Математическое моделирование динамики защитной поверхности резервуара Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.5.01; 533.6.011

П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Ю. В. ПОКЛАДОВА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЗАЩИТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ РЕЗЕРВУАРА

Разработаны математические модели конструкции, представляющей собой резервуар для хранения газожидкостной среды. Одна из стенок резервуара, являющаяся полностью или частично деформируемой, выполняет роль защитной поверхности (защитного экрана) и контактирует с внешним потоком (сверхзвуковым или дозвуковым) жидкости или газа. В качестве примера приведено численно-аналитическое решение задачи о динамике упругой стенки (защитного экрана) резервуара прямоугольной формы, заполненного жидкостью; над экраном протекает сверхзвуковой поток газа.

Ключевые слова: аэрогидроупругость, упругая пластина, деформация, динамика, устойчивость, дозвуковой и сверхзвуковой поток, дифференциальные уравнения с частными производными, численное решение, метод Бубнова-Галёркина.

Введение

При проектировании и эксплуатации конструкций, приборов, устройств, установок различного назначения, взаимодействующих с потоком газа или жидкости, важной проблемой является обеспечение надёжности их функционирования и увеличение сроков службы. Такого рода задачи возникают в авиаракетостроении, приборостроении, машиностроении и т. д., в частности, при проектировании летательных аппаратов, антенных установок, датчиков измерения параметров газожидкостных сред, вибрационной техники, ветроустановок и т. д. [1, 5-9, 11-16]. Существенное значение при проектировании таких систем имеет исследование динамики и устойчивости деформируемых элементов, так как воздействие потока может приводить к значениям амплитуды, частоты и скорости колебаний, не позволяющим осуществлять надёжную эксплуатацию систем и обеспечивать функциональную точность их работы. Значительно ускорить исследования и проводить их на высоком уровне позволяет математическое моделирование с использованием вычислительной техники.

В данной работе рассматриваются математические модели в задачах о динамике защитного экрана резервуара, заполненного газожидкостной средой. Над экраном протекает сверхзвуковой или дозвуковой поток газа или жидкости. Рассматриваются случаи сжимаемой и несжимаемой среды. Приведён пример численного эксперимента для задачи о динамике упругой стенки (защитного экрана) прямоугольного резервуара, заполненного жидкостью (несжимаемая среда), при обтекании стенки сверхзвуковым потоком газа (сжимаемая среда).

Линейные математические модели

1. Резервуар с несжимаемой средой; над резервуаром - сжимаемая среда.

Пусть прямолинейная горизонтальная стенка резервуара (защитная поверхность) содержит п упругих деформируемых элементов (пластин), которым на оси Ох соответствуют участки (аг, Ъ1), г = 1,...,п . Остальные стенки резервуара считаются недеформируемыми (рис. 1). Резервуар (область

О~) заполнен несжимаемой средой (жидкостью). Над резервуаром в области О+ протекает дозвуковой ((0 < а0) или сверхзвуковой (У0 > а0) поток сжимаемой среды (газа) в направлении оси Ох (У0 -скорость потока, а0 - скорость звука). В частном случае вся защитная поверхность резервуара (у = 0, 0 < х < I) может представлять собой упругую деформируемую пластину.

© Вельмисов П. А., Покладова Ю. В., 2018

к ^ )

G —►

Рис. 1. Резервуар, защищённый экраном

Введём обозначения: w¡ (x, t) - функция деформации (прогиб) i-й пластины; qí (x,y, t) - потенциал скорости жидкости в области G-; L - граница области G-; q+ (x, y, t) - потенциал скорости газа в

области G+.

Математическая постановка задачи имеет вид:

Г + ' le<

q+ + 2V>q+ + Kv+x = <(q+ + q+y) (x,y)eg+ ,

0, x e (0,a1) u (b1,a2) u... u (bn,l), q+ (x,0, t) = <j 0, x e (-<x>,0) u (l,+»),

w.+V0w', x e (a.,b ), i = 1,..,n,

i 0 i' Vi'i-" ???

а) Дозвуковое обтекание (V0 < a0):

(q+ )2 + (q+ )) +(q+ )2 ^0, r = Vx2 + y2

б) Сверхзвуковое обтекание ((0 > a0): q+ (0, y, t) = q+ (0, y, t) = 0,

q (x, y,0) = q+ (x, y,0) = 0, q+ (x, y, t) ^ 0, y ^<x>.

q- +q- =0, (x, y) e G -,

- Í0, x e (0,ai)u(bi,a2)u...u (bn,l)

q- (x,0, t) = i . (

\wi, x e (a¿,bt), i = 1,..,n,

qn\L-=

L(Wi) = [^0-

0 Vt Jy=0

]y=0

+(q++Kq+ )]y=0,

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

где оператор ) задаётся формулой

Ь(ж1) = (х,Г) + 0 + х,^ + уж;''(х,0 + у; (х,w¡,ж). (11)

Здесь индексы х, у, ?, п снизу обозначают производные по х, у, ?, п ; штрих и точка над ж - производные по х и I соответственно; У0, р+, Р0+ - скорость газа, плотность и давление в набегающем однородном потоке в области О+ ; р„, Р0~ - плотность и давление жидкости в области О~ в состоянии покоя; от;. - погонные массы пластин; Б; - изгибные жёсткости пластин; N; - сжимающие (растягивающие) пластины усилия; у - коэффициенты внутреннего демпфирования; рп - производная по нормали.

Уравнение (1) описывает течение газа в области О + в модели идеальной сжимаемой среды; (2), (8), (9) - условия непротекания; (3), (6) - условие затухания возмущений вдали от защитной поверхности; (4) - условия отсутствия возмущений перед защитной поверхностью в области О + ; (5) - условия отсутствия возмущений в начальный момент времени в области О + ; уравнение Лапласа (7) описывает динамику жидкости в области О~ в модели идеальной несжимаемой среды; (10) - уравнение, описывающее динамику упругих элементов защитного экрана с учётом воздействия на них сверхзвукового или дозвукового потока газа сверху и жидкости снизу.

+

2. Резервуар со сжимаемой средой; над резервуаром - сжимаемая среда (рис. 1).

Резервуар (область О-) заполнен сжимаемой средой. Над резервуаром в области О + протекает дозвуковой (У0 < a0) или сверхзвуковой (У0 > a0) поток сжимаемой среды (газа) в направлении оси Ox.

Математическая постановка задачи имеет вид:

р+ + 2^ + = < (р+ + р++у ), (х, у) е О+, 0, x е (0,а1) и (Ъ1,а2) и... и (Ъп,I), рр (x,0, г) = <{ 0, x е (-да,0) и (l,+да),

г , + ^0 < х е (аг, Ъ>1 X г = 1,.., n,

а) Дозвуковое обтекание (У0 < а0):

(рХ)2 + рр )2 +(р+ )2 ^0, г = Л/ХГ+7

б) Сверхзвуковое обтекание (У0 > а0):

р+ (0, у, г) = р+ (0, у, г) = 0, р+ (х, у,0) = р+ (х, у,0) = 0, р+ (х,у,г) ^0, у ^да.

Р- = а-2 (р-х + р-у), (х, у) е О-,

0, х е х е (0,а1) и (Ъ1,а2) и ... и (Ъп,I),

Р- (х,0, г) = ■

Р" = 0.

Тв .-

гг, х е (а,.,Ъ1), г = 1,..,п,

ЦЧ>, ) = [Р0--Ар]у=0 -[-^0+ "Л+(Р+ + ^,Рх+)]у=0:

где оператор Ь( г,.) задаётся формулой (11).

3. Резервуар с несжимаемой средой;над резервуаром - несжимаемая среда (рис. 1).

Резервуар (область О-) заполнен несжимаемой средой. Над резервуаром в области О + протекает дозвуковой (V < а0) поток несжимаемой среды в направлении оси Ох. Математическая постановка задачи имеет вид:

Р+х +Рру = 0, (х, у) е О+,

0, х е (0,а1) и (Ъ1,а2) и... и (Ъп,I), ру (х,0, г) = •! 0, х е (-да,0) и (1,+да),

г, + V < х е (а,, Ъ,X г = l,.., n,

(рх+)2 +(р;)2 +(р;)2 ^0, г = 4х2 + у2 ^да;

р-х +р-у = ^ (x, у) е О - ,

0, х е х е (0, а1) и (Ъ1, а2) и... и (Ъп, I),

ру (х,0, г) =

р;1-=а

г, х е (а,., Ъг), г = 1,..,п,

¿(г,) = [р--р-р;]у==0 -[р+ -^0+(р,+ + ^0рр)]у=0т

где оператор Ь() задаётся формулой (11).

4. Резервуар со сжимаемой средой;над резервуаром - несжимаемая среда (рис. 1).

Резервуар (область О-) заполнен сжимаемой средой. Над резервуаром в области О+ протекает дозвуковой (У0 < а0) поток несжимаемой среды в направлении оси Ох.

Р1 +<, = 0, (х, у) е О,

0, х е (0, а1) и (Ъ1, а2) и... и (Ъп, I), р+ (х,0, г) = ]о, х е (-<х>,0) и (/,+<*>),

ж + V х е (а,., Ъ1), г = 1,.., п,

(Рх+)2 +(Ру+)2 +(Р,+ )2 ^0, г ^х2 + у2

Ри = а,

0 (Р-х + Р-} (х,уе

Р- (х,0, г) =

Р\ = 0.

[0, х е (0,а1) и (Ъ1,а2) и ... и (Ъп,/), [ж, х е (а,.,Ъ1), г = 1,..,п,

) - [^0- - РР ]у=0 - Ь+ - Р+ (р+ + ^>Р+ )1

у=0:

где оператор Ь( ж,.) задаётся формулой (11).

Замечание. Задачу о динамике защитных экранов можно обобщить на случай нескольких резервуаров.

Рассматривается плоская задача о динамике т защитных экранов т резервуаров, заполненных сжимаемой или несжимаемой средой (рис.2). Прямолинейная горизонтальная стенка каждого резервуара содержит пк (к = 1,..., т) упругих элементов (пластин). Остальные стенки резервуаров считаются недеформируемыми. В области О + протекает дозвуковой или сверхзвуковой поток в модели сжимаемой или несжимаемой среды.

Рис. 2. Резервуары, защищенные экранами с упругими элементами

Нелинейные модели, учитывающие продольную и поперечную деформации

Нелинейные модели, учитывающие продольную и поперечную деформации упругого элемента, рассматриваются, например, в [2, 3].Ниже приведём аналогичные модели, учитывающие предварительный изгиб упругого элемента, и модели, учитывающие демпфирование продольного усилия и изгибающего момента в упругом элементе

1. Модель, учитывающая предварительный изгиб упругого элемента

Для описания динамики упругих элементов защитного экрана можно использовать нелинейную модель, учитывающую продольную и поперечную деформации этих элементов

- ЕЕ^их + ^ ^ + ^х ^ + - Т^х* + /(x, г, г и, , ^ ) = 0

(х + V ^ их + ^

гх + ^х

+ ^ гхххх +70 ™хххх, + + ^ (( г, ^ и, , ^ ) = хА t),

Здесь АР(х,0,г) = р0 -р0р, ]у=0 - р0+ - р0+ (р,+ + Р0р+)] 0; у(х) - предварительный изгиб упругого элемента [17]; т0, 70 - коэффициенты демпфирования на растяжение и изгиб.

2. Модель, учитывающая демпфирование продольного усилия и изгибающего момента упругого элемента

ти

т

(х, г) - Ох (х, г) - тОЛ (х, г) + /(х, г, и, г, и,, г,) = 0, г, (х, г) - [ (х, г)(((х, г) + тО, (х, г))] + Мхх (х, г) + уМЫх (х, г) + g (х, г, и, г, и,, г,) = АР( х ,0, г).

Здесь О(х,г) = ЕЕ| их + -2| - продольное усилие;М(х, ,) = Ы

- изгибающий

1 + 2| и +1 г х 2

момент; ЕЕ - жёсткость на растяжение; EJ - жёсткость на изгиб; /(х, ,,и, г,и,, г,), g(х, ,,и, г,и,, ) - функции, описывающие некоторые внешние (например, управляющие) воздействия на упругий элемент; т0, 70 -коэффициенты демпфирования на растяжение и изгиб. Полагая прогибы малыми,

можно положить М (х, г) = Ш

гхх - 3| их +1 г2

, часто полагают также й) =

Рис. 3. Резервуар с прямолинейными стенками, защищённый экраном

Пример

Рассмотрим плоскую задачу о динамике защитного экрана резервуара прямоугольной формы с прямолинейными стенками, заполненного идеальной несжимаемой жидкостью (рис. 3). Защитный экран занимает положение у = 0, 0 < х < I и моделируется упругой пластиной. В области

О + = {(х.у) е Я2 : х е (-да;да),у е (0,+да)} протекает сверхзвуковой поток газа в направлении оси Ох со скоростью V > а0, где а0 - скорость звука.

V <—

Предполагается, что число Маха М 0=—>ы2

Математическая постановка задачи имеет вид:

р++

р + 2VoРрl + уррх = а2(р+ +рру), (х,у) е О+,

0Ух, 1 0 г хх 0 у» хх У уу

+ , „ ч [0, х е (-да,0) и (I, +да), р (х,0, г) = <

[г +У0г;, хе (0,I),

р+ (0, у, г) = р+ (0, у, г) = 0, р+ (х, у,0) = р+ (х, у,0) = 0, р+ (х, у, г) ^ 0, у ^да.

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

х

I

а

о

Рх + Ру = 0, У) е О-, р - (0, у, г) = 0, у е (-к,0), р- (I,у,г) = 0, у е (-к,0), Р- (х,-к, г) = 0, х е (0,1), Р- (х,0,г) = х е (0,1).

*(х,г) + Ы*;;;;(х,г) -[р- -рр-]у=0 -[р+ -Р+Р+ + Пр+)] ж(0,г) = *"(0,г) = ,г) = *"(", г) = 0, г > 0; *(х,0) = /(х), ж,(х,0) = /2(х), х е (0,1).

у=0

(18)

(19)

(20) (21) (22)

(23)

(24)

Применяя для решения задачи в верхней области О+ операционный метод [4, 10],получим дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает динамику упругой стенки резервуара с учетом аэрогидродинамического воздействия на неё, содержащее лишь *( х, г)

тм>(х, г) + х, г) = (Р0- - рр (х,0, г)) - Р0+ -

4м 02-1

М2 - 2 ^ V х, г) + —0-— *( х, г)

м02 1

(25)

Представим потенциал скорости р (х, у, г), являющийся решением уравнения Лапласа (17), в виде

да

р- (х, у, г) = а(г) + £ Ъп (г )со$(Лпх)(еЛпу + е-^е"2Лпк), (26)

пл

где а (г) и Ъп (г) - некоторые произвольные функции, а Лп = -"-.

Уравнение (17), условия (18), (19), (20) выполнены. Удовлетворяя условию (21), получим

Ъ (г) =

т V '

2

"Л (1- е -2Лк)

т

I

*(х,г)со$(Лтх)ёх.

(27)

Подставляя (27) в (26), согласно (25), получим уравнение динамики упругой пластины

тж(х, г) + х, г) = (Р0- - Р0+) -

о+У ( М2 - 2 ^

Р0 0 ¥0 х, г) + ° *(х, г)

0 V , ) м02-1 ^ ' ;

л/М 02-1

а

(г) + 2£ С08(Лх)(1 + е""")

(28)

| *(х, г) 008(Лпх)^

1^1 Лп (1- е-21пк ) 0

Предполагая, что в состоянии покоя в резервуаре Р = Р0-, положим а(г) = 0 .

Для решения начально-краевой задачи (28), (23), (24) применим метод Галёркина. Пробное решение *( х, г) будем искать в виде

*( х, г) = £ Жк (г )яп(Лх),

(29)

где ^тЛх)} - полная система базисных функций на отрезке [0,1], подобранных так, чтобы выполнялись заданные краевые условия (23).

Из условий ортогональности невязки уравнения (28) к системе базисных функций ^тЛх)} получим систему из обыкновенных дифференциальных уравнений для ж.(г) (я = 1,...,N):

т1 .... 2р0 " 1 + е-2Лпк Т N ■■ РсХ М02 - 2 / ... л4 ..

-г- с >+£ ллОт-^ £ -к (' ^ • ММ0—2 ■ )+"2"ЛХ (г >+

+

о+У2 N 00

л/Мо -1

£ * (г)Л/.к = (Р0- -Р0+)

- 1 к=1

1-Н) .

Л.

(30)

п=1

к=1

Здесь 1п = | $,1п(Лкх)со$,(Лпх)ёх

0, п = к;

Л,,

Лк

-(1 -(-1)к+п), п Ф к.

Начальные условия для wk (:) получим согласно (к4)

к г кг

Wk (0) = 7 ] /1(х)81и(ЛкХ)^Х, wк (0) = - ] /к(х)81и(ЛкХ)^Х.

Таким образом, получена задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (30) с начальными условиями (31), которая является основой для проведения численного эксперимента.

Задача Коши (30), (31) решается с помощью системы МаШешайса. Исследовалась деформация элемента как функция времени (в фиксированных точках элемента) и как функция координаты (в фиксированные моменты времени) для различных параметров механической системы.

Будем считать, что упругий элемент изготовлен из алюминия (Е = 7 -1010 - модуль упругости, рр1 = 2699- плотность), обтекается сверхзвуковым потоком воздуха (р0 = 1,3), при этом резервуар

заполнен водой (р0- = 998,к). Скорость набегающего потока У0 = 600, скорость звука а0 = 340, число Маха М0 = 1,765. Другие параметры механической системы: I = к0; к = 15; Нр1 = 0,к (толщина стен-

ЕН3

ки); т = 539,8 (погонная масса); о = 0,34 (коэффициент Пуассона); Б = ^^ р' = 5,2766 • 107 (из-

гибная жёсткость); Р0- - Р0+ = 500 . Все значения приведены в единицах СИ. При проведении эксперимента количество членов ряда в (к6)было ограничено 50 слагаемыми. При реализации метода Галёр-кина для уравнения (к8) было выбрано N = 1к. Начальные условия зададим в виде: w(х,0) = 0, W(х,0) = 0.

12 I

Получены графики функции w(x0,:) = ^wk(:)8т(Лкх0) в точке х0 = — и прогиб w(x,t0) упругой

к=1 4 стенки в фиксированный момент времени :0 = к5 (рис. 4).

МХОМ о.озс

0.015

0.С1С

С.005

10 20 30 40 50

Рис. 4. График функции ю при скорости потока V = 600

Увеличим скорость набегающего потока в два раза V0 = 1к00. На рис.5 представлены графики функции w(х0, t) в точке х0 =— на различных временных отрезках (: е [0,к0],: е [0,30],: е[0,50])и прогиб w(х, :0) упругой стенки в фиксированный момент времени :0 = к5 .

431.01

co(x0, t)

-□0.5

Рис. 5. График функции ю при скорости потока V0 = 1200

Как видно из графиков, с увеличением скорости потока деформация упругой стенки резервуара увеличивается. При V0 = 600 имеет место устойчивость, при V0 = 1200 наблюдается неустойчивая динамика защитного экрана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Aulisa E., Ibragimov A., Kaya E. Fluid structure interaction problem with changing thickness beam and slightly compressible // Descrete and Continuous Dynamical Systems. - 2014. - V.7, №6. -P. 1133-1148.

2. Kaya E. A stability estimate for fluid structure interaction problem with non-linear beam / E. Kaya, E. Aulisa, A. Ibragimov, P. Seshaiyer // Descrete and Continuous Dynamical Systems. - 2009. - P. 424-432.

3. Voss H. V. The effect of an external supersonic flow on the vibration characteristics of thin cylindrical shells // J. Aerospace Sciences. - 1961. №3. - P. 945-956.

4. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Покладова Ю. В. Математические модели механической системы «трубопровод-датчик давления» // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2007. - №3. - С. 7-14.

5. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Горбоконенко В. Д., Покладова Ю. В. Математическое моделирование механической системы «трубопровод-датчик давления». - Ульяновск : УлГТУ, 2008. -188 с.

6. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Захарова А. Б. Динамика и устойчивость упругого элерона крыла при дозвуковом обтекании // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - №3 (31). - С. 22-39.

7. Бочкарев С. А., Лекомцев С. В. Аэроупругая устойчивость круговых цилиндрических оболочек, содержащих текущую жидкость // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физ.-мат. науки. - 2015. - Т.19, №4. - С.750-767.

8. Бочкарев С. А., Лекомцев С. В. Исследование влияния граничных условий на устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, взаимодействующих с текущей жидкостью // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физ.-мат. науки. - 2012. - №3 (28). -С. 88-101.

9. Бочкарев С. А., Матвеенко В. П. Решение задачи о панельном флаттере оболочечных конструкций методом конечных элементов // Математическое моделирование. - к00к. - №1к. - С.55-71.

10. Бочкарев С. А., Матвеенко В. П. Устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих вращающийся поток жидкости // Вычислительная механика сплошных сред. - к013. - Т.6, №1. - С. 94-10к.

11. Вельмисов П. А., Судаков В. А. Математическое моделирование в задаче о динамике защитной поверхности при сверхзвуковом обтекании потоком газа // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. трудов междунар. конфер. (Воронеж, 1к.1к.к013 -14.1к.к013). - М. : ФИЗМАТЛИТ, к015. - С.58-6к.

1к. Вельмисов П. А., Покладова Ю. В., Серебрянникова Е. С. Математическое моделирование систем динамического контроля за изменением давления // Журнал Средневолжского математического общества. - к01к. - Т. 14, №к. - С. кк-33.

13. Вельмисов П.А., Покладова Ю. В., Серебрянникова Е. С. Математическое моделирование систем контроля над изменением давления // Эвристические алгоритмы и распределённые вычисления. - к014. - Т. 1, Вып. к. - С. 6-к0.

14. Вельмисов П. А., Покладова Ю. В. О некоторых математических моделях механической системы «трубопровод - датчик давления» // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физ.-мат. науки. - к011. - №1 (к9). - С.137-144.

15. Вельмисов П. А., Покладова Ю. В. Математические модели одной гидроупругой системы // Журнал Средневолжского математического общества. - к006. - Т. 8, №к. - С. 93.

16. Шмидт Г. Параметрические колебания. - М. : МИР, 1978. - 336 с.

Вельмисов Пётр Александрович, профессор кафедры высшей математики инженерно-экономического факультета ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный технический университет» (Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, д. 32), доктор физико-математических наук, профессор, [email protected]

Покладова Юлия Валерьевна, доцент кафедры высшей математики инженерно-экономического факультета ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный технический университет» (Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, д. 32), кандидат физико-математических наук, доцент, pokladovau@inbox. ги

Поступила 04.05.2018 г.

УДК 530.1

А. В. ПАРФЁНОВ

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

Автором найден интеграл действия для электромагнитного поля, с помощью которого получена первая пара уравнений Максвелла в ковариантном виде. Получен целый ряд закономерностей, присущих электромагнитному полю.

Ключевые слова: электродинамика, криволинейные координаты.

След тензора энергии-импульса электромагнитного поля равен нулю: Т. = 0, поэтому скалярная кривизна пространства-времени Я при наличии одного электромагнитного поля тоже равна нулю, ведь Я ~ Т. . Отсюда можно сделать вывод, что у электромагнитного поля отсутствует связь с

© Парфёнов А. В., к018