Математическая система Derive 6 как средство повышения эффективности обучения курсантов действиям с использованием формулы Тейлора Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическая система Derive 6 как средство повышения эффективности обучения курсантов действиям с использованием формулы Тейлора

А. В. Паршин, Военный авиационный инженерный университет (г. Воронеж), профессор, [email protected];

А. В. Лебедев, Военный авиационный инженерный университет (г. Воронеж), преподаватель, [email protected]

В монографии [1] было показано, что компьютерная математическая система Derive 6 является самой предпочтительной из всех наиболее известных систем для интенсификации проведения практических занятий по математике. Мы предполагаем, что эта интенсификация должна привести к повышению эффективности обучения курсантов математике. Справедливость этого утверждения можно проверить только экспериментально. Но прежде, чем это делать, необходимо выделить те из изучаемых в математике алгоритмов, где наиболее выпукло проявляются вычислительные, аналитические и визуально-графические возможности используемой системы Derive 6 вместе с разработанной телекоммуникационной видеосетью [2]. Одним из таких алгоритмов является алгоритм применения формулы Тейлора для анализа функций и раскрытия неопределенностей.

Базой для исследований был выбран Военный авиационный инженерный университет (г. Воронеж).

В дисциплинах «Математика», «Высшая математика» и «Математический анализ», изучаемых в этом вузе, предусмотрено учебными программами и тематическими планами проведение практического занятия «Формула Тейлора» на которое выделено всего 2 часа. В связи с этим необходимо с возможно большей эффективностью распорядиться учебным временем, отведенным для проведения данного практического занятия. При этом следует отметить, что перед обсуждаемым практическим занятием ставятся следующие учебные цели:

5. Освоить на практике (т. е. путем решения учебных задач) алгоритм разложения функций по формулам Тейлора и Маклорена.

6. Выработать умение использовать формулу Маклорена для раскрытия неопределенностей при взятии пределов от элементарных функций. Особенностью этого занятия является его насыщенность действиями, отвлекающими внимание курсантов от изучаемого математического аппарата (помеховые или рутинные действия). Кроме этого на данном занятии принципиально важно реализовать визуально-графическое со-

провождение осуществляемых действий, что совершенно невозможно при его проведении обычным образом (без использования компьютеров).

Эта особенность занятия и приводит к необходимости проведения его в компьютерном классе с ПЭВМ, оснащенными таким программным продуктом, как Derive 6 и объединенными в телекоммуникационную видеосеть. При этом выдвигается гипотеза о том, что автоматизация помеховых (рутинных) действий, наряду с визуально-графическим сопровождением, средствами математической системы Derive 6 путем проведения занятия с применением ПЭВМ, объединенных в видеосеть, приведет к повышению эффективности обучения курсантов действиям с использованием формулы Тейлора.

В данной статье приводятся результаты педагогического исследования, посвященного проверке этой гипотезы. Согласно требованиям современной педагогики педагогический эксперимент проводился в три этапа [3]. На начальном этапе (констатирующий эксперимент) экспертом (одним из авторов) был проведен сравнительный анализ затрат времени на решение комплекта задач (по теме занятия) двумя способами:

• вручную;

• с использованием компьютерной математической системы Derive 6. Комплект состоял из следующих трех заданий по 4 задачи в каждом

(примерно в 3 раза больше количества задач, прорешиваемых на занятии обычным образом):

6. Записать формулу Тейлора третьего порядка в точке x0 с остаточным членом в форме Лагранжа. Построить графики данной функции и её многочленов Тейлора до третьей степени включительно:

7. Записать формулу Маклорена третьего порядка с остаточным членом в форме Пеано. Построить графики данной функции и её многочленов Маклорена до третьей степени включительно:

8. Используя разложение функций по формуле Маклорена, вычислить пределы от данных элементарных функций:

Изучаемый на занятии алгоритм представления функций по формулам Тейлора и Маклорена соответственно с остаточными членами в форме Лагранжа и Пеано состоит из следующих действий:

11. Найти производные функции до (п+1)-го или до n-го порядка включительно.

12. Вычислить значения функции и её n первых производных в точке разложения.

13. Записать остаточный член формулы Тейлора или Маклорена в форме Лагранжа или Пеано.

14. Записать разложение функции по формуле Тейлора или Маклорена.

15. Построить и проанализировать графики функции и многочленов Тейлора или Маклорена первого, второго и третьего порядка. Пункты 1 и 2 можно автоматизировать без ущерба для достижения учебной цели занятия, так как они были изучены ранее и являются достаточно громоздкими (помеховые действия). Их выполнение вручную влечет большие затраты учебного времени. Пункт 5 (в рамках отведенного на занятие времени) вообще невозможно реализовать вручную, хотя педагогический принцип наглядности обучения требует его реализации. Выполнить пункт 5 можно, используя выбранную математическую систему Derive 6.

В качестве иллюстрации на рис. 1 - рис. 4 приведено решение одной из задач второго задания, выполненное экспертом с помощью системы Derive 6. В конце приведенного примера указывается время, затраченное на решение этой задачи.

__L»ia*i

I* Iwt ЬпЫж Jrrfi Ut* £4пАз JttoB J»*» о* -!Д1 *I

Рис. 1. Решение экспертом показной задачи с помощью системы Derive 6

IUB -|П| XI

Вг D » 1* а» У & «•»<' smtr сам» * 41 в X IQO"! ] ~ * Л S И» Л t X п А V

Г" I3 ]« * s iJ

*> L J 2 4-. г 5

ч 4 1 г se-« - хго-» - 120-» -> 25)

2 4 <4.» . S)

Вы-

»8 « г 0

»9 1 5

»10 г 5

т 24 25

м? 48 25 i)

1мг

Рис. 2. Продолжение решения показной задачи с помощью системы Derive 6

|Ясктть IMgcbr« 1 irMwn 14м| -iD:»i

Яв" t« if«" jnctft Sdf QpoafW JHto" СУФ «ifixj

d a u iкв> я[ IT —H = ■ .-- к v » a f 2 П Л #

«13 » = «

«14 oOO г я

OCterOH*«!« ■ (nrw (V^HP

] «15 odfe )

jywibEai« формулу Tewroa

3 1 24 2 45 1

«16 - ♦ - ->|l - - — (M - -1*

$ 5.1! 25-2» 25-i*

2 12 2 8 3

«7 — * -ii - -• at — -

5 5 25 25

1 г i2 г : 1 I

«18 - <■ - -«В - --X - -—- •» * ей )

5 5 25 25

4 .5 wn si

Us« r

Рис. 3. Окончание решения экспертом показной задачи с помощью системы Derive 6

1ШВ* ГП"* * - • #

I»*«»« ♦ »*«*•• »». 4*1—« OMfM И«М1»«И1 у I

Le.-iiii

" T'f*

\ ^^

3 j \ \ V V

Рис. 4. Построение экспертом графиков функции и её многочленов Ма-клорена до третьей степени включительно с помощью системы Derive

6

На рис. 4 для исходной функции и её многочленов Маклорена до третьей степени включительно построены графики. Номера у кривых соответствуют номерам строк (степеням многочленов Маклорена), в которых записаны соответствующие выражения в левом окне. Графики дают представление о том, как по мере роста степени многочлена Маклорена его график приближается к графику данной функции в окрестности точки разложения. Этот пример - хорошая иллюстрация к технике визуализации вычислений, проводимых с помощью Derive 6.

Вторая учебная цель занятия заключается в выработке умения использовать формулу Маклорена для раскрытия неопределенностей при взятии пределов от элементарных функций. Алгоритм раскрытия неопределенностей заключается в следующем:

• Выделить функции, дающие неопределенность при взятии предела.

• Произвести их разложение по формуле Маклорена до порядка, позволяющего снять неопределенность.

• Заменить выделенные функции их разложениями и снять неопределенность.

• Вычислить предел, используя факт непрерывности элементарных функций.

Анализ этого алгоритма говорит о том, что при реализации второй учебной цели занятия можно смело автоматизировать пункт 2.

Результаты первого начального этапа эксперимента приведены в табл. 1.

Табл. 1. Время, затраченное экспертом на решение всего комплекта

№ № Вв , мин tD , мин В В 1Г

п/п задачи --1L tn

1 1.1 28.0 7.0 300%

2 1.2 9.4 3.4 176%

3 1.3 11.7 3.6 225%

4 1.4 8.9 3.3 170%

5 2.1 19.8 6.5 205%

6 2.2 8.0 5.5 45%

7 2.3 20.0 4.0 400%

8 2.4 12.8 3.4 276%

9 3.1 14.7 5.2 183%

10 3.2 10.5 4.8 119%

11 3.3 6.4 4.6 39%

12 3.4 6.8 3.7 84%

Всего 157.0 55.0 185%

Здесь: вв , вп, - время, затраченное экспертом на решение комплекта задач соответственно вручную и в среде Derive 6.

Анализ табл. 1 говорит о том, что применение математической системы Derive 6 для автоматизации вычислений дает значительный выигрыш в затратах учебного времени по сравнению с расчетами вручную (почти в 3 раза).

Отметим, что за вычетом времени, отводимым на вводную часть (15 мин) и заключительную часть (5 мин) занятия, на решение задач остается 70 минут учебного времени. За это время при проведении занятия в традиционной форме (без применения компьютеров) удается, как правило, решить 4-5 задач: одну - две задачи на разложение функций по формуле Тейлора, две задачи на разложение функций по формуле Мак-лорена, две задачи на использование разложения функций по формуле Маклорена для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов. Построение графиков вообще не рассматривается из-за нехватки учебного времени.

На решение всего комплекта из 12 задач с использованием Derive 6 экспертом затрачено 55 минут. Учитывая это, можно предположить, что, используя возможности системы Derive 6, за 70 минут учебного времени число задач, решаемых на данном практическом занятии можно существенно увеличить (ориентировочно с 4-5 до 12 штук) и при

этом реализовать принцип наглядности обучения путем построения графиков функции и её многочленов Тейлора до третьей степени включительно с помощью системы Derive 6.

Проверка этого предположения (гипотезы) и является содержанием второго проверочного этапа педагогического эксперимента (конструирующий эксперимент). На этом этапе в двух примерно равноценных по успеваемости учебных группах, контрольной и экспериментальной было проведено практическое занятие «Формула Тейлора» соответственно по традиционной методике и с применением Derive 6. Курсантам предлагались задачи описанного выше комплекта. В контрольной группе (традиционная методика) решили четыре задачи комплекта заданий и лишь 4 курсанта из 21 человека решили пять задач. Графики не строили. В экспериментальной группе (с применением Derive 6) всеми курсантами были решены 10 заданий. Пятнадцать человек из 22-х решили 11 заданий. Кроме того, хорошо успевающие курсанты (7 человек) смогли решить все двенадцать задач. При этом были построены графики функций и их многочленов Тейлора и Маклорена с помощью встроенных функций системы Derive 6.

Таким образом, применение системы Derive 6 позволило увеличить число решаемых на занятии задач с четырех-пяти до одиннадцати -двенадцати, т. е. более чем в 2 раза. При этом курсанты экспериментальной группы в отличие от контрольной освоили также метод построения графиков функций с помощью системы Derive 6.

Итоговый (определяющий) этап педагогического эксперимента был реализован в форме проверки остаточных знаний курсантов контрольной и экспериментальной групп в конце семестра. Курсантам была предложена 45-и минутная самостоятельная работа, в которой требовалось решить вручную 3 задачи: одну на разложение функции по формуле Тейлора, вторую на разложение функции по формуле Маклорена, третью на раскрытие неопределенности с использованием формулы Мак-лорена. Результаты оценивания приведены в табл. 2.

Табл. 2. Результаты контроля остаточных знаний

Оценка

Средний балл

Количество курсантов в группах Контрольная группа

3 10 5 3 (14%) (48%) (24%) (14%)

2

3

4

5

3.38

(21 человек)

Экспериментальная

- 5 10 7 (0%) (23%) (45%) (32%)

группа (22 человека)

4,09

Для количественной оценки эффективности обсуждаемой методики рассмотрим принятые в педагогических исследованиях [4] коэффициент

K

успешности м и коэффициент качества Kea+ подготовки курсантов:

к -m к -к n n

где m - число положительных оценок, к- число хороших и отличных оценок, n - общее число оценок в группе. В соответствии с таблицей 2 получим:

для контрольной группы Kcn — , — 38% •

для экспериментальной группы К<я —100%, — 77°/о. Как видим, коэффициент успешности в экспериментальной группе по сравнению с контрольной выше на 14%, а коэффициент качества выше на 39%. Это позволяет сделать вывод, что предлагаемая методика проведения практического занятия «Формула Тейлора» с использованием математической системы Derive 6 эффективна по критериям общей успешности и качественному показателю.

Таким образом, гипотеза о том, что автоматизация рутинных вычислений средствами компьютерной математической системы Derive 6 приведет к повышению эффективности обучения курсантов действиям с использованием формулы Тейлора, подтверждена педагогическим экспериментом.

Литература

1. Паршин А. В. Математические модели и специальные программно-технические средства обучения курсантов математике в военных вузах. Монография. - Воронеж: Издательство ВАИУ, 2009. - 270 с.

2. Паршин А. В. Телекоммуникационная видеосеть на базе персональных ЭВМ и ее применение в образовательном процессе. Журнал «Телекоммуникации», №6. - М.: Наука и технологии, 2003. - С. 56-61.

3. Коровин В. М. Учебная и методическая работа в высшем военно-учебном заведении. - Воронеж: ВИРЭ, 2000. - 275 с.

4. Якунин В. А. Психология учебной деятельности студентов. - М.-СПб.: Логос, 1994. - 160 с.