CC BY
24
an intelligent (adaptive) simulator system are analyzed. In the concept of learning with the use of an adaptive simulator system, it is advisable to apply the theory of programmed instruction.
Key words: structural-functional scheme, adaptive training system, the concept of programmed learning.
Privalov Aleksandr Nicolaevich, doctor of technical science, professor, privalov. 61@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State Pedagogical University,
Kuleshov Vladimir Lvovich, Leading Specialist, strn5@yandex. ru, Russia, Tula, JSC Central Design Bureau of Instrument Engineering
УДК 519.6
О ПРОГРАММНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА СПЕКТРАЛЬНОГО ОБОЛОЧЕЧНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
К.А. Петровский, А.Н. Привалов
Рассмотрено применение треугольного спектрального конечного элемента для численного решения динамической задачи об определении напряженно деформированного состояния оболочечной конструкции при зависящей от времени нагрузке. Учет влияния сдвиговых деформаций, изменение толщины оболочки происходят за счет использования 7-параметрической модели оболочечных элементов. Приводятся результаты решения задачи для иллюстрации возможностей элемента.
Ключевые слова: программный код, распараллеливание вычислений, метод конечных элементов, спектральный элемент, математическая модель, 7-параметрическая формулировка.
Разработка процедур численного анализа оболочечных конструкций представляет, несомненно, одну из самых сложных задач исследования конечных элементов. Крупной и важной прикладной областью для анализа оболочек являются системы CAD/CAE [1].
В последние десятилетия разработка эффективных вычислительных моделей для нелинейного анализа оболочек была одним из важнейших направлений в исследованиях. Частично это связано с необходимостью численного анализа новых материалов, таких как композитные и функционально градуированные оболочки, так как разработка новых конструкционных материалов требует создания адекватных математических моделей
168
и расчетных комплексов на их основе для корректной численной оценки прочностных характеристик элементов конструкций из этих материалов [2]. В частности, оболочки из ламинированных композитов по-прежнему представляют большой интерес во многих инженерных приложениях. Некоторые математические модели исследуемых задач о напряженно-деформированном состоянии конструкций учитывают большие упругие деформации и конечные вращения, поскольку геометрическая нелинейность играет существенную роль в поведении оболочки. Также важны и эффективные и надежные процедуры для численного моделирования обо-лочечных структур, поскольку небольшие изменения в геометрии и нагрузке оболочек могут привести к большим изменениям в механическом отклике. Таким образом, выбор подходящей математической модели вместе с последовательной и надежной вычислительной процедурой, которая может точно представлять нелинейные деформации и напряжения в обо-лочечных структурах, имеет большое значение [3].
В последние годы значительное внимание уделяется формулировкам конечных элементов оболочек, которые могут быть использованы с немодифицированными полностью трехмерными определяющими соотношениями. Мотивацией для разработки этих математических моделей является желание обойти многие проблемы, связанные с включением предположения о плоском напряженном состоянии. Такие формулировки учитывают растяжение по толщине и обеспечивают разумные представления всех компонентов напряжённого состояния с учетом его неоднородности по толщине для тонких и толстых оболочечных структур. Эти модели обычно называют 7-параметрическими формулировками, так как они включают в себя семь независимых параметров в кинематическом описании. В 7-параметрической модели выражение, аппроксимирующее перемещение вдоль направляющего вектора, расширяется до квадратичного члена, что существенно ослабляет блокировку Пуассона при принятии трехмерных определяющих соотношений.
Для многих математических моделей задач механики деформируемого твердого тела конечно-элементные процедуры высокого порядка предлагают множество теоретических и практических преимуществ по сравнению с конечно-элементными методами низкого порядка, которые в течение последних нескольких десятилетий стали преобладать в научных исследованиях и коммерческом программном обеспечении. В частности, можно избежать различных форм заклинивания, которые без подходящей стабилизации часто портят конечно-элементные модели в слабой формулировке метода Галеркина для математических моделей упругих и неупругих твердых тел.
Множество недостатков, с которыми можно столкнуться в конечно-элементной модели на основе принципа безусловной минимизации, можно в значительной степени обойти или полностью избежать использованием
достаточно адекватного полинома порядка р при создании конечно-элементной аппроксимации ы^р внутри каждого элемента. В частности,
могут быть получены эффективные конечно-элементные процедуры, не требующие использования сложных специализированных приемов, которые часто требуются при конечно-элементной формулировке низкого порядка для повышения точности численного решения. В результате возможно использование формул полного интегрирования, а функциональное пространство конечного элемента высокого порядка избегает любых несо-гласованностей, свойственных аппроксимации низкого порядка, которые часто приводят к заклиниванию.
Метод спектральных элементов (МСЭ) был впервые опубликован Патера в контексте динамики флюидов. Идея, которая привела к ее развитию, заключалась в том, чтобы объединить преимущества псевдоспектрального метода с преимуществами МКЭ, то есть точность и быстрая сходимость первого и геометрическая гибкость последнего. Название было выведено из того факта, что МСЭ имеет такое же поведение экспоненциальной сходимости, что и ПСМ, когда порядок интерполирующих многочленов N стремится к бесконечности.
Одной из основных трудностей, связанных с МСЭ, является то, что бывает очень сложно разбить сетку только на четырехугольники в 2-0 или гексаэдры в 3-0. В этом отношении классический МКЭ, основанный на треугольниках в 2-0 и на тетраэдрах в 3-0, является гораздо более гибким. Существующие спектральные элементы высокого порядка основаны на иерархическом подходе и применяются к четырехугольной, а не к треугольной форме. Причина в том, что четырехугольная форма позволяет обеспечить простую реализацию функций формы и численного интегрирования в МКЭ. Однако четырехугольный элемент имеет некоторые недостатки. Например, он не может хорошо моделировать оболочечные конструкции произвольной формы (особенно с острыми углами), что затрудняет построение простой конечно элементной сетки. Треугольные элементы более приспособлены для построения сеток сложных форм оболочек.
Естественным расширением метода спектральных элементов с диагональной матрицей масс до треугольников было бы использование точек ОЬЬ в каждом треугольнике. К сожалению, в общем случае неизвестно, существуют ли такие точки, и если да, то их построение численно оказывается чрезвычайно трудной задачей. Альтернативой точкам ОЬЬ в треугольнике является выбор точек, оптимизированных для их свойств интерполяции и аппроксимации, а не квадратуры. Недавние работы в этой области включают в себя в частности точки Фекете. Они точно соответствуют точкам ОЬЬ на сторонах треугольника. Поэтому можно построить смешанные неструктурированные сетки, состоящие из четырехугольников и треугольников, в которых точно совпадают точки на краях обоих типов элементов.
Таким образом, высокая гибкость может быть достигнута на этапе генерации сетки для сложных структур, что уменьшает трудности создания сетки только на основе четырехугольников. Так как все точки совпадают по общему краю между четырехугольником и треугольником, и поскольку для аппроксимации на обоих элементах используется одна и та же полиномиальная степень, непрерывность поля обеспечивается всюду на общем ребре. Поэтому вклады в глобальную систему, рассчитанные отдельно для обоих элементов, могут быть собраны таким же образом, как и в МКЭ. Глобальная матрица масс для смешанной сетки остается диагональной, поскольку матрицы масс элементов диагональны для обоих типов элементов. Таким образом, сохраняется очень эффективная структура классических решателей спектральных элементов, в частности высокая эффективность на параллельных компьютерах, а новый тип элементов легко внедряется в существующий решатель спектральных элементов. Основное различие у треугольных элементов, состоит в том, что на треугольнике теряется тензоризация классических четырехугольных спектральных элементов, поэтому количество арифметических операций вычисления производной по треугольнику равно (N +1)(N + 2)-1, тогда как по четырехугольнику только 2 N +1. Таким образом, с точки зрения вычислений для больших N треугольники «дороже» четырехугольников в соотношении Я = (( N +1)( N + 2)-1) / (2 N +1) □ N/2.
Рассмотрим движение оболочечного элемента из начального со-
0г>е е тт 1 ^
стояния В в текущее состояние В . На рис. 1 представлен случай движения при конечных перемещениях и поворотах. Для трехмерной геометрии оболочечного элемента 0 Ве в начальном состоянии при толщине 0 И положение частицы в внутри элемента определяется как
х=фе (х1, х2, X3 )= IФк (х1, X2 Г X * +х3 И V ^
к=1 V 2 У
где X3 е [-1;1].
Деформированная геометрия в момент времени ¿ будет иметь
вид [4]
' Х=х +х23 И \п + (х3 \п,
где ' Уп - направляющий вектор в момент времени 'И - толщина элемента в момент времени ^п - степень свободы, отвечающая за квадратичную функцию перемещения в направлении ' Уп.
Тогда приращение перемещения записывается следующей формулой:
ш
х- х
2
+ !£ ) ^ йп Уп _ бп Уп
'М тп ^п тп/ (1)
Поле приращений перемещений (1) может быть выражено в терминах степеней свободы в момент времени t с помощью следующих формул:
(2)
tх _ tх _ им _ иЕ1 + уЕ2 + ^Е3,
t_ th _ °н л h,
t + ЛtQ _ tQ _ п
бп бп _ ПП , t+Лtht+ЛtУпУп _(th+0h-Л1'+Л;я|Уп^^Уп _
/
/
^ [1з ] + (th+0h -Л ^
к
81п 10 '0к И 0*
к ]+
(0* Г
\\
0
к
V
п *
(3)
(4)
(5)
Яп Уп _ бп Уп _1 Яп + Пп| tЩ Уп _ бп Уп _ Пп [13 ]+(
3] + бп + Пп
Бт 0
1 _ ооб 0
где
0
_>/«2 + Й,
(0
/у
^ t пп \\
2
(6)
/у
0
к
0 0 рк 0 0 _ак
_рк ик 0
где и к, Рк - приращение поворотов вокруг векторов 1 У* и 1 У* соответственно.
Здесь (2) представляет собой три перемещения в глобальной Декартовой системе координат, (3) описывает изменение толщины, а (4) - приращения квадратичных перемещений. Формулы (5) - (6) представляют собой модификацию численных методов Симо и Фокса [5] описания интерполяции направляющего вектора конечного оболочечного элемента для использования со спектральными интерполяционными функциями.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая эволюцию глобальной системы во времени, записывается как [6]
[ М ]и + [С ]и + [ К ]и ,
где [ М ] - глобальная матрица масс; [С ] - глобальная матрица демпфирования; [ К ] - глобальная матрица жесткости; {^} - глобальный вектор нагрузок.
Рис. 1. Оболочечный элемент при конечных перемещениях
и поворотах
Некоторые методы программной реализации рассматриваемой задачи могут быть легко включены в параллельную вычислительную среду на основе OpenMP. OpenMP - это интерфейс прикладного программирования (API), который поддерживает многопоточность на компьютерных архитектурах, которые допускают многопроцессорность с общей памятью. Эта форма распараллеливания может использоваться на стандартном персональном компьютере, обладающем несколькими ядрами, или на одном узле суперкомпьютера.
Основой процесса адаптации программного кода метода конечных элементов для эффективного параллельного выполнения в системах с общей памятью является способность собирать глобальную разреженную матрицу коэффициентов быстро, эффективно и в форме, которая подходит для связи с современными библиотеками решателей разреженных матриц, таких как PARDISO, MUMPS и др.
Наиболее распространенным способом хранения несимметричных матриц произвольной структуры является CSR (Compressed Sparse Row — сжатие разреженных строк). В нем разреженная матрица хранится с использованием следующих массивов:
- data, который содержит все ненулевые элементы матрицы, перечисленные в порядке следования строк;
- indices, содержащий столько же элементов, сколько data, с указанием для каждого из них, в каком столбце находится данный элемент;
- ptr, который хранит число элементов, равное увеличенной на единицу размерности СЛАУ. Его i-й элемент указывает, с какой позиции в массивах data и indices начинается i-я строка матрицы. Последний элемент ptr равен числу элементов в data, увеличенному на 1.
До глобальной сборки уравнения для определенного конечного элемента не зависят от уравнений, связанных с любым другим элементом. В результате операции построения и применения граничных условий к
матрицам элемента
Ke
M
Ce
и {Fe} могут быть легко выполне-
ны в параллельной вычислительной среде. Укрупненный алгоритм распараллеливания рассматриваемой модели конечных элементов состоит из следующих основных шагов:
1. Цикл по всем элементам е = 1,...,N (параллельно),
построение
Ke
M
Ce
и
{Fe}.
{F}
добавление локальных матриц в глобальные [ К ], [С ], [ М ], добавление локального вектора нагрузок в глобальный вектор
- применение граничных условий.
2. Сжатие глобальных матриц [ К ], [С ], [ М ] в формат С8Я (параллельно).
3. Решение глобальной системы уравнений используя соответствующую библиотеку решателей.
Эти шаги применимы к любой программной реализации метода конечных элементов независимо от того, является ли модель линейной или нелинейной.
Рассмотрим применение треугольного спектрального конечного элемента для численного решения динамической задачи об определении напряженно деформированного состояния оболочечной конструкции при зависящей от времени нагрузке. Модель, представленная на рис. 2, представляет собой пластину с закрепленными на ней пятью коробками. Угловые узлы пластины соединены с помощью жестких балок с центральным узлом, отстоящим от пластины на 0.2 м. Конечно-элементная сетка представляет собой 770 треугольных спектральных оболочечных элемента 4-го порядка.
Размеры пластины 1.5x2.5 м, толщина 0.005 м. Сечение балок -круг радиуса 0.05 м.
12 3
Материал пластины: Е = 10 Па, у = 0.3, р = 700 кг/м . Материал коробок: Е = 2 1011 Па, у = 0.3, р = 400 кг/м3. Материал балок: Е = 2 1015 Па, у = 0.3, р = 10-10 кг/м3.
Ускорение, заданное таблично, прикладывается к центральному узлу. График ускорения показан на рис. 3.
Рис. 2. Геометрия задачи с сеткой из спектральных элементов
25-
го 1510
0.05 0 1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 07 0.75 0.Й 0.Й5 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15
Рис. 3. График задания ускорения в зависимости от времени
Расчет проводился в пакете прочностного анализа «^ёеБуБ». На рис. 4 показаны перемещения центрального узла вдоль оси г.
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 ОН 0.Н5 0.9 0.95 1 1.05
Рис. 4. Перемещения центрального узла вдоль оси г
175
Полученные графики перемещений центрального узла и некоторых узлов коробок совпадают с расчетом в пакете Ansys с использованием 6000 конечных элементов 1-го порядка.
Использование спектрального элемента высокого порядка позволяет сократить количество элементов в расчетной задаче без потери качества расчета. При этом время на расчет затрачивается меньше за счет того, что программная реализация спектрального элемента лучше распараллеливается, а матрица масс получается диагональной.
Список литературы
1. Морозов Е.М., Левин В.А., Вершинин А.В. Прочностной анализ: Фидесис в руках инженера. М.: ЛЕНАНД, 2015. 408 с.
2. Petrovskiy K.A., Vershinin A.V., Levin V.A. Application of spectral elements method to calculation of stress-strain state of anisotropic laminated shells // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. 2016. Vol. 158. P. 012077.
3. Левин В.А. Нелинейная вычислительная механика прочности. Том 1. Модели и методы. Образование и развитие дефектов / под ред. В. А. Левина. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. 452 с.
4. Петровский К. А., Коновалов Д. А. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния оболочечной конструкции при конечных деформациях с учетом изменения толщины оболочечного элемента // Х1 Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Аннотации докладов. Казань: Издательство Академии наук РТ. 2015. С. 222.
5. Simo J.C., Fox D.D., Rifai M.S. On a stress resultant geometrically exact shell model. Part III: Computational aspects of the nonlinear theory, Com-put. Methods Appl. Mech. Eng. 79, 1990. P. 21-70.
6. Левин В. А., Вершинин А.В. Нелинейная вычислительная механика прочности. Том 2. Численные методы. Параллельные вычисления на ЭВМ / под общ. ред. Левина В. А. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. 544 с.
Петровский Константин Александрович, программист-алгоритмист 1 категории, [email protected], Россия, Москва, ООО ««Фидесис»
Привалов Александр Николаевич, д-р техн. наук, проф., privalov.61@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого
ON PROGRAM IMPLEMENTATION OF THE METHOD OF THE SPECTRAL SHELL-FINITE ELEMENT ELEMENT FOR THE SOLVING THE DYNAMIC PROBLEM
K.A. Petrovskiy, A.N. Privalov 176
The application of the triangular spectral finite element for the distributed solution of the dynamic stress-strain state determination problem of the shell structure for a time-dependent load is considered. The effect of shear deformations and the thickness of the shell are accountedfor by using the 7-parameter model of shell elements. The results of solving the problem are presented to illustrate the possibilities of the element.
Key words: program code, parallelization of computations, finite element method, spectral element, mathematical model, 7-parameter formulation.
Petrovskiy Konstantin Aleksandrovich, programmer-algorithmist of the first category, [email protected], Russia, Moscow, LLC "Fidesys",
Privalov Aleksandr Nikolayevich, doctore of technical sciences, professor, privalov. 6lamail.ru, Russia, Tula, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University
УДК 004.056.55
ПРИМЕНЕНИЯ ОТКАЗОУСТОЙЧИВЫХ СИСТЕМ И РЕЗЕРВНОГО КОПИРОВАНИЯ НА ПОЛИГРАФИЧЕСКИХ
ПРЕДПРИЯТИЯХ
Т.А. Афанасьев, А.Н. Линдигрин, Б.С. Яковлев
Проанализированы отказоустойчивые цифровые системы хранения данных, а также методы резервного копирования, даны рекомендации по их внедрению на поли-графичесских предприятиях.
Ключевые слова: резервное копирование, хранение данных, цифровая отказоустойчивая система.
В современных реалиях в сфере полиграфии выделяют три этапа создания продукции: допечатный, печатный и послепечатный процессы.
Допечатный процесс сегодня является самым важным и сложным -подготовительным этапом создания полиграфической продукции. Это связано с тем что он почти полностью стал цифровым. Это позволило легче контролировать цвета в изображениях, относительно точно знать реальный цвет после печати, и сильно упростить подготовку книжной продукции.
Также с учетом развития цифровых технологий в полиграфии за последние 7 лет произошли серьезные изменения, которые коснулись самого процесса печати, прежде всего из-за внедрения цифровых печатных машин и кардинально нового подхода приема-выдачи итоговой продукции.
Цифровые печатные машины повысили качество печати, именно это стало основной причиной перехода издательств на цифровой способ печати для малых и даже средних тиражей полиграфической продукции.
177
