CC BY
35
АГРОПРОМЫШЛЕННАЯ ИНЖЕНЕРИЯ
УДК 539.3
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СОЧЛЕНЕННЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ПРЕДПРИЯТИЙ АПК
Ю.В. Клочков, доктор технических наук, профессор А.Ш. Джабраилов, кандидат технических наук, доцент Р.И. Маловичко, кандидат педагогических наук, доцент
Волгоградский государственный аграрный университет
Предложен алгоритм расчета ветвящихся оболочечных конструкций с учетом физической нелинейности применяемого материала с использованием метода шагового нагружения. Зависимости между приращениями деформаций и приращениями напряжений устанавливались на основе деформационной теории пластичности. Элементом дискретизации оболочки выбран треугольный фрагмент срединной поверхности с узлами г, к, расположенными в вершинах треугольника. Узловыми варьируемыми параметрами треугольного конечного элемента были выбраны приращения компонент вектора перемещения и их первых производных. В качестве функций формы были использованы полные полиномы третьей степени. Размерность матрицы жесткости треугольного элемента дискретизации составила 27^27. В качестве примера решена задача по определению напряженно-деформированного состояния оболочечной конструкции, загруженной внутренним давлением, интенсивности q и состоящей из цилиндра и примыкающих к нему двух оболочек вращения в форме конусов.
Ключевые слова: оболочка вращения, конечный элемент, физическая нелинейность, деформация, тензор напряжений.
В настоящее время довольно сложно представить хотя бы одну отрасль хозяйства, которая не использует оболочечные конструкции. Паровой котел, корпус ракеты, трубопроводы, гигантские нефте- и газохранилища, муко- и молоковозы, силосные бункеры - вот только некоторые примеры использования оболочек вращения. На современном этапе развития техники с помощью оболочек как структурных элементов конструкций решается комплекс самых разнообразных задач. Среди многочисленных функций, выполняемых оболочками, например в машинах и сооружениях, в первую очередь следует назвать силовые функции и функции разделения.
Следует отметить, что важной особенностью реальных материалов является нелинейный характер зависимости между напряжением и деформацией. Учет таких особенностей деформирования материалов в расчете оболочечных конструкций позволяет приблизить теоретические прогнозы к реальному их поведению.
В настоящей работе выполнен анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) ветвящейся оболочечной конструкции с учетом физической нелинейности применяемого материала на основе метода конечных элементов (МКЭ) [9, 4, 2, 3, 1].
В качестве элемента дискретизации использовался криволинейный треугольный конечный фрагмент оболочки вращения, произвольно расположенный на ее срединной поверхности. В качестве системы глобальных координат применяется цилиндрическая система координат (Я - длина дуги меридиана, 0 - угол, отсчитываемый от образующей против хода часовой стрелки).
Для удобства численного интегрирования по поверхности элемента, произвольный треугольный элемент проектируется на прямоугольный треугольник с узлами г, ],
к. (рис. 1). Локальные координаты треугольника и п изменяются в пределах 0 <4, Л<1.
Зависимость между криволинейными координатами £ и 0 произвольной точки срединной поверхности конечного элемента и локальными 4, П определяется следую-
щими соотношениями
5 = Б1 (1 -4-п)+5* 4 + 5к п; 0 = 9'' (1 -4-п)+0 *4 + 0к п,
(1)
где 5П, 0П, (П = ', ], к) - координаты узлов элемента в глобальной криволинейной системе координат.
Рисунок 1
Продифференцировав выражения (1), можно получить производные глобальных координат в локальной системе
Я?
(2)
35 = - 5'. с5 = 5к - ; 54 5 п
30 =07 -0'; ^ = 0к -0'.
54 3 п
Производные локальных координат в глобальной системе можно определить, решив совместно систему (1) относительно 4 и Ц
— = (0к-0') /Б; = 5к -5') / Б; 5^ ^ ' 50 ^ '
(3)
5 п
5s
- 0') / Б; = (5* - 5') / Б,
где Б = (5* - 5') (0к - 0') - (5к - 5') (0 * - 0'').
Так как решалась физически нелинейная задача, то наиболее естественным при определении напряженно-деформированного состояния оболочки вращения с ветвящимся меридианом будет использование метода шагового нагружения [8]. В настоящей
работе зависимости между приращениями деформаций и приращениями напряжений устанавливались на основе деформационной теории пластичности [6].
В соответствии со второй гипотезой теории малых упруго-пластических деформаций компоненты девиатора деформаций пропорциональны компонентам девиатора напряжений
С С С С
_о. о^ _о. с". — с_ о^
V, (4)
811 80 _ 822 80 _ 833 80 _ 812 Ф11 -Ф0 Ф22 -Ф0 -Ф0 2ф12
С С С г
где 8^, , - линейные деформации в произвольной точке, отстоящей на расстоянии С от
срединной поверхности оболочки вращения в кольцевом, меридиональном и нормальном
направлениях соответственно; Фц, ф22 - нормальные напряжения в той же точке в кольцевом
С
и меридиональном направлениях соответственно; 8^ - угловая деформация в точке, отстоящей на расстоянии С от срединной поверхности оболочки вращения; Ф^ - касательное напряжение.
Равенства, выражающие зависимости между приращениями деформаций и приращениями напряжений на шаге нагружения в произвольной точке оболочки вращения, отстоящей на расстоянии С от срединной поверхности, можно представить в общем виде следующим образом
Д8С1 = I811 АФП + ^ АФ22 + I811 АФ12;
Эфп Эф22 Эф12
А822 = ^ АФП +1822 АФ22 +1822 АФ!2; (5)
Эап Эф22 Эф!2
А8С3 = I811 Аф11 + I831 Аф22 + ^ АФ12;
Эфп |ф22 |ф12
л С 3812 л 38С2 . Э8С2
А8С2 АФЦ + АФ22 + -Л2АФ12,
|Ф11 |Ф22 |Ф12 где А8С|, Ав^, Ав^, АвС2 - приращения линейных и угловой деформации в произвольной точке, отстоящей на расстоянии С от срединной поверхности оболочки вращения в соответствующих направлениях; Афц, Аф22, Аф12 - приращения нормальных и касательных напряжений в этой же точке в соответствующих направлениях.
Для определения входящих в (5) производных приращений деформаций по напряжениям, нужно из (4) выразить деформации в явном виде. В результате соотношения (5) можно представить в матричной форме
КрН^АФ^} . (6)
Обращая матрицу [из (6), можно получить равенство, выражающее связь между приращениями напряжений на шаге нагружения в произвольной точке, отстоящей на расстоянии С от срединной поверхности оболочки вращения, через приращения деформации в этой же точки
{Лаар} = [Сш ]{л4р}, (7)
где [Спл ] = [ D ] 1 - матрица пластичности.
На основании принципа возможных перемещений равенство работ всех внешних и внутренних сил на шаге нагружения можно представить следующим образом
/{лвар}г [} + {л^}] = {{ли }Т [{р} + {лр}]сг, (8)
к г
где
{лаар} = [С„л]{лвар}; {лвар} = [Г]{лвае}; {лвае} = [в]{л^}; (9) {ли }Г =[ А]{л^};
элементы матрицы [В] содержат функции формы в виде полных полиномов третьей степени [10].
Заменяя интегралы суммы в правой и левой частях равенства (8) суммами интегралов получим
{КГ Кр}¿V + {{^ (л^ар)Ж =
V V (10)
= {{ли}Т {р}сТ + {{ли}Т {лр}сТ.
г г
С учетом (9) выражение (10) можно представить в виде
{ди,,}г{[ в ]г[ г Те} ¿V в]г[ г Т ][ г ][ в ]{ли„} ¿V =
V V
={лиу}Т ¡[Л]Т [р]сг + {лиу}Т ¡[Л]Т [лр]сг, (11)
где [А] - квазидиагональная матрица, содержащая полные полиномы Эрмита третьей степени.
В результате преобразований равенство (11) можно представить в матричной форме следующим образом
[К ]{ли,} = {лД} + {Г}; 02)
где {лв} = |[Л]Т {лР}с1Е - вектор внешних нагрузок на шаге нагружения;
г
{г} = {[Л]Т [Р]сг - {[В]Т [Г]т {аар}dV - вектор невязок на шаге нагружения;
г V
[к] = ДВ]Т [Г]Т [С ][Г][в]dV - матрица жесткости конечного элемента оболочки вращения
V
на шаге нагружения.
Дальнейшая процедура формирования матрицы жесткости осуществляется на основе [11, 7, 5].
В качестве примера была решена задача по определению напряженно-деформированного состояния оболочечной конструкции, загруженной внутренним давлением, интенсивности q и состоящей из цилиндра и примыкающих к нему двух оболочек вращения в форме конусов. В узле ветвления меридиана реализованы корректные кинематические условия сопряжения [11, 7]. Конструкция имеет на одном из краев шарнирное опирание (рис 2.). Исходные данные были приняты следующие: Е = 7,5-104
МПа, р = 0,32, q = 0,8 МПа, а = Ь = Ь = 0,6 м, Я2 = 0,9 м, толщина оболочки ^ = 0,01 м, а = 45°, в = 30°. Число элементов дискретизации каждой из сопрягаемых оболочек принималось равным 36.
Рисунок 2
Результаты расчета представлены в таблице 1. В ней приведены значения меридиональных напряжений в характерных сечениях (1-1У) на внутренней ав и внешней
ан поверхностях оболочки. Число шагов нагружения варьировалось в пределах от 90 до 120. В опорном сечении (I) можно вычислить точное значение напряжения на основании условия равновесия.
Давление, действующее на нижний конус, вызывает растягивающее напряжение ар, которое определяется формулой:
_/г>2 2ч
МПа.
т(Я2 - г2) а а =—^-— •а = 25,94
" г '
Давление, действующее на верхний конус, вызывает сжимающее напряжение а
Т^-Ф а =-28 МПа.
С 2тВц (
Таким образом, результирующее меридиональное напряжение на срединной поверхности цилиндра в опорном сечении будет равно:
ам = а р +ас = 25,94 - 28,0 = -2,06 МПа.
Как видно из таблицы, это значение практически совпадает с полученным в результате расчета конструкции.
Таблица 1
Сечение Напряжение, МПа Число шагов нагружения
90 110 120
I ав -2,04 -2,05 -2,05
ан -2,06 -2,07 -2,07
II ав 282,5 284,2 282,4
ан -296,9 -296,9 -296,9
III ав 683,8 684,8 685,6
ан -673,1 -674,3 -675,1
IV ae 797,1 798,1 798,6
a" -818,7 -819,8 -820,3
Анализируя данные, представленные в таблице 1, можно отметить, что при увеличении числа шагов нагружения наблюдается быстрая сходимость вычислительного процесса. Значения контролируемых параметров напряженно-деформированного состояния в сечении I практически совпадают со значением, вычисленным из условия равновесия. Это позволяет сделать вывод о достоверности предложенного алгоритма расчета ветвящихся оболочечных конструкций с учетом физической нелинейности применяемого материала.
Библиографический список
1. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы [Текст]: монография / Р. Галлагер. -М.: Мир, 1984. - 428 с.
2. Голованов, А.И. Современные конечно-элементные модели и методы исследования тонкостенных конструкций [Текст]: монография / А.И. Голованов, А.В. Песошин, О.Н. Тюле-нева. - Казань, КГТУ, 2005. - 442 с.
3. Деклу, Ж. Метод конечных элементов [Текст]: монография / Ж. Деклу. - М.: Мир, 1976. - 596 с.
4. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике [Текст]: монография / О. Зенкевич. - М.: Мир, 1975.- 542 с.
5. Клочков, Ю.В. Использование криволинейного четырехугольного элемента к расчету сочлененных оболочек вращения [Текст] / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, О.А. Проскурнова // Известия высших учебных заведений. Строительство. - 2007. - № 11. - С. 103-109.
6. Малинин, Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести [Текст]: монография / Н.Н. Малинин. - М.: Машиностроение, 1975. - 400 с.
7. Николаев, А.П. К расчету осесимметричной оболочки с ветвящимся меридианом методом КЭ. [Текст] / А.П. Николаев, Ю.В. Клочков, Н.Г. Бандурин //Проблемы прочности. -1987. - № 12. - С. 66-69.
8. Петров, В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек [Текст]: монография / В.В. Петров. - Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та, 1975.- 120 с.
9. Постнов, В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций [Текст]: монография / В.А. Постнов, И.Я. Хархурим. - Л.: Судостроение, 1974.- 344 с.
10. Dzhabrailov, A.Sh. Comparison of variants of the triangular discrete element shape functions for the vector method of shell displacement interpolation [Текст] / A.Sh. Dzhabrailov, Y.V. Klochkov, A.P. Nikolaev. // Russian Aeronautics. 2008. Т. 51. № 2.- С. 119-125.
11. Dzhabrailov, A.Sh. The finite element analysis of shells of revolution with a branching meridian [Текст] / A.Sh. Dzhabrailov, Y.V. Klochkov, A.P. Nikolaev. // Russian Aeronautics. 2009. T.52. №1. - C. 22-29.
E-mail: [email protected]
