Границы запрещенных зон одномерного магнитофотонного кристалла в конфигурации полярного эффекта Керра Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.326, 537.632

ГРАНИЦЫ ЗАПРЕЩЕННЫХ ЗОН ОДНОМЕРНОГО МАГННТОФОТОННОГО КРИСТАЛЛА В КОНФИГУРАЦИИ ПОЛЯРНОГО ЭФФЕКТА КЕРРА

Н.Ф. Кубраков

В сообщении рассмотрены условия однозначного определения, границ запрещенных зон идеального одномерного магнитофотонного кристалла в конфигурации полярного эффекта Керра при нормальном падении плоской монохроматической волны,. Следствием их выполнения, является, тождественное обращение в единицу коэффициентов отражения, волн с правой и левой круговыми поляризациями. В частном, случае найдены, аналитические выражения, для, границ. Показа,ны, особенности эффекта, Керра, для, частот, совпадающих с центрами запрещенных зон.

Ключевые слова: магнитофотонные кристаллы, запрещённая зона.

Одномерный магнитофотонньтй кристалл представляет собой диэлектрический мультислой на подложке, в котором между некоторыми слоями (дефектами) периодическую структуру образуют ДВ<ВЬ СЛОЯ (период) [1 3]. Если дефект или один из слоев периода обладает магнитными свойствами, то при взаимодействии монохроматического поляризованного света с фотонным кристаллом наблюдаются магнитооптические эффекты [4]. Их значительное усиление возможно за счет явления локализации света в области дефектов, когда его частота попадает в запрещенную фотонную зону, что реализуется при определенном сочетании параметров фотонного кристалла. Естественно возникает задача однозначного определения границ запрещенных зон и ее наиболее простое решение получается в случае идеального магнитофотонного кристалла (без дефектов) в конфигурации полярного эффекта Керра при нормальном падении плоской монохроматической волны (рис. 1).

Учреждение Российской академии наук Институт общей физики им. A.M. Прохорова РАН, 119991 Москва, ул. Вавилова, 38, Россия; e-mail: [email protected]

Рассматриваемый магнитофотонный кристалл состоит из N периодов на полубесконечной подложке с коэффициентом преломления п3. Его оптические свойства сильно зависят от положения слоев в периоде. В данном случае магнитный слой толщиной Л-1 является первым и характеризуется тензором диэлектрической проницаемости О, (т) = ёу + х^ (т), в матричной форме

п21 х12 0

О(т) = —х12 п21 0

0 0 п1е _

(1)

где п1 = 1 + хи(т), п1е = 1 + хзз(т) - коэффициенты преломления (1тп1,1тп1е > 0), т

ным полем Но вдоль о си Х3 (рис. 1). Вид тензора восприимчивости определен только из симметрии - его инвариантности относительно точечной магнитной группы 4шш, которая выявляет следующие свойства: хи(т) = Хп(_т), х12(т) = — х12(—т) [5]. Второй слой периода толщиной Н2 имеет коэффициент преломления п2. Предполагается, что Яеп1 > 11еп2. Падающая волна Е(г) = Е0г) ехр(г(к0п0х3 — иЬ)) и отраженная Е(г) = Е0г) ехр(—г(к0п0х3 + иЬ)), оде к0 = ис-1 - волновое число, распространяются в

по и

может иметь эллиптическую поляризацию (рис. 2). Углу эллиптичности п £ [—п/4, п/4] приписывается знак. Левая поляризация (эллиптическая или круговая) соответствует вращению вектора поля против часовой стрелки при наблюдении против оси Х3 (рис. 1, 2). В этом случае п > 0. Отрицательный знак п говорит о правой поляризации. Из волнового уравнения для области магнитного слоя

йх 3

Е1 Е2

+ к2

п21

х12

х12 п21

Е1

Е2

следует, что в нем, также как и во всем пространстве (рис. 1). независимо распространяются две моды Еь и Е^^ - волны с левой (п = п/4) и правой (п = — п/4) круговой поляризацией. Существует шестнадцать вариантов представления эллиптически поляризованной волны через эти моды и одно из них есть:

Е1 1 11 ' Еь '

Е2 = 72 г —г Ея

Поляризация падающей волны, при условии О(г) = 0, и отраженной волны, как следует

0

из выражения для вектора Джонса [6], определяется параметрами

X

(О - ^

1 ^ gn

Е

(О я

1 — t gn(<):

», х(Г) - ЕЁ — ^п('\ ехр(-2г9Г))- ^X«, м- Л еЯг) 1 — ьт(г) ' гях '

где г^ и гя - элементы диагональной матрицы отражения волн Е^ и Ея. Для падающей волны с левой эллиптической поляризацией Х() € (1, а в случае правой XX(г) €

(0,1). Эффект Керра характеризуется углами

1

9К — — §Х(г), ПК — ап^

,/(г) I

1

2

|/(г) I + 1

и коэффициентом отражения

1

Я — 2[|гьI2 + 1гя|2 + (|гьI2 — 1гяI2) 81п2п(<)].

(2)

(3)

Рис. 1: Конфигурация магнитофотонного кристалла и выбор направлений векторных величин при рассмотрении полярного эффекта Керра (пояснения в тексте).

Признаком существования запрещенных зон любого фотонного кристалла могло бы быть идеальное отражение световой волны, но из-за поглощения оно невозможно. Для реальных зон коэффициент отражения может быть сколь угодно близким к единице, но тождественно в единицу никогда не обращается. Это и является причиной неоднозначности определения границ запрещенных зон. Для их однозначного (точного) определения необходимо предположить, что

1тп1, 1тп2, 11е/12 — 0, N —

(4)

Другими словами, однозначное определение запрещенных фотонных зон из уравнения Я — 1 допускает только абсолютно прозрачный полу бесконечный периодический муль-тислой. Уравнения I2 — 1 и \гяI2 — 1 выявляют два множества запрещенных зон

Рис. 2: Определение параметров 9 и ц, характеризующих поляризацию плоских волн.

и соответственно, для волн с левой и правой круговой поляризацией. Пересечение этих множеств П представляет собой полные запрещенные зоны, для которых R = 1.

Таким образом, необходимо найти rL и rR. Для этого автором получено выражение

_ (Pli + Pl2n )no - P21 - P22ns - (no - n)pN (pU + P22) (5)

(Pli + Pl2ns)no + Р21 + P22ns - (no + ns)pN (Pll + P22) '

в которое входят элементы характеристической матрицы периода P _ M1 M2. Формула

rss

жения мультислоя при нормальном падении [7]. Характеристическая матрица каждого слоя имеет один и тот же вид:

M _

ch^ -n ^h^ nsh^ ch^

(6)

соответ-

Элементы Мь 1 = кпН1з п = п^ = (п1 + г%12)1/2 и п = = (п2 — г%12)1/2> ственно, для г^ и г^. Элементы М2: 1 = 1к0п2Н2, п = п2. В (5) также входит рм(г) = им-2 (г )/им-1 (г ),гд е ^ (г) = 2-м-1 (г2 — 4)-1/2 [(г + (г 2 — 4)1/2 )м+1 — (г — (г2 — 4)1/2 ))м+1 ], им(г/2) - полином Чебышева второго рода с комплексным аргументом [8]. Вычисление рм(г) выполняется по простой рекуррентной формуле: рт+1 (г) = 1/(г — рт(г)), р1 (г) = О, т = 1, 2,... N — 1 При выводе выражения (5) предполагалось, что параметры магнитофотонного кристалла (п1 ,х12,п2, п8), относящиеся к частоте и, могут быть комплексными. Если предположить (всего лишь формально), что нет частотной дисперсии этих параметров, то спектральная зависимость Я будет связана, согласно (6), только с волновым числом, которое удобно нормировать следующим образом:

ко = , (7)

где £ — шш-1, /хо — 2п(к1 + к2)-1, ш — ск0 — 2пс(к1 + к2)-1. Запрещенные зоны будут теперь представляться через нормированную частоту £. Исходя из (4) и (5), учитывая свойства матрицы Р и поведение рм(г) при N ^ ж, можно доказать, что 5ь и 5я "появляются" из неравенства \p11 + р^ > 2, в котором диагональные элементы Р содержат соответственно пь и пя. Это неравенство выявляет нечетные и четные запрещенные зоны в порядке их следования с возрастанием £ от нуля. Их границы определяются, соответственно, из уравнений р11 + р22 — —2, р11 + р22 — 2. Границы четных 5ь, согласно (6), определяются из уравнения

соэх — а2сову — 1 — а2, (8)

где х — к0£(пьк1 + п2к2), у — к0£(пьк1 — п2к2) и а — —--_ Уравнение для границ

пь + п

нечетных 5ь отличается от (8) только знаком правой части:

соэх — а2со ву — а2 — 1. (9)

Очевидно, в случае 5я необходимо пь заменить на пя. Решения уравнений (8) и (9), нелинейных относительно £, могут быть найдены численными методами [9].

Если выполняется условие п1к1 — п2к2, методом теории возмущений легко найти их аналитические решения. Малым действительным параметром является г/12. В нулевом порядке теории возмущений, согласно (8), все четные 5ь и 5я являются вырожденными. Нижние и верхние границы (£т,£т,т — 1, 2,...) нечетных 5тЬ и 5тЯ совпадают (5тЬ — 5тЯ). Решения уравнения (9) для этих границ удобно записать в виде

£± — £(С ± А/2, (10)

(с) 1 / 1 \/ 1 1 \ . 1 / 1 1 \ п1 — п2

где £}п) — - т----1--- центры зон и А — —--1--агсэт- -

2 \ 2) щ/ п щ/ п1 + п

их ширина. Это известный результат теории одномерных немагнитных фотонных кри-СТЭЛЛОВ [10]. Если А - фиксированная длина падающей волны в вакууме (п0 — 1), то к0 — 2п/А и соответствующая частота £ — (к1 + к2)/А. Попадание £ в центр запрещен-

(С)

ной зоны (£ — £т ) происходит при оптической длине п1к1 — п2к2 — (т — 1/2)А/2. В первом, порядке теории возмущений найдено следующее выражение для границ ЕтЬ:

, ч , ¿Х12М / ±1 ±

-ь^ £т + lп^нIнf—£т). <п)

Правая часть (11) при замене /12 на —/12 дает границы ЕтЯ. Центры и ширина зон определяются выражениями:

£(Ья(т) — 1 Т^) , Аья(т) — А ± (— а) , (12)

1.0 0.6 0.2

0.23 0.24 0.25 0.26 0.2365 0.2375

Рис. 3: (а) спектральная зависимость Я для конечного (И = 30^ и бесконечного числа периодов мультислоя, (б) коэффициенты отражения вблизи нижней границы запрещенной зоны П

где верхний знак соответствует При изменении знака Х12, как видно из (5) и

(6), коэффициент г^ становится таким, как им был а - каки м гЕсли полем И0 изменить направление вектора т (рис. 1), то, как следует из симметрии тензора (1), изменится знак х12- Следовательно, займет область а облаеть

(т) = (—т) ¡+ь,я(т) = ¡+я,ь(—т) Очевидно, аналогичным свойством обладают центр и ширина каждой из зон. Необходимо отметить интересный эффект изменения ширины и центров запрещенных зон полем Н0: смещенпе и в разные стороны относительно сП) сопровождается изменением А^ и Центр ¡¡т ) полной зоны ЕтЬ П ЕтЯ и ее шири на А т не зависят от Н0:

¡¡(С) = с (С) + _2__Л д — Д_ 1x12] с (С) (13)

¡т = ¡т + 8п2 ^^V ' Ат = А 2п2 ¡т ' (13)

Если С е ЕтЬ П то \гь\ = \гя\ = 1 и, согласно (2), Пк = 0. Особенностью эффекта Керра в этом случае является то, что падающая волна с элиптической поляризацией идеально отражается (Я = 1) и отраженная волна линейно поляризована (п(г) = 0). С возрастанием т (с увеличением толщин слоев К1ж Н2) ширина Ат уменьшается. При

т > 1 +

21

2 1 П\Х12 П^П + П2

1 4п? . п1 — п2

- +--:-таГСЙШ

где [ ] означают целую часть, зоны и не перекрываются и, следовательно, Я < 1 вблизи С = ¡т^ Если п(г) = п/4 и Л = (Н1 + Н2)/СПс11 т0 пРи изменении Н0

Таблица 1

Зоны, ЕтЬ и 5тд; А = 0.01603, исчезновение ЕтЬ П ЕтД наступает при т =16

т Но £ (С) £тЬ £ (С) £тЯ Ад £(С) £т ?(С) £т А т

1 Т 0.24541 0.24488 0.01571 0.01635 0.24515 0.24531 0.01550

1 0.24488 0.24541 0.01635 0.01571

3 Т 1.22705 1.22440 0.01571 0.01635 1.22573 1.22589 0.01338

17 Т 8.09854 8.08104 8.08979

Таблица 2

Углы, вк, Пк (в град.) и коэффициенты отра,жения для £ = £т\ П(г) = 0 и указанных

в тексте параметров структуры

т N вк Пк М2 \тя\2 Я

20 0.934 0.107 0.954 0.9612 0.9576

1 30 0.97 0.021 0.9937 0.9952 0.9944

то 0.975 0 1 1 1

20 4.689 0.111 0.9526 0.96 0.9563

3 30 4.878 0.022 0.9934 0.9949 0.9941

то 4.907 0 1 1

17 30 49.592 0.819 0.8409 0.8904 0.8657

то 36.659 1.447 0.7548 0.8351 0.7949

Свойства запрещенных зон и эффект Керра можно проиллюстрировать на примере магнитофотонного кристалла, состоящего из диэлектриков, прозрачных в ближней инфракрасной области спектра. Необходимые параметры [11]: длина волны Л = 1.15 мкм; п0 = 1 (воздух); п3 = 1.52 (стеклянная подложка); п1 = 2.15, х12 = ¿0.02, Н1 = (т — 1/2)Л/2п1 (слой Вьсодержащего феррит-граната); п2 = 1.94, Н2 = Л/4п2 (слой

(С)

гадолиний-галлиевого граната). Частота £ = (Н1 + п2)/л = £тс; совпадает с центром запрещенной зоны ил и £тк, найденной в нулевом порядке теории возмущений (при Х12 = 0). Для линейной поляризации падаю щей волны (п(г) = 0) на рис. 3(а) показаны полная запрещенная зона П Е^д и спектральные зависимости Я, полученные из (3) и (5) при конечном и бесконечном числе периодов. Гранины зоны найдены из аналити~ ческих выражений (11) и (13). Видно, что только условие (4) обеспечивает однозначное определение запрещенных зон. Спектры \ть\2, |гд|2 и Я вблизи £1К и £1Ь показаны при N = то на рис. 3(6). В табл. 1 приведены значения ширины и центров шести запрещенных зон, которые иллюстрируют эффект их смещения полем Н0, положительное

направление которого (|) показано на рис. 1. Влияние конечного числа N на эффект Керра при £ = можно видеть из таолицы 2.

Замечательное свойство здесь - значительное усиление эффекта (увеличение 9K при почти неизменяющейся очень малой эллиптичности, почти идеальном отражении и

N возможноj если "выбрать'5 запрещенную зону с достаточно большим номером то, т.е. за счет увеличения определенным образом толщин слоев периода.

Необходимо отметить, что метод решения рассмотренной в данном сообщении задачи о границах запрещенных зон и полученные результаты, среди которых наиболее интересными представляются выражения (11) (13), могут быть применены в исследованиях более сложных проблем. связанных с эффектами Керра и Фарадея в одномерных магнитофотоньтх кристаллах с дефектами.

Л И Т Е Р А Т У Р А

[1J М. Ionue, К. Arai, T.Fujii, and М. Abe, ,J. Appl. Phvs. 85, 5768 (1999).

[2j А. П. Виноградов, С. Г. Ерохитт, А. Б. Грановский, М. Иттуе, РЭ 49, 96 (2004).

[3J В. А. Кособукип, ФТТ 48, 2089 (2006).

[4| А. К. Zvezdin and V. A. Kot.ov, Modern Magneto-Optics and Magneto-Optical Materials (Institute of Physics and Physical Society, Bristol, 1997).

[5J R. Atkinson and N. F. Kubrakov, Phvs. Rev. В 66, 024414 (2002).

[6j R. V. A. Azzarri and N.V. Bashara, Ellipsometry and Polarized Light (North-Holland, Amsterdam, 1997).

[7J H. Ф. Кубраков, Краткие сообщения по физике ФИАН, 35(1), 34 (2008).

[8J R. Atkinson and N. F. Kubrakov, Proc. R. Soc. London, Ser. A 449, 205 (1995).

[9j I. Nusinskv and A. A. Hardy, Phvs. Rev. В 73, 125104 (2006). [10J J. Lekner, J. Opt A: Pure Appl. Opt. 2, 349 (2000).

[llj I. L. Lubchanskii, N. N. Dadoenkova, M. I. Lubchanskii, et. al., Appl. Phys. Lett. 85, 2932 (2004).

Поступила в редакцию 25 ноября 2009 г.