О влиянии неидеальности интерфейсов на магнитооптические свойства мультислойных структур ферромагнетик-диэлектрик Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 538.975

Вестник СПбГУ. Сер. 4. Т. 2 (60). 2015. Вып. 2

Д. В. Ковалевский

О ВЛИЯНИИ НЕИДЕАЛЬНОСТИ ИНТЕРФЕЙСОВ НА МАГНИТООПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МУЛЬТИСЛОЙНЫХ СТРУКТУР ФЕРРОМАГНЕТИК—ДИЭЛЕКТРИК*

Международный центр по окружающей среде и дистанционному зондированию им. Нансена (Фонд «Нансен-центр»), Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, 14-я линия В. О., 7

Исследуется полубесконечная мультислойная периодическая структура ферромагнетик—диэлектрик с обобщённой геометрией (на периоде укладывается несколько металлических слоёв различной толщины, разделённых диэлектрическими прослойками различной толщины). Рассмотрена задача о расчёте величины магнитооптического эффекта, т. е. зависимости коэффициента отражения падающей на границу структуры электромагнитной волны оптического диапазона от взаимного упорядочения намагниченностей соседних металлических слоёв. Показано, что в рамках рассмотренной модели при идеально гладких интерфейсах и не зависящей от номера металлического слоя эффективной массе и времени релаксации величина магнитооптического эффекта строго равна нулю. Данный результат имеет место в силу справедливости на идеально гладком интерфейсе связей между коэффициентами зеркального отражения и прохождения (сумма коэффициентов зеркального отражения и прохождения равна единице; выполняется условие квантовомеханической обратимости). Библиогр. 3 назв. Ил. 1.

Ключевые слова: мультислойная структура, магнитооптический эффект, интерфейс, шероховатость.

D. V. Kovalevsky

ON THE INFLUENCE OF INTERFACE ROUGHNESS ON MAGNETO-OPTICAL PROPERTIES OF FERROMAGNETIC—INSULATOR MULTILAYER STRUCTURES

Nansen Environmental and Remote Sensing Center (NERSC), 7, 14th Line, V. O., St. Petersburg, 199034 Russian Federation

A semi-infinite ferromagnetic—insulator multilayer periodic structure of a generalized geometry (several metal layers of different thickness separated by insulator layers of different thickness on a period of the structure) is studied. The problem of calculating the magnitude of the magneto-optical effect, i. e. the dependence of reflectance of electromagnetic wave in the optical range incident on the surface of the structure on the relative ordering of magnetizations of adjacent metal layers, is considered. It is shown that in the system under study with perfectly smooth interfaces and the effective masses and relaxation times equal for all metal layers the magnitude of the magneto-optical effect is exactly zero. This result is due to relations of specular reflectance and transmittance valid for perfectly smooth interfaces (the sum of the specular reflectance and transmittance is unity; the condition of quantum reversibility is fulfilled). Refs 3. Figs 1.

Keywords: multilayer structure, magneto-optical effect, interface, roughness.

Введение. В настоящем сообщении задача, решённая в работе [1], рассматривается в более общей постановке. Авторы цитируемой работы теоретически исследуют отражение электромагнитной волны от мультислойной структуры ферромагнитный металл — диэлектрик. Диэлектрические прослойки предполагаются настолько тонкими, что электроны проводимости оказываются способными к туннелированию между сосед-

* Основой для настоящей работы послужили исследования, поддержанные грантом Правительства Санкт-Петербурга для молодых кандидатов наук (проект PD07-1.2-77).

ними ферромагнитными слоями. Как известно, в подобных мультислойных структурах возможно различное взаимное упорядочение намагниченностей в соседних металлических слоях: они могут быть как сонаправленными (ферромагнитное упорядочение, рисунок, а), так и противоположно направленными (антиферромагнитное упорядочение, рисунок, г). В [1] показано, что коэффициент отражения электромагнитной волны от поверхности рассматриваемой мультислойной структуры зависит от того, является ли упорядочение намагниченностей соседних слоёв ферро- или антиферромагнитным. В этом и состоит суть исследованного в цитируемой работе негиротропного магнитооптического эффекта. Несколько ранее аналогичный эффект был предсказан на основе сходной модели для мультислойных структур ферромагнитный металл — немагнитный металл [2].

Указанное изменение коэффициента отражения в зависимости от упорядочения намагниченностей следовало из расчётов (при одинаковых физических константах всех магнитных слоёв) лишь при явном учёте шероховатости интерфейсов мульти-слойной структуры. Напротив, при идеально гладких интерфейсах эффект полностью

\

\

0 а1 Ь1 а2 Ь2 а1 Ь1 а2 Ь2

t

0 а1 Ь1 а2 Ь2 а1 Ь1 а2 Ь2 2

Ш

ш

ш

0

ш

0

Ферромагнитное упорядочение намагниченностей в мультислойной структуре, образованной металлическими слоями, разделёнными диэлектрическими прослойками (а); потенциалы, где движутся электроны проводимости, в зависимости от проекции спина (|, |) (б, в); то же для антиферромагнитного упорядочения намагниченностей (г-е):

Шр Шр — — фермиевские энергии, отсчитанные относительно дна соответствующей потенциальной ямы

а

г

х

х

г

б

д

0

0

г

г

в

е

z

г

отсутствовал. Каков же механизм влияния шероховатости интерфейсов на магнитооптические свойства? Ниже на примере более общей, нежели в [1], геометрии структуры будет показано, что рассчитанный магнитооптический эффект является прямым следствием учёта в модели несохранения компоненты квазиимпульса электрона, параллельной средней плоскости шероховатого интерфейса, в единичном акте рассеяния на нём (сумма коэффициентов зеркального отражения и пропускания через диэлектрическую прослойку отлична от единицы), а также отсутствия квантовомеханической обратимости (коэффициенты прохождения из первого слоя во второй и из второго слоя в первый не равны друг другу). В случае же идеально гладких интерфейсов (т. е. при наличии сохранения тангенциальной компоненты квазиимпульса в единичном акте рассеяния на интерфейсе и квантовомеханической обратимости) магнитооптический эффект будет отсутствовать и для более сложной, по сравнению с [1, 2], геометрии структуры.

Постановка задачи. Геометрия структуры. В теоретической модели, развитой в [1, 2], изменение коэффициента отражения от поверхности мультислойной структуры при переходе от одного типа упорядочения намагниченностей к другому обусловлено изменением усреднённого по периоду структуры диагонального элемента тензора проводимости Ô. Направим ось z перпендикулярно поверхности структуры, а ось x — параллельно векторам намагниченности слоёв и рассмотрим падающую электромагнитную волну E(x) = Eo exp(—iwt + ¿kor) с плоскостью падения yz, поляризованную вдоль x; тогда необходимо вычислить проводимость охх.

В зависимости от проекции спина электронов проводимости на ось x они движутся в одном из «ступенчатых» потенциалов (рисунок, б или в — для ферромагнитного упорядочения, рисунок, д или е — для антиферромагнитного). Удобно отсчитывать энергию электрона в каждом металлическом слое для каждой из проекций спина от дна соответствующей потенциальной ямы, поэтому необходимо ввести две фермиевские энергии Wp +, Wp — . Примем, что в каждом из слоёв справедлив изотропный параболический закон дисперсии и введём в k-м слое эффективную массу электрона mk, а также фермиевскую скорость vp,ka для проекции спина о, удовлетворяющую соотношению

2

-= WFM, ° =1 > I • (1)

В (1) в зависимости от номера слоя k и проекции спина о

vp,ko = vp+, vp — ; Wp,ko = Wp+ ,Wp —.

Кроме того, каждый металлический слой будет характеризоваться временем релаксации To,k.

Примем, что мультислойная структура является периодической, при этом на периоде укладывается N металлических слоёв, разделённых диэлектрическими прослойками. Толщину k-го металлического слоя обозначим ak, тогда как толщину k-й диэлектрической прослойки, разделяющей k- и (k + 1)-й металлические слои, — bk .В подобном обобщении геометрии структуры состоит единственное отличие постановки задачи в настоящей работе от приведённой в [1], где толщины всех металлических и диэлектрических слоёв были равны.

Расчёты выполнены для полностью вырожденного электронного газа.

Функция распределения электронов и плотность тока. Значения токов в металлических слоях могут быть найдены путём решения соответствующего кинетического уравнения. Неравновесную функцию распределения электронов с проекцией спина

о в k-м слое можно представить в виде суммы

fka(v, r,t) = Л0о(у) + Ф0o(v, r,t),

где

/L(v) = e (wFM - !2f )

2

— равновесная функция распределения;

Фfco(v, г, í) = ^fco(v, z) exp(-iroí + ikoy sin ф)

— малая добавка к ней, причем ф в последнем равенстве есть угол падения электромагнитной волны на границу мультислойной структуры.

Учитывая справедливость неравенства vTo,kko ^ 1, можно привести кинетическое уравнение к виду [1]

d^fco , 1 ,т, vx f mk v2 N

+-^fco = eEo— b WFM--— , 2

dz Tk vz vz V 2 )

где

1 _ 1

Tk To,k

e — заряд электрона.

Общее решение уравнения (2) имеет вид

^fca(v, z) = ^fco(v, ¿о) exp ( --—— ) +

V vzTk )

z

+ eSn- à (\VFM - '^f-) [ exp dz', (3)

Vz v 2 J J \ Vz Tk )

zo

где z, zo лежат в пределах одного металлического слоя. Вычислив интеграл, преобразуем (3) к виду

*fco(v, Z) = *fco(v, Z0)A + Èka f i—, (4)

VzTk VzTk

где введены обозначения

A(Z) = exp(-Z), (5)

Èka(t) = eE0vxTkb (^WFka - (1 - A(t)), (6)

(операторный значок над Bka указывает на то, что в данную величину входит дельта-функция).

В последующих расчётах фигурирующая в (3) и (4) величина z0 всегда выбирается на одном из интерфейсов. Величина ^k0(v,zo), входящая в решение (4) для ^k0(v,z), может быть найдена из граничных условий на интерфейсах. Чтобы сформулировать их в явном виде, разложим ^ko(z) на две компоненты: ^+0(z), соответствующую vz > 0,

и ^-0(z), соответствующую vz < 0. Тогда, например, для интерфейса между первым и вторым металлическими слоями граничные условия запишутся в виде

Ф+0(а1 + 6i,V2z) = Й21о^2o(ai + bi, -V2z) + :fi2o^+a(ai, viz), (7)

-viz) = Ri2O^+0(ab viz) + f2io^20(ai + bi, -V2z), (8)

где, в частности, Ri20 (Ti20) — коэффициент зеркального отражения (пропускания) электрона с соответствующей проекцией спина при движении из первого металлического слоя во второй. Отметим, что коэффициенты зеркального отражения и пропускания зависят как от скоростей электрона в металлических слоях, так и от параметров интерфейса (толщина, параметры шероховатости и т. п.). Параллельные средней плоскости интерфейса компоненты скорости полагаются одинаковыми в первом и втором металлических слоях и потому не выписаны в явном виде в (7), (8) в числе аргументов . Нормальные к средней плоскости интерфейса компоненты скорости в первом и втором металлических слоях (viz и v2z соответственно) связаны законом преломления.

При расчёте с применением соотношений (3) и (4) для ^+0(z) выбирается zo < < z (интегрирование от «левого» интерфейса в положительном направлении), а для *-0(z) — соответственно zo > z (интегрирование от «правого» интерфейса в отрицательном направлении). После этого плотность тока для соответствующей проекции спина можно вычислить по формуле

e^^3 с

jx,ko(z) = (9jtfi)3 J Vko(v,z)vxdv. (9)

Полная плотность тока вычисляется суммированием jx,k0(z) по проекциям спина. Наконец, при усреднении плотности тока по периоду мультислойной структуры необходимо интегрировать результат по z.

Рассматривая периодическую мультислойную структуру, вслед за авторами [1, 2] предположим периодичность функции распределения ^0(z). Тогда достаточно рассмотреть функцию распределения на одном периоде структуры.

Зависимость тока от магнитного упорядочения структуры. Первое слагаемое в правой части представления (4) для функции распределения есть общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, в то время как второе слагаемое — частное решение неоднородного уравнения. Обозначим вклады в плотность тока, обусловленные первым и вторым слагаемыми, jx k0

Рассмотрим вначале j^k0(z) и выполним суммирование по проекциям спина. Подставляя (6) в (9), замечаем, что плотность тока

B \ B B B

jxk(z)= jx,k0(z) = jxM(z)+jxM (z) (10)

0=U

представляет собой сумму двух слагаемых, в одно из которых обязательно входит vp +, а в другое — vp -. Отличие ферромагнитного упорядочения от антиферромагнитного может влиять лишь на порядок слагаемых в сумме (10) (| соответствует + и j соответствует —, или же | соответствует — и j соответствует +), что, разумеется, не сказывается на результате суммирования. Таким образом, плотность тока jBk(z) оказывается не зависящей от типа магнитного упорядочения мультислойной структуры. Этот вывод справедлив безотносительно к конкретной модели интерфейса (гладкий или шероховатый).

Плотность тока jAkо(z) требует более подробного рассмотрения. Для её вычисления разложим на компоненты и ^-о(г). Рассмотрим граничное условие (7)

для правой границы интерфейса между первым и вторым слоем и подставим в него вытекающие из (4) соотношения

Ф2о(а1 + ЪЬ -У2г) = Ф2о(а1 + Ъ1 + а2, )А

02 Т2

+ В

2о

о2 Т2

) = Ф+О(0,«1г )А

После этого (7) легко преобразуется к виду

а1 Т1

+ В

1о

а1 Т1

Ф+,(а1 + Ъ1,У2г) - (1 - Й21о)А

— ^?21оА

а1 а2

Т2

Ф+о(0,«12 ) —

Ф2о(а1 + Ъ1 + а2, —У2г) =

= Д21о£>2О

Я'2 Т2

+ Т12аВ1 о

а1 Т1

• (11)

Аналогично, из (8) вытекает

^1о(аь — ) —(1—Д^о)А

о2 Т2

Ф2о(а1+Ъ1+а2, —У2г )—Е12оА

а1 Т1

Т1

Д120-В10 ( -— ) + Т210-В20

Т2

• (12)

До настоящего момента рассмотрение носило общий характер и описывало гладкие и шероховатые интерфейсы. Обратимся теперь к случаю идеально гладких интерфейсов, когда справедливы дополнительные ограничения на коэффициенты зеркального отражения и пропускания: условие

Й12о + Т120 = 1, Й21о + Т210 = 1,

(13)

означающее непрерывность потока частиц на гладком интерфейсе, а также условие квантовомеханической обратимости

Й12о = #21о, ТГ120 = Т21 о^

(14)

Отметим, что для шероховатого интерфейса условия (13) и (14), вообще говоря, не имеют места: так, они не соблюдаются при использовании для коэффициентов зеркального отражения и пропускания обобщённых формул Займана—Соффера [3], как это было сделано в [1, 2]. Проиллюстрировать причину нарушения условия (13) для шероховатого интерфейса проще всего на примере полного внутреннего отражения (Т\20 = 0). Все электроны, падающие из металлического слоя на интерфейс, отражаются обратно в металлический слой, но не все из них отражаются зеркально, поэтому Й120 < 1.

Складывая (11) и (12) в случае гладкого интерфейса с учётом (13) и (14), приходим к тождеству

Т1 )

Т2

а2

(15)

Выпишем тождества, аналогичные (15), для N — 1 оставшихся интерфейсов на периоде и сложим их с учётом периодичности системы. В итоге получим

— координата левой границы к-го металлического слоя.

Предположим, что эффективная масса и время релаксации не зависят от номера слоя и спиновой поляризации:

Тогда из (5) и (9) несложно усмотреть, что операция / вк ..., применённая к левой части (16), даёт, с точностью до постоянного множителя, значение тока для данной проекции спина, протекающего на периоде структуры (т. е. вдоль всех металлических слоёв на периоде), обусловленного вкладом общего решения однородного уравнения в функцию распределения, о чём говорилось выше. Для нахождения значения полного тока на периоде структуры остаётся просуммировать результат по о (о =|, |). В правой же части проинтегрированного тождества после суммирования по о, согласно (6), (16), будет стоять результат, не зависящий от типа упорядочения рассматриваемой мультислой-ной структуры (ферромагнитное или антиферромагнитное — ср. выше рассуждения

при расчёте З^ы^.

Заключение. Резюмируя, можно сделать вывод, что в случае идеально гладких интерфейсов, постоянных эффективных масс и времени релаксации для рассматриваемой геометрии структуры ток в направлении оси х по периоду структуры и, следовательно, усреднённая по периоду проводимость о не зависят от типа магнитного упорядоче-

Таким образом, при данных физических параметрах системы магнитооптический эффект будет полностью отсутствовать и в том случае, когда период структуры образован несколькими слоями разной толщины. Выкладки, приведшие к данному результату, опирались на справедливые лишь для гладкого интерфейса условия (13), (14). При шероховатых интерфейсах или зависящих от номера слоя эффективной массе и времени релаксации магнитооптический эффект будет иметь место. Отметим, что добавка к функции распределения представлялась суммой двух слагаемых — общего и частного решения (см. (4)), и если вклад от частного решения компенсировался при любых интерфейсах и локально (в плотности тока), то от общего — лишь при гладких интерфейсах и интегрально (в токе на периоде структуры).

(16)

где

к-1

тк = т; Тк = т.

Кроме того, для случая упорядочения намагниченностей, которое названо выше «антиферромагнитным», сделанные в настоящем сообщении выводы остаются в силе независимо от взаимной ориентации намагниченностей в соседних слоях, т. е. не только в том случае, когда намагниченность каждого следующего слоя антипарал-лельна предыдущей (см. рисунок, г). Так, например, если период структуры состоит из нескольких металлических слоёв, а в «антиферромагнитной» фазе «переворачивается» намагниченность лишь среднего из них, магнитооптический эффект при оговоренных выше условиях всё равно будет отсутствовать.

Автор признателен А.Е.Кучме за полезные замечания. Литература

1. БелотеловВ. И., ЗвездинА. К., КотовВ. А., ПятаковА. П. Негиротропные магнитооптические эффекты в магнитных тонких многослойных плёнках металл—диэлектрик // Физика твёрд. тела. 2003. Т. 45. Вып. 10. С. 1862-1869.

2. КубраковН. Ф., ЗвездинА .К., Звездин К. А. и др. Новый интенсивностный магнитооптический эффект в материалах, обладающих гигантским магнитосопротивлением // Журн. эксп. теор. физики. 1998. Т. 114. Вып. 3 (9). С. 1101-1114.

3. SofferS. B. Statistical model for the size effect in electrical conduction //J. Appl. Phys. 1967. Vol. 38. P. 1710-1715.

References

1. Belotelov V.I., Zvezdin A.K., Kotov V.A., Pyatakov A.P. Nongyrotropic magneto-optical effects in metal-insulator magnetic multilayer thin films. Phys. Solid State. 2003. Vol. 45. Iss. 10. pp.1957—1965.

2. Kubrakov N.F., Zvezdin A.K., Zvezdin K.A. et al. New intensity magneto-optical effect in materials exhibiting giant magnetoresistance. J. Experimental Theoretical Phys. 1998. Vol. 87. Iss. 3. pp.600—607.

3. Soffer S.B. Statistical model for the size effect in electrical conduction. J. Appl. Phys. 1967. Vol. 38. pp.1710—1715.

Статья пoступилa в редакцию 13 января 2015 г.

Контактная информация

Ковалевский Дмитрий Валерьевич — кандидат физико-математических наук; e-mail: [email protected], [email protected]

Kovalevsky Dmitry Valerievich — Candidate of Physics and Mathematics; e-mail: [email protected], [email protected]