Об устойчивости решений начально-краевой задачи о динамике защитного экрана при взаимодействии со сверхзвуковым потоком газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 533.6.013.42

А. В. АНКИЛОВ, П. А. ВЕЛЬМИСОВ, В. А. СУДАКОВ

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ О ДИНАМИКЕ ЗАЩИТНОГО ЭКРАНА ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ СО СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА

Исследуется устойчивость решения начально-краевой задачи для связанной системы дифференциальных уравнений с частными производными, описывающей динамику упругой стенки (защитного экрана) резервуара, заполненного жидкостью, при взаимодействии стенки со сверхзвуковым потоком газа. Определение устойчивости упругого тела соответствует концепции устойчивости динамических систем по Ляпунову. На основе построения смешанного функционала типа Ляпунова получены достаточные условия устойчивости, налагающие ограничения на скорость потока, изгибную жёсткость стенки и другие параметры механической системы.

Ключевые слова: аэрогидроупругость, деформация, динамика, дифференциальные уравнения с частными производными, жидкость, сверхзвуковой поток газа, упругая пластина, устойчивость по Ляпунову, функционал.

Введение

При проектировании конструкций, обтекаемых потоком газа или жидкости, важное значение имеет исследование устойчивости деформируемых элементов, так как воздействие потока на составные части конструкций может приводить к возникновению неустойчивых колебаний и, тем самым, к их разрушению или нарушению требуемых функциональных свойств. В связи с этим возникает необходимость определения параметров, обеспечивающих целостность конструкций и их успешное функционирование.

Таким образом, проектирование различных конструкций, обтекаемых потоком газа (жидкости), приводит к решению задач аэрогидроупругости, связанных с определением характеристик конструкций, позволяющих обеспечить надёжность их эксплуатации и удовлетворения требуемых функциональных свойств.

В работе исследуется динамическая устойчивость упругой стенки (защитного экрана) резервуара, заполненного жидкостью, при обтекании стенки сверхзвуковым потоком газа. Определение устойчивости упругого тела соответствует концепции устойчивости динамических систем по Ляпунову. Исследование проводится в линейной постановке. На основе построения функционала для связанной системы дифференциальных уравнений в частных производных для двух неизвестных функций -прогиба (деформации) упругой стенки резервуара и потенциала скорости жидкости, заполняющей резервуар, получены условия устойчивости решения этой системы, и, тем самым, условия динамической устойчивости упругой стенки.

Постановка задачи

Рассматривается плоская задача о динамике упругой стенки резервуара О— = {(х, у) е К2 : 0 < х < I, — к < у < 0}, заполненного жидкостью. Упругой является стенка, зани-

мающая положение у = 0, 0 < х < I и моделируется упругой пластинкой. Остальные стенки (х = 0, х = I и у = —к) считаются недеформируемыми (рис. 1). В области

О+ = {(х.у) е К2 : х е (—^;да),у е (0,+да)} протекает сверхзвуковой поток газа в направление оси

Ох со скоростью V > а0, где а0 - скорость звука. Предполагается, что число Маха М0 = — > л/2.

а0

Введём обозначение: ^(х, г) - функция деформации (прогиб) пластины; р(х, у, г) - потенциал скорости жидкости в области О .

© Анкилов А. В., Вельмисов П. А.,

Судаков В. А., 2013

Рис. 1. Резервуар с деформируемой стенкой, обтекаемым сверхзвуковым потоком газа Математическая постановка задачи в линейном приближении имеет вид

(рх + ?уу = 0 (х у) е О—; (1)

ру (х,—к, г) = 0, ру (х,0,г) = wt (х, г), х е (0,1), г > 0; (2)

рх (0, у, г) = 0, рх (I, у, г) = 0, у е (—к,0), г > 0; (3)

= (р— — ррг (x,0, г)) — р+ — ■

р'У„ г

М2 — 2 ^

V wx (х, г) + —0— wt (х, г)

0 х м2 — 1

Vм 0— 1

w(0, г) = ^(0, г)=^ г)=^(1, г) =0, г >0; w(х,0) = /:(x), ^ (х,0) = Л(x), х е (0,1).

(4)

(5)

(6)

Здесь индексы х, у, г снизу обозначают производные по х, у и г; П и да - изгибная жёсткость и погонная масса пластины; У0, р+, р+ - скорость газа, плотность и давление в набегающем однородном потоке в области О+; р~, р— - плотность и давление жидкости в области О— в состоянии покоя. Слагаемое

р'У, (

^ wx (x, г) +

К(x, г)

(7)

в уравнении (4) описывает воздействие на пластину сверхзвукового потока газа [2]. Уравнение (1)

описывает динамику жидкости в области О в модели идеальной несжимаемой среды; (2) - (3) -условия непротекания; (4) - уравнение, описывающее динамику упругой стенки резервуара с учётом воздействия на неё сверхзвукового потока газа сверху и жидкости снизу; условия (5) соответствуют

+

шарнирному закреплению концов упругого элемента резервуара; (6) - начальные условия, которые должны быть согласованы с (5).

Уравнение и условия (1) - (6) образуют начально-краевую задачу для определения двух неизвестных функций W(x, г) и р( x, y, г).

Исследование устойчивости

Так как система (1) - (5) линейная, то достаточно исследовать устойчивость нулевого решения соответствующей однородной системы. Однородное уравнение, соответствующее уравнению (4), имеет вид

о+У ( М2 — 2 ^

(x, г) + ^хххх(x, г) = — 0~Рг (x,0, г)---1 2 0 У0Wx (x, г) + °2 , wt (x, г) . (8)

лМ — 1 I М 0—1 ^

Получим достаточные условия устойчивости по Ляпунову нулевого решения краевой задачи (1) - (3), (5) и (8) по отношению к возмущениям начальных условий (6).

Введём функционал

I

J(t) = Дт^2 + + 2mвwwt +аквм2 + 2о~вмр(х,0, г)) + о~ +р2 )(х(у, (9)

0 О—

0~+У 2

где введены обозначения а = , , к = —0-----------, а в > 0 - некоторый положительный пара-

2 — 1 М02 — 1

метр, определяемый в ходе решения задачи.

Найдём производную от J по г

I

Jt (г) = 21 (mwt wtt + Dwxxwtxx + тв№2 + mвwwtt + аkвwwt +

0

+ о^выр х,0, г) + 0~&л>рг (х,0, г )( + 2о (РхРхг + РуРуг \%хйу. (10)

О~

Учитывая уравнение (1) и условия (2) - (3), получим

I

К+р,р )(х(у = | wtрt (х,0, г)dx. (11)

О— 0

Подставляя (8) и (11) в (10), находим

I

Jt(г) = 2{ ^ (—^хххх — 0~р{ (x,0, г) — аУ0^х — а^ ) + +

0

+ тв] + ви’(—/.Лу„.„. — 0Р( (х,0, г) — аУ0 wx — аЫг) + аkвwwt + (12)

+ о в^р(х,0, г) + о~®л>Р1 (х,0, г) + о wtрt (х,0, г)(•.

Произведём интегрирование с учётом условия (5)

I I 111

| WxxxxWtdx =| WxxWtxxdx, | ^хххх^ =| WXxdx, | =0. (13)

0 0 0 0 0

Умножим уравнение (1) на р( х, у, г) и проинтегрируем по области О ~

I

ЦР( + Руу )(Щу = | Р(x,0, г)Wdx — Ц( + Р2у )(Щу = 0. (14)

О— 0 О—

Из(14)следует, что

I

| р( х,0, г = №+ Р2У )йу. (15)

0 О—

Учитывая (13) - (15), согласно (12) получим

/

Jt (ї) = -2{(аУ0wtwx + (ак - шв)w2t +

0

Бв»1 - (Рв + />іР(х,0, ї))^х - 2/{{(р + рУ ')fdxdУ,

где у > 0 - некоторый положительный параметр.

Проведём оценки интегралов с учётом граничных условий (3) и (5). Согласно неравенству Рэлея [20] имеем

I I

| ^ (17)

ж

где А = 12— наименьшее собственное значение краевой задачи щуууу = —Ащ^., х е [0,1], с условиями, соответствующими (5)

Ц(РІdxdy > г/1 Цср2ёхёу,

(18)

—

где Г]1 = —2— наименьшее собственное значение краевой задачи /х = -^ /, х є [0,1], с условия-

ми, соответствующими (3). Рассмотренные краевые задачи являются самосопряжёнными и полностью определёнными.

Согласно неравенству Коши-Буняковского имеем

2

\Pydy <| 12 dy {р2у dy.

У у

Следовательно,

•о

(x,0, ї) - р(х y, ї))2 < -у {р2уф.

Проинтегрируем (20) по области О

0

2

Л((х,0,1) — р(х, у, I})2)у < Ц| — У |р2уФ йхду = — Цр2удхду. о— о—\ —я у 2 о—

С учётом неравенств (17), (18) и (21) согласно (16) получим для Jt следующую оценку

Л

(19)

(20)

(21)

( ( 2 Jt(ї) < -2{{^к аУ0™^х + (ак - шв)^ - (Рв + /Мр(x,0, ї)

+ /

к

О \ — 2_ ^

12 + к2

+

2 4/ 2/ 2

р (х, у, ї)-------- р(х,0, ї)р(х, у, ї) н—- р (х,0, ї) dxdy.

к2 к2

(22)

Рассмотрим в (22) квадратичную форму относительно , '№х, р(х,0, ї), р(х, у, ї), матрица которой

имеет вид

Ґ

ак - шв а^0 р в +

к 2к 2к

аУ0 Бв—г 0

2 к Ы2

Рв + / 0 2/

2к к2

0 0 2/

к2

/

Л

0

0

2/ к2

— 2 Ї

~Г Н---2

I к

" У У

(23)

о

Согласно критерию Сильвестра запишем условия неотрицательности этой квадратичной формы

Д1 > 0 ^ ак — шв > 0, (24)

А2 > 0 ^ 4Бвж2(ак — шв) — а2К02/2 > 0, (25)

(26)

А3 > 0 ^ 2у(4Бв—2(ак - шв) -а2К02/2)-(р в + /)2Бв— к > 0,

%гБвж2(ак -шв) — а2Г02/2)- )в + у)2Ввж2к\-\(рв + у)2Бвж2к > 0, (27) / к

где Д1, А2, А3, А4 - угловые миноры матрицы (23). При этом их (27) следует выполнение неравенств (24) - (26). Рассмотрим в (27) случай равенства и найдём параметр у > 0 :

(ж2 к2 + 2/2 )ову2 — (8£вж2 к(ак — шв) —

— 2а2Г02/2 к — 2(ж2 к2 + 2/2 )Орв2 )у + 4(ж2 к2 + 2/2 -Л2 (р- )2 в3 = 0. (28)

Пусть корень квадратного уравнения (28) у > 0 . Тогда должны выполняться следующие неравен-

ства:

8Бвж2к{ак — шв) - 2а2К02/2к — 2(ж2к2 + 2/2)Орв2 > 0, (29)

Л = (вж2к(к-шв)-2а2К02/2к — 2(ж2к2 + 2/2-Лр в2) -4(ж2к2 + )2—2р2в3 > 0, (30)

где Л - дискриминант уравнения (28). Параметр у определяется следующим равенством:

8Ввж2к{ак — шв) - 2а2К02/2к — 2(ж2к2 + 2/2-Лр в2 + лШ (ж2 к2 + 2/2 —в '

Таким образом, при выполнении условий (29), (30) из (22) получим

Jt 0) < 0 ^ J(t) < J(0). (32)

Рассмотрим краевую задачу щхххх = — г/щ, х е [0, /] с краевыми условиями (5). Эта задача является самосопряжённой и полностью определённой. Согласно неравенству Рэлея [20], имеем

| >г11 (33)

/ = ■

(31)

где г1 = "/4— наименьшее собственное значение рассматриваемой краевой задачи. Оценим J (t), используя неравенства (33), (18) и (21):

J (t) = |(ш^2 + (1-^)^2 + Л^2хх + 2швн^ + аквм2 + 2р х,0,

+ Р {{( +Ру2 >{{( ^

г

шпї +

ж

Л

Л

Бх~^- + акв п’ + 2швп + 2р 6Пр(х,0,ї) 1 У

+

У

+ Р~

— + _2.Л

/2 + к2

р2 (х,у, ї) - 4Р2 р(х,0, ї)р(х,у, ї) + 2Р2 р2 (х,0, ї^хоу к2 к2

1 —

{1Г В(1 -х)П ах,

Л

+

+

(34)

где X є (0,1).

В (34) имеем квадратичную форму относительно , пх, р(х,0, ї), р(х, у, ї), матрица которой имеет вид

4

ш шв 0

к ~ шв Бх—Л н акв рв

к к/4 к

Рв

к

2р-

к

0

0

2_Р_ к2

к2

2р~ р~—2 ^ 2р~

к2

/2

к2

Согласно критерию Сильвестра, запишем условия неотрицательности этой квадратичной формы

ш

А, > 0 ^ — > 0,

1 к

б—

А2 > 0 ^—:—накв - шв2 > 0,

(36)

/4

г Б—4

Л

к/4

накв - шв2

-р~кв2 > 0,

V V

к/4

накв - шв2

-р“кв2 - 2р в /2 > 0

(37)

(38)

(39)

где Д1, А2, А3, А4 - угловые миноры матрицы (25). При этом из (39) следует выполнение неравенств (36)-(38). Рассмотрим в (39) случай равенства и найдём из него параметр % :

(в2/2 + р~к2в2—2 - 2акв + 2шв2)4 Х=------------------—-----------------— є (0,1).

В—4

Таким образом, при выполнения условия (40) из (34)

(40)

J (ї) >{ ~/г В(1 -хК2 0х.

/

0

Согласно неравенству Коши-Буняковского имеем

/ 1

{ ох > /К2( х, ї).

Окончательно получим

(41)

(42)

+

откуда следует

—В(1 - х)п2 (х, ї) < J(0) = {(шК (х,0) + (х,0) + 2швп(х,0)п^ (х,0) +

/0

аквп2 (х,0) + 2р~вп(х,0р(х,0,0))йх + р~ {{(р2х (х,у,0) + рр (х, у,0)')ОхОу

(43)

Теорема 1

Пусть выполняются условия (29), (30) и (40). Тогда решение w(t) системы (1) - (4) устойчиво по

„ w(х,0), wt (х,0), р(х,0,0), срх (х, у,0), ру (х, у,0) отношению к возмущениям начальных значений у^^у,

w( х, t)

если

удовлетворяет граничным условиям (5).

о

Условия (29), (30) и (40) накладывают ограничения на скорость набегающего потока , изгиб-ную жёсткость пластины Б и другие параметры механической системы.

Приведём примеры значений параметров, которым соответствует устойчивые и неустойчивые деформации упругой стенки резервуара при обтекании сверхзвуковым потоком газа. Будем считать, что

й (Е = 7-1012 Рр1 = 2699 Ир[ = 0.1 )

упругий элемент (^ ' - модуль упругости, р - плотность, р - толщина),

р+ 13

обтекается сверхзвуковым потоком воздуха у ~ ' ), при этом резервуар заполнен водой (р = "8.2). Другие параметры механической системы: 1 = 1; ^ = 1; т = 269 9 (погонная масса);

ЕК1 8

Б =---------и_ = 6.5958 • 108

и =0.34 (коэффициент Пуассона); 12(1 и ) (изгибная жёсткость). Все значе-

ния приведены в единицах СИ.

Таблица 1

Расчётные значения параметров

V 3 У\ Х

490 0.06919 91.287501 6.81334-10-10

1000 0.16909 1.0026793-103 3.17033 10-9

1500 0.19619 9.0953294-102 4.54533-10-9

2000 0.22696 7.5318142-102 6.50794-10-9

2500 0.26492 5.8339841-102 9.43254-10-9

3000 0.31077 4.1587400-102 1.36823-10-8

3400 1.30290 -99.84876 2.95824-10-7

4000 1.06029 -1.046242 1.93260-10-7

В таблице ^ - одно из допустимых решений системы неравенств (29), (30) и (40); ^ определяется выражением (31), а Х находится из (40). Приведённый пример соответствует случаю, когда устойчивость наблюдается

б [490,3000) „ ф б

при скоростях набегающего потока в полуинтервале 1 ’ ', данный факт обусловлен тем, что параметр

^ при скоростях выше 3000 становится отрицательным, нарушается условие (31). Таким образом, при скоростях выше, чем V = 3000, определённого вывода об устойчивости сделать нельзя.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пат. 2062662 Российская Федерация, МПК 6В 06В 1/18 А, 6В 06В 1/20 В. Гидродинамический излучатель / П. А. Вельмисов, Г. М. Горшков, Г. К. Рябов. Заявитель и патентообладатель Ульяновский гос. техн. ун-т. - №5038746/28; заявл. 20.07.92; опубл. 27.06.96, Бюл.№18.

2. Бочкарев, С. А. Решение задачи о панельном флаттере оболочечных конструкций методом конечных элементов / С. А. Бочкарев, В. П. Матвеенко // Математическое моделирование. - 2002. — №12. — С. 55—71.

3. Анкилов, А. В. Математические модели механической системы «трубопровод - датчик давления» / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2007. — №3(27). - С.7-14.

4. Анкилов, А. В. Динамика и устойчивость упругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов. - Ульяновск : УлГТУ, 2009. - 220 с.

5. Анкилов, А. В. Численно-аналитическое исследование динамической устойчивости упругой пластины при аэрогидродинамическом воздействии / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ, 2009. - С.3—22.

6. Анкилов, А. В. Устойчивость упругих элементов крылового профиля / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Н. А. Дегтярева // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. — №7. -Ульяновск: УлГТУ, 2007. - С. 9—18.

7. Анкилов, А. В. Об устойчивости решений уравнений взаимодействия упругих стенок каналов с протекающей жидкостью / А.В. Анкилов, П.А. Вельмисов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2011. — №1(22). - С.179—185.

8. Анкилов, А. В. О решениях интегро-дифференциальных уравнений в задаче динамики одной

аэроупругой системы типа «тандем» / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Е. П. Семенова // Вестник

Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. -

2011. — № 2(23). - С. 266—271.

9. Анкилов, А.В. Математическое моделирование динамики и устойчивости упругих элементов крыла / А.В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2009. — №1(37). - С.7—16.

10. Анкилов, А. В. Исследование динамической устойчивости упругих элементов стенок канала / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Е. П. Семенова // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2009. — №2(38), выпуск 1. - С. 7—17.

11. Анкилов, А. В. Устойчивость решений одной нелинейной начально-краевой задачи аэроупругости / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. А. Казакова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2013. — №1(30). — С. 1—7.

12. Анкилов, А.В. Устойчивость решений некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений в частных производных / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Самарского государственного университета. Серия естественнонаучная. — 2008. — №8/1(67). — С. 331—344.

13. Анкилов, А. В. Исследование динамики и устойчивости упругого элемента конструкций при сверхзвуковом обтекании / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2011. — №3(57) выпуск 1. — С. 59—67.

14. Вельмисов, П. А. Математическое моделирование в задачах статической неустойчивости упругих элементов конструкций при аэрогидродинамическом воздействии / П. А. Вельмисов, С. В. Киреев. - Ульяновск : УлГТУ, 2011. - 200 с.

15. Вельмисов, П. А. Устойчивость уравнений взаимодействия вязкоупругих пластин с жидкостью / П.А. Вельмисов, Ю. А. Решетников, Е.Е. Колмановский // Дифференциальные уравнения. -1994. - Т. 30, №11. - С. 1966—1981.

16. Вельмисов, П.А. Математическое моделирование механической системы «трубопровод-датчик давления» / П. А. Вельмисов, В. Д. Горбоконенко, Ю. А. Решетников // Датчики и системы. -2003. —№6(49). — С. 12—15.

17. Вельмисов, П. А. Устойчивость решений одного класса нелинейных начально-краевых задач аэроупругости / П. А. Вельмисов, В. А. Судаков, Ю. К. Замальдинова // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: тезисы докладов Четвёртой Международной конференции, посвящённой 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л. Д. Кудрявцев. Москва, РУДН, 25—29 марта 2013 г. - М. : РУДН, 2013. — С. 290—292.

18. Вельмисов, П. А. Математическое моделирование в задачах динамической устойчивости вязкоупругих элементов проточных каналов / П. А. Вельмисов, А. А. Молгачев. - Ульяновск : УлГТУ,

2012. - 185 с.

19. Вельмисов, П. А. О некоторых математических моделях механической системы «трубопровод-датчик давления» / П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Технические науки. — 2011. — №1(29). — С. 137—144.

20. Коллатц, А. Задачи на собственные значения / А. Коллатц. - М. : Наука, 1968. - 504 с.

Анкилов Андрей Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» УлГТУ.

Вельмисов Пётр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» УлГТУ.

Судаков Всеволод Александрович, аспирант кафедры «Высшая математика» УлГТУ.