CC BY
82
УДК 621.313.32
Афанасьев А.Ю. (Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева, г. Казань) Макаров В.Г.
(Казанский государственный технологический университет, г. Казань, electroprivod@list.ru)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРЕХФАЗНОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ МАГНИТОПРОВОДА И ПОТЕРЬ В СТАЛИ
В системах частотного регулирования скорости асинхронного двигателя (АД) широко используются математические модели обобщенной электрической машины (ОЭМ). Основными допущениями для ОЭМ являются предположения об отсутствии насыщения магнитопровода и потерь в стали.
В статье предлагается осуществлять переход к ОЭМ при сохранении амплитуды результирующей МДС и величины магнитного потока, приходящегося на один полюс. С помощью функции, аппроксимирующей кривую намагничивания, определяются дифференциальная и статическая магнитные проводимости, которые используются при записи уравнений магнитной цепи. Потери от гистерезиса и вихревых токов предлагается учитывать за счет введения в математическую модель эквивалентных обмоток потерь в стали. Активные сопротивления этих обмоток являются функциями частоты.
Полагаем, что рассматриваемый АД имеет трехфазные симметричные обмотки на статоре и роторе. При этом параметры обмотки ротора приведены к статору. В магнитопроводах статора и ротора существуют потери, состоящие из потерь на гистерезис и вихревые токи. Для их учета введем в модель трехфазные эквивалентные обмотки потерь в стали. Пространственная модель трехфазного АД с такими
обмотками представлена на рис. 1 а. Оси фаз статора обозначены А1,
В1, С1, а оси фаз ротора - А2 , В2 , С2 . Система координат ротора
вращается относительно системы координат статора с угловой скоростью ш , их взаимное расположение характеризуется электрическим
углом а между одноименными осями. По фазам А1, В1, С1 обмотки статора протекают токи ¿1А , Ь1В , Ь1С , а по фазам А2 , В2 , С2 обмотки ротора - токи ¿2А , Ь2В , Ь2С . По фазам эквивалентной обмотки по-
терь в стали статора протекают токи !1 А , 11В , 11С , аналогично по фазам эквивалентной обмотки потерь в стали ротора протекают токи 12А ,
12В , 12С ■
Рис. 1. Пространственные модели при учете потерь в стали а) - трехфазного АД; б) - обобщенной электрической машины
Для учета нелинейности магнитопровода предполагаем, что основной магнитный поток и результирующая МДС связаны кривой намагничивания. Зависимость Ф = / (¥) задаем выражением:
Ф = Ь¥ - ст](¥ - ¥0 )2 + а2 + Ц(¥0 ) + а2 , (1)
где а , Ь , с, ¥0 - эмпирические константы.
Согласно теории трансформатора предполагаем, что магнитный поток, сцепленный с каждой фазой, состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое - это проекция вектора основного магнитного потока на ось фазы, а второе - магнитный поток рассеяния, пропорциональный соответствующему току.
Рассмотрим методику определения мощности потерь на гистерезис и вихревые токи [1]. Магнитопроводы статора и ротора АД имеют спинки и зоны зубцов. Каждый из этих участков обладает своей массой и характеризуется своим амплитудным значением магнитной индукции.
Мощности потерь на гистерезис и вихревые токи в магнитопрово-дах статора определяются выражениями:
Р = Р + Р ■ Р = Р + Р ■
г1 г1з г1с ' вт1 вт1з вт1с '
где Рг1з и Рг1с - мощности потерь на гистерезис в зубцах и спинке
статора; Рвт1з и Рвт1с - мощности потерь на вихревые токи в зубцах
и спинке статора.
Мощности потерь в участках магнитопровода статора
Рг1з _ кц3 г / В2 тъ ; Рае _ кг1сг / В>1с;
Рвт1з _ квт1з 15СЭ ^^ В12з т13 ; Р^ _ кВстю ,
где кг1з, кг1с, квт1з, квт1с - коэффициенты увеличения потерь на
гистерезис и вихревые токи в зубцах и спинке статора в связи с вращательным перемагничиванием, нарушением изоляции и наличием механических повреждений; 8, С - удельные потери на гистерезис и вихревые токи при переменном перемагничивании на частоте 50 Гц и индукции 1 Тл; В1з, В1с - амплитудные значения магнитной индукции
зубцов и спинки статора; т1з, т1с - массы спинок и зубцов магнитопровода статора; - частота тока в фазах обмотки статора. Для мощности п отерь в стали статора запишем: Р _ Р + Р
г 01 г г1 ^ г вт1 ■
Аналогично производится расчет мощности потерь в стали ротора. Предполагаем, что активные сопротивления фаз эквивалентных обмоток потерь в стали статора и ротора намного больше индуктивных. Активные сопротивления этих обмоток определяем по формулам
й _ 3 _ 3 (4,44/1коб1 н>,Ф)2; ш Р Р ' [г>
Г 01 Г 01 й _ 3 ЕЧ _ 3 (4,44/^1 ^Ф)2
Г 02 Г 02 где Е1 - действующее значение ЭДС фазы обмотки статора; Ф - амплитуда основного магнитного потока; коб1 - коэффициент обмотки
статора; - число витков фазы обмотки статора; Е2 - приведенное к статору действующее значение ЭДС фазы обмотки ротора; £ -скольжение.
С использованием методик расчета, приведенных в [1, 2], произведен расчет зависимостей мощностей потерь в магнитопроводах статора
и ротора двигателя АИР80А6У2 от частоты, которые приведены на рис. 2.
Рис. 2. Зависимости мощностей потерь в магнитопроводах
двигателя АИР80А6У2 от частоты а) - статора; б)- ротора
обмотки потерь в стали статора от частоты
Выполнив некоторые преобразования, можем записать: ~ а\/\ . ~ а2-/2
К'т = -' К2т - ■ (4)
ЬгА + с1 Ь2/2 + с2
Выражения (3) позволяют произвести расчет зависимостей активных сопротивлений фаз эквивалентных обмоток потерь в стали
статора Я1т и ротора К2т от частоты. Отметим, что для расчета Я2т по (4) необходимо располагать информацией о скольжении ж ■
Зависимость К1т = / (/) в относительных единицах приводится на рис. 3. Аналогичный характер будет иметь зависимость
~2т = / (Л ) ■
Ьг
Соотношение — в (4) определяет соотношение между потерями
от вихревых токов Рвт1 и потерями от гистерезиса Рг1. При /г сопротивление фазы эквивалентной обмотки потерь в стали статора
~ ~ а
стремится к отношению К1 = К1 ш = — . Аналогично для ротора.
Значения мощностей потерь и сопротивлений фаз эквивалентных обмоток потерь в стали для номинального режима приводятся в табл. 1.
Таблица 1
Наименование величин и параметров, единицы измерения Обозначение Значение
Номинальное скольжение, о.е. 0,08
Частота, Гц /14 50
/2н 4
Мощности потерь в статоре, Вт Р г1 23,08
Р вт1 14,98
Р01 38,06
Мощности потерь в роторе, Вт Р г2 1,12
Р 2 вт2 0,05
Р Г 02 1,17
Сопротивление фазы эквивалентной обмотки потерь в стали статора, Ом К1т 3381
п 1тю 8609
Сопротивление фазы эквивалентной обмотки потерь в стали ротора, Ом К2т 716
п 2тю 1307
При переходе к ОЭМ условимся соблюдать следующие принципы:
1) эффективное число витков фазы обмотки обобщенной машины равно эффективному числу витков фазы обмотки трехфазного АД;
2) результирующая мДс, создаваемая двухфазной обмоткой ОЭМ, должна быть равна результирующей МДС, создаваемой трехфазной обмоткой АД;
3) ток нулевой последовательности обобщенной машины определяется как ток в нейтральном проводе трехфазной машины.
При соблюдении этих принципов между величинами и параметрами ОЭМ и трехфазного АД выполняются соотношения, приведенные в [3]. Аналогичные соотношения справедливы для эквивалентных обмоток потерь в стали.
Пространственная модель обобщенной машины с учетом потерь в стали в осях б, щ показана на рис. 1 б. Система координат б, щ вращается с угловой скоростью Ш1. Разность угловых скоростей Ю1 и ш будем рассматривать как угловую скорость скольжения ш2 .
С учетом перечисленных ранее принципов и предположений получим систему уравнений ОЭМ с учетом потерь в стали:
ЛФа „ (и, ( _ , . \
иы = ++11с & - ш 1(^Ф,+ь1С%)
ЛФа , ч
«1« = Чч + + + ш 1 (^Ф л + 11С11Л )
(Ф (1 ( \
О = ^212( + + ^С-Щ- - ш 2 КФ, + 4с 12„ )
(Фа м2а ( ,
0 = й2 + + + Ш 2 (^уФ ( + КС 12( ) -- ЛФ,, ~ (и , I ~ ~ \
0 = й ^ + + -Ш1М, + ) (4) 0 = й % + + + ш 1КФ ( + А. ка )
____(Ф ~ (11 ~ ~ \
0 = ^2 ¡2( + + - Ш 2 , + 4* % ) ~ ~ (Фа ~ а2а ( ~ ~ \
0 = й2 ^ + + + Ш 2 а + К2С Ьа)
/,^- А (М.)
где ига , и1д - напряжения фаз статора; I
гл ■ •
"гл.
12 - токи фаз
статора и ротора; ц
1Л • ^1q •
чл
1.2q - токи фаз эквивалентных обмоток
потерь в стали статора и ротора; w^ - эффективное число витков фаз
обмотки статора, эквивалентной обмотки потерь в стали статора, приведенной обмотки ротора, приведенной эквивалентной обмотки потерь
в стали ротора; Фа, Фq - компоненты основного магнитного потока по осям б, д; Яг, Я2 , , Ьга - активные сопротивления и индуктивности от потоков рассеяния фаз обмоток статора и ротора; , К2 ,
Ь1а, Ь2а - активные сопротивления и индуктивности от потоков рассеяния фаз эквивалентных обмоток потерь в стали статора и ротора; - момент инерции подвижных частей; р~ - число пар полюсов;
М\ - электромагнитный момент; Мй - статический момент. Запишем уравнение электромагнитного момента:
Мэ = Рп wэ (фл + ~ )- Фq (Ы + ~Ы )) .
(5)
Для записи уравнений относительно МДС и основного магнитного потока рассмотрим схему замещения магнитной цепи ОЭМ, приведенную на рис. 4.
ВС - векторный сумматор; МП - магнитопровод Рис. 4. Схема замещения магнитной цепи обобщенной машины
4%
ф„
о
кДХ Ча
ф/
фа фа
Рис. 5. Пространственная векторная диаграмма МДС и магнитных потоков
По продольной и поперечной осям (на один воздушный зазор) действуют МДС, первые гармоники которых имеют следующие амплитудные значения
ра = 2 ^ + г2( + + ); (6)
V = 2 ^ ^ + ^ + ~ + ). (7)
где ^ - число витков фазы синусной обмотки статора или ротора ОЭМ.
МДС Ра и ^ создают продольный Фа и поперечный Ф магнитные потоки, которые преодолевают сопротивление воздушного зазора Л5. На расточке статора по осям б, щ создаются соответственно
амплитуды магнитного напряжения стали V2(, Vщ . Благодаря синусоидальному распределению магнитной индукции вдоль воздушного зазора амплитуда магнитного напряжения стали, величина основного магнитного потока и амплитуда результирующей МДС определяются равенствами:
V = Vи2ы + и2щ ; Ф = ^Ф2 +Ф2 ; V = ^+ р/ .
Основной магнитный поток Ф имеет направление, совпадающее с направлением вектора магнитного напряжения стали V2, и величину, являющуюся нелинейной функцией от и2. Компоненты магнитного потока Ф по осям б, щ определяются равенствами
Ра Рд
Ф =—^ Ф ; Ф =—Ч- Ф
Л р « р
На рис. 5 показана пространственная векторная диаграмма МДС и магнитных потоков. Условимся, что вектор основного магнитного потока
Ф имеет направление под углом р по отношению к оси фазы А1 статора. Ось б находится под углом а1 по отношению к оси А1. Поэтому
положение вектора Ф относительно оси б можно характеризовать углом у, который представляет собой разность углов в и а1. Предполагается, что магнитные сопротивления зазора по осям б и щ равны. Видно, что направления векторов Ф , р и и2 совпадают.
В уравнениях системы (4) фигурируют производные по времени от компонент магнитного потока Ф. Для них справедливы следующие равенства
йг
Ф йг
дФ й. дФ й¥а
д¥л йг дГ« йг дФ йГ дФ йГ
^^ й + Ч Ч
д¥а йг
дГ« йг
Продифференцировав равенства (6), (7), получим:
йГа - Г й\ , й!2й + й!2й 1
йг 2 V йг йг йг йг )
й.« Г й!1 « , й!2« , й~2« ]
йг 2 йг йг йг
(9)
(10)
(11)
Найдем частные производные
дФ й = ф + йФ
д.Г Г2 Г Г2 йГ
дФ1 д.
Г. (йФ Ф^
йГ Г
Г2
дФ
дФ„
Г Г ^
1 й1 Ч
йФ Ф
йГ Г
. = П Ф+И йФ
д. Г2 Г Г2 йГ
(12)
(13)
Подставляя выражения (10) - (13) в равенства (8), (9) получаем
йФй йг
Гр1 Ф+Ц йФ)
Г2 Г Г2 йГ 2 .
V У Ч
+ -
12й
+ ■
1й
+ -
йг йг йг йг
+
+
( йф е ws
Г йГ г У 2 V
й1 йк йи_ й!
4«
2«
+ -йг йг
+ -
1«
йФ,
г.
йФ Ф йГ Г
+
га2 ф г «2 йф л w/
2 -+- 2
Г2 Г Г2 йГ
2
й!
1й
1«
йг й!
+ -
йг й!
+ -
2«
йг
2й
+ -
2«
йг й!
+ ■
+ -
1«
йг й!
+ ■
2й
йг
+ ■
2«
йг йг йг йг
(14)
+
(15)
Обозначим через Лс и Лд статическую и дифференциальную магнитные проводимости, приходящиеся на один воздушный зазор
2
2
2
и ф
Л = F
Л =
йф
dF
Дифференциальная магнитная изменение величины вектора ф,
(16)
проводимость учитывает
а статическая магнитная
проводимость - изменение вектора Ф при его вращении с сохранением величины. Изменения компонент магнитного потока связаны с изменениями МДС следующими выражениями:
ЛФй =AdAFd; Афч = AcAFq.
На основании векторной диаграммы (см. рис. 5) можем записать F F 1
-«л . q А
cos у =
F
sin y = —; —sin2v = F 2
FdFq
F2
ф dt
Тогда уравнения (14), (15) примут вид
/
= (л sin2 y + Лд cos2 y)—
2
+
"2d
+
Id
+
2d
dt dt dt dt
+
+
sin 2y
(Л -Лс)
w 2
di dL di di
iq
+ ■
2q
+ ■
iq
+ ■
2q
dt dt dt dt
(17)
dФq sin 2y
dt
(Л -Лс) W-
2
di di
4d
+ ■
2d
+ ■
di di
Id
+ -
2d
dt dt dt dt
+ (Лс cos2 y + лд sin2 y)—
dL dL di di
iq
+ ■
2q
+ ■
iq
+ ■
2q
+
(18)
2 dt dt dt dt
v у
Подставляя (17), (18) в уравнения системы (4), получаем систему
дифференциальных уравнений относительно токов i
Id '
llq ' 2d ' 2q '
1и , , 12Л , 12? . Видно, что в каждое уравнение входят производные
от всех восьми токов. При численном решении их можно найти из системы (4), (17), (18), рассматривая ее сначала как систему линейных алгебраических уравнений относительно этих производных.
Таким образом, система уравнений (4), в совокупности с (1), (16) -(18), представляют собой математическую модель ОЭМ с учетом нелинейности магнитопровода и потерь в стали. Выполняя обратное преобразование координат, получим фазные токи и напряжения трехфазного АД.
2
2
С использованием предлагаемой математической модели проведено компьютерное моделирование электромагнитных и электромеханических процессов, а также расчет рабочих характеристик обобщенной машины на базе двигателя АИР80А6У2. Аппроксимация экспериментальной кривой Ф = f (р) осуществлялась функцией (1). На
рис. 6 показаны кривые Ф = f (р), Лс = f (р) и Лд = f (р).
Рис. 6. Зависимости Ф = f (F), Лc = f (F) и Ла = f (F)
На рис. 7 приводятся рабочие характеристики, полученные с помощью компьютерного моделирования и экспериментального исследования. Цифрой 1 обозначены характеристики, полученные с помощью математической модели АД в фазных осях без учета насыщения [4 - 6], цифрой 2 - характеристики, полученные с помощью предлагаемой математической модели, а цифрой 3 - экспериментальные характеристики. Отметим, что при моделировании использовались параметры двигателя АИР80А6У2, представленные изготовителем. Экспериментальные исследования проводились с использованием пакета
Power Graph 3.3.
Проведем анализ точности математической модели с учетом нелинейности магнитопровода. В качестве эталона рассматриваются результаты эксперимента.
Сравнительный анализ кривых фазного тока показывает, что в переходных процессах погрешность не превышает 1,5 %, а в установившемся режиме - 0,15 %. Анализ кривых электромагнитного момента, мгновенной потребляемой мощности и частоты вращения
ротора показывает, что наибольшие отклонения кривых наблюдаются при переходе от начального этапа пуска к установившемуся режиму и не превышают 2,5 %; 2 % и 0,35 % соответственно. После перехода в установившийся режим значения погрешностей не превышают сотых долей процента.
т|,о.е.
0,75
0,25
1 1 3 2,3
12
му
___; и 13
1,2,3
1125
750
375
375 750 РЪ Вто
г)
Рис. 7. Сравнительный анализ рабочих характеристик двигателя АИР80А6У2 а) - потребляемая активная мощность; б) - ток статора; в) - КПД и коэффициент мощности; г) - момент на валу и частота вращения ротора
Результаты сравнительного анализа рабочих характеристик (см. рис. 7) показали, что при использовании математической модели с учетом нелинейности магнитопровода и потерь в стали максимальная относительная погрешность по току статора, коэффициенту полезного действия и частоте вращения ротора не превышает 0,5 %, по потребляемой активной мощности и коэффициенту мощности не превышает
1 %. Относительная погрешность по моменту на валу не превышает 0,1 %.
Таким образом, применение математической модели ОЭМ с учетом нелинейности магнитопровода и потерь в стали позволило существенно повысить точность моделирования электромагнитных и электромеханических процессов в трехфазном АД. Результаты компьютерного моделирования позволяют предположить, что использование предлагаемой математической модели позволит реализовать более эффективные с точки зрения энергосбережения алгоритмы управления частотно-регулируемого электропривода с АД.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шуйский В.П. Расчет электрических машин/В. Шуйский; пер. с нем. - Л.: Энергия, 1968. - 732 с.
2. Гольдберг О.Д. Проектирование электрических
машин/О.Д. Гольдберг, Я.С. Гурин, И.С. Свириденко. - М.: Высшая школа, 2001. - 430 с.
3. Макаров В.Г. Применение теории обобщенной электрической машины к трехфазному асинхронному двигателю//Известия вузов: Проблемы энергетики, 2009, № 11-12. С. 84-97.
4. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин. - М.: Высш. шк., 2001. - 327 с.
5. Уайт Д., Вудсон Г. Электромеханическое преобразование энергии. - М., Л.: Энергия, 1964. - 528 с.
6. Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины. - М.: Энергия, 1980. - 928 с.
УДК 681.5.015
Макаров В.Г.
(Казанский государственный технологический университет, г. Казань, electroprivod@list.ru)
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ И ТОКОВ РОТОРА ТРЕХФАЗНОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ
Для эффективного управления асинхронным двигателем (АД), работающим в составе частотно-регулируемого электропривода, необходимо располагать информацией о текущих значениях параметров схемы замещения фазы и нагрузки. Параметрами Т-образной схемы замещения фазы АД являются: активные сопротивления и индуктивности фаз обмоток статора и ротора, а также взаимная индуктивность. К параметрам нагрузки относятся суммарный момент инерции подвижных частей и статический момент. Для идентификации необходимо располагать информацией о токах ротора.
