Исследование динамики и устойчивости упругого элемента конструкции при сверхзвуковом обтекании Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 533.6.013.42

А.В. Анкилов, П.А. Вельмисов

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ И УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОГО ЭЛЕМЕНТА КОНСТРУКЦИИ ПРИ СВЕРХЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ

Исследуется динамика и устойчивость упругого элемента конструкции в виде пластины-полосы при обтекании ее сверхзвуковым потоком идеального газа. На основе построенного функционала получены достаточные условия асимптотической устойчивости решений дифференциального уравнения с частными производными, описывающего динамику пластины.

Аэроупругость, математическое моделирование, динамика, устойчивость, пластина, сверхзвуковой поток газа, дифференциальное уравнение, функционал

A.V. Ankilov, P.A. Vel'misov

INVESTIGATION OF DYNAMIC AND STABILITY OF ELASTIC ELEMENT OF CONSTRUCTION IN SUPERSONIC FLOW

The dynamic and stability of elastic element of a construction in the form of a plate with its flowing by supersonic flow of ideal gas is investigated. On the base of the built functional the sufficient conditions of asymptotic stability of the solution of the partial differential equation describing the plate dynamic are obtained.

Aeroelasticity, mathematical modelling, dynamics, stability, plate, supersonic flow of gas, differential equation, functional

1. Введение

При проектировании конструкций, приборов, устройств, аппаратов, систем и т. д. различного назначения, находящихся во взаимодействии с газожидкостной средой, необходимо решать задачи, связанные с исследованием устойчивости упругих элементов, требуемой для их функционирования и надежности эксплуатации.

В работе исследуется динамика и динамическая устойчивость упругой пластины при обтекании ее сверхзвуковым потоком идеального газа (жидкости). Определение устойчивости упругого тела соответствует концепции устойчивости динамических систем по Ляпунову. Аэродинамическое давление на пластину определяется согласно «поршневой» теории А.А. Ильюшина. На основе построения функционала, соответствующего дифференциальному уравнению в частных производных, описывающему поперечные колебания пластины-полосы, получены достаточные условия устойчивости решений этого уравнения.

Подобные задачи по исследованию динамической устойчивости, но при дозвуковом режиме обтекания, рассматривались в [1] - [7]. Кроме того, отличием от ранее полученных результатов является то, что в данной работе предложен функционал, позволяющий получить условия асимптотической устойчивости.

2. Математическая модель

Рассмотрим модельное уравнение, описывающее поперечные колебания упругой пластины-полосы при обтекании ее сверхзвуковым потоком газа (рис. 1):

L(w) = Mw + Dw№" + Nw" + a(w + Vw') = 0, x e (0, l). (1)

Здесь w(x, t) - прогиб пластины; x - продольная координата, t - время; M, D -погонная масса и изгибная жесткость пластины; N - сжимающее (N >0) или растягивающее (N <0) продольное усилие; a= a0p0a0= const >0, где р0,a0 - плотность

газа и скорость звука в однородном невозмущенном потоке (a0 = 1 при одностороннем обтекании, a0 = 2 при двустороннем обтекании); V - скорость набегающего однородного потока; штрих обозначает производную по координате x, точка - производную по времени t .

а

б

Рис. 1. Примеры обтекания конструкций с упругим элементом сверхзвуковым потоком газа: а) двустороннее обтекание рассекателя с образованием ударной волны; б) одностороннее обтекание защитного экрана с образованием волны разрежения

Аэродинамическая нагрузка определяется выражением Е = а,(у& + Иг'), справедливым при достаточно больших скоростях сверхзвукового потока V . Выражение для Е получено с помощью решения соответствующей линейной нестационарной аэродинамической задачи на основе преобразования Лапласа при больших числах Маха М = V / а0 (что согласуется с гипотезой плоских сечений Ильюшина А. А.).

3. Исследование асимптотической устойчивости

Введем в рассмотрение функционал:

где

J(г) =1 е2у |М™2 + 2Мвым> + ав2 + 2 -Ыы'2}йХ,

2 о

у, в - некоторые постоянные положительные параметры. Пусть граничные условия имеют вид:

(2)

1 2 3 4

x = 0: ж ж ш ш

x = l: ж ш ж ш

(3)

Здесь приняты следующие обозначения: "ж" - жесткое защемление (ы = 0, ы' = 0); "ш" - шарнирное закрепление (ы = 0, ы" = 0).

Для производной J (г) согласно (1) - (3) имеет место оценка:

J (t) = 2g J {[a- M (в + g)]w 2 + D(q - g)w"2 + aVw w' - 2M6jwwv - N (в - g)w'2 }dx.

(4)

Проведем оценки для функционала и его производной с учетом граничных условий (3). Используя неравенства Рэлея [8] и Коши-Буняковского, получим:

0

l l l l l

х, t)dx >A1jw'2(х, t^х, w2(х, t) < / jw'2(x, t)dX, |w/2(x, t^ >т1 |w2(x, t)dx, (5) 0 0 0 0 0 где - наименьшие собственные значения краевых задач р"" = —1р", р" = —ттр

с краевыми условиями (3).

Оценим J (г) с помощью (5) следующим образом:

3 (г) >1 е2у | {м*2 + 2Мв** + ав*2 + (Л1Б — Ы)*'2 }ск = 2 0

=1 е2у | {м* 2 + 2Мв** + ав*2 +у(Л1Б — Ы)*'2 + (1—у)(1Б — Ы)*'2 > (6) 20

> (1 — У) (1^ — Ы)w2 (х, t) +11{м*2 + 2Мв** +[ав + щ1 ЦБ — Ы)*2 }dx, 2/ 2 0 где у е (0,1) - некоторая постоянная величина. При выводе (6) было сделано предположение:

1Б — Ы > 0. (7)

Квадратичная форма в (6) будет положительно определенной при выполнении неравенства

ав + тЦБ — Ы) >Мв2. (8)

Если выполняется условие:

а >Мв, (9)

то можно положить у = 0, иначе положим:

Мв2 —ав

у=-

щ[\0 — Ы \ и неравенство (8) запишется в виде:

а<Мв, Мв2 —ав е (0,1). (10)

' тЦ—Ы) Кг) ^

Тогда при выполнении условия (9) или (10) окончательно получим:

3 (г) > ^ е2у (1Б — Ы) w2(x, t). (11)

Аналогично, учитывая (4), для 3 (г) получим:

3 (г) <— е 2у | {[а—М (в+у)]* 2 +(1Б — Ы )(в —g)w/2 +aVWw' — Шву*™ }dx. (12)

0

Неравенство (12) справедливо при условии

в — у>0. (13)

Пусть выполнены неравенства (7), (13), тогда из (12) получим:

/

(14)

3 (г) <—е2у |{[а—М (в + у)]*2 — Ы )(в — у)*'2 +

0

+ (1 — С)Т — Ы )(в —у)*2 + аУ* * ' — 2Мву** Ух, где с - некоторая постоянная величина.

Квадратичная форма относительно *, *', * в (14) будет положительно определенной,

если выполняются условия:

а2У2

а-М(в+ у) > 0, %{а-М(в+ у))—-N)(в- у)--> 0,

2 2 4 (15)

а2у2

С(1 -С)(а-М (в+7)1 - N )(в-у)--—(1 -с) - М 2в2у2Х> 0.

Рассмотрим функцию:

Е (с) = с(1 -с)(а-

Найдем точку максимума функции Е(с) :

а2У2

Е(с) = с(1 - с)(а - М(в + у))— Л - N)(в - у)--— (1 - с) - М 2в2 у2с.

а2У2

(а -М{в + у))— - N)(в - у) + —--М 2в2у2

Г =-4--(16)

2(а-М(в + у))— - N)(в - у)

При найденном значении с система неравенств (15) принимает вид:

а2У 2

а-М(в+у) > 0, (а-М(в+ у))— - N)(в- у) > +М2в2у2,

4 тг 4 2тл2

(а-М (в+у))2 — - N )2(в- у)2 + —+М 4в4у4 >—М 2в2у2 + (17)

16 2

а2У 2

+ (а-М(в + у)ХАЛ - N)(в - у)-+ 2(а-М(в + у))— - N)(в - у)М2в2у2.

При выполнении этих условий се (0,1) и квадратичная форма относительно л&, ы', ы в (14) будет положительно определенной.

Тогда J (г) > 0, J (г) < 0, J (г) < J (0), и следовательно:

(1 -у) 21

Оценим J (0):

е2у - N х, г) < J (г) < J (0). (18)

J(0) =1}{м&02 + 2Мвн>0ы0 + авг^ + Ш02 -\1х < 2 0

<11 {м (1 + в)м> 02 + (у-1 А1 (а+М )в + В + А-1 N1 02 2 0

где = х,0), 1&0 = 1&(х,0), ^0 = ы'(х,0), ^0 = ы"(х,0).

Если выполняется условие (9), то из (18), (19) получим неравенство:

(19)

ы2( х, г) <---е_2у ]\м (1 + в)ы 02 + (у-1 А-1 (а+М )в + В + А-11 N1 У"02 ]йх, (20)

из которого следует теорема:

Теорема 1. Пусть выполнены условия (7), (9), (13) и (17). Тогда решения уравнения (1) будут асимптотически устойчивы, если х, г) удовлетворяет краевым условиям (3).

Если выполняется условие (10), то из (18), (19) получим неравенство:

х, 0 ^^-а ^ 2 * х

(21)

о 3-1 (а+\ *\в+п + з-^л.,'2 1л,

(311 - N]- // Мв2 '

х | {м (1 + в)т& 02 + /1-13-1 (а ■+ М )в +1 + 3-11 N1 )<2 }/х.

0

из которого следует теорема:

Теорема 2. Пусть выполнены условия (7), (10), (13) и (17). Тогда решения уравнения (1) будут асимптотически устойчивы, если н'(х, I) удовлетворяет краевым условиям (3).

Таким образом, применение теорем 1 или 2 состоит в отыскании таких постоянных величин в > 0, у > 0, чтобы выполнялись системы неравенств (7), (9), (13) и (17) или (7), (10), (13) и (17).

Для примера рассмотрим двустороннее обтекание (а0 =2) алюминиевой пластины ( Е = 7 • 1010, рт = 8480, п = 0,31) толщиной к = 0,01 и длиной I = 1 потоком идеального газа (р0 = 1, а0 = 331) со скоростью V = 400 . Тогда коэффициенты уравнения (1) равны:

Екъ

М =рт к = 84,8; 1 =-— = 6453,5; а = а0р0а0 = 662.

12(1 -п2)

Рассмотрим случай шарнирно закрепленных концов пластины, тогда:

„ ж2 / =3 =-2-» 9,87. I

Все значения приведены в системе СИ.

Найдем значения усилия N, при которых выполняются условия теоремы 1. Подставим найденные коэффициенты в систему неравенств (7), (9), (13) и (17):

N< 63696; в< 7,8; в-у>0; в+у< 7,8; (22)

(662 - 84,8(в + у))(63696 - N )(в -у) > 1,753 • 1010 + 7191 • в2 у2

(662 - 84,8(в + у))2 (63696 - N)2 (в - у)2 + 3,073 • 1020 + 5,171 • 107 в4 у4 >

> 2,521 • 1014 в2 у2 + 3,506 • 1010 (662 - 84,8(в + у))(63 696 - N )(в -у) +

+14382(662 - 84,8(в+ у))(63696- N)(в- у)в2у2.

(23)

Неравенства (22) задают ограничения на значения параметров N, в, у, а неравенства (23) служат для определения усилия N при конкретных значениях в, у . Например, возьмем точку (7,7; 0,05) из треугольника решений на плоскости (в, у), тогда первое неравенство (23) примет вид:

N <-4,773 -108, (24)

а второе неравенство выполняется при любых N .

Замечание. Параметр у отвечает за скорость затухания колебаний. Чем N меньше, тем у можно взять больше и тем самым решение н'(х, I) быстрее стремится к нулю при увеличении I. Например, если возьмем точку (4; 3,7) из треугольника решений на плоскости (в, у) , то первое неравенство (23) примет вид:

N <-6,464 -109, (25)

а второе неравенство выполняется при любых N .

4. Исследование динамики и проведение численного эксперимента

Исследование устойчивости можно осуществить на основе численного эксперимента.

При этом, в отличие от условий, полученных на основе функционала, которые являются только достаточными, можно на плоскости , V) построить приближенно область, оответствующую необходимому и достаточному условию устойчивости. В связи с этим рассмотрим один из возможных методов решения уравнения (1).

Решение уравнения (1) будем искать методом Галеркина, подчинив искомую функцию н'(х, X) краевым условиям (3).

Зададим также начальные условия:

^(х,0) = /1(х), л& (х,0) = /2(х), (26)

которые должны быть согласованы с краевыми условиями.

Согласно методу Галеркина решение уравнения (1) ищется в виде:

п

х, X ) = (X) gk (х), (27)

к=1

где gk (х) - базисные функции, подобранные так, чтобы выполнялись заданные краевые условия, а уравнения для функций ак (X) определяются из условия ортогональности невязки уравнения ко всем базисным функциям.

В качестве базисных возьмем функции:

gk (х) = Ак со$Укх + Вк ътукх + С^И^х + ^Ь^х, к = 1,2,3,... (28)

Коэффициенты Ак,Вк, Ск, Бк и параметр ук выберем так, чтобы на каждом из концов отрезка [0, I] выполнялось одно из следующих условий:

1) gk(х) = gk(х) = 0; 2) gk(х) = g¡(х) = 0; к = 1,2,3,. (29)

Тогда функция н'( х, X) в виде (27) будет удовлетворять условиям (3). Заметим, что ук и gk (х) - собственные значения и собственные функции краевой задачи

g/V (х) = У4 g (х) (30)

с граничными условиями (29). Задача (30), (29) - самосопряженная и полностью определенная, следовательно, система функций (х)}¥=1 ортогональна на [0, I]. В этом случае, согласно теореме о разложении, любую функцию и(х), четырехкратно непрерывно дифференцируемую в (0,1) и удовлетворяющую соответствующим краевым условиям,

можно разложить в ряд и(х) = ^Jckgk (х), абсолютно и равномерно сходящийся в (0,1) .

к=1

Условия ортогональности невязки уравнения (1) к базисным функциям (х)}"т=1 позволяют записать систему п уравнений для ат (X):

Г I п ( I I \

РУт ат (X) + Ма"т (X) +аа'т (фт (х)йх + Xа к (X) N ¡g'k (х) gm (х)йх + (XV ¡g,k (х) gm (х)йх

к=1

_ _ _ +1

v 0

= 0.(31)

Условия ортогональности невязки начальных условий (26) к базисным функциям позволяют найти начальные значения ат (0), а'т (0):

1 1 1 1

ат (0) = —!/1 (х)gm (х)йх, а'т (0) = — |/2 (х)gm (х)^. (32)

—т 0 —т 0

Таким образом, получили задачу Коши для системы обыкновенных дифференциального уравнений (31) с начальными условиями (32).

Рассмотрим приведенный в третьем пункте пример механической системы. Для

0

случая шарнирно закрепленных концов пластины с помощью математической системы МаШешайса для данных значений параметров получим графики функции

„ кж

Ц„(х,г) = Xак(г^п укх, ук =— при х* = I/4, г > 0 и х* е [0,/], г = г0 при различных

к=1 1

значениях „, N (рис. 2 - 5). Зададим начальные условия: ц( х,0) = 0,001 • вт(2ях /1), ц (х,0) = -0,015 • 8т(2жх /1).

Вариант 1: N = 1000; V = 400; к = 0,011 ^ М = 93,28; 1 = 8589,63 .

Рис. 2. Деформация пластины в точке х* = I /4 при „ = 2,3,4,6

Рис. 3. Прогиб пластины в различные моменты времени Обсудим вопрос о сходимости приближений.

Рассмотрим графики коэффициентов а1 (г), а2 (г), а3 (г), а4 (г) четвертого приближения (рис. 4), разницу между приближениями (рис. 5).

Рис. 4. Графики функций а^), а2^) , а3^), а4(X)

Рис. 5. Разница между приближениями

Как видно из рис. 4, начиная со третьего коэффициента, значения амплитуд для а3 (X), а4 (X) уменьшаются на порядок. Это связано с тем, что начальные условия задаются второй гармоникой б1п(2лх /1).

Вариант 2: N = 1000; V = 400; И = 0,097 ^М = 82,256; Р = 5889,95 .

Как следует из рис. 2, 6, решение уравнения (1) в первом случае асимптотически устойчиво, а во втором случае неустойчиво.

Аналогичные исследования динамики пластин можно провести и в случае одностороннего обтекания. Так же можно исследовать динамику в случае других типов закрепления концов упругих пластин.

Рис. 6. Деформация пластины в точке х* = I /4 при п = 3,4,6

Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009-2013г.г.), ГК №П1122, а также при финансовой поддержке программы «Развитие научного потенциала высшей школы» Минобрнауки РФ (проект 2.1.1/6194).

ЛИТЕРАТУРА

1. Вельмисов П. А., Решетников Ю. А. Устойчивость вязкоупругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии. Саратов: изд-во СГУ, 1994. 176 с.

2. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Устойчивость вязкоупругих элементов стенок проточных каналов. Ульяновск: УлГТУ, 2000. 115 с.

3. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Горбоконенко В. Д., Покладова Ю. В. Математическое моделирование механической системы «трубопровод - датчик давления». Ульяновск: УлГТУ, 2008. 188 с.

4. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Покладова Ю. В. Математические модели механической системы "трубопровод - датчик давления". Вестник Саратовского государственного технического университета. Саратов, 2007. №3(27). Вып. 2. С. 7-14.

5. Анкилов А.В., Вельмисов П.А. Математическое моделирование динамики и устойчивости упругих элементов крыла. Вестник Саратовского государственного технического университета. Саратов, 2009. №1(37). Вып. 1. С. 7-16.

6. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Устойчивость решений некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. Вестник Самарского государственного университета. Самара, 2008. №8/1(67). С. 331-344.

7. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Семенова Е. П. Исследование динамической устойчивости упругих элементов стенок канала. Вестник Саратовского государственного технического университета. Саратов, 2009. №2(38). Вып. 1. С. 7-17.

8. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968. 503 с.

Анкилов Андрей Владимирович -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета

Вельмисов Петр Александрович -

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета

Ankilov Andrey Vladimirovich -

Candidate of Physics and Mathematics Sciences, Associate Professor of the Department "Higher Mathematics", Ulyanovsk State Technical University

Velmisov Petr Alexandrovich -

Doctor of Physics and Mathematics Sciences, Professor, Head of the Department "Higher Mathematics", Ulyanovsk State Technical University

Статья поступила в редакцию 07.03.2011, принята к опубликованию 20.08.2011