CC BY
54
АГРОПРОМЫШЛЕННАЯ ИНЖЕНЕРИЯ
УДК 539.3:624.074.4
ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА С МНОЖИТЕЛЯМИ ЛАГРАНЖА
Ю.В. Клочков, доктор технических наук, профессор А.П. Николаев, доктор технических наук, профессор О.В. Вахнина, кандидат технических наук, доцент
ФГБОУ ВПО Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия
В настоящей работе изложены результаты вариативного исследования множителей Лагранжа в алгоритмах формирования матриц жесткостей треугольных элементов дискретизации.
Ключевые слова: оболочка вращения, метод конечных
элементов, треугольный конечный элемент, множители Лагранжа, матрица жесткости, элемент дискретизации.
Современные мелиоративные системы, а также системы сельскохозяйственного водоснабжения широко используют трубопроводы высокого давления, надежная работа которых во многом зависит от точности анализа их напряженно-деформированного состояния. Учитывая сложную геометрию трубопроводов (стыки, разветвления и прочее), аналитический расчет такого рода конструкций весьма затруднителен, а подчас и невозможен. Поэтому эффективное решение возможно лишь при использовании современных численных методов, таких как метод конечных элементов (МКЭ). Применение МКЭ к расчету трубопроводов как оболочечных конструкций имеет ряд особенностей, которые требуют дальнейшего совершенствования алгоритмов. Исследования [1] показывают, что точность конечно-элементных решений, полученных при использовании треугольных элементов дискретизации, во многом зависит от вида внешней нагрузки, приложенной к исследуемому объекту.
В настоящей работе излагается алгоритм расчета оболочек на основе треугольных конечных элементов (КЭ), матрицы жесткости которых формировались с использованием множителей Лагранжа.
Конечный элемент выбирается в виде криволинейного треугольного фрагмента срединной поверхности оболочки вращения с узлами ],к (рис. 1).
Столбец узловых варьируемых параметров рассматриваемого треугольного элемента дискретизации в глобальной системе координат содержит компоненты вектора перемещения и их первые производные по криволинейным координатам Б (длина дуги меридиана) и 0 (угол, отсчитываемый от образующей против хода часовой стрелки) [2]
{и;Г={КГ№ГКГ|. О)
1x27 I 1x9 1x9 1x9 J
где 11 и V - тангенциальные, а \¥ - нормальная компонента вектора перемещения.
Входящие в правую часть (1) подматрицы-строки имеют следующий вид
(2)
Ч Ч Ч-- 4,8 Ч-- ч- ч- ч
Л
где под ц понимается компонента вектора перемещения и, у или ду •
Рассматриваемый треугольный КЭ является совместным по компонентам вектора перемещения, но несовместным по их производным, в силу чего возникает погрешность конечно-элементных решений при использовании данного типа элементов дискретизации.
На границах между смежными элементами должно выполняться равенство между производными нормальной компоненты вектора перемещения в направлении внешней нормали к стороне элемента (рис. 2),
которое в силу противонаправленности ортов г^-к и п г I- может быть записано в виде
<Э\¥
С1)
ду/'
С11)
= 0,
где верхние индексы I, II указывают на номера смежных элементов дискретизации.
(3)
Рисунок 1
Однако, равенство (3) в силу несовместности по производным компонент вектора перемещения не выполняется, поэтому для его корректного соблюдения предлагается рассмотреть интегральное равенство
с!/^к = 0. (4)
где Р к - длина дуги стороны дискретного элемента; к - значение множителя Лагранжа
в произвольной точке дуги ^- дифференциал дуги j_ ^ .
Для отдельного треугольного конечного элемента равенство (4) может быть трансформировано к виду
I л г" с1/ • I Г-к^-с1Гк+ I -^(1/^=0» (5)
/н ¡и ¡1,
где и 1 - значения множителей Лагранжа в произвольных точках
соответствующих сторон дискретного элемента.
Рассмотрим треугольный элемент дискретизации в локальной системе координат о<^,г|<Ь Связь между глобальными 8,0 и локальными г| координатами осуществляется с помощью
соотношений
Б = (1 - г^1 + ^ + г)8к; 0 = (1-^-т1)0Ч^0Чт10к. (6)
Множители Лагранжа на границах треугольного КЭ с учетом (6) могут быть выражены через их узловые значения ^(т1 = 0) = (1-^Ч^;
(Д = 1 - г|) = (1 - г|))^ + г|Хк; (7)
1 (^ = 0) = (1 - л)^1 + П^к.
Соотношения (7) могут быть представлены в матричном виде
(8)
3x1 3x3 3x1
где =1^-^-^-.}; {¡ц}т = {*,№}
1x3 3x1
Производные нормальной компоненты вектора перемещения в направлении нормалей к сторонам треугольного КЭ могут быть выражены через стандартный набор узловых варьируемых параметров в локальной системе координат
^ = Ш{иП |?Г = Г, (.,)№!; <9>
гДе ^ (^), f2 (т|), (т|) - функции, зависящие от координат на соответствующих сторонах
локального треугольника.
Входящий в (9) столбец узловых неизвестных в локальной системе координат имеет следующую структуру
{и;-}1 = |и;!1И}т!»;-}т). а»)
1x27 4 1x9 1x9 1x9 7
В результате ряда преобразований соотношение (5) записывается
в виде
Мт №»]{у;}= Мт И{и;,}=о, (і і)
1x3 3x27 27x27 27x1 1x3 3x27 27x1
[Ря] - матрица преобразования, формируемая на основе соотношений, получаемых
где
(12)
дифференцированием (6) по локальным координатам ^ и ^
58/5^ = <Э8/<Эг| = 8к- в1;
50/б£ = 0]-0‘; Э0/Эг| = 0к-01.
Функционал, выражающий равенство работ внешних и внутренних сил на возможном перемещении для треугольного КЭ [2], с учетом (11) может быть записан в следующем виде
ф - {и; }т[к]{и;-}- {и^.}т{к}+ {^у }ти{и; }=о, оз>
гДе [к], {я} _ матрица жесткости и столбец узловой нагрузки треугольного КЭ [2].
Минимизируя функционал (13) по узловым неизвестным {иу}т и
узловым значениям корректирующих множителей Лагранжа |Л,У }т,
получим систему уравнений
ЭФ
^=М{и;}-{к}+ИтЫ=0;
(14)
ЭФ
= №}=о.
Систему уравнений (14) можно представить в расширенной конечно-элементной формулировке
[к1{и;}=К}, (15)
-р л.-'Ур,
30x30 30x1
р > 30x1
где
К]
[к] [г]т
27x27 27x3
[2] [0]
расширенная матрица жесткости треугольного КЭ;
'УpJ
1x30
- вектор искомых узловых неизвестных; |т _ ^- расширенный
1x27 1x3 J 1х30Р 1x27 1x3
вектор узловых усилий.
В результате выполнения ряда расчетов был сделан вывод о неэффективности использования этого алгоритма.
В качестве альтернативы рассмотренному выше алгоритму можно рассмотреть вариант, в котором уравнение (5) записывается не по длинам сторон треугольного КЭ, а для узлов, расположенных в серединах сторон треугольного элемента дискретизации:
! Эху1
д
\¥
■А/
д
\¥
= 0.
(16)
Входящие в (16) производные нормальной компоненты вектора перемещения во вновь введенных узлах 1, 2, 3 в направлении нормалей п п2, п3 могут быть выражены через столбец узловых неизвестных (10)
д£
соэ а
(17)
К}1
д£ ае
(иу1
гДе аш и - углы между вектором пт и касательными векторами локального базиса а° и а" узла ш (ш=1,2,3), расположенного в середине стороны треугольного элемента на срединной поверхности оболочки соответственно.
В отличие от функций 1^}, входящих в (9), полиномиальные выражения (17) определяются путем подстановки в интерполяционные полиномы третьего порядка {^}[2] координат узлов 1, 2, 3,
расположенных в серединах сторон треугольного КЭ.
Таким образом, процедура интегрирования по сторонам треугольного элемента дискретизации исключается.
Выражение (16) с учетом (17) может быть записано в виде
{г }т [ф][ря ]{и^ }= {г }т [у]{и^}= 0, (18)
1x3 3x27 27x27 27x1 1x3 3x27 27x1
где{г}Т={^2А,3}.
Дальнейшая процедура получения расширенной матрицы жесткости и столбца узловых нагрузок треугольного КЭ совпадает с описанным выше алгоритмом.
К
/гс— Н»т
£
Рисунок 3
Пример расчета. Жестко защемленный по торцам цилиндр, нагруженный внутренним давлением интенсивности q (рис. 3). Исходные данные: Ь = 1.0м; Я = 1.0м; Е = 2-105МПа; 1/ = 0.3;
1 = 0.02м; q = 5MПa. Расчеты были выполнены в двух вариантах. В первом варианте была реализована стандартная для треугольного КЭ процедура [2]; во втором варианте в середины сторон вводились корректирующие множители Лагранжа (соотношения (16).. .(18)).
Анализ контролируемых параметров напряженно-деформированного состояния оболочки показывает, что во втором варианте
наблюдается устойчивая сходимость вычислительного процесса уже при достаточно редкой сетке дискретизации.
Таблица 1 - Значения напряжений в точках жесткой заделки
Численные Вариант расчета
значения I II
напряжении, число узлов сетки дискретизации
Мпа 4x9 4x17 4x33 4x49 4x9 4x17 4x33 4x49
ов м 222.59 149.91 108.06 93.14 459.99 475.49 479.62 480.40
Он м -98.43 -24.94 17.22 31.99 -339.0 -356.1 -360.3 -361.1
оср м 62.08 62.48 62.64 62.56 60.01 59.72 59.68 59.68
ов к 67.78 44.97 32.42 27.94 138.00 142.65 143.89 144.12
Он к -29.53 -7.48 5.17 9.60 -101.0 -106.8 -108.1 -108.3
оср к 18.62 18.75 18.79 18.77 18.00 17.91 17.90 17.90
При реализации стандартной конечно-элементной процедуры для треугольных КЭ (I вариант) численные значения напряжений имеют разноименные знаки лишь при редкой сетке дискретизации, а со сгущением сетки напряжения на внутренней и наружной поверхностях оболочки становятся только растягивающими, что противоречит физическому смыслу решаемой задачи.
Таким образом, можно сделать вывод о высокой эффективности алгоритма (16)...(18), основанного на применении корректирующих множителей Лагранжа в дополнительных узлах, расположенных в серединах сторон треугольного элемента дискретизации.
Библиографический список
1. Клочков, Ю.В. Сравнительный анализ эффективности использования конечных элементов треугольной и четырехугольной форм в расчетах оболочек вращения [Текст] / Ю.В. Клочков А.П. Николаев, H.A. Гуреева // Изв.вузов. Сер. Строительство. - 2004. - №3. -С.103-109.
2. Клочков, Ю.В. О функциях формы в алгоритмах формирования матриц жесткости треугольных конечных элементов [Текст] / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, А.П. Киселев // Изв. вузов. Сер. Строительство. - 1999. -№ 10. - С. 23-27.
E-mail: [email protected]
