CC BY
38
665.1/.3
МА ТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАЗДЕЛЕНИЯ ЖИДКИХ СМЕСЕЙ В МЕМБРАННОМ МОДУЛЕ С РАЗЛИЧНОЙ ОРГАНИЗАЦИЕЙ ПОТОКОВ
А. А. СХАЛЯХОВ 1 ВС. КОСАЧЕВ 2, Е.П. КОШЕВОЙ 2
1 Майкопский государственный технологический университет,
385000, г. Майкоп, ул. Первомайская, 191; электронная почта: [email protected] 2Кубанский государственный технологический университет,
350072, г. Краснодар, ул. Московская, 2; электронная почта: [email protected]
Получены зависимости для описания работы мембранного модуля. С использованием полученных зависимостей про -ведено сравнение противоточной и прямоточной схем контактирования. При достаточно длинных мембранах различие между схемами контактирования незначительно.
Ключевые слова: мембранный контактор, прямоточное и противоточное контактирование, пропиленовые половолоконные мембраны, керамические трубчатые мембраны.
Модуль с половолоконными или трубчатыми мембранами для разделения жидких смесей состоит из пучка (связки) мембран в виде полых волокон-капилляров или труб, расположенных параллельно друг другу и заключенных в кожухе. Пространство между мембранами ограничено кожухом модуля и рассматривается как внешнее пространство мембран. На кожухе с обеих противоположных сторон для подачи и отвода потока имеются патрубки, соединенные с внешним пространством мембран, и коллекторы, соединенные с внутренним пространством мембран.
Цель настоящего исследования - проанализировать работу модуля с мембранами при разделении жидких смесей.
Для описания процесса течения во внутреннем и внешнем объеме мембран с поперечным проникновением из внутреннего объема мембран во внешний объем модуля использован подход, развитый в работе [1]. Система обыкновенных дифференциальных уравнений записана здесь через давления в граничных условиях, что позволяет использовать ее с любой комбинацией открытых или закрытых патрубков внутреннего объема мембран и внешнего объема в модуле:
й2 Р, 16 К
ёа
Я}
й2 Р* ёа2
ЯК7(Р -РX
У
(1)
(2)
1 О4 Е)4
3 Я* Яш
7Я4 = кх* / к*
(приняты постоянными); Ьт - полная длина мембраны; Ь - длина рабочего объема модуля (если пренебречь различием между Ьт и Ь, то в дальнейшем можно использовать вместо с координату х).
Значения кх,Ь и кх,х определяются выражениями для осевой проницаемости во внутреннем объеме и внешнем объеме мембран по соотношениям [2]
К, =
пЯ44~х
4 ф
— 1п ф---------
2
1 2
2 Ф—-Ф
(3)
(4)
где ф = 1
- е* - доля объема, занятого мембранами; пористость внеш -
пЯМ
няя мембран модуля е^ = 1 — —м; т - извилистость пор.
Граничные условия уравнений зависят от схемы по -токов. Для разделения смесей возможны две схемы, когда перенос идет из внутреннего объема мембран во внешний объем модуля (рис. 1: схемы патрубков на мембранном модуле (крестиком отмечен закрытый патрубок)).
Противоток (вариант 1)
Прямоток (вариант 2)
где У =[4 Я> (Я* / Яш) + 4Я2 ЯМ „ _ _ _
хЬ. 2 пЯ,Ь
а = —т; А =--------; К - проницаемость мембран, м; Ау - удельная
ь я2ь
поверхность мембран в объеме модуля; Я, - внутренний радиус мем -бран; Яш - внешний радиус волокна; Я* - радиус модуля; п - количе -ство мембран в модуле; Р, и Р*- гидростатические давления внутри мембран и во внешнем объеме соответственно; к**, к*ь - компоненты тензора проницаемости Дарси для обоих пространств (во внутреннем и внешнем объеме между мембранами) в осевом направлении
2
и
Первая схема - подача смеси через патрубок во внутреннее пространство объема волокон и вывод части смеси через второй патрубок. Отвод проникающей части смеси возможен по двум вариантам через один из патрубков на корпусе модуля. По варианту 1 патрубок отвода из внешнего межмембранного пространства модуля расположен со стороны патрубка отвода непроникающей части смеси, а по варианту 2 патрубок отвода из внутреннего пространства модуля расположен со стороны патрубка подачи исходной смеси.
Для открытых входных или выходных патрубков принимается известное значение давления. Если пат -рубок закрыт, то для него принимается нулевая производная давления, т. е. накладывается условие отсутствия потока.
Рассмотрим решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1) и (2) с применением функционального преобразования Лапласа:
8
Р(х),
с!х
<зх=8
0
16 К
~ЯТ
Р( х)- рэ( х)]е
8
ё %(, х)
ёх2
ёх=86 - ■Я"1 р^х) - Р*(х)]е-
ёх; (5)
ёх. (6)
тригонометрических функций комплексной переменной, находим решение для оригиналов функций:
Р1 (х) =
1& уек 1х 1л/г+ В1 & & уд/уяк 1х
у& 1 1(у& 1)
В2 &
&
у- уек 1х 1^) В3 - у1х - у^/уяк 1х
у& 1 3 1(у& 1)
(11)
1-ек 1х - ^/уяк 1 х
.л/г. В1 & ,л/г)
у& 1 1(у& 1)
В2 &
&
у& ек
1х
Ту
&1
В3 &
у1х ^д/у^к
1х
Ту
1(у& 1)
(12)
В
В результате получим систему алгебраических уравнений относительно изображений исходной системы дифференциальных уравнений:
52РРь (^ - яВ1 - В2 = 16К [РРь ( я) - 1Рв (•*)]; (7) Я1
я 2Рр* ( 5)-яВз - В 4 =- 16К 1[!р1(я)-Ьр8 (5)]. (8)
К1 у
Полученная система алгебраических уравнений решается относительно изображений функций, причем я рассматривается как число:
1Р1 (5) = 16 К
16 уК
&
а
В3 &
а
В1 & 16 уК
16К - уя! я2
а
В2 &
а
В4;
1РВ (5)=
16 Кя В1 & 16К В2 & ' уЯ1 я3 -16 уК
а а а
(9)
В3 & (10)
&
16 уК - уя! я2
а
В
где 1 = 16 К(у& 1!
где а = 16 К5 & 16 К2 - Я3/.
При помощи известных соотношений между изображением искомой функции и оригиналом и используя формулы для преобразования на основе теории
Рассмотрим вариант 1 (противоток), когда производная давления приравнивается к нулю для патрубка, находящегося в стороне отвода потока из мембраны.
Подставляя граничные условия при х = 0 в выражения (11) и (12), получим соотношения
Р (0) = В, = Рн; (13)
Р8 ( 0) = В3 = Рк . (14)
Определим производную внешнего давления
dPs (1т )
ёх
=0
(15)
и давления на выходе из модуля
Рь (1т )= Рк . (16)
В результате решения этой системы уравнений по-
лучим
В, =
1(Рн - Рк )
2 у1т 1як( 0) - ^/уек( 0)) х (1& у2)- 4у/уек( 0)2
ул/уяк(0)(у-1- ек(0)) &
& Х1тек(0)х(1-у)&2у11т
(17)
0
Я
1
В4 =-
ъ!'у (1-у)(1-^(0))&
X Рн - Рк ) & 2и^И(0)
ъ[у у^fYsh( 0)(у -1- с/г( 0))&
& ’кЬтс1г(0)(1-у)&2 у1Ьт
(18)
где 0 =
ХЬт
\У
Проведя подстановку В1, В2, В3 и В4 в уравнения изменения давления по оси мембраны Рь и Р$ (11) и (12), получим зависимость изменения давлений по оси мембраны. Используя полученные уравнения, произведем расчет давлений для реальной керамической мембраны по варианту 1. Рассмотрим керамическую мембрану с одной трубой в картридже (п = 1), проницаемостью, изменяющейся от гр = 7,4 • 10-13 м до гр = 7,4 х х 10-9 м, длиной мембраны 800 мм (Ьт = 0,8 м), Яь = = 2 мм, Ям = 5 мм, радиусом картриджа Я = 16 мм, вязкостью жидкости т = 8,9 • 10-4 Па • с (вода), начальным давлением Рн = 2 атм и конечным давлением Рк = 1 атм. Выражения для расхода потока внутри волокна и во внешнем объеме модуля имеют вид
’
ах
= ауЬ^, ах
(19)
(20)
где а = -
прЯЬ
8|лЪ '
Графики изменения расходов для варианта 1 по оси внутри (а) и снаружи (б) мембраны при различных величинах проницаемости представлены на рис. 2.
Рассмотрим вариант 2 (прямоток), когда производная давления приравнивается к нулю для патрубка, находящегося в стороне подачи потока в мембрану. Подставляя граничные условия при х = 0 в выраже -
ния (11) и (12), получим соотношения
Р£ (0) = Б, = Рн; (21)
Ps (Ьт )= Рк. (22)
Определим производную внешнего давления ёР8 ( 0)
ах
. = 0 = В4 = 0
(23)
и давления на выходе из модуля
Р (Ьт )= Рк. (24)
В результате решения этой системы уравнений по -лучим
КРн -Рк)(1+ у)2(уТу)<
<[(1 + у)2 (уч у°К2 &)- 214сй(0})]
В =
у3 (1 - ск(0) - ск(2 0) & ек{3 0)) - у4 х
х(1 - сЦ2 0)) & 2 12Ьт сА(0)(1 & у) & у^у1Ьт х
х(2 sh(0!) - 3 .Л(20)) - уг^уХ1т(2 sh(0) & зИ(2 0))
(25)
1(Рн рк)
В3
1Ьт - \ У-^(0) & 2
0
(1 & у)
2 у(у^(0)2 & X2у -1)2
(26)
3000
2500
2000
.о
2_ 1500
(3*
1000
Л
А
і Л
[]Ц- і Ъпг і -Л
пы 8Й м 1 т иг ма ІН
'А, і А/
3000
2000
■а
£
й 1500 О
1000
500
і і
і \ Л
і
А
А і і А
ЕЪ[ ]П[ ]Щг ^ д
100 200 300 400 500 600 700 800 0
X, мм
+ 7,4-е-13 X 7,4-е-12 ^ 7,4-Е -11 □ 7,4-Е -10 Л 7,4-Е -9
100 200 300 400 500 600 700 800
X, мм
Рис. 2
2
3000
2500
2000
1500
1000
500
a
A
L Л
ПЩг L 1Пг □ At
МИН mi % ^A MM JBI HI
^ A 2 iA i \Al
3000 ■
2500 '
2000 '
и
1500 ■
О
1000 ■
500 '
0 100 200 300 400 500 600 700 800
X, мм
-500
оТ 1 >с
А
га 2( о 3(
0 4(
[]П[]1=ц:п[ псп]
НИ HIH НИНКИ
0 5 Ю & Ю 7(
0 8(
X, мм
+ 7,4-Е -13 X 7,4-Е -12 -О 7,4-Е -11 □ 7,4-Е -10 А 7,4-Е -9
Рис. 3
Длина мембраны, мм
Рис. 4
Графики изменения расходов для варианта 2 по оси внутри (а) и снаружи (б) мембраны при различных величинах проницаемости представлены на рис. 3.
Полученные данные показывают, что изменения расходов внутри мембраны по вариантам близки в широком диапазоне проницаемостей. Это связано с ма-
лым сопротивлением потоку фильтрата внутри мембраны. При прямотоке выход фильтрата больше.
На рис. 4 представлена зависимость отношения расходов по фильтрату для прямотока и противотока при различной длине мембраны. Видно, что с ростом длины различие между схемами потоков в мембранном контакторе нивелируется.
ВЫВОД
Мембранный контактор с прямоточной схемой организации потоков превосходит схему с противоточ-ной организацией потоков. С увеличением длины мембран в контакторе различия между схемами организации потоков нивелируются.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kelsey L.J., Pillarella M.R., Zydney A.L. Theoretical analysis of convective flow profiles in a hollow-fiber membrane bioreactor // Chem. Engnq Sci. - 1990. -45. - P. 3211-3220.
2. Happel J. Viscous flow relative to arrays of cylinders // A.I.Ch.E.J. - 1959. - 5. - P. 174-177.
Поступила 13.03.09 г.
MATHEMATICAL MODELLING OF PROCESS OF DIVISION OF LIQUID MIXES IN MEMBRANES MODULE WITH THE VARIOUS ORGANISATION OF FLOWS
A.A. SKHALYAHOV 1, V S. KOSACHEV 2, E.P. KOSHEVOY 2
1 Maikop State Technologycal University,
191, May Day st., Maikop, 385000; e-mail: [email protected]
2 Kuban State Technologycal University,
2, Moskovskaya st., Krasnodar, 350072; e-mail: [email protected]
Dependences for the description of work the module of membranes are received. With use of the received dependences comparison of counterflow and direct-flow circuits contacts is arried out. At enough long membranes distinction between circuits contacts is insignificant.
Key words: membranes contactor, direct-flow and counter-flow contact, polymeric hollow fiber membranes, ceramic tubular membranes.
