тъ- > -, п е К, Ь0 = 1.

2п + 1 ж ^ к ^2п + 1 ж2 ^ 4к2 - 1 ^ 2т - 1' ' 0

к=1 к=1 т=1

(5)

Более подробные сведения о других представлениях константы (3), её обобщениях Ь« и об их свойствах имеются в монографиях [2], [9], [14], работах [7], [8]. Вопросы об оценке Ьп сверху, реже снизу, в математической литературе поднимались многократно (см. [1| [ 1|. [8] [15]). Например, в монографии [14] для разности

4

О(п) = Ьп--- 1пп, п е К,

п2

приводится двойное неравенство вида 1 < О(п) < 3. В работе [13] П.В. Галкиным на основе результата Г. Ватсона [8] получено двойное неравенство

4

1 ^ Ьп -— 1п(га + 1) < 1.8724, п = 0,1, 2,... (6)

п2

Допущенная в верхней оценке (6) техническая ошибка в работе [15] была исправлена на меньшую величину

4 8 1п к 7

со + ^ 1п2 « 1.2706, со = > -- + 1п2 + ^- « 0.9897,

п2 п2 4к2 — 1 2

к=1

где 7 - известная константа Эйлера. В другой работе [16] Г.И. Натансона уточнена константа со, имеющая принципиальное значение при исследовании константы (3). В лемме 2 [16] с целью улучшения известных оценок для констант Лебега сумм Валле-Пуссена были введены более общие непрерывные аналоги константы Лебега Ь(п), п е [1, го). Отметим, что для натуральных значений аргумента п полученные в этой лемме результаты согласуются с неравенствами (4), (5) и их обобщениями (6), (7) из работы [13]. В замечании 2 [16] отмечено, что представляет интерес поведение разности (функции двух переменных) вида

4

0(п,а) = Ьп--- 1п(п + а), а е [0, +го), (7)

п2

в которой соответствующие различным значениям параметра а разности 0(п,а) ведут себя по-разному (строго возрастают либо убывают, имеют различные области значений). Например, в [13] установлена, что разность Ь« — ^ 1п(п + 1) является строго убывающей функцией аргумента п, а разность Ь| — 1п(п + 2) - строго возрастающей функцией, В рамках данной работы подробно исследуется классический вариант разности

4

Оп = 0(п, 0) = Ьп--- 1п п, п Е К,

п2

соответствующий сдвигу а = 0 аргумента логарифмической функции в (7), Для константы (3) Г, Харди в работе [10] получил интегральные формулы

ЬЪ(2п + 1)* сИ 4 Г эЬ(2п + 1)* / / 1

= V СТ^, ^ = ^ ^^^^ 1п(сШ(" + 2) ')

0 0 не содержащие модуля в подынтегральном выражении. Они сложны для теоретических исследований и приближенных расчётов, так как представлены через несобственные интегралы от сложнейших рационально-гиперболических и гиперболическо-логарифмических функций. Следовательно, установление более простых интегральных формул для Ьп также представляет определенный интерес. Эти вопросы подробно рассмотрены в п.З работы.

Активные исследования в этом направлении ведутся и в настоящее время, В работах [17]—[20] задачи приближения периодической и непериодической функций различными типами ортогональных полиномов (Фурье-Лежандра, Фурье-Якоби, Фурье-Чебышева и др.) решаются в весовых и обобщенных весовых функциональных пространствах. Особое внимание в них также обращается на получение двусторонних оценок для соответствующих фундаментальных характеристик, проблеме точности неравенства Лебега, а также изучению аппроксимативных возможностей некоторых модификаций частичных сумм Фурье на различных классах функций, В случаях лагранжевой интерполяции и синк-аппроксимацин функций схожие проблемы рассматривались и решались в работах авторов [21]—[23].

В данной работе получены следующие новые результаты:

1) используя специфические узлы, получено новое интегральное представление для Ьп, выраженное через интегралы Римана от тригонометрических функций со сдвигом аргумента по сужающимся при увеличении параметра п областям; приведены равносильные ему интегральные представления;

2) определены более точные, чем приведённые выше, двусторонние оценки для разности

Оп]

3) на основе полученных результатов затем решена экстремальная задача

А е К+ | Ьп ^ А + ^1пп Уп Е к! = А*, А* = - + — = 1.435991... (8) [ ж2 ) 3 ж

2. Вспомогательные утверждения

При более детальном изучении свойств константы Лебега (3) и в ходе доказательства большинства лемм и теорем работы понадобятся классы функций

Определение 1. Строго монотонная функция р = р(п) (п Е И = И(ф) С К) дискретного аргумента п принадлежит одному из классов если для изменения (вариации)

8^ = 8(ф) = вир {р(п) | п Е Д} — Ш {^(п) | п Е Б}, 8^ > 0, области её значения Я(<^>) выполняется условие 8^ < 8, где 8 - вполне определённое число; знак плюс в обозначении У± используется в случае возрастания функции в области И, минус - при их убывании.

Ясно, что эти классы определены как семейство функций (ср}, для вариации каждой из которых выполняется неравенство < 5 (в нашем случае всюду 6 = 0.2), Участвующие в леммах и теоремах данной работы функции в основном имеют очень малую вариацию. Даже для самой "худшей" из них р = р(п) (п € И) имеет место неравенство < 0.2,

Замечание 1. Для непрерывных продолжений р = р(п) (п € И = (т£И;8ирИ) С К) дискретно определенных функций р = р(п) (п € И С К) формулировка и суть определения 1 полностью сохраняются.

Замечание 2. Функции (последовательности) из классов и V— обладают тем замечательным свойством,, что наибольшие их вариации происходят при первоначальных значениях аргумента п (п = 1 или, п = 1, 2 или п = 1, 2, 3) с последующей, их "стабилизацией" около вполне определенных предельных точек. Данное свойство в работе используется, для, получения более тонких оценок для, различных интегральных представлений, константы, Лебега.

Приведем необходимые в дальнейшем вспомогательные леммы.

Лемма 1. Функция

ап = а(п)

1

(2 п +1)ЗШ 4П+2

и её линейная комбинация

а

И ^ К, И = Иг или И = И2, И С К (9)

к

рг = рг (п) = ^^ ап

» = 2 я(2), ¡ад

в1п Ь

~Г

(10)

п

Доказательство. Функцию (9) представим в виде

_ 2

ап

к

(в1п 4П+2 Л

\ 4п+2 /

г

пе К.

Последовательность

в1п

ап

4п+2

4п+2

монотонно возрастает, ограничена и для нее выполняются соотношения

3 к

- ^ а,п < 1,

Иш ап

1,

справедливость которых легко следует из известных свойств первого замечательного пре-

ап

ющие характеристики:

' 2 2"

п € Иг ^ Я(ап)

(

к' 3

С (0.636619, 0.666667),

22

5(ап) =---= 0.03004...,

3 к

п € И2 ^ Я(ап)

(

2

1

к 7в1п 14

С (0.636619, 0.641995),

(П)

¿(ап)

1

2

. - -- = 0.00537...

7 в1п 14 к

X

К

К

Ясно, что умножение последовательности ап на константу |в, в = 0.872654..., сохраняет её монотонность, при этом лишь незначительно меняются образ и вариация:

/ ж 1

= К ^ ДМ = (0^9 С (0.872654,0.913842), 6(<рг) = 0.04118..., (12)

3

3

D2 = {3, 4, 5, 6,...} ^ R(<fii)= (в = 0.00736...

14 sin 14 j

С (0.872654, 0.880022),

Соотношения (12), (13) для функции (10) (а также (11) для функции (9)) установлены на основе несложных вычислений. Следовательно, функции а(п), <р\(п) принадлежат классу V-, 5 = 0.2, Лемма полностью доказана, □

Для краткости записи выбранное значение 6 = 0.2 после обозначений классов , V-далее всюду будем пропускать (см, комментарии после определения 1),

Лемма 2. Для функции

к2 V V п J V 4п + 2

= = 1п^2 + ^ 1 + cos^^ ) ) (14)

верны соотношения

4 8 4

/ 4 8 4 ^

п е dx ^ ДЫ= "Г , ^ 1n(2 + >/3)

ж ж2

8(<р2) = 0.15491...,

с п -ч т \ ( 4 i 8 4 cosec 14 + ctS 14 п Е d2 ^ r(ip2)=[ 1n- ,ln 14 14

С (0.378824, 0.533743),

С (0.378824, 0.439594),

(15)

(16)

^ж2 ж ж2 3

%2) = 0.06077...,

и она принадлежит классу V-.

Доказательство. Аргумент логарифма в (14) представим в виде суммы двух положительных функций, т.е. в виде

( 1 \ ( 1А

2 + - ап + 2 + - ап сов V п) \ п)

п/ \ п/ 4п + 2

Первая из них принадлежит классу V- как произведение двух функций из этого же класса, вторая также принадлежит V- согласно лемме 2 [24], Следовательно, сама сумма и её логарифм также принадлежат классу V- (логарифмирование не нарушает свойство строгого убывания функции). Для обоснования справедливости соотношений (15) и (16) достаточно провести несложные вычисления. Лемма доказана, □

Лемма 3. Выраженные через (9) функции

2 ж

= р3(п) = — а2п cos-, п Е D, D = или D = D2, (17)

ж 4п + 2

= Щ(п) = 2 (l - ^ COS 4 J+ 2 , П Е D, (18)

являются, строго возрастающими в своих областях определения, функциями. Для, них верны соотношения:

4 /3 8 \

п е Dx ^ В(<£з) = —, С (0.245035,0.258013), 5(<рз) = 0.01297..., (19)

ж3 I

9^ ' ж3

п € И2 ^ Д(рз) 5( рз) = 0.00220 ...

п € Иг ^ К(р4) 5(р4) = 0.00471... п € И2 ^ К(ра)

2 к к 8 \ .

совес —— ,— С (0.255808, 0.258013), 14 14 к3)

49к

9к V

-2) Д (1 -

к) к3 \ к) I

С (0.089040, 0.093757),

49к

2\ к к 8 Д 2

1--совес — ^ —, —з 1--

к

14 14

к3

к

(20)

(21)

(22)

С (0.092955, 0.093757), 8(р4) = 0.00080 ...,

т.е. они принадлежат классу V+.

Доказательство. С целью исследования функции р3(п) при помощи производной непрерывно продолжим её па недискретную область И = Иг или И = И2, Иг = [1, И2 = [3, Она является гладкой функцией, т.е. р3 € Сг(И), Вычислим её производ-

ную:

2

рз(п) =- 2апап сов

к V 2

= -ап 2-

к V

к

+

к

4 п + 2 (2 п + 1)2 к сов 4пт2 - (4п + 2) в1п

2 • к ап в1п ---

п 4 п + 2

)

4п+2

к

(2 п + 1)3 в1п2

сов

+

к

к

4п+2

4 п + 2 (2п +1)2

ап в1п

4 п + 2

2

к(2п + 1) 2

к(2п + 1)

ап I 2к сов2

к П/Х П\ • к к

— 2(4п + 2) в1п -——7 сов

4 п + 2

(

а^п I 2к — к в1п2

к

3 к -ж + — сов

4 п + 2 к

- 2(2 п + 1)в1п

4 п + 2 4 п + 2 к

+ к в1п

2

)

к

4 п + 2

)

4 п + 2

к(2п + 1) \2 2 2п + 1

- (4п + 2) в1п

к

2 п + 1

4 а3

31

Т + "Г сов ■

к

в1п

2п+г

2 п + 1 4 4 2 п + 1

2п+г

)

4 а3

к

-1

2п + И 4!(2 п + 1)2 4! \,4 5) \2п + 1

к

1 6!

-(- - ^—)6 + 1(1 - ^—)8-Л

^4 7)\2п +1/ 8^4 у\2п + 1/ )

п

поэтому р (п) > 0 для всех п € И С К, Функции р3 (п) и р4(п) различаются лишь на константу, поэтому р4(п) > 0 для всех п € И С К, Следовательно, функции (17) и (18) строго возрастают в области И. Справедливость соотношений (19)-(22) для их образов и вариаций устанавливается без особых проблем.

С учётом замечания 1 можем утверждать, что рз, р4 € V+, Лемма доказана.

□

2

7

7

7

4

В пункте 4 работы в ходе проведения нижней оценки константы Лебега используются функции из класса V¿~, поведения которых достаточно изучить лишь в области Иг = К, Необходимые в дальнейшем сведения о них содержатся в следующей лемме.

Лемма 4. Функции дискретного аргумента

<б(п) = ln ^2 + ^ ап cos

4 п + 2

), ра(п) = -ап sec П J п

4 п + 2

п G N,

являются строго убывающими в К. Для, их образов и вариаций верны соотношения,

(4 4 2 R(<p5) =[-, ln-, — ln 3

п2

С (0.097902394, 0.222625359), 5(<5) = 0.12472 ...

R(«a) = -2,

2 4^3

п2

9п

С (0.202642367, 0.245035065), 8(<6) = 0.04239 ..

Доказательство. Последовательность

1

(-+п)

2 + п)ап COS 4п + 2:

п Е N,

является строго убывающей (см, лемму 2 в [24]), причём логарифмирование и умножение на константу не нарушают данное свойство. Для её образа и вариации имеют место приведённые в лемме 4 соотношения, которые получаются с учётом монотонности упомянутых выше преобразований.

Входящие в состав <б(п), п Е N, сомножители ап и sec 4П+2 также являются строго убывающими функциями. Соотношения для образа R(<6) и вариации 5(<р6) устанавливаются на основе несложных расчётов.

Следовательно, Е V-, что и завершает доказательство леммы 4, □

3. Интегральные представления константы Лебега

При более детальном изучении фундаментальных характеристик (функций и констант Лебега) тригонометрических интерполяционных полиномов Лагранжа важное значение имеет выбор класса узлов интерполяции, на основе которого затем определяются [24] их различные явные (безмодульные) виды, В нашем случае в процессе преобразования формулы (3) правильный выбор узлов также имеет первостепенное значение, т.е. позволяет избавиться от .модуля в подынтегральном выражении в формуле (3) и получить новое интегральное представление для константы Лебега,

Теорема 1. Для, константы, (3) справедлива, формула

Ln = 10(п) + 1(п), Ln = L(u), п Е N,

где

т

/с(п) = -

2 /^т(2п +1)i

sini

dt, Т = U

2(2 п + 1):

пЕ N,

1(п) =-

т

п

£/( s

k=1 П V

^(2п + 1)i sin(2 п + 1)i

+

sin(i + t 2 k-l) sin(i + t2k )

d

п

2 £

т п т

f cos(2п +1)t , 2 f sin(2п +1)i ' v ' dt + -4 ' v '

k=1

sin(t + t2 k-l) п

k=1

sin(i + t2k)

2 k 1

п(2к - 1) 4п + 2

к=1,...,п, t2k =

2пк 4п + 2;

к=1,

, п.

(23)

(24)

(25)

(26)

Доказательство. На отрезке [0, 2] рассмотрим систему узлов tj = 2(2n+i)^ J = 0, ... , 2п + 1, образованную из нулей и экстремумов функции у = | sin(2n + 1)í|, t G [0, 2], которая разбивает рассматриваемый отрезок на N = 2п+1 одинаковых частей. Пропуская крайние узлы, оставшуюся часть разобьем на два подкласса: t2k-i = 4П+2(2^ — 1) ^ = 1,... ,п - точки максимума рассматриваемой функции в интервале (0, 2), t2k = 42n+2 = 2П+Т^ = 1,... ,п~ её нули в той же области.

Далее константу Лебега (3) представим в виде суммы N интегралов, затем применим к каждому из них (кроме первого) формулу замены переменной. Соответствующим образом введенные и использованные в расчётах новые переменные и = t — t2k-1, v = t — t2k, u,v G [0,T], k = 1,...,n позволяют избавиться от модуля в формуле (3) и получить представление (23):

Í 2n fk+1

2 2 | sin(2n + 1)í| , 2 f | sin(2n +1)í| ,

Ln =— -at = — y -at

Ж J Sin t Ж I Sin t

0 k=0 tk

=2 'IIsiní^n+IMit +2^/ '? i^+iwdt + T|sin<2» + rnit

ж J sin t ж l J sin t J sin t

'o = \'2fc-1 '2 k

T

2 f I sin(2n +1)í|

ж J siní

0

2 I } I sin(2n +1)(U + t2k-1)| j , } I sin(2 n +1)(w + t2k)|

+ 2 „ Ir Isin(2» +!)(« + t^ +

^^W sm(w + t2k— 1) J sm(w + t2k)

k=T \0

2 } | sin(2n + 1)í| ,

-at

ж J smí

0

2 ^ ( J 1 sin(^f-1 + (2и +1)м) I T[ I sin (жk + (2n + 1)a) I

U/'fy I / . , v dv

+ 2

^^W sin(w + t2k—l) J sin(w + Í2k) k=T \0 0

2 j I sin(2n +l)t| л+2 £ I j ¡cos^+lM + j I sin(2n + A,

W siní j sin(w + t2k-l) J sin(w + Í2k)

0 k=T \0 0

2 j sin(2» + ^ dí+2 £ j / cos<2» +1>j л +sin(2» +1)j \л

J siní n^J \sin(í + t2k-1) sin(í + Í2k)/

W siní \sin(í + t2k-l) sin(í + Í2k)

0

=l0(n) + I(n),

где T = n G N. Основная теорема данного пункта доказана, □

Теорема 2. Для составляющей (24) константы Лебега (23) справедливы, соотношения,

ж

в< I0(n) <tpi(n), п G N, tpi(n) = -dan, (27)

где функция an определена, в (9)

(2Г+ 1)(2к + 1)! V2

0=7^-!—^^-тт(- ) = 0.872654299 ... (28)

^ (2 к + 1)(2fc + 1)! \2) 1 ;

Доказательство. В области (0,Т] рассмотрим следующие эквивалентные между собой двусторонние неравенства:

sin 4—+2 , ^ ■ , ^ , 1 - 1 ^ 4—+2 1

-€ smí < í - < -— € +

, , о í siní sin -¡-^ Í

4—+2 4—+2 (29)

sin(2n + 1)í sin(2n + 1)í 4—+2 sin(2n + 1)t ( ж 1 ^ -:- < -:—:- € --2--:-, í £ 10,

t siní sin 4—+2 t V 4 n + 2

В, пл. sin(2—+1)í sin(2—+1)í

точке t = 0 функции y = —sint ' , y = —^—- доопределим через их правосторонние пределы у(0) = у(+0) = 2n +1, Теперь двойное неравенство (29) интегрируем по области [0,Т], предварительно умножив его на константу 2. В итоге получим строгие неравенства вида

т т т

2 7 sin(2n +1)í 2 f sin(2n + 1)í 2 í sin(2n + 1)í

ж J t ж J sin í sin 4—+2 ж J t

0 0 4—+2 0

т т

2 f sin(2n +1)í , w . ж 2 f sin(2n + 1)í ,

^ - -- dt < Io(n) < -a—- —-—--J- dt.

ж J t 2 ж J t

00

Интеграл, участвующий в последнем неравенстве, выразим через ряд: dt

т

2 í' sin(2n +1)í

ж J t

0

т

--2J ((2n +1) - (2n + 1)3Í2 + 51y(2n + 1)¥ - 71!(2n + 1)7Í6 + ...^ dt 0

((2n + 1)í - ^(2n + 1)Y + ^(2n + 1)¥ - ^(2n + 1)7Í7 + ...

т

2 k

1 1 (ж\2 1 (ж\4 1 (ж\6 = ^ (-1Г ' _ a

Z - 3^1 \2/ + 5^5! UJ - 7^1 UJ + ... = ^ (2 k + 1)(2k + 1)! \2/ = .

Получили быстро сходящийся знакопеременный ряд, сумма которого совпадает со значением К Я1 (1) (см, формулы (10), (28)), С учётом лишь первых семи его членов для

^ V2,

его суммы имеем двустороннюю оценку 0.87265429946 < 9 < 0.87265429948, Теорема 2 доказана, □

Введем обозначения, позволяющие далее компактно записать формулы для L—, получаемые на основе теоремы 1:

У 2k— 1 = y(t2k-l) = —1-, У 2k = y(t2 k) = . \ , k=1,...,n, (30)

sin t2 k— 1 sin t2 k

4 — 4 — 1

s (n) = ;tsmj |> = í(5mj £ ■ (31)

— т

2 ^^ f /sin(2n + 1)í cos(í + t2k—1) cos(2n + 1)í cos(í + t2k)

^ f í sin(2n + 1)¿ COs(¿ + ¿2k—1) COs(2n + 1)¿ cps(¿ + ¿2kЛ ^ ^ ^A sin2(í + Í2k—1) sin2(í + t2k) )

0

ад =

ж(2п + 1)2

т

¿/ (

к—1 £ 4

сов(2п + 1)* (1 + сов2^ + г2к-1)) + ап(2 п + 1)^(1 + соэ2(^ + ^))\ м

(33)

где п Е ^^лы определены в (26),

Теорема 3. Для, второй составляющей (25) константы (23) верны следующие представления:

1(п) = 8(п) + 11(п), п Е К, 1(п) = Б(п) + рз(п) — Ь(п), п Е К,

(34)

(35)

где функции, входящие в их правые части, определены соответственно в (31), (32), (17) и (33).

Доказательство. Для преобразования интегралов, входящих в сумму (25), используем формулу интегрирования по частям, К первой группе интегралов применим замены

1

и

вт^ + г 2к-г)

а ко второй

и

1

¿V = сов(2 п + 1)£^, к=1,...,п, Ь2к-1

¿V = в1п(2 п + 1)£ сИ, к =1,...,п, Ь2к =

вт(г + г 2к)

После некоторых преобразований получим: т

. , 2 ^ Г /сов(2гс +1)* , в1П(2п +1)А

1( п)=-} [—-г-+ —Л-V

П + t2k-l) 81П(^ + ^))

К—1 п

(2 к — 1)ж 4 п + 2 ;

2 кж

4 п + 2.

(И

п /

к—1 \

2 ^ / в1п(2п + 1)* ж

1

(

+—

2п +1 + ¿2й-1)

сов(2 п + 1)* 1

т

т

. в1п(2п + 1)£сов(£ + г2к-1) ,, + I —---—-;—

(2п + 1)в1п2(^ + ¿2Л-1)

п /

ч

й—1 \

2 п +1 в1п(^ + ) 21

)

т

т

сов(2 п + 1)£ сов(£ + £ ) (2п + 1)в1п2 (* + ^)

2 и +1 в1п 12к

т

+

1

2 и + 1

в1п(2 п + 1)£ сов(£ + £ 2й-1) сов(2п + 1)£ сов(£ + £ 2к)

в1п2(^ + Í2fc-l)

в1п2 (Ъ + Ь2к)

4

+ 1)

+

^У2к

к—1

ж(2п + 1)

т

¿/ (

к—1 4

в1п(2 п + 1)£ сов(£ + ¿2й-1) сов(2п + 1)£ сов(£ + £ )

в1п2 (Ъ + £ 2к-1)

в1п2 (Ъ + )

^ сИ,

где значения функций yj определены в (30), Использование обозначений (31) и (32) в полученном равенстве позволяет завершить доказательство формулы (34),

2

0

0

2

Далее используем формулу интегрирования по частям в (32), На этот раз к первой

1 ( n)

u = c°s(' + ^2k 1) , dv = sin(2n + 1)ídt, k=1,...,n, sin (t + t2 k-1)

а ко второй

u = —2( + 2k) , dv = c°s(2n + 1)í dt, k =1,...,n, sin (t + ¿2k )

затем упростим их:

h(n)

2 / cos(2n + 1)íc°s(í + t2k—1)

—

4

k=1 \

ж(2п + 1)^1 2n +1 sin2 (í + Í2k—1)

т

т т 2

c°s(2n + 1)t (1 +c°s2(í + t2 k—1)) „

— ai

sin(2 n + 1)í c°s(í + t2 k)

0

т

o J (2 n +1)sin3(í + 12 k—1)

2 n +1 sin2 (t + í 2 k)

sin(2n + 1)t (1 + c°s2(í + Í2k)) ,,

— ai

0 J (2 n + 1) sin3 (t + t2 k) 0

)

2 ^ / c°s Í2k-1 c°s ¿2k+1 \ ж(2п + 1)2 ¿f V sin2 Í2k—1 sin2 Í2k+1 /

k=1

T

2 С (c°s(2n + 1)t (1 + c°s2(i + Í2k—1))

k=1 £ V

ж(2п sin3 (í + Í2k—1)

sin(2n + 1)t (1 + c°s2(i + í 2 k))\ ,, +--^-;- dt

sin3 (i + t 2 k ) )

í c°s Í1 c°eÍ2—+1 | _ ( ) ж(2п + 1)2v sin2Í1 sin2Í2—+J 2(n) 2 c°s í1 r , ч 2 2 ж

- h(n) = -a— c°s --- - h(n).

к((2п +1)в1п¿г)2 ^ к п 4п + 2

С учётом обозначения (17) полученное равенство перепишем в виде

Д(п) = рз(п) - /2(п), п € К, (36)

который и позволяет из формулы (34) получить равносильную ей формулу (35), Теорема полностью доказана, □

Замечание 3. Для, константы Лебега верны представления

Ьп = 1о(п) + Б(п) + Д(п), п € К, (37)

Ьп = 1о(п) + Б(п) + рз(п) - Ь(п), п € К, (38)

которые являются, простыми следствиями теорем, 1 и 3 (см,, формулы (23), (34), (35)).

Ьп

4. Двусторонние оценки константы Лебега

Несколько первых точных значений константы Лебега Ln = L(n), п G N L(0) = 1, ниже будут использованы в ходе обоснования теорем, связанных с верхней оценкой Ln. Вычислим их согласно формулам (23)-(25) либо (5):

1 2 /3

L(1) = - + = 1.435991124..., 3 Ж

L(2) = 1 + 2 ( - sin Ж + 3 sin ^ ) = 1.642188435 ..., (39)

5 Ж \ 5 5 /

1 2 ( к 2к 3к\

L(3) = - + — 11 sin - + 5 sin — - sin — = 1.778322861... 7 3к \ 7 7 7 у

Заметим, что трудоемкость вычислений быстро увеличивается с ростом п. Следовательно, с практической точки зрения на первый план выходит нахождение хорошей приближенной формулы вида

4

Ln « — Inn + А, п е N, А е [1, 3] С (0, то) (40)

ж2

для вычисления значений констант Ln, п ^ 1, Заметим, что сужение области изменения параметра А в (40) до промеж утка [1, 3] согласовано с известными результатами упомянутых во введении работ,

В рамках данного пункта решим задачу улучшения известных в литературе нижних и

Ln

Задача 1. Найти монотонно убывающую последовательность Ai > А2 > А3 > ..., Ак е [1, 3], элементы которой равномерно относительно параметра п обеспечивают выполнение неравенств

4

Ln ^ Ак + — Inn = ßk(п), п е N, к = 1, 2, 3,... (41)

ж2

Используя результаты и обозначения предыдущих пунктов, вначале докажем теорему о двусторонней оценке константы (3),

Теорема 4. Для константы Лебега (3) имеет место двойное неравенство

Io(u) + S(п) <Ln < Io(ri) + S(п) + <р3(п), п е N, (42)

составляющие которого определены формулам,и (24), (31) и (17).

Доказательство. 1, Для обоснования верхней оценки в (42) используем формулу (38),

2( п)

п

ции в формуле (33) положительны, таковыми являются и определенные интегралы от них по области [0,Т], следовательно, верна импликация

h(п) > 0, п е N ^ Ln < /й(п) + S(п) + <р3(п), п е N.

2, Для доказательства нижней оценки в (42) достаточно установить положительность последней составляющей в формуле (37), т.е. доказать неравенство 11(п) > 0, п е N. Используя формулу (32) и обозначения

cos(£ + ¿2 k-i)

k= sin2(i + t2k-i) k=i

COs(t + 12 k )

ti Sin2(t + ^k) k=i

У = 9n(t) = V . ^ , 2 l\ = Vcosec(í + t2fc-i) ctg(i + t2 —), t e [0,T], (43)

n (, + , ) n

У = hn(t) = У COs2(. = У cosec(í + 12 k )ctg(í + í 2 k), te [0,T], n e N, (44)

< J sin r 4- fn, l ' *

перепишем неравенство h(n) > 0 в эквивалентном виде

т

1 \(п) > 0, п е N, 1i(n) = J (gn(t)sin(2n + l)t - hn(t) cos(2n + l)t) dt. (45)

0

Предварительно исследуем поведение функций (43), (44) в декартовой системе координат tOy. Они являются положительными, вогнуто убывающими в области своего определения функциями. Таковыми являются, как нетрудно в этом убедиться, входящие в их составы косекансы, котангенсы и их произведения, определенные в соответствующих подобластях области [Т, | ], Для них и их производных верны соотношения

Qnit) >hn(t), t е [0,T], П е N, (46)

д'п (t) <h'n (t) < 0(^\д'п (t)\ > Km, gn (t) > Wn (t) > 0, t е [0,T], n е N. (47)

Справедливость неравенства (46) легко следует из определений функций (43), (44) и их свойств: при любых значениях аргумента t и параметра п каждая составляющая cosec(t + t2k-i)ctg(t + ¿2fc-i) в сумме (43) больше соответствующей составляющей cosec(t + t2k) ctg(t + t2k) из (44), Неравенства (47) устанавливаются, применяя к явным выражениям их производных, выраженных также через котангенсы и косекансы, аналогичные рассуждения. Проще говоря, эти неравенства являются очевидными выражениями геометрических свойств функций дп, hn.

Понадобятся уравнения прямых (стягивающих хорд у = Ln(t), у = ln(t)), проходящих через известные граничные точки А1(0, <jn(0)), А2(Т, gn(T)) и B1(0,hn(0)), B2(T,hn(T)) графиков функций (43) и (44) соответственно:

Ln(t) = ai + kit, ai = ai(n) = 9n(0), h = ki(n) = 9n(T)- 9n(0 , 1е [0,T], (48)

ln(t) = a2 + Ы, a2 = a2(n) = hn(0), k2 = k2(n)= hn(T)- hn(0 , n е N, (49)

где коэффициенты прямых (48), (49) выражены через вполне определенные величины

n n n

gn(0)=У —, gn(T) = hn(0) = ^ . 2, , hn(T) =У. —Yi—. (50)

sm 12k-i sm t2k ^ sm 12k+i

В силу того, что функции gn(t), hn(t), п е N являются вогнуто убывающими в области [0,Т] и для их стягивающих хорд выполняются соотношения (46)—(50), имеем:

gn(t) <Ln(t), hn(t) < ln(t), 1е (0,T),

gn(0) = Ln(0), gn(T) = Ln(T) = Ц0), hn(T ) = ЦТ), (51)

Ln(t) - gn(t) > ln(t) - hn(t) > 0, t е [0,T], (52)

причём равенство в (52) достигается только на концах рассматриваемой области.

Далее, как следствие соотношений (49)—(51), получим необходимую для решения проблемы нижней оценки константы Лебега цепочку неравенств вида

gn(t) > gn(T) > ln(t) >hn(t) > 0, ге (0,T), п е N. (53)

Используя неравенства (53) и свойства интеграла Римана, оценим снизу дискретную функцию I^n). Для этого первое подынтегральное выражение в (45) уменьшим, а второе -увеличим, затем вычислим эти интегралы, В итоге получим:

т т

li(n) > j gn(T) sin(2n + l)tdt - j ln(t)cos(2n +l)tdt 00

т т

=9n(T) j sin(2n + 1)í dt- j cos(2n + 1)í (a2 + k2t) dt 0 0

9n(T) | a2 + k2¿ . , u

sin(2n + 1)í

2 n +1 \ 2n +1

т

т т

k2 sin(2n + 1)í

dt

0 2 n + 1

00

hn(0) f a2 , f ж 1

+ k2

- I - —I— К <~> I - -

2 n +1 \2n +1 ^ 2(2 n +1)2 (2 n + 1)2

hn(0) f hn(0) + ж - 2 hn(T) - M0)

2 n +1 \2n +1 2(2 n +1)2 T Ж — 2

(hn(0) - hn(T)) > 0, n e N.

n(2n + 1)

Дополнительно здесь использованы соотношения gn(T) = hn(0) hn(0) > hn(T). Установленное неравенство, эквивалентность вида

Ti(n) > 0, n E N & I\(n) > 0, n E N,

формула (37) позволяют теперь без больших усилий установить справедливость нижней оценки в (42), Теорема доказана, □

Из хода обоснования теоремы 4 видно, что константа Лебега и сверху, и снизу оценена несколько грубо. Несмотря на это, основное неравенство (42) позволит нам далее получить

Ln

дились реже, чем верхние. Аналогичная ситуация наблюдается и в случае лагранжевой интерполяции [24], Сказанное связано с возникающими при их получении специфическими проблемами. Однако результаты теорем 2 и 4, а также леммы 4 позволят ниже достаточно

Ln

Теорема 5. Для константы Лебега (3) верна равномерная нижняя, оценка вида,

4

Ln > 1.173198 + — ln n, n E N. (54)

Ж2

Доказательство. Согласно неравенству (42) для обоснования теоремы следует детально изучить поведения интеграла I0(n) и суммы S(n). Исследование первого из них проведено в теореме 2, Сумма S(n) входит и в верхнюю, и в нижнюю оценки основного неравенства (42), а потому ниже её оценим с двух сторон. Для этого перепишем (31) в более удобном для изучения виде

n n

S(n) = —V= -z--—, n E N. (55)

¡"i 2n + 1 ж2 f-f sin 2n +1' 1 ;

fc=1 fc=1 2n+1

Ясно, что сумма (55) представляет собой приближенную формулу средних прямоугольников по равномерно распределенным на отрезке [T, | ] узлам для интеграла

2

ад = 4 í —, t Ж

ж2 J siní 4n + 2

т

В нашем случае, т.е. для вогнуто убывающей в ограниченной области [Т, |] функции у = для суммы (55) верна двусторонняя оценка

2

4 ж 1 4 Г сН

П + (п) < г(п), п е N. (56)

ж2 2(2n +1)sin ж2 J sint

t2

Упростим составляющие двойного неравенства (56), используя при этом леммы 2 и 4:

4 ж 1 1 ап ж

= — вес --- = <р6(п),

ж2 2(2п + 1) sin ^ ж(2п + 1) sin ^ cos ^ ж 4п + 2

4 Г dt 4 ^ t 2 = 4 ln cos щ+2 = ± ln cos 4п+2п(2п +1)

ж2 sin 4п+2 ж2 sin 4^+2n(2n +1)

2 / • + 1. lntSö

ж2 .] sin г ж2 2

2 " Ш"4«+2'

4 4 ff 1 \ ж \ 4

— Inn + — ln 2 +— ап cos-—— =— lnn + <р5(п), ж2 ж2 п 4 п + 2 ж2

4 co = 4ln-8п+4 = -^-ln

2

. . 4 Г dt 4 t

г(п) =~i \ = ~i lnt§ö ж2 J sint ж2 2

p 4n+2

ж

4 ln cos 8П+4 = 4 ln cos 8П+4 ■ 2cos 8П+4 ■ n(2n + 1)

ж2 sin 8П+4 ж2 sin 8П+4 ■ 2cos 8П+4 'n(2n +1)

^lnn + ж"2ln((2 + n) 41 + cosin5r^)) = lnn + ^2(n)-

Проведённые выше расчёты позволяют переписать неравенство (56) в виде

44 ^5(п) + ^б(п)н—- lnn<S(п) < ^(п) +—2 Inп, п е N. (57)

ж2 ж2

Теперь с учётом неравенств (42), (27), (57) и результатов леммы 4 легко установим справедливость неравенства (54):

44 L(o) >/о(п) + S(п) > в + ^5(п) + ^б(п) +—- 1пп > в + inf ^5(п) + inf ^б(п) +—- 1пп

ж2 n€M пШ ж2

44

>0.872654 + 0.0907902 + 0.202642 + — 1пп = 1.173198 + — ln п.

ж2 ж2

Теорема доказана, □

В последующих двух теоремах определим конкретные значения первых двух констант Ai и А2 из задачи 1, поевящённой верхней оценке константы Лебега,

Теорема 6. Решением задачи, 1 является константа Ai = 1.705598, т.е. имеет место строгое неравенство

4

Ln < 1.705598 +—- 1пп = jh(п), п е N. (58)

ж2

Доказательство. Константу Лебега (3) оценим сверху с учетом неравенств (42), (27), (57):

4

Ln < Io(n) + S(п) + ^з(п) < ^i(n) + у-(п) + ^э(п) +—- lnn, п е N. (59)

ж2

Учитывая справедливые для функций е V-, е V+ соотношения (12), (15), (19),

продолжим равномерную оценку сверху в (59):

4

Ln < max (п) + max (п) + max (п) +—- ln п

п

пем пем пем ж

44

<0.913842 + 0.533743 + 0.258013 +—- lnn = 1.705598 + — lnn, п е D1 = N.

ж2 ж2

Теорема доказана, □

Проверим выполнение неравенства (58) при первоначальных значениях аргумента п, используя точные значения констант Лебега из (39), и вычислим допущенную при этом погрешность ёп = ё(п) = р,1(п) — Ь(п):

1 2 /3 4

п = 1: L(1) = - + — = 1.435991..., ^(1) = 1.705598 + — ln 1 = 1.705598 3 ж ж1

^ L(1) < fii(1), ё\ « 0.269607;

п = 2: L(2) = 1 + - ( 3 sin — - sin - ) = 1.642188 ..., 5 ж \ 5 5 у

4

^(2) = 1.705598 +—ln 2 « 1.986919 ^ L(2) < fa(2), e2 ~ 0.344731; ж2

T/ , 1 2 f 1 4ж 5 2ж 11 ж\ п = 3: L(3) = 1 + ж (- ^my + 5 sin— + y s™ j) = 1.778322 ...,

4

Д1(3) = 1.705598 +—ln3 « 2.150849 ^ L(3) < fa(3), e3 « 0.372526. ж2

Неравенства выполнены, их левые и правые части различаются на небольшую величину, При увеличении аргумента п наблюдается рост допущенной по грешности ёп, которая затем (п ^ 1) будет стабилизироваться около вполне определенного числа.

Решение А1 = 1.705598 задачи 1 позволяет утверждать, что существует множество других ее решений, которые удовлетворяют последовательности неравенств А1 > А2 > А3 > ... > Ак > ... Ниже найдем конкретное значение А2, используя при этом результаты лемм 1-3, установленные для области D2 = {3, 4, 5,6,...} С N.

Теорема 7. Константа А2 = 1.577629, А2 < А1, является решением задачи, 1, т.е. имеет место строгое неравенство

4

Ln < 1.577629 + —Ып = ^2 (п), п е N. (60)

ж2

D2

N

выполняется для всех п из области D2), в котором функции L(v).; ^к(п), к = 1, 2, 3, оценим сверху, используя на этот раз соотношения (13), (16), (20):

4

Ln < max <р1(п) + max (п) + max (п) +--2 1пп

neD2 neD2 neD2 ж2

44

<0.880022 + 0.439594 + 0.2580134 + — Ып = 1.577629 + — Ып = &(п), п е D2.

ж2 ж2

D2 С N

А2 = 1.577629 А2 < А1

п = 1 п = 2

D2

4

п =1: L(1) = 1.435991..., Ы1) = 1.577629 + —ln.1 = 1.577629 ^ L(1) < &(1),

ж2

4

п = 2: L(2) = 1.642188 ..., fc(2) = 1.577629 + —ln. 2 « 1.858551 ^ L(2) < Ц2(2).

ж2

Они выполнены, следовательно, справедливость неравенства (60) полностью установлена. Теорема доказана, □

Замечание 4. Для остаточного члена, Оп = Ln — ln п функции Лебега верна, равномерная, двусторонняя оценка

4

1.173198 <Ln — — ln п< 1.577629, п е N, (61)

ж2

которая является, прямым следствием теорем, 5 и 7.

Замечание 5. Поиск последовательности, решений Ак из задачи, 1 с использованием основной теорем,ы, 4 не приводит к установлению верхней экстремальной величины А* из (8). Сказанное следует из выводов лемм 1-3 относительно образов R(<^k) функций <£к = <Pk(п), к = 1, 2, 3. Поэтому задачу (8) ниже решим, несколько другим способом,.

5. Экстремальная задача, связанная с верхней оценкой Ln

Используя обозначения предыдущего пункта, экстремальную задачу (8) сформулируем в удобном для дальнейших исследований виде.

Задача 2. Среди всевозможных решений задачи 1 найти наименьшую константу

А* = min Ак, для, которой равномерно относительно аргумента п выполняется нера-keN

венство

4

Ln ^ А* + — lnп = jí(n), п е N. (62)

ж2

Данную экстремальную задачу, связанную с верхней оценкой константы Лебега, решим на основе усиления основной теоремы 4 (см, замечание 5), Заметим, что вопросы нижней оценки константы Ln, рассмотренные и частично решенные в предыдущем пункте, а также ее экстремальный вариант в рамках данной работы рассматриваться не будут. Решение аналога задачи 2 для этого случая требует привлечения дополнительных ресурсов и усилий,

В декартовой системе координат пОу рассмотрим функции

у = L(n), у = jli(n), у = р,2(п), у = р,(п), п е N, (63)

входящие в соотношения (23), (58), (60) и (62) соответственно. Первая из них (константа Лебега) с некоторой погрешностью ведет себя как логарифмическая функция, но не является таковой. Остальные функции из (63) можно получить друг от друга параллельным переносом их графиков относительно оси Оп, сохраняя при этом их вершины на прямой п — 1 = 0.

Исходя из ранее проведенных исследований функции Лебега и геометрических соображений, можно предположить, что решением экстремальной задачи 2 является константа А* = L(1) = 3 + , Для обоснования справедливости данной гипотезы вернёмся к тождеству (37), в котором слагаемое 1\{п) (см, (32)) оценим сверху другим способом. Ранее в ходе доказательства основной теоремы 4 использовали неравенство 1\{п) < <р3(п), п е N. С целью получения более точной верхней оценки для суммы (32) представим её в виде разности двух интегралов:

h(n) = íi(n) — íe(n), п е N, (64)

где

т

íi(n) = 2 I (Ln(t)sin(2n +1)t — ln(t) cos(2n + 1)t) dt ж(2п + 1)J

=—í Ln(t)sin(2n +1)tdt — 2 í ln(t)cos(2n +1)tdt, ж(2п + 1) J ж(2п +1) J

o o

Т

ш =

-(2п + 1)

{(Ьп(г) — дпЦ)) вт(2п + 1)г — (1п(г) — кп(1)) сов(2п + 1)СЛ,

функции дп(Ь), кп(Ь) Ьп(Ь) 1п(Ь) определены в (43), (44), (48), (49) соответственно.

Вначале вычислим точное значение интеграла 11(п). Для этого к разности интегралов в (65) применим формулу интегрирования по частям с соответствующими заменами вида и = Ьп(£), СV = в!п(2п + 1)ьа а и = Сь = сов(2п + 1)ьа , затем вычислим их,

используя при этом соотношения (48), (49):

ш

2

-(2п + 1) 2

-(2п + 1)

т т

(Ы + 0,1) зт(2п + 1)Ь а — J(М + о2) сов(2п + 1)Ь <И ч0 0

(

(

к\Ъ + о1 2п + 1

к2Ь + о2 2п + 1

сов(2 п + 1)г

в!п(2п + 1)г

т

+

т

1

2 п + 1

ооб(2п + 1)га

т

к

т

2 п + 1

вт(2 п + 1)га

)

2

Ь + к2 + 01 — о2 — к2Т

-(2п + 1) \ (2п + 1)2 ' 2п + 1 2 ( 1 К(Т) — дп(0)

Т

+

1

-(2п + 1) \(2п + 1)2

\(2*+1)2п \1 О " , (0) — К(Т))

(2 п + 1)

(дп(0) — К(Т))

)

4

К2

4

1

Е

совЬ2к-1 соиЬ2к+1

(2п + 1)2 ^ 12к-1 в1п2 г2к+1

)

1

-К2) (2п + 1)2 Vв1п2Ь

сов и

совг2п+1 \ вт2 г2п+1)

1

сов

4п+2

2 ( 2

'К V1 — -У (2п +1)2 в1п2 *

4п+2

2 (л 2\ 2 -

— 1--а„ сов-.

к v к п 4п + 2

Полученный результат и обозначение (18) позволяют записать следующую явно определенную формулу для интеграла (65):

Ш = 2- (1 — К)

к \ -)

2 -

а„ сов-

п 4п + 2

= р4(п), п е N.

(66)

Теперь исследуем поведение интеграла 1£(п). Для этого подробно изучим подынтегральную функцию (функцию погрешности)

£п^) = рп&) — дп^),

Рп(г) = (ьп(г) — 9п(г)) яп(2 п + 1)г, дп(г) = (1п(г) — кп(г)) сов(2п + 1)г с использованием элементов дифференциального исчисления.

2

0

0

1. Для функции (67) выполняются соотношения

т=еп{т) =0, (|) = | [(¿„ (2)- * (2))- (/„ (2)- Ь.п (|))

Более того, имеем £п(Ь) > 0 ^ е (^,Т) так как в рассматриваемой области для её составляющих верны неравенства 8т(2п + 1)Ь > со$,(2п + 1)Ь и Ьп(Ь) — дп(Ь) > 1п(Ь) — Нп(£) (см. (52)).

Функция £п(1) обращается в нуль ещё в одной точке ¿* = 1*(п), принадлежащий интервалу (0, 2), С целью обоснования этого утверждения рассмотрим эквивалентные между собой уравнения

£п(^ = 0 & (Ьп(г) — дп(г))вт(2п + 1)г = (1п&) — К&))со8(2п + 1)г

^ ± (о , IV 1п(г) — 9п(г) + л- (п тл л- тм & ^(2п + 1^=-———-, ге (0,T), п е ^

Ш) — пп(г)

где правая часть уравнения (68) согласно неравенству (52) всегда строго больше единицы, следовательно, ctg(2п + 1)Ь > 1, Ь е (0,Т), п е N. Полученное условие па правую часть равенства (68) означает, что корень ¿* всегда находится в облаети (0, 2).

2. Выполняется неравенство е^(0) < 0, т.е. функция погрешности убывает в некоторой окрестности нуля и принимает отрицательные значения. Здесь

< (0) = К(0) — 1'п (0) = tga(Bl) — tg3 (В1),

где а(В1) - угол между осью 01 и касательной к г рафику функции у = кп(1), проведённой в точке В1 = В1(0,кп(0)), а 3(В1) - угол между осью 01 и стягивающей хордой У = t е [0, Т]. Так как кп(1), Ь е [0, Т], является вогнуто убывающей функцией, в точке В1 имеем а(В1) < 3(В1) (оба угла принадлежат второй четверти). Поэтому разность их тангенсов всегда отрицательна.

На правом конце области определения имеет место неравенство е'п(Т) < 0, где

е'п(Т) = Ь'п(Т) — д'п (Т) = tg3 А) — tga(A2),

®-(А2) - угол между осью 01 и касательной к г рафику функции у = дп(Ь), проведённой в точке А2(Т, дп(Т)), а 3(А2) - угол между осью 01 и стягивающей хордой у = Ьп(1), Ь е [0,Т], и эти углы также принадлежат второй четверти. Следовательно, имеют место импликации

а(А2) >3(А2) ^ tga(A2) > tg3(A2) ^ е'п(Т) < 0.

Теперь можем сказать, что функция £п^) принимает отрицательные значения в интервале (0, V*) положительные - в (¿*,Т), равномерно ограничена в области своего определения, т.е. имеет место двойное неравенство:

— \\ 1п — М < £п(1) < \\ьп — 9п\\, ге [0,Т],

где \\Ьп — дп\\ > \\ 1п — кп\\.

3. Выполнено

8^(0) = 2(2п + 1)(Ь'п(0) — д'п(0)) + К(0) = 2(2п + 1Ш3А) — tga(Al)) + К(0) > 0,

так как обе составляющие последней суммы положительны: в вершине А1 = А1(0, <?п(0)) стягивающая хорда образует больший угол 3(А1), чем угол а(А1).1 являющийся углом между осью 01 и касательной к г рафику функции у = дп(1) в точке А1. В силу всюду вогнутости графика функции у = кп(1), Ь е [0,Т], верно Ь'^(0) > 0. Справедливо

е:(Т) = 2(2п + 1)(1 'п(Т) — Ып(Т)) — &(Т) = 2(2п + 1)^3В) — tga(B2)) — &(Т) < 0,

что следует из аналогичных рассуждений, проведенных с учётом специфики вершины B2(T,hn(T)) графика функции hn(t).

Таким образом, результаты пунктов 1) 3), дополнительные сведения о составляющих

n n

циального исчисления, позволяют утверждать следующее:

(t* т \

J £ n(t) dt + J £ n(t) dt I > 0, n e N. (69)

Как результат проведенных выше исследований (см, (64), (66), (69)), можем сформулировать следующую теорему.

Теорема 8. Для, функциональной зависимости (32) справедлива следующая равномерная верхняя, оценка:

h(n) <Mn), n e Di = N, (70)

где функция в правой части неравенства определена, формулой (18).

Замечание 6. Из тождеств (36), (64), (66) и обозначений (17), (18) имеем, равносильность

4 к

Is(n) = I2(n) - ((fi3(n) -^i(n)), n e N ^ I£(n) = I2(n)---аП cos---, n e N,

к2 4n + 2

где правая часть последнего равенства, представлена в виде разности двух положительных функций. Следовательно, справедливость неравенства (69) можно также установить, оцепив интеграл, (33) снизу, т.е. проверив выполнение неравенства

4 к

hin) > —а2п cos---, n e N.

w к2 n 4n + 2

Результаты теорем 2, 3, 5, 8 позволяют теперь решить экстремальную задачу, поставленную во введении данной работы.

Теорема 9. Решением экстремальной задачи 2 является константа А* = 1 + ,

т.е.

mini А | Ln ^ A + ^lnn, n e nX = А*, А* = 1 + — = 1.43599! ... [ -к2 J 3 -к

Доказательство. Формула (37) для константы Лебега автоматически выполняется в подобласти D2 = {3, 4, 5, 6,...} множества натуральных чисел N Её составляющие I0 (n), S (n), Ii(n) оценим сверху в области D2, используя при этом соотношения (27), (57), (70), Затем к функциям çl(n), ç2(n), ç4(n), n e D2, применим соответствующие оценки (13), (16), (22), В итоге получим:

4

L(n) = I0(n) + S(n) + Ii(n) < çi(n) + Ç2(n) +—2lnn + ç4(n)

(71)

к2 4

< maxçl(n) + maxç2(n) + max (n) +--- lnn

neD2 neD2 neD2 к2

44

<0.880440 + 0.439594 + 0.093757 + — lnn < 1.413791 + — lnn

к 2 к2

4

^ L(n) < 1.413791 + —lnn = ß3(n), n e D2 С N.

к 2

Используя вычисленные в (39) точные значения констант Лебега L(1), L(2), проверим выполнение неравенства (71) при значении аргумента n = 2:

4

L(2) = 1.642188 ..., ß3(2) = 1.413791 +—ln 2 = 1.694712 ... ^ L(2) < ß3 (2),

к 2

т.е. оно выполнено. Следовательно, неравенство (71) выполняется в более широком множестве аргументов D3 = {2, 3, 4, 5, 6,...}. При значении аргумента п = 1 оно не выполняется, т.е. верно неравенство L(1) > ц3(1) (^ 1.435991... > 1.413791...),

С целью выхода из этой ситуации переместим вершину К(1,1.413791) графика функции у = ц3(п) вверх в точку L(1, | + ^^), сохраняя параллельный перенос графика относительно оси Оп. При этом логарифмическая функция ц3(п) тождественно совпадет с функцией

ч 1 2^3 4

у = ц(п) = - +-+ — lnп,

3 ж ж2

и будут выполнены неравенства

L(ra) < ц3(п) < ц(п), п Е D3. п = 1

l(1) = m = \ + 2^.

3 ж

Следовательно, во всем множестве натуральных чисел (N D D3 D D2) справедливо неравенство

1 2^/3 4

о + - + ^

3 ж ж2

Теорема доказана, □

Замечание 7. Теорема 9 и неравенства (61) позволяют сделать следующий вывод: для, остаточного члена, Оп = Ln — 1пп функции Лебега выполняется двойное неравенство

А 19 /ч 1 9 /ч

1.173198 <Ln — — 1пп ^ - + —, п Е N, - + — = 1.435991 ж2 3 ж 3 ж

в котором, верхняя, оценка является, окончательной.

L(n) ^ ô H---H^inn, п G N.

2

1 2

3

4

5

6

7

8

9 10

11

12

13

14

15

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.; Л.: Гостехиздат, 1949. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир, 1965.

Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960.

Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1976. L. Fejér Lebesguesche konstanten und divergente Fourierreihen // J. Reine Angew. Math. 1910. V. 138. P. 22-53.

L. Fejér Sur les singularités de la série de Fourier des fonctions continues // Ann. de l'Ec. Norm. Ser. 3. 1911. V. 28. P. 63-103.

G. Szegö Uber die Lebesgueschen konstanten bei den Fourierchen reihen // Math. Z. 1921. V. 9. N0. 1-2. IM 63 166.

G.H. Watson The constant of Landau and Lebesgue // Quart. J. Math., Oxford. 1930. Ser. 1. P. 310-318.

Корнейчук И.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976.

G.H. Hardy Note on Lebesgues constants in the theory of Fourier series // J. London Math. Soc.

1942. V. sl-17. No. 1. P. 4-13.

Никольский С.M. О линейных методах суммирования рядов Фурье // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1948. Т. 12. No. 3. С. 259-278.

Стечкин С.Б. Несколько замечаний о тригонометрических полиномах // Успехи матем. наук. 1955. Т. 10. No. 1. С. 159-166.

Галкин П.В. Оценки для, констант Лебега // Тр. МИЛИ СССР. 1971. Т. 109. С. 3-5. Ахиезер H.H. Лекции по теории аппроксимации. М.: Мир, 1965.

Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды, и элементы теории аппроксимации. Изд-во Ленингр. ун-та, 1983.

16. Натансон Г.И. Об оценке констант Лебега сумм Валле-Пуссена / Геометрические вопросы теории функций и множеств. Калинин, 1986.

17. Сандакова С.Л. Приближение функций суммами Фурье по тригонометрическим ортогональным полиномам,: дис. ... канд. физ.-мат. наук, Уральский гос. ун-т им. A.M. Горького. Екатеринбург, 2005. 75 с.

18. Бадков В.М. Введение в единую теорию алгебраических и тригонометрических ортогональных полиномов: учебное пособие. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2006.

19. Моторный В.П., Гончаров C.B., Нитиема П.К. О сходим,ост,и в среднем, рядов Фурье-Якоби // Доповщ Национальной академи наук Украши. 2010. № 3. С. 35-55.

20. Бадков В.М. Оценки функции Лебега, сумм Фурье по тригонометрическим полиномам, ортогональным с весом,, не принадлежащим, пространствам // Труды ИММ УрО РАН. 2011. Т. 17, № 3. С. 71-82.

21. Трынин А.Ю. Оценки функций Лебега, и формула Нева,и для sink-приближений непрерывных функций на отрезке // Сиб. матем. ж. 2007. Т.48, №5. С. 1155-1166.

22. Шакиров H.A. Полное исследование функций Лебега, соответствующих классическим интерполяционным полиномам Лаграмжа // Изв. ВУЗов. Матем. 2011. № 10. С. 80-88.

23. Шакиров H.A. О функциях Лебега, соответствующих семейству интерполяционных полиномов Лагранжа // Изв. ВУЗов. Матем. 2013. № 7. С. 77-89.

24. Шакиров И.А. О влиянии вы,бора, узлов лагранжевой интерполяции на точные и приближенны,е значения констант Лебега, // Сиб. матем. ж. 2014. Т. 55, № 6. С. 1404-1423.

Искандер Асгатович Шакиров,

Набережночелнинский государственный

педагогический университет,

ул. Низаметдинова, 28,

423806, г. Набережные Челны, Россия

E-mail: [email protected]