CC BY
63
МНОГОУРОВНЕВАЯ ПРЕДМЕТНАЯ ПОДГОТОВКА УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ НОВОЙ ФОРМАЦИИ
MULTILEVEL SUBJECT TRAINING OF THE MATHEMATICS TEACHER OF A NEW FORMATION
Е. И. Деза
В статье рассматривается ряд аспектов построения индивидуальных траекторий профессиональной подготовки студентов математических факультетов педвузов в условиях уровневой системы высшего педагогического образования. Анализируются вопросы содержательного наполнения разработанной нами предметно-уровневой модели индивидуальной траектории фундаментальной подготовки учителя математики в рамках числовой и дискретной содержательных линий.
Ключевые слова: уровневая система высшего образования, индивидуальная траектория обучения, фундаментальная подготовка, числовая и дискретная содержательные линии.
Концепция формирования индивидуальных образовательных траекторий учителя математики - теоретико-методологическая основа содержательного наполнения предметной подготовки студентов математических факультетов педвузов, обучающихся по ООП направления подготовки «Педагогическое образование», направлена на решение актуальной задачи индивидуализации учебного процесса в условиях осуществляющегося сегодня перехода ВПО России на уровневое образование [1-2].
Цели предметной подготовки учителя математики представлены в рамках данной концепции уровневой моделью предметно-профессиональных компетенций (ППК) будущего специалиста, которые должны быть достигнуты на основных этапах (выпускник школы - бакалавр - магистр) его индивидуальной образовательной траектории. Опираясь на анализ образовательных стандартов и подразделяя ППК на содержательные (ППК(С)), технологические (ППК(Т)) и личностные (ППК(Л)), мы построили трехуровневую модель ППК, в состав которой входят перечисленные в табл. 1-3 ППК, формирование которых является целью фундаментальной математической подготовки магистра [3].
Наполнение предметной подготовки будущего учителя математики содержанием осуществляется в рамках концепции на основе предметно-уровневой модели индивидуальной образовательной траектории - распределенной по этапам обучения совокупности учебных дисциплин, элементов их содержания, видов учебной работы, при изучении и выполнении которых могут быть достигнуты цели подготовки.
Анализ особенностей и возможностей числовой линии в контексте построенной уровневой модели ППК по-
E. I. Deza
We consider some aspects of the construction of individual professional teaching trajectories for students of mathematical departments of pedagogical universities under the conditions of the level system of higher education. We analyze the question of the substantial content of the subject-level model of the individual fundamental teaching trajectory of a teacher of mathematics in a framework of the numerical and discrete substantial lines, constructed by us.
Keywords: level system of higher education, individual teaching trajectory, fundamental teaching, numerical and discrete substantial lines.
зволяет уточнить формулировки ряда содержательных, технологических и личностных компетенций, утверждая, что основными целями фундаментальной подготовки учителя математики в рамках числовой линии являются в том числе следующие (см. табл. 4).
Вузовская предметная подготовка учителя математики в современных условиях может быть условно разбита на несколько этапов.
Прежде всего это предварительная подготовка, осуществляемая в рамках дисциплин «Вводный курс математики» или «Элементарная математика». Числовую линию представляет здесь курс арифметики, основные характеристики освоения которого содержатся в табл. 5.
Содержание курса формируется из разделов, перечисленных в табл. 6.
Основная подготовка осуществляется в рамках базовых дисциплин, для линии числа это курсы «Теория чисел» и «Числовые системы». Так, основные положения программы по курсу «Числовые системы» состоят в следующем.
1. Цели освоения дисциплины: формирование, расширение и углубление представления будущего учителя о понятии числа, достижение понимания студентами основной идеи курса - идеи расширения понятия числа, осуществление, в соответствии данной идеей, последовательного аксиоматического построения основных числовых систем (натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных, гиперкомплексных чисел), демонстрация естественных связей аксиоматического подхода к построению числовых систем со школьным курсом математики, знакомство студентов с миро-
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Содержательные компетенции магистра Таблица 1
Описание компетенции Обозначение
Системное знание основных разделов математической науки, ведущих идей и методов математики на высоком научном и профессиональном уровне; обладание высоким уровнем знаний в специализированной научной (математической или педагогической) области, знакомство с новейшими теориями, интерпретациями, методами и технологиями, относящимися к данной области науки; целостное представление о системе взаимосвязей и взаимозависимостей между математической наукой и школьным курсом математики ППК(МС)-1
Способность различным способом представлять и адаптировать математические знания с учетом уровня аудитории, умение практически осмысливать и интерпретировать новейшие явления в теории и практике научной (математической и педагогической) деятельности ППК(МС)-2
Способность порождать и доказательно обосновывать новые идеи на основе комплексного владения законами логики математических рассуждений ППК(МС)-3
Творческое владение классическими математическими структурами и их аналогами в школьном курсе математики, умение пользоваться аксиоматическим методом для решения профессиональных задач ППК(МС)-4
Способность самостоятельного построения целостной картины математической дисциплины, определения общих форм и закономерностей для групп математических дисциплин, умение встроить полученную схему в единую структуру математического знания ППК(МС)-5
Владение математическим моделированием при анализе глобальных математических проблем на основе глубоких знаний фундаментальных математических дисциплин, способность использовать математическое и алгоритмическое моделирование при решении проблем педагогики, умение интерпретировать получаемые результаты на высоком научном уровне ППК(МС)-6
Проявление оригинальности и творчества в том, что касается владения математическими и педагогическими дисциплинами, собственное видение прикладных аспектов в классических постановках математических задач ППК(МС)-7
Сформированность целостной картины исторического становления математики и современных тенденций математической науки, умение пользоваться элементами историзма для решения профессиональных задач ППК(МС)-8
Целостное видение места математики в системе наук, общекультурной роли математики, знание основных направлений и перспектив развития математики, образования и педагогической науки ППК(МС)-9
Технологические компетенции магистра Таблица 2
Описание компетенции Обозначение
Владение методами научно-исследовательской и научно-педагогической деятельности, требующими широкого образования в соответствующем направлении, умение выбирать необходимые методы исследования, модифицировать существующие и разрабатывать новые методы, исходя из задач конкретного исследования, способность конструировать, реализовывать и анализировать результаты процесса обучения в области математики в различных типах учебных заведений, включая профильные классы, а также средние специальные и высшие учебные заведения, проектировать и реализовывать в практике обучения новое учебное содержание учебных предметов, организовывать учебно-исследовательскую деятельность учащихся ППК(МТ)-1
Владение современными методами получения, анализа, преобразования, систематизации и хранения информации, способность к ситуативно-адекватной актуализации информации, сформированность критического отношения к информации, умение приобретать с помощью информационных технологий и контекстно обрабатывать информацию, относящуюся к новым областям знаний, извлекать актуальную научную информацию из электронных библиотек, реферативных журналов и сети Интернет, формировать ресурсно-информационные базы для решения профессиональных задач ППК(МТ)-2
Способность и готовность к непрерывному профессиональному и личностному самообразованию, способность эффективно проектировать свой дальнейший образовательный маршрут и профессиональную карьеру ППК(МТ)-3
Владение современными методами и опытом осуществления разных видов деятельности, в том числе проектной, готовность к систематизации, обобщению и распространению имеющегося профессионального опыта, способность управлять процессом общения, опыт взаимодействия с различными группами (разными по возрасту, статусу, роду деятельности и т.п.) людей ППК(МТ)-4
Умение формулировать и решать проблемы, возникающие в ходе научно-исследовательской и педагогической деятельности и требующие углубленных профессиональных знаний, умение представлять итоги проделанной работы в виде отчетов, рефератов, статей, презентаций, оформленных в соответствии с имеющимися требованиями, публично представлять собственные научные результаты ППК(МТ)-5
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Личностные компетенции магистра Таблица 3
Описание компетенции Обозначение
Позитивное отношение к избранной педагогической профессии, понимание ее личностной и социальной значимости ППК(МЛ)-1
Системное владение культурой мышления, логической и алгоритмической культурой, сформированность научного мировоззрения ППК(МЛ)-2
Готовность к непрерывному развитию творческих способностей и креативности, к интенсивной научно-исследовательской деятельности, способность внести оригинальный вклад в один из разделов математической или педагогической науки ППК(МЛ)-3
Широкий опыт оценочной деятельности всех уровней, способность к рефлексии, адекватной оценке уровня своей профессиональной компетентности, умение использовать современные технологии диагностики и оценивания качества математической подготовки обучающихся, определять стратегию формирования индивидуальных образовательных траекторий обучающихся при изучении математического содержания ППК(МЛ)-4
Сформированность системы морально-этических и волевых качеств личности, инициативности, лидерства, заботы о качестве, стремления к успеху, готовность осуществлять профессиональную коммуникацию на русском и иностранном языках ППК(МЛ)-5
Способность разрабатывать и реализовывать культурно-просветительские программы в целях популяризации научных математических знаний ППК(МЛ)-6
Способность непрерывно совершенствовать и развивать свой общеинтеллектуальный и общекультурный уровень средствами математики ППК(МЛ)-7
«Числовые» компетенции учителя математики Таблица 4
Описание компетенции Обозначение
Владение понятием числа, знание классических разделов элементарной теории чисел, основных теоретико-числовых методов, наличие дополнительных знаний в области элементарной, аналитической или алгебраической теории чисел, умение корректно изложить логику развития понятия числа школьникам ППК(ЧС)-1
Знание классических числовых систем и умение пользоваться аксиоматическим методом для их построения ППК(ЧС)-4
Понимание места числа в общей структуре математического знания, осознание глубинных связей числовых систем с математической логикой, алгеброй, анализом, геометрией ППК(ЧС)-5
Умение решать классические теоретико-числовые задачи ППК(ЧС)-6
Знание истории развития теории чисел, роли числовых объектов в возникновении и преодолении кризисов оснований математики ППК(ЧС)-8
Умение реализовывать классические методы и алгоритмы элементарной теории чисел, владение дополнительными методами элементарной, базовыми методами аналитической или алгебраической теории чисел, способность конструировать математическое содержание арифметической составляющей школьного курса математики ППК(ЧТ)-1
Способность к самостоятельному получению теоретико-числовых знаний, проектированию и своевременной коррекции собственного образовательного маршрута в данной предметной области ППК(ЧТ)-3
Владение эстетической составляющей теории чисел ППК(ЧЛ)-6
Умение использовать возможности теории чисел для повышения своего общекультурного уровня ППК(ЧЛ)-7
воззренческими аспектами, касающимися школьного курса математики.
2. Дисциплина «Числовые системы» входит в вариативную часть профессионального цикла. Для освоения дисциплины студенты используют знания, умения, навыки, способы деятельности и установки, полученные и сформированные в ходе изучения дисциплин «Элементарная математика», «Теория чисел», «Алгебра», «Геометрия», «Математическая логика», «Математический анализ» (свойства целых чисел, теория делимости, понятия, связанные с алгебраическими структурами, аксиоматический метод, элементы математической логики, свойства числовых последовательностей и др.). Знания, приобретенные студентом при изучении курса «Числовые системы», способствуют расширению и углубле-
нию его теоретико-числовой подготовки, повышению его общей математической культуры. Освоение дисциплины является необходимой основой для последующего изучения курсов по выбору, содержание которых связано с углубленным изучением понятия числа и его обобщений, для написания курсовых и выпускных квалификационных работ.
3. В результате освоения дисциплины обучающийся должен овладеть, помимо общекультурных компетенций ОК-1, ОК-2, ОК-3, ОК-6, ОК-8, ОК-9, ОК-15 и профессиональных компетенций ОПК-1, ОПК-5, ПК-1, ПК-2 (см. соответствующий ФГОС ВПО), специальными компетенциями, перечисленными в табл. 7.
Основные характеристики освоения дисциплины представлены в табл. 8.
Таблица 5
Характеристики освоения курса «Арифметика»
Студент должен Описание характеристик освоения курса
Знать структуру классических числовых систем (натуральных, рациональных, действительных, комплексных чисел), теорему о делении с остатком, свойства отношения делимости, НОД, НОК, взаимно-простых чисел, алгоритм Евклида и его приложения (цепные дроби, неопределенные уравнения), определение простого числа, формулировку основной теоремы арифметики, теоремы о бесконечности множества простых чисел, позиционные системы счисления, основные методы решения неопределенных уравнений
Уметь находить остаток от деления целого числа на натуральное, раскладывать заданное натуральное число на простые множители, находить НОД и НОК двух чисел с помощью алгоритма Евклида и разложения на простые множители, представлять заданное рациональное число в системе счисления с основанием g (§ е Ы, g > 1), использовать систематическую запись чисел для решения математических задач, решать неопределенные уравнения первой степени и простейшие неопределенные уравнения высших степеней
Владеть алгоритмическим методом (на примере использования алгоритма Евклида, алгоритма разложения числа на простые множители, алгоритма записи числа в заданной системе счисления); такими общенаучными методами решения проблем, как аналогия, сравнение, обобщение, анализ и синтез; основами логической и алгоритмической культуры; основными приемами математического мышления; элементами историзма, пониманием значимости арифметики для прогресса математической науки
Таблица 6 Содержание курса «Арифметика»
Раздел Содержание раздела
Теория делимости Теорема о делении с остатком и ее приложения, отношение делимости в кольце целых чисел, НОД, НОК, Алгоритм Евклида, взаимно-простые числа
Простые числа Определение и простейшие свойства простых чисел. Бесконечность множества простых чисел в натуральном ряду и некоторых арифметических прогрессиях. Существование в натуральном ряду отрезков произвольной длины, не содержащих простых чисел. Способы проверки простоты числа. Решето Эратосфена. Основная теорема арифметики и следствия из нее. Каноническое разложение натурального числа. Основное свойство простого числа. Множества с неоднозначным разложением на простые множители
Неопределенные уравнения Неопределенные (диофантовы) уравнения; примеры. Некоторые методы решения диофатовых уравнений; метод спуска. Решение неопределенных уравнений первой степени. Решение неопределенных уравнений второй степени; пифагоровы тройки. Решение избранных диофантовых уравнений степени выше второй
Целые си-стематиче-ские числа Запись числа в системе счисления с основанием g е М, g > 1). Арифметические операции над целыми систематическими числами в различных системах счисления. Способы перевода цифровой записи числа из одной системы счисления в другую (через десятичную систему, способ умножения, способ деления, сокращенный способ перевода). Признаки делимости
Систематические дроби Представление рационального числа в виде конечной или бесконечной периодической g-ичной дроби е М, g > 1). Нахождение величины g-ичной дроби. Критерий обращения обыкновенной дроби в конечную, чисто периодическую или смешанную периодическую g-ичную дробь. Вычисление длин периода и предпериода записи рационального числа в виде g-ичной дроби
4. Содержание дисциплины формируется из разделов, перечисленных в табл. 9.
Углубленная предметная подготовка подразумевает изучение тех или иных вопросов выбранного раздела математики в рамках дисциплин по выбору. Примерами теоретико-числовых спецкурсов «Асимптотический закон распределения простых чисел», «Целые точки», «Избранные главы аналитической теории чисел» [4].
Заключительным этапом вузовской предметной подготовки является предметно-методическая подготовка -изучение математических дисциплин с «профессиональной» точки зрения, то есть с акцентом на демонстрацию связей со школьным курсом математики. Особое значение приобретают здесь математические спецкурсы в магистратуре, ориентированные на элементарную математику, но рассматривающие ее с точки зрения математики
высшей, например, курс «Специальные числа натурального ряда» [4-5].
Наряду с числовой линией в обновлении содержания математического образования важное место должна занять дискретная линия. Анализ особенностей и возможностей данной линии в контексте построенной уровневой модели ППК позволяет уточнить формулировки ряда содержательных, технологических и личностных компетенций, утверждая, что основными целями фундаментальной подготовки учителя математики в рамках дискретной линии являются в том числе следующие (табл. 10).
Выражением дискретной линии на этапе предварительной вузовской подготовки служит курс комбинаторики. Основные характеристики освоения дисциплины представлены в табл. 11.
Таблица 7
Специальные компетенции курса «Числовые системы»
Описание компетенции Обозначение
Владеет основными положениями классических разделов математической науки, базовыми идеями и методами математики, системой основных математических структур и аксиоматическим методом СК-1
Владеет культурой математического мышления, логической и алгоритмической культурой, способен понимать общую структуру математического знания, взаимосвязь между различными математическими дисциплинами, реализовывать основные методы математических рассуждений на основе общих методов научного исследования и опыта решения учебных и научных проблем, пользоваться языком математики, корректно выражать и аргументированно обосновывать имеющиеся знания СК-2
Способен понимать универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности, роль и место математики в системе наук, значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, общекультурное значение математики СК-3
Владеет математикой как универсальным языком науки, средством моделирования явлений и процессов, способен пользоваться построением математических моделей для решения практических проблем, понимать критерии качества математических исследований, принципы экспериментальной и эмпирической проверки научных теорий СК-4
Владеет содержанием и методами элементарной математики, умеет анализировать элементарную математику с точки зрения высшей математики СК-5
Способен ориентироваться в информационном потоке, использовать рациональные способы получения, преобразования, систематизации и хранения информации, актуализировать ее в необходимых ситуациях интеллектуально-познавательной деятельности СК-6
Владеет основными положениями истории развития математики, эволюции математических идей и концепциями современной математической науки СК-7
Таблица 8 Характеристики освоения курса «Числовые системы»
Студент должен Описание характеристик освоения курса
Знать аксиоматический подход к построению классических числовых систем (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа); структуру и свойства классических числовых систем, логику их взаимосвязи и взаимозависимости; взаимосвязь между аксиоматическим построением числовых систем и построением числовых множеств в школьном курсе математики
Уметь строить модели аксиоматических теорий целых, рациональных, действительных и комплексных чисел; решать практические задачи, связанные с использованием свойств числовых множеств; применять полученные знания к практическим задачам профессиональной деятельности
Владеть аксиоматическим методом (на примере построения классических числовых систем); способностью к аналогиям, сравнениям, обобщениям, анализу и синтезу, умением структурирования и ситуативно-адекватной актуализации знаний, способностью находить и использовать различные источники информации; логической и алгоритмической культурой, культурой математического мышления; элементами историзма, пониманием роли понятия числа в математической науке и школьном курсе математики; пониманием единства математической науки на базе естественных связей курса «Числовые системы» с курсами алгебры, геометрии, математического анализа, теории чисел, арифметики; навыками использования полученных знаний при организации учебно-воспитательного процесса
Содержание курса формируется из разделов, перечисленных в табл. 12.
Ядром предметной подготовки учителя математики в контексте дискретной содержательной линии является курс основной подготовки «Дискретная математика». Основные положения программы данного курса состоят в следующем.
1. Целями освоения дисциплины «Дискретная математика» являются: изучение студентами фундаментальных понятий дискретной математики как теоретической основы разработки прикладных алгоритмов и программ; формирование у студентов представлений об основных методах дискретного анализа, выработка практических навыков применения этих методов, освоение дискретного стиля
мышления; обеспечение качества подготовки будущего специалиста согласно существующим стандартам на основе изучения принципов операций с дискретными объектами. Студенты должны быть готовы использовать полученные знания как при изучении смежных дисциплин, так и в профессиональной деятельности, в частности, при обучении информатике старшеклассников средней школы.
2. Дисциплина «Дискретная математика» относится к вариативной части профессионального цикла. Ее научный уровень и практическая значимость определяются содержательными связями с элементарной математикой (комбинаторика, арифметика, занимательные задачи), теорией чисел, теорией множеств, теорией алгоритмов. Освоение данной дисциплины является необходимой
Таблица 9
Содержание курса «Числовые системы»
Раздел Содержание раздела
Аксиоматическая теория натуральных чисел Формулировка. Свойства сложения на N. Свойства умножения на N. Теоремы о неединичном элементе и об отсутствии нулевого элемента. Теорема о трихотомии. Определение и свойства отношения > на N. Определение и свойства отношения > на N. Теорема Архимеда и теорема о дискретности. Разность и частное на N. Отрезки натурального ряда. Теорема о наибольшем элементе. Теорема о наименьшем элементе. Конечные множества и их свойства. Бесконечность множества N. Кратные и их свойства. Степени и их свойства. Аксиоматические теории: формулировка, интерпретация, модель; примеры. Непротиворечивость, категоричность, полнота аксиоматической теории; примеры. Аксиоматика Пеано. Эквивалентность двух формулировок аксиоматической теории натуральных чисел. Независимость аксиом аксиоматики Пеано. Независимость аксиомы индукции и ее роль в арифметике. Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел
Упорядоченные множества и алгебраические системы Упорядоченные множества (строго, нестрого, линейно, частично упорядоченные); примеры. Упорядоченные полугруппы и их свойства. Теорема о натуральных кратных ненулевого элемента линейно строго упорядоченной полугруппы. Упорядоченные группы и их свойства. Теорема о целых кратных ненулевого элемента линейно строго упорядоченной группы. Упорядоченные полукольца и их свойства. Упорядоченные кольца и их свойства. Теорема об архимедовски линейно строго упорядоченном теле. Положительная часть кольца, определение и примеры. Критерий существования порядка. Критерий однозначности порядка. Критерий продолжения порядка
Аксиоматическая теория целых чисел Формулировка. Теорема о представлении целого числа в виде разности двух натуральных чисел. Свойства целых чисел. Порядок в кольце Я. Непротиворечивость Я. Категоричность Я
Аксиоматическая теория рациональных чисел Формулировка. Теорема о представлении рационального числа в виде частного двух целых чисел. Свойства рациональных чисел. Порядок в поле Q. Теорема о существовании подполя Q для любого линейно строго упорядоченного поля. Непротиворечивость Q,. Категоричность Q
Последовательности в нормированных полях Нормированные поля. Тривиальная норма, естественная норма, р-адическая норма. Свойства нормы. Фундаментальные, сходящиеся и ограниченные последовательности; определения и примеры. Пример последовательности, имеющей бесконечно много пределов. Свойства сходящихся и фундаментальных последовательностей (относительно поля Р). Определение и свойства подпоследовательностей. Теоремы о сумме, произведении и частном двух фундаментальных (сходящихся) последовательностей. Определение и свойства эквивалентных последовательностей. Свойства последовательностей архимедовски линейно упорядоченного поля
Аксиоматическая теория действительных чисел Формулировка. Представление действительного числа в виде предела последовательности рациональных чисел. Свойства Е. Теорема о существовании корня. Теорема о сечении. Порядок на Е. Непротиворечивость Е. Категоричность Е
Аксиоматическая теория комплексных чисел Формулировка. Свойства С. Порядок на С. Непротиворечивость С. Категоричность С
Линейные алгебры над полем Определение и примеры линейных алгебр над полем. Базис и ранг линейной алгебры над полем. Линейные ассоциативные алгебры (с делением) над полем С. Линейные ассоциативные алгебры (с делением) над полем Е. Теорема Фробениуса
основой для последующего изучения курсов по выбору, содержание которых связано с готовностью студента углубить свои знания в области теории графов, комбинаторики, теории рекуррентных соотношений и производящих функций, теории конечных сумм.
3. В результате освоения дисциплины обучающийся должен овладеть, помимо общекультурных компетенций ОК-1, ОК-4, ОК-6, ОК-8, ОК-9, ОК-12 и профессиональных компетенций ОПК-5, ПК-1, ПК-2 (см. соответствующий ФГОС ВПО), специальными компетенциями СК-1, СК-2, СК-3, СК-5, СК-6, СК-7. Основные характеристики освоения дисциплины представлены в табл. 13.
4. Содержание дисциплины формируется из следующих разделов, перечисленных в табл. 14.
Углубленная предметная подготовка по дискретной математике осуществляется в рамках дисциплин по выбору соответствующей тематики. Примерами таких курсов
служат дисциплины по выбору «Граф и комбинаторика», «Основы теории разбиений», «Рекуррентные соотношения и специальные числа» [4].
Для организации предметно-методической подготовки в рамках дискретной линии курс для магистрантов «Комбинаторика и анализ». Курс имеет целью сообщить слушателям основные сведения из комбинаторики, теории рекуррентных соотношений и теории производящих функций, лежащие в основе комбинаторного анализа, и должен содействовать формированию у будущего учителя достаточно глубоких комбинаторных представлений в контексте и тесной взаимосвязи с другими математическими понятиями, прежде всего аналитическими. Основными задачами курса являются формирование у слушателей навыков решения комбинаторных задач различного уровня, умения пользоваться для этого обширным арсеналом методов, от простейших до аналитических. Это должно способствовать
Таблица 10
«Дискретные» компетенции учителя математики
Описание компетенции Обозначение
Знание классических разделов дискретной математики, основных идей и методов дискретного анализа, наличие дополнительных знаний в области комбинаторного анализа или теории графов, владение элементарными комбинаторными и простейшими вероятностными приемами решения задач школьного курса математики ППК(ДС)-1
Знание классических дискретных структур, в том числе конечных графов и основных комбинаторных соединений ППК(ДС)-4
Понимание места дискретной математики в общей структуре научного знания, осознание глубинных связей дискретной математики с информатикой, целочисленным программированием и теорией кодирования ППК(ДС)-5
Умение решать классические задачи теории графов и элементарной комбинаторики ППК(ЧС)-6
Знание истории развития дискретной математики, роли дискретного анализа в теоретическом обосновании информатики ППК(ДС)-8
Умение реализовывать классические перечислительные методы и алгоритмы, владение дополнительными методами дискретного анализа, способность конструировать математическое содержание дискретной составляющей школьного курса математики ППК(ДТ)-1
Способность к самостоятельному получению знаний в области дискретной математики, к проектированию и своевременной коррекции собственного образовательного маршрута в данной предметной области ППК(ДТ)-3
Владение эстетической составляющей дискретной математики ППК(ДЛ)-6
Умение использовать возможности дискретной математики для повышения своего общекультурного уровня ППК(ЧЛ)-7
Таблица 11
Характеристики освоения курса «Комбинаторика»
Студент должен Описание характеристик освоения курса
Знать основные комбинаторные конфигурации и формулы для их числа; правила сложения и умножения; метод включений и исключений, формулы для числа решений неопределенных уравнений с целыми неотрицательными или натуральными числами; полиномиальную теорему, бином Ньютона и треугольник Паскаля, основные комбинаторные тождества
Уметь решать простейшие комбинаторные задачи, вычислять коэффициенты бинома Ньютона по формуле и с использованием треугольника Паскаля; вычислять вероятности событий на основе подсчета числа исходов (простейшие случаи)
Владеть простейшими комбинаторными методами (перечисления, правилами сложения и умножения, методом включений и исключений); основами логической и алгоритмической культуры; математическим мышлением; элементами историзма, понимание значимости математики для общечеловеческого прогресса
Таблица 12 Содержание курса «Комбинаторика»
Раздел Содержание раздела
Основные комбинатор -ные конфигурации Основные комбинаторные конфигурации: выборки, размещения, перестановки, перестановки с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями. Правило сложения и умножения. Явные формулы для числа основных комбинаторных соединений. Простейшие комбинаторные задачи. Простейшие задачи на разложение шаров по ящикам
Простейшие комбинаторные задачи Размещения с ограничениями. Разбиение на группы. Задачи, приводящие к решению неопределенных уравнений с целыми неотрицательными или натуральными числами. Число представлений га-множества в виде объединения к непустых непересекающихся подмножеств. Метод включений и исключений. Число разложений га различимых шаров по к различимым ящикам при условии того, что ящики не могут быть пустыми
Полиномиальная теорема Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты, их комбинаторная интерпретация. Треугольник Паскаля. Полиномиальная теорема. Основные тождества с биномиальными коэффициентами. Комбинаторные тождества и суммы
систематизации, обобщению и углублению знаний слушателей в различных областях классической математической науки, в то же время формируя у студентов современный, дискретный стиль мышления. Основные характеристики освоения дисциплины представлены в табл. 15.
Содержание курса формируется из разделов, перечисленных в табл. 16.
Итоги опытно-экспериментальной работы по внедрению разработанной концепции в учебный процесс математического факультета МПГУ позволяют утверждать, что пре-
Таблица 13
Характеристики освоения курса «Дискретная математика»
Студент должен Описание характеристик освоения курса
Знать основные понятия теории графов, классические операции над графами, основные типы графов и их простейшие свойства (путь, цикл, связный граф, двудольный граф, регулярный граф, дерево, Эйлеровы графы, Гамильтоновы графы), основные комбинаторные соединения, явные формулы для их числа, бином Ньютона и простейшие формулы с биномиальными коэффициентами, примеры и способы решения простейших рекуррентных соотношений, связь рекуррентных соотношений с производящими функциями, простейшие методы суммирования
Уметь использовать теорию графов для решения практических задач, решать простейшие комбинаторные задачи, применять рекуррентные соотношения для получения числовых последовательностей
Владеть классическими дискретными алгоритмами (арифметическими, теоретико-числовыми, комбинаторными, алгоритмами теории графов, теории рекуррентных соотношений и производящих функций, теории конечных сумм); основными приемами дискретного, в том числе комбинаторного, анализа; навыками практической работы с дискретными объектами, в том числе при осуществлении учебного процесса; общенаучными методами решения проблем (аналогия, сравнение, обобщение, анализ и синтез); логической и алгоритмической культурой, культурой математического мышления; элементами историзма, пониманием роли дискретной математики в математической науке и школьном курсе математики
Таблица 14 Содержание курса «Дискретная математика»
Раздел Содержание раздела
Введение Различие между дискретной и непрерывной математикой. Примеры дискретных множеств. Место дискретной математики в системе математической науки. Дискретная математика античности. Непрерывная математика эпохи Возрождения. ЭВМ и современная дискретная математика; изменения стиля математического мышления. Основные направления современной дискретной математики, рассматриваемой в широком и узком смысле
Основы теории графов Основные понятия теории графов. Определение графа. Ориентированные и неориентированные графы. Степень вершины графа. Операции над графами. Виды графов. Полный и пустой графы. Путь, цепь, простая цепь, цикл, простой цикл. Связные графы. Компоненты связности графа, их число. Деревья. Характеризационная теорема. Алгоритмы Краскала и Прима построения кратчайшего остова взвешенного графа. Регулярные графы. Двудольные графы. Теорема Кенига. Графы и матрицы. Число различных графов на п вершинах. Изоморфные графы. Плоские графы. Укладка графа. Теорема Эйлера и ее следствия. Теорема Понтрягина-Куратовского. Раскраска плоских графов. Хроматическое число. Теорема о четырех красках. Эйлеровы графы, эйлеровы цепи. Гамильтоновы графы, гамильтоновы цепи. Теорема Дирака. Алгоритм Робертса и Флореса построения гамильтонова цикла в графе. Использование алгоритмов теории графов в автоматизированном проектировании
Элементы комбинаторики Комбинаторные конфигурации (объекты), их общая характеристика. Простейшие случаи размещений шаров по ящикам. Доказательство комбинаторных тождеств. Размещения с ограничениями. Разбиение на группы. Решение уравнений в целых неотрицательных числах. Метод включений и исключений. Число размещений т различимых шаров по п различимым ящикам, при условии того, что ящики не могут быть пустыми. Число размещений т различимых шаров по п не различимым ящикам, при условии того, что ящики не могут быть пустыми. Число разбиений множества из т элементов на п не пустых, не пересекающихся подмножеств. Полиномиальная теорема, бином Ньютона. Комбинаторные тождества и суммы
Рекуррентные соотношения Понятие рекуррентного соотношения. Примеры задач, приводящих к рекуррентному соотношению. Рекуррентные соотношения для числа комбинаторных соединений. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона и биномиальные коэффициенты. Рекуррентное соотношение для биномиальных коэффициентов. Биномиальные коэффициенты как элементы треугольника Паскаля. Комбинаторная интерпретация биномиальных коэффициентов. Явная формула для биномиальных коэффициентов. Числа Фибоначчи и их свойства. Числа Каталана. Решение линейных рекуррентных соотношений. Формула Бине. Явная формула для чисел Каталана. Примеры задач, приводящих к числам Каталана (правильные скобочные структуры, задача Эйлера, перечисление деревьев и др.). Принцип Дирихле. Деление многочленов и рекуррентные соотношения. Коэффициенты частного от деления двух многочленов как элементы рекуррентной последовательности. Понятие производящей функции. Алгебра Коши. Применение производящих функций для решения рекуррентных соотношений. Производящая функция последовательности Фибоначчи. Основной принцип теории производящих функций
Методы суммирования Конечные суммы и рекуррентные соотношения. Суммирующий множитель. Суммы к-х степеней первых п натуральных чисел. Некоторые методы суммирования. Преобразование Абеля. Введение в асимптотические методы. Формула Эйлера — Маклорена. Асимптотические методы решения рекуррентных соотношений. Формула Стирлинга
Окончание таблицы 14
Различные приемы шифрования. Задачи кодирования. Сообщение. Передача сообщений. Двоичный симметричный канал. Кодирование и декодирование. Расстояние между кодовыми словами. Самокорректирующиеся коды. Код Хэмминга. Блочные коды. Матричные коды. Групповые коды. Таблицы декодирования. Полиномиальные коды. Коды Боуза — Чоудхури — Хоккенгема. Конструкция псевдослучайной последовательности на основе ненулевого решения линейного рекуррентного соотношения над конечным полем. Теоретико-числовые основы криптографии. Простые числа и теория кодирования
Таблица 15 Характеристики освоения курса «Комбинаторика и анализ»
Студент должен Описание характеристик освоения курса
Знать основные типы комбинаторных соединений, классические примеры использования рекуррентных соотношений в комбинаторике (числа Фибоначчи, числа Каталана, числа неупорядоченных разбиений к-множества, числа Стирлинга), простейших приемов использования теории производящих функций при решении комбинаторных задач
Уметь применять теоретические знания при решении конкретных математических задач и в практике педагогической деятельности
Владеть целостным представлением о месте комбинаторного анализа в системе математических знаний, о его взаимосвязях и взаимозависимостях со школьным курсом математики; методами научно-педагогической деятельности, способностью проектировать и реализовывать в практике обучения новое учебное содержание на базе полученных теоретических знаний; готовностью к организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся, исследовательской деятельности учащихся по профильному предмету; готовностью к непрерывному профессиональному самообразованию; системной культурой мышления, логической и алгоритмической культурой; готовностью к непрерывному развитию творческих способностей, креативности; способностью к рефлексии
Таблица 16 Содержание курса «Комбинаторика и анализ»
Раздел Содержание раздела
Комбинаторные соединения Сочетания, размещения и перестановки без повторений и с повторениями. Формулы для числа комбинаторных соединений. Простейшие комбинаторные тождества
Рекуррентные соотношения Определение и примеры рекуррентных соотношений. Числа Фибоначчи. Числа Каталана. Связь комбинаторики с рекуррентными соотношениями. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона. Задача мажордома. Задачи о многоугольниках. Рекуррентные таблицы. Решение линейных рекуррентных соотношений. Случай различных корней характеристического уравнения. Случай совпавших корней характеристического уравнения. Примеры. Формула Бине
Комбинаторика и ряды Деление многочлена на многочлен. Алгебраические дроби и степенные ряды. Действия над степенными рядами. Использование рядов для доказательства комбинаторных тождеств. Отношение многочленов и рекуррентные соотношения
Производящие функции Определение и примеры производящих функций. Полиномиальная формула. Ряд Ньютона. Извлечение квадратных корней. Производящие функции и разбиения чисел. Числа Стирлинга. Решение рекуррентных соотношений с помощью производящих функций
Асимптотические формулы Понятие асимптотической формулы. Символы О() и о(). Преобразование Абеля (частное суммирование). Формула Эйлера — Маклорена. Формула Стирлинга
подавание математических дисциплин на базе разработанных программ и созданных на их основе учебных пособий обеспечивает эффективную индивидуализированную фундаментальную подготовку студентов в рамках числовой и дискретной содержательных линий, непрерывное формирование их профессиональной компетентности [3-4].
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Подготовка учителя в структуре уровневого образования: кол. моногр. / под ред. В.Л. Матросо-ва. М.: МПГУ, 2011.
2. Деза Е. И. Особенности реализации концепции созда-
ния индивидуальных траекторий фундаментальной подготовки учителя математики в условиях вариативного образования // Наука и школа. 2012. № 2.
3. Деза Е. И. Теория и практика фундаментальной подготовки учителя математики в условиях реализации индивидуальных образовательных траекторий // Преподаватель XXI век. 2012. № 2.
4. Деза Е. И. Дисциплины по выбору как составная часть фундаментальной подготовки учителя математики в условиях вариативного образования // Вестн. высш. шк. (Alma mater). 2012. № 11.
5. Деза Е. И. Специальные числа натурального ряда. М.: URSS, 2010.
