CC BY
10
УДК 537.632
МАТРИЦА ОТРАЖЕНИЯ В МАГНИТО-ОПТИКЕ МУЛЬТИСЛОЙНЫХ СТРУКТУР
Н. Ф. Кубраков1
В сообщении дано выражение для матрицы отражения магнитного мультислоя, каждый слой которого предполагается однородно намагниченым в произвольном направлении. Тензор диэлектрической проницаемости слоя учитывает оптическую анизотропию в направлении, ор-
>
тогоналъном границам, и рассматривается в линейном приближении по двум магнито-оптическим параметрам. Полученный результат позволяет исследовать большое число различных конфигураций мультислоев и магнитооптические эффекты в них с учетом влияния оптической анизотропии.
При исследовании магнито-оптических эффектов Керра в мультислойных структурах как правило делается ряд предположений, которые позволяют связать угол поворота плоскости поляризации и эллиптичность отраженной волны с внутренними параметрами структуры [1-3]. Падающая волна считается плоской и монохроматической. Каждый слой характеризуется тензором диэлектрической проницаемости, который линейно зависит от намагниченности. Этого достаточно, чтобы после нахождения нормальных мод - плоских волн, которые могут существовать в слое, и использования метода характеристических матриц [1, 4-6] получить необходимое соотношение между 5- и р-составляющими напряженностей электрического поля падающей и отраженой волны:
т
.4Г). ^ps ^рр .4°.
1 E-mail: [email protected]
где элементы матрицы отражения фактически содержат всю информацию об оптических и магнито-оптических свойствах мультислойной структуры. Цель настоящего сообщения - дать выражения элементов матрицы с учетом оптической анизотропии слоев.
Рис. 1. К определению матрицы отражения плоской монохроматической волны от магнитного мультислоя.
Предполагается, что структура состоит из N + 1 слоя (рис. 1). Некоторый слой толщиной к характеризуется тензором диэлектрической проницаемости
е = (т)
п
im^n2Q п —im2n2Q im\n2Q
—irn3n2Q irri2n2Q
2 —imin2Q
2
п.
(2)
где п,пе - коэффициенты преломления для обыкновенной и необыкновенной волн (1тп, 1тпе > 0, поскольку в представлении плоских волн выбран временной фактор ехр(—ги;£)), ш = (т1,т2,т3) - единичный вектор, определяющий направление однородной намагниченности в слое, ф и ф - магнито-оптические параметры. Для каждого конкретного слоя все перечисленные параметры должны иметь соответствующий индекс. Тензор (2) получен в предположении <С 1, которое влечет за собой требование об инвариантности тензора восприимчивости относительно точечной группы симметрии материала слоя [4-7]. Выражение справедливо для групп 32, 3т, 3т, 422, 4гага, 42т, 622, бтт, 6т2, 6/ттт, включая группы Кюри оо2,оот и оо/тт. Таким
образом, среда слоя оптически одноосная и ось анизотропии ортогональна поверхности, что совершено естествено для тонкопленочных структур.
После исследования нормальных мод (плоских волн, которые могут распространяться в среде, имеющей тензор (2)) получается следующее выражение для характеристической матрицы слоя:
м = м(0) + м(1) =
+
771ц т12 О О
т21 ти О О О 0 т33 т34 О 0 т43 т33
где одиннадцать независимых элементов имеют вид:
О 0 га13 т14
О 0 т23 т2 4
т24 гпы т33 О
т.23 т\з 0 -т33
(3)
шц = cosh/i, т12 = —7 Lsinh//, т21 = —7sinh/¿,
т33 = cosh/íc, т34 = n~27esinh//e, т43 = n27~1sinh/ie, mi3 = —гт2а-1 A-1n2(5(7_1sinh/i — 7eT1sinh fie) + im3a~2 A~1n2Q(coshp — cosh//e),
m14 = —im2a~ A~ Q(cosh/¿ — cosh/ze) + im3a~ nen~ A~ 7eQ(7~ sinh/z — sinh//e),
m23 = irriga'1 A~l n2(J(cosh/x — cosh^e) — ¿m3a-2n2A-1(5(7sinh/¿ — 7esinh//e),
m24 = ¿m2cü_ 1 A_1(5(7sinh/i — 7esinh//e) — im3a~2n2tn~2 A~]~f2Q(coshfi — cosh/¿e),
m33 = ¿miQn~2n2771(5sinh^e-
Здесь используются параметры p = ik^lx, [it — 7 = (n2 — a2)1/2, 7e = ran"1 (n2 —
а2)1/2, Д = n2en~2 — 1, a = n0sinv?, где k0 = lj¡c - волновое число, щ - коэффициент преломления среды, в которой находится структура (рис. 1), с/? - угол падения. Согласно уравнению (3), характеристическая матрица полностью представляет слой в многослой ной структуре через параметры n,ne,Q,(5, определенные на частоте ш, толщину h и единичный вектор ш произвольного направления однородной намагниченности. Очевидно, М не зависит от локализации слоя и обращается в единичную матрицу при h —► 0, означая, таким образом, отсутствие слоя в структуре. Если слой немагнитный [Q — Q = 0), то М принимает блочно-диагональный вид, что соответствует независимому распространению в слое s- и р-поляризованных волн.
Характеристическая матрица всей структуры М = М1М2...МЛГ+1 ~ произведение матриц слоев в том порядке, как показано на рис. 1. Матрица М„ определяется из уравнения (3), в которое параметры n,ne,Q,Q,m,h должны входить с индексом v. Кроме
того, необходимо следовать линейному приближению по параметрам Ц и ф:
м = м<°> + м") = м<Г ,м<°>...м™, + м1,)м<0)...м(°)...м^1 + ...
+ м'°)...м10.»1м14ма...м<;11 + ... + МГ.-.М«'»...^^, (4)
где М^ - сумма N + 1 матриц, содержащая все магнито-оптические параметры.
Матрица отражения (1) выражается (в линейном приближении по параметрам (¡) и С?) через элементы характеристической матрицы (4) следующим образом:
_ (ГПП - т22)С + ГПи(2 - 77221 -
+2С
(тп т22)С + mu(2 + rn21'
(тхзПр - т1ЛПо)(т2\ -f m22Q ~ (га23Пр ]( ~ m24re0)(mii + ml2Q sp ((»Till + rn22)( + rnl2(2 -f m2i)((m33 + m44)C - mMn20 - т43ГСо 2C2)
(m31 + т32С)(т43ггр ~ ra447i0) ~ (m41 + т42()(тззп0"'С - rn34n0)
((тп + m22)C + rn12(2 + m2i)((m33 + m44)£ - m34ng - m43riQ2(2) t _ (m44 - m33)C + m34ng - т43Пр 2(2 ^
PP ("^33 + ^72.44) С - m34no - "^43^0 2C2 (w33ng lC — 4 — m44n0) — (т43Пр — т44гг0)(т33По ]C ~ m34^o)
= 2C
~ps — 2(
((m33 + m44)C - m34rcg - m43n0 2f2)2
где С = n0 cos </?, mjj и mij - элементы матриц и соответствено.
Найденное представление матрицы отражения, очевидно, предполагает ее численную реализацию на компьютере. Изменяя параметры и направление намагниченности каждого слоя, большое число различных конфигураций многослойной структурь; может быть рассмотрено. Среди них особый интерес представляют конфигураци полярного, меридионального и экваториального эффекта Керра [2], а также непрерывные перехо ды между ними. В заключение необходимо также отметить, что полученный результат дает возможность исследовать влияние оптической анизотропии на магнито-оптические эффекты Керра.
^ ЛИТЕРАТУРА
[1] S. Visnovsky, Optics in Magnetic Multilayers and Nanostructurs, Optical Science and Engineering, 108 (CRC Press Taylor and Francis, Boca Raton, FL, 2006).
[2] A. K. Zvezdin and V. A. Kotov, Modern Magneto-optics and Magneto-optical Materials (Institute of Physics and Physical Society, Bristol, 1997).
[3] S. D. Bader and Е. R. Erskine, In: Ultrathin Magnetic Structures, edited by B. Heinrich and J. A. C. Bland, (Springer, Berlin, 1994, 297p).
[4] R. Atkinson and N.F. Kubrakov, Phys. Rev. В 66, 024414 (2002).
[5] R. Atkinson and N.F. Kubrakov, Appl. Phys. В 74, 697 (2002).
[6] P. H. Lissberger, Rep. Prog. Phys. 33, 197 (1970).
[7] R. R. Birss, Symmetry and Magnetism (North-Holland, Amsterdam, 1964). Институт общей физики
им. A. M. Прохорова РАН Поступила в редакцию 29 ноября 2007 г.
