CC BY
71
УДК 621.313.001, 621.313.3
В. Г. Макаров, А. Ю. Афанасьев, В. А. Матюшин
АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТРЕХФАЗНОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ МАГНИТОПРОВОДА
Ключевые слова: трехфазный асинхронный двигатель, обобщенная электрическая машина, математическая
модель, нелинейность магнитопровода.
Одним из основных допущений для обобщенной электрической машины является предположение об отсутствии насыщения магнитопровода. Предлагается методика формирования математической модели обобщенной электрической машины с учетом нелинейности магнитопрово-да. Проведено компьютерное моделирование процессов электромеханического преобразования энергии в трехфазном асинхронном двигателе. С помощью экспериментального исследования показано, что применение предлагаемой модели позволяет существенно повысить точность расчетов.
Key words: the three-phase asynchronous motor, the generalised electrical machine, mathematical model, nonlinearity
magnetic system.
Among traditional for the generalised machine assumptions there are assumptions about absence magnetic system of saturation and losses in a steel. The technique of creation of mathematical model of the generalised electrical machine taking into account nonlinearity magnetic system with reference to the three-phase asynchronous motor is offered. Computer simulation of processes of electromechanical conversion of energy in the asynchronous motor is fulfilled. It is shown that application of mathematical model with the account nonlinearity magnetic system allows to raise essentially accuracy of calculations at simulation.
В системах частотного регулирования скорости асинхронного двигателя (АД) широко используются математические модели обобщенной электрической машины (ОЭМ). Одним из основных допущений при создании математической модели ОЭМ является предположение об отсутствии насыщения магнитопровода. В [1 - 5] приводятся математические модели АД с учетом нелинейности магнитопровода, записанные с позиций теории ОЭМ. По-существу в перечисленных работах используется линейная математическая модель ОЭМ с переменной индуктивностью, что не совсем корректно. Предлагается осуществлять переход к ОЭМ при сохранении амплитуды результирующей МДС и величины магнитного потока, приходящегося на один полюс. С помощью функции, аппроксимирующей кривую намагничивания, определяются дифференциальная и статическая магнитные проводимости, которые используются при записи уравнений магнитной цепи.
На рис. 1 представлена пространственная модель трехфазного АД с приведенной к статору обмоткой ротора, где оси фаз статора обозначены А1, В1, С1, а оси фаз ротора - А2, В2, С2. Система координат ротора вращается относительно системы координат статора с угловой скоростью Ш, их взаимное расположение характеризуется электрическим углом а между одноименными осями.
Для учета нелинейности магнитопровода предполагаем, что основной магнитный поток и результирующая МДС связаны нелинейной зависимостью - кривой намагничивания. Чтобы аналитически задать зависимость Ф = Г (Я), можно воспользоваться выражением вида:
Введение
Методика исследования
где а, b, c, F0 - эмпирические константы.
Согласно теории трансформатора предполагаем, что магнитный поток, сцепленный с каждой фазой, состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое - это проекция вектора основного магнитного потока на ось фазы, а второе - магнитный поток рассеяния, пропорциональный соответствующему току. [6]
Рис. 1 - Пространственная модель трехфазного асинхронного двигателя
В таком случае уравнения баланса напряжений АД будут иметь вид:
с1Ф\й СФ 2А
и1А = И1т >1А + ™ э с ; 0 = И 2т 12 А + ™ э ^ ;
СФш СФ 2В
и1В = И1т '1В + ™ э^СТ~; 0 = И 2т12В + ™ э ^ ;
СФо СФ 2С
и1С = И1т 40 + ™ э^СТ~; 0 = И 2т12С + ™ э-СТ",
где и1А, и1В , и1С, 11Д, 11В, ¡1С - напряжения и токи фаз обмотки статора; ¡2А , ¡2В , 12С - токи фаз
обмотки ротора; Ф1А, Ф1В, Ф1С, Ф 2А, Ф 2В, Ф 2С - магнитные потоки фаз обмотки статора и
ротора; К1т, К2т - активные сопротивление фаз обмотки статора и ротора трехфазного АД; wэ - эффективное число витков фазы обмотки статора и приведенной обмотки ротора. Переход к ОЭМ осуществляется при традиционных допущениях [1, 7].
Кроме того, при переходе к обобщенной машине условимся соблюдать следующие принципы:
1) эффективное число витков фазы обмотки обобщенной машины равно эффективному числу витков фазы обмотки трехфазного АД;
2) результирующая МДС, создаваемая двухфазной обмоткой ОЭМ, должна быть равна результирующей МДС, создаваемой трехфазной обмоткой АД;
3) ток нулевой последовательности обобщенной машины определяется как ток в нейтральном проводе трехфазной машины.
Система координат ё, д вращается с угловой скоростью и>1. Разность угловых скоростей и>1 и ш будем рассматривать как угловую скорость скольжения ш2, а разность углов а1 и а - как угол скольжения а2.
Система уравнений обобщенной электрической машины будет иметь вид:
d0d di\d
u1d = R1i1d + wэ ^ + L1o^T- Ш1 lwэф^ + L1oi1q
dt
d<í>
u1q = R1i1q + w э di + L1o 1 + ^1( э^ + L1o i1d)
dt
di1q
dt d&d
0 = R2i 2d + w Э~^Г + L20
dФ
0 = r2 i 2q + w э
dt
di 2d dt
di 2q
- Ш2 Ц э^ + L2oi 2q
dt
q + L20~d¡q + Ш2(^Wd + L2oi2d )
JI d¡t ~ рп ( - MC )
мэ = pnwэу^^ - Фqi1d,
где U1d, U1q - напряжения фаз статора; , i1q, i2d, i2q - токи фаз статора и ротора; Ф d,
Ф q - компоненты основного магнитного потока по осям d, q; R1, R2, L10, L20 - активные сопротивления и индуктивности от потоков рассеяния фаз обмоток статора и ротора; J^ - момент инерции подвижных частей; Рп - число пар полюсов; Мэ - электромагнитный момент; М с - статический момент.
Для записи уравнений относительно МДС и основного магнитного потока рассмотрим схему замещения магнитной цепи ОЭМ, приведенную на рис. 2.
Рис. 2 - Схема замещения магнитной цепи обобщенной машины: ВС - векторный
сумматор, МП - магнитопровод
Рис. 3 - Пространственная векторная диаграмма МДС и магнитных потоков
По продольной и поперечной осям (на один воздушный зазор) действуют МДС, первые гармоники которых имеют следующие амплитудные значения
Fd =2 w sin (d + í 2d); Fq =2 w sin ( +í 2q I (3)
где Wsin - число витков фазы синусной обмотки статора или ротора обобщенной электрической машины.
Число витков w sin и эффективное число витков w э связаны между собой посредством обмоточного коэффициента синусной обмотки
wsin
w-
п
ksin ’
ksin _ 4 _ 0,7854 .
МДС И Гц создают продольный Ф с и поперечный Ф ц магнитные потоки,
которые преодолевают сопротивление воздушного зазора . На расточке статора по осям Ь,
q создаются соответственно амплитуды магнитного напряжения стали исС, ^сц . Благодаря
синусоидальному распределению магнитной индукции вдоль воздушного зазора амплитуда магнитного напряжения стали, величина основного магнитного потока и амплитуда результирующей МДС определяются равенствами:
Основной магнитный поток Ф имеет направление, совпадающее с направлением вектора магнитного напряжения стали и с и величину, являющуюся нелинейной функцией от
и с . Компоненты магнитного потока Ф по осям Ь, q определяются равенствами
Гб ГЦ
ф с = Г ф ; Фц = Г ф .
Полная МДС определяется равенством
Г = и1 + Ф + и2 = ис + Ф,
где и\, и2 - векторы магнитных напряжений статора и ротора.
На рис. 3 показана пространственная векторная диаграмма МДС и магнитных потоков. Условимся, что вектор основного магнитного потока Ф имеет направление под углом в по
отношению к оси фазы Л\ статора. Ось ё находится под углом а\ по отношению к оси Л\.
Поэтому положение вектора Ф относительно оси ё можно характеризовать углом Y, который представляет собой разность углов в и а\. Предполагается, что магнитные сопротивления зазора по осям Ь и q равны. Видно, что направления векторов Ф , Г и и с совпадают. Продифференцировав равенства (3), получим:
СГ=(С = ™в1п (С/1С + с/24 ). СГц = ™в1п (С/1ц + С/2ц ) (4)
СИ 2 ( СИ С ’; СИ 2 ( сН С ’ ()
Рассматривая схему замещения (см. рис. 3), запишем равенства
Найдем частные производные
¿ФС Гц Ф ¿Ф ¿ФС ГбГЦ ¿Ф Ф
“Г2Г+Г2 ¿Г ’ бГц ~ Г2 (¿Г " Г; (5)
СФц ГбГц (¿Ф Ф СФц Ф ¿Ф
~ Г2 {гСГ" г’ ~~/Г2 7+~1Г2 СГ' (6)
Для производных по времени от компонент магнитного потока Ф справедливы равенства
СФС СФС ¿ГС СФС ¿Гц бФц бФц СГС ¿Фц бГц
~СТ ~ +~СГЦ~СГ’ ~СТ ~ +~СРЦ~СГ'
Подставляя в эти равенства выражения (5), (6) получаем уравнения
СФс = (рц[ф + СФ,^ц СФ Ф.СГц. (7)
М (Г2 Г Г2 ¿Г ’ С р2 1 сСГ " а ; ()
127
cWq _ FdFq ^ 0dFd_ + (^Ф + F^dO^dFq (8)
dt F 2 (dF " Fj dt (F 2 F F 2 dFj dt . ()
Равенства (7), (8) с учетом равенств (4) можно представить в виде
22
сФС _ (Ф + 'd с/Ф. wsin (di1d + di2d . + dt (F 2 F F 2 dFj 2 ( dt dt j
+ FdFq сФ Ф .wsin (di1q + di2q .;
F 2 (dF " F ’ 2 ( dt dt ;; ( )
^q _ FdFq СФ Ф. wsin (di1d + di2d . + dt F 2 (dF " F. 2 ( dt dt ;
+ /¿Ф + Fq СФ .wsin (di1q + di2q (10)
(F 2 F F 2 dF. 2 ( dt dt .. ( )
Обозначим через Л c и Лд статическую и дифференциальную магнитные
проводимости, приходящиеся на один воздушный зазор
Ф СФ
Лс _ F. Лд = dF • (11)
На основании векторной диаграммы (см. рис. 3) можем записать
Fd Fq 1 FdFq
cos к = f ; sin к = f ; ^ sin 2/ = . (12)
Тогда уравнения (9), (10) примут вид
d°d _ (Л sin2 к , Л cos2 к.wsin (di1d + di2d
= (Лc sin к + Л n cos к)--------(-------1-----) +
dt к c к д 2 v dt dt ’
sin2k,a a Nwsin ,di1q , di2q
2 (Лд -Лc) 2 ( dt dt
+ -(Лд - Лc)-2 (~dT + ~7T); (13)
dфq sin2к a n wsin (dí1d , dí2d л ,
di “ 2 (ЛД'Лc) 2 ( dt dt ) +
+ (Лc cos2 y + Лд sin2 y)W2a(_dq + ~с2^). (14)
Подставляя (13), (14) в уравнения системы (2), получаем систему дифференциальных уравнений относительно токов í 1d , í 1q, í2d, í2q . Видно, что в каждое уравнение входят
производные от всех четырех токов. При численном решении их можно найти из системы (2), (13), (14), рассматривая ее сначала как систему линейных алгебраических уравнений относительно этих производных.
Другой путь решения связан с поиском производных от магнитных потоков. Запишем (13), (14) в виде
сфС g (dild + di2d , (d'lq , dí2q ) (15)
~dT - 91(~dT+“dT)+h1^-dT+~dT) ■ (15)
бФд = 9 (б1б+бі26)+ь (б1д+бі2д) (16)
а 9 2 ( а бі ) 2 ( бі бі ) ■ ( )
Выразим производные от токов из уравнений системы (2)
біа 1 . ( ^ \ бФб
= ~ц0(и1б - ^1і1б + Ш1\мэФд + Л1оі1д )- Цэ бі )
бі1д 1 / .ч бФд
=ліо ^иід- ^д- шім (б+ліо ііб)-м э -)
^ Л20 ("Н2І 2б + ш2(( эф д + Л2оі 2д)-м э“^“)
(17)
б12б 1 / \ бФб
= ^2^ ^'^2/2б + Ш2 ^ эфд + ^2ст/2д) - ^ э ~бГ
б/2д 1 ( ч бФд
~б^~ = ('^2/2д - ^2 (эфб + ^2ст/2б)-)э-^)
Запишем уравнения системы (17) в более компактном виде
б/1б = а ь бфб б/1д = а ь б^д (18)
бt а1- Ь1 б1 ; бt а2- Ь1 бt ; (18)
б/2б с б бфб б/2д с б бфд (19)
= С1-б1“бГ; = с2-б1^г- (19)
Подставляя эти выражения в (15), (16), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно производных от магнитных потоков:
(1 + д1(1 + б1)))б + ^1(1 + б1))д = 91(1 + С1)+ /?1(2 + с 2);
92(Ь1 + б1) Фб + (1 + /72(1 + б1))—зд = 92(а1 + с1)+ ^2(а2 + с2)
бі 1/7 бі
бФб бФд
Решая эту систему уравнений, находим ———, ^ ■ Подставляем полученные
значения в выражения (17) и находим производные от всех токов.
Таким образом, система (17), (13), (14) в совокупности с выражениями (1), (11), (12) и уравнениями движения и электромагнитного момента системы (2) представляют собой математическую модель обобщенной машины в осях ё, q с учетом нелинейности магнитопровода. Выполняя обратное преобразование координат, получим фазные токи и напряжения трехфазного АД.
Основные результаты
С использованием предлагаемой математической модели проведено компьютерное моделирование электромагнитных и электромеханических процессов, а также расчет рабочих характеристик обобщенной машины на базе двигателя АИР80А6У2. Аппроксимация экспериментальной кривой Ф = Ґ(Р) осуществлялась функцией (1). Кривые Ф = Ґ(Р) и Лд = Ґ (Р)
показаны на рис. 4.
Рис. 4 - Зависимости Ф = f (F) и Лд = f (F)
Отметим, что при моделировании использовались параметры двигателя АИР80А6У2, представленные изготовителем. Экспериментальные исследования проводились с использованием пакета Power Craph 3.3.
Проведем анализ точности математической модели с учетом нелинейности магнито-провода. В качестве эталона рассматриваются результаты эксперимента.
Сравнительный анализ кривых фазного тока и мгновенной потребляемой мощности показывает, что они практически полностью совпадают как на начальном этапе пуска, так и в установившемся режиме. Наибольшие отклонения кривых наблюдаются при переходе от начального этапа пуска к установившемуся режиму. Наибольшие отклонения кривых частоты вращения ротора при пуске без нагрузки составляют 3,84%, а при пуске с номинальной нагрузкой - 9,61%. В установившемся режиме с номинальной нагрузкой отклонения кривых мгновенной мощности составляют 7,75%. Кривые частоты вращения полностью совпадают после перехода в установившийся режим.
Результаты сравнительного анализа рабочих характеристик показали, что при использовании математической модели с учетом нелинейности магнитопровода максимальная относительная погрешность по току статора, коэффициенту полезного действия и частоте вращения ротора не превышает 0,5%, а по коэффициенту мощности и потребляемой активной мощности не превышает 1%. Относительная погрешность по моменту на валу равна нулю.
Таким образом, применение математической модели обобщенной электрической машины с учетом нелинейности магнитопровода позволило существенно повысить точность моделирования электромагнитных и электромеханических процессов в трехфазном асинхронном двигателе. Результаты компьютерного моделирования позволяют предположить, что использование предлагаемой математической модели с учетом нелинейности магнитопровода позволит реализовать более эффективные с точки зрения энергосбережения алгоритмы управления частотно-регулируемого электропривода с асинхронными двигателями.
Выводы
1. Для построения математической модели трехфазного асинхронного двигателя с учетом нелинейности магнитопровода целесообразно использовать математический аппарат теории обобщенной электрической машины.
2. Для сохранения величины основного магнитного потока необходимо сохранить эффективное число витков и результирующую МДС трехфазного асинхронного двигателя и обобщенной электрической машины.
3. Применение теории трансформатора является продуктивным при анализе многофазной электрической машины.
4. Применение разработанной математической модели позволит повысить точность моделирования процессов электромеханического преобразования энергии, а также реализовать более эффективные с точки зрения энергосбережения алгоритмы управления частотнорегулируемыми электроприводами с асинхронными двигателями.
Литература
1. Копылов, И.П. Математическое моделирование электрических машин / И.П. Копылов. - М.: Высшая школа, 2001. - 327с.
2. Браславский, И.Я. Энергосберегающий асинхронный электропривод / И.Я. Браславский, З.Ш. Ишма-тов, В.Н. Поляков. М.: Академия, 2004. - 256 с.
3. Виноградов, А.Б. Векторное управление электроприводами переменного тока / А.Б. Виноградов. Иваново, ИГЭУ, 2008. - 320 с.
4. Иванов-Смоленский, А.В. Электрические машины. М.: Энергия, 1980. - 928 с.
5. Макаров, В.Г. Моделирование и исследование электроприводов. Ч.1. Разомкнутые системы электропривода. Казань: Казан. гос. технол. ун-т, 2005. - 260 с.
6. Макаров, В.Г. Анализ методов учета нелинейности магнитопровода и потерь в стали в математической модели асинхронного двигателя / В.Г. Макаров, В.А. Матюшин // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2010. - №11. - С. 171-179.
7. Афанасьев, А.Ю. Моментный электропривод / А.Ю. Афанасьев. Казань, Изд-во Казан. гос. техн. унта, 1997. - 250 с.
© В. Г. Макаров - канд. техн. наук, доц., зав. каф. электропривода и электротехники КГТУ, electroprivod@list.ru; А. Ю. Афанасьев - д-р техн. наук, проф. каф. электрооборудования КГТУ им. Туполева; В. А. Матюшин - студ. КГТУ.
