Математическая модель процесса обжарки каштанов перегретым паром Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информационные технологии, моделирование и управление

УДК 519.673, 664.649

Профессор А.Н. Осгриков, студент И.Н. Столяров

(Воронеж. гос. ун-т инж. технол.) кафедра процессов и аппаратов химических и пищевых производств, теп. (473) 255-38-87

Математическая модель процесса обжарки каштанов перегретым паром

Выполнено математическое моделирование процесса обжарки каштанов перегретым паром. Для описания процесса применены коэффициенты диффузии и термодиффузии. Заданы начальные и граничные условия третьего рода для уравнений теплопроводности и массопереноса.

The mathematic modeling for chestnuts roasting process by superheated steam is conducted. Diffusion and thermal diffusion coefficients are used for process description. Initial conditions and boundary conditions of the third kind for thermal conductivity and mass transfer equations are set.

Ключевые слова: математическая модель, обжарка, каштаны.

Для получения полной картины протекания процесса обжарки, инженерных расчетов и проектирования оборудования важно создание математической модели. Определение рациональных параметров обжарки дает возможность интенсифицировать процесс и снизить энергозатраты.

Рассмотрим математическую модель процесса обжарки перегретым паром плодов каштана европейского, разрезанных на кубики с размером а = 3...5 мм. Она может быть рассмотрена для слоя частиц, имеющих форму куба с эквивалентным диаметром йэке. Принимая это допущение, эквивалентный диаметр частицы определяем по формуле:

й = 2а 3 — , (1)

э*в "V 4%

где ач - линейный размер частицы каштана, м.

Основной задачей изучения теплопроводности и диффузии влаги является изучение пространственно-временного изменения температуры и влагосодержания или температурного поля и поля влагосодержания соответственно в объеме слоя частиц каштана.

© Остриков А.Н., Столяров И.Н., 2013

Теплоноситель, перегретый пар, представляет собой среду процесса обжарки, температура которой принимается постоянной Т = 473 К. Частицы каштана в начале процесса обжарки имеют начальную температуру Тн, К, и влагосодержание ин, кг/кг, равномерно распределенные по объему частицы.

Рассматриваемый процесс обжарки частиц каштана является типичным нестационарным. В условиях взаимодействия частиц твердой фазы с теплоносителем изменяются концентрация влаги и температура в каждой частице как по координатам, так и по времени. Средняя по объему частиц концентрация распределяемого вещества, характеризуемая влагосодержанием, кг влаги/кг продукта, и температура в каждый момент времени определяются интегралами:

и («=У /и (х ,т) ау,

(V)

Т(т) = V | Т(X,т)йУ , (2)

У (У)

где У - объем частиц, м3; X = (х, у, г)- координата точки в объеме частиц; V— влагосодержание, кг/кг; Т — температура, К.

Поскольку распределение температуры и влагосодержания является постоянным по длине и ширине слоя продукта, то координата точки определяется ее высотой: X = х .

Рассмотрим процессы теплопереноса от перегретого пара к слою продукта и влагопере-носа, протекающего в обратном направлении.

Коэффициент диффузии влаги (коэффициент потенциалопроводности переноса влаги, коэффициент турбулентной температуропроводности), м2/с, вычисляется аналогично коэффициенту температуропроводности:

а = -

X

пг

с р

пг'

(3)

где Хт - коэффициент влагопроводности (турбулентная теплопроводность), (м-с)"1; ст - коэффициент массоемкости, кг-1.

Коэффициенты диффузии ат и термодиффузии аТт влажных тел связывает относительный коэффициент термодиффузии [1, 2]:

Т

8 = ат

(4)

Величины ат и 3 являются функциями влагосодержания и температуры [1, 2]. Рассмотрим частицу каштана как коллоидное капиллярно-пористое тело; связанное вещество жидкость - пар.

а = а + а , т тсар тк (5)

Т Т Т а = а + а . т тсар тк (6)

8 ■ а +5, ■ а к

сар тсар к тк (7)

а + а , тсар тк

5 =

До достижения продуктом температуры 373 К (до перехода влаги из жидкого в газообразное состояние) удельная теплоемкость вычисляется по формуле:

а после:

(8) (9)

где с0 - удельная теплоемкость абсолютно сухого продукта, Дж/(кг-К); с1 - удельная теплоемкость пара, Дж/(кг-К); с2 - удельная теплоемкость воды, Дж/(кг-К) (обозначение индексов: / = 1 - парообразная влага; / = 2 -жидкообразная влага).

При описании процесса обжарки каштанов были приняты следующие допущения: частицы каштана рассматриваются в виде куба; геометрическая форма обжариваемого продукта постоянна; начальное распределение темпе-

ратуры и влагосодержания по объему обжари-ваемого продукта постоянны; плотность потока теплоты и массы постоянны; разбиение на зоны позволяет достигать требуемой точности расчета температуры и влажности продукта.

Начальные условия:

(10)

Т(х,т)[ о = 0,0012т4 + 0,0807т3 -( -1,8278т2 + 18,555т + 295,39

и(х,т)| = 8 • 10~5т2 - 0,0195т + 0,6813 (11)

Т (х,т)и=т (12)

и (Х,Т\=0 = ии (13)

Граничные условия третьего рода: для уравнения теплопроводности

дх

=X М

=«(т„ - т )(14)

для уравнения массопереноса

ди

°Х -=Х(г)

—а„

=р(тпр - т )(15)

где а - коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2К); Тпр, Тп - температуры продукта и перегретого пара, К; р - коэффициент массоотдачи, м/с:

Р =

ат

й

(16)

где Ки - критерий Нуссельта; - эквивалентный диаметр частицы каштана, м.

Поскольку течение теплоносителя является ламинарным, то критерий Нуссельта определяется по формуле:

Ш = 0,15Яе Рги 43 Ог

Рг Рг

V ст J

(17)

где Яе - критерий Рейнольдса; Рг - критерий Прандтля; Ргст - критерий Прандтля для теплоносителя при температуре стенки; Ог - критерий Грасгофа; е1 - коэффициент, зависящий от критерия Рейнольдса, линейного размера частицы и ее эквивалентного диаметра.

Рг =

с ц

П' п

X

(18)

где с„ - удельная теплоемкость перегретого пара, Дж/(кг-К); - динамическая вязкость перегретого пара, Пас; Х„ - коэффициент теплопроводности перегретого пара, Вт/(м-К).

а

т

0,1

с = с + си,

С — С0 I С2 и 2 ,

Ог =

а р2

экв г п

Мп

Рп АТ:

2 >п '

(19)

где рп - плотность перегретого пара, кг/м3; рп - коэффициент температурного расширения перегретого пара, К-1; ДТ - разница температур теплоносителя и стенки, К.

Полученная система уравнений (10-15) представляет собой математическую модель процесса обжарки каштанов.

Поскольку в процессе обжарки продукт изменяется в объеме, задачу (14-15) необходимо рассматривать, как задачу с подвижными границами [3, 4]. Вследствие усадки продукта высота его слоя И, м, изменяется в зависимости от времени т, с, по следующему закону:

И = (2-10~6т2 -0,0121т + 30,8)-10~3. (20)

Влагоперенос парообразной (/=1) и жид-кообразной (/=2) влаги описывается следующими соотношениями [1, 2]:

3 = аш,Р0^и - а1, Р0^Т = ~аш,Р0 (¥и + 5г¥Т) / = 1, 2, (21)

а суммарный перенос пара и влаги равен:

1 = З1 + З2 = -атР0^и - аТтР0УТ = = -атР0 (Уи + 5ЧТ)

. (22)

Следовательно, система дифференциальных уравнений массопереноса будет иметь вид:

0и

ро1т-+ 4, (23)

ОТ

0и

Ра^2 = -а/уЗ2 + Л, (24)

ОТ

Суммируя (23) и (24), получаем:

Рс тг = ~а/у З1 - а/у 32, (25)

от

Подставив вместо З1 и З2 соответствующие выражения, получим:

дип

бт

~й/У \_ат1р^и + а11^Т ]"

+й/У [ат2Д^и + ат 2^Т ]

(26)

Дифференциальное уравнение переноса теплоты будет иметь вид:

ВТ

ср, — = а/у (АУТ) + гк- Xс,З,УТ , (27)

С>Т ;

где г12 - теплота парообразования, Дж/(кг-К).

Источник жидкости = Зп определяется из уравнения (25), для чего полагаем

ди1/дт = 0 :

Л = = = З1. (28)

Следовательно:

дТ

сР0 - = (1УТ)+ ^ (29)

+Г12й/У (amlPoVu + атlPoVT) " Е С^Т

г

Для зональной системы расчета [5], когда для каждого интервала (зоны) и и Т коэффициенты переноса А,, ат1, ат2, атт1, аТт2 полагаем постоянными, система дифференциальных уравнений тепломассопереноса будет иметь вид:

■-а„У2и + а1 У2Т = ат [У2и + ^2Т ] (30)

йи йт

^ = ( а+а.1^ 1у2Т+а.1^ У2и -ат I с ) с

УТ

-[(С1ат1 + С2ат2 ) Vu +(С1 ат 1 + ^2 )VT]-

(31)

Так как перенос вещества происходит только в одном направлении, то градиент будет являться дифференциалом по координате х:

аи а Т а

— = ат —- и + ат —- Т = ат

ат ах ах

а ^я а т

—- и + 5—- Т ах ах

(32)

аТ ( ^ гп) а2 ^ г12 а2

— = 1 а + ат1— I—- Т + ат1——г- и -ат \ с) ах с ах

, ч аи / т Т \ аТ

(с1ат1 + С2 ат 2 ) + (С1ат 1 + С2 ат 2

ах

аг (33)

ах

С

Дифференциалы, расписанные через правые конечно-разностные отношения:

ат_тм - т

ат

м

ат_тг+1 - т

ах Ах

ет _ т+1 - 2т + т_1

ах

Ах2

аи _ и1+1 - и,

ат а?

?и _ и,+1 - 2и г + иг-1

Аг2

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

Поставленная задача может быть решена методом конечно-разностной схемы, реализуемым через метод сетки. Это требует разработки программного модуля расчета, что позволяют сделать современные среды, применяемые для моделирования (Maple, MathCAD, Mathlab).

Используя приведенные выше переходы от дифференциальных уравнений к записи уравнений в конечно-разностной форме, исходные дифференциальные уравнения (7), (8) преобразуют к виду:

лп+1,к

■ = a„

i,k+1 2un,k + Un,k-1

+a,

At m Ax2

T Tn,k+1 ~ 2Tn,k + Tn,k-1 _

Ax2 "

k+i - 2un,k + Un,k-1

(39)

Ax2

-a~ +

+ Sa,

Tn,k+1 2Tn,k + Tn,k-1

Ax2

Tn+1,k Tn,k ( , 12 1 Tn,k+1 2Tn,k + Tn,k-1 ,

--- = 1 a + am1— I-—2-+

At l С ) to

+a..

1, Un,k+1 - 2un,k + Un,k-1

Ax2

"(C1am1 + С2 am 2 )

¡,k+1 Un,k I Дт

Ax

T - T

Ln,k +1 1n,k

(40)

i T — T i

T . T \ n,k+1 n,k I Дх

Ax

T - T

1n,k+1 1n,k

где п - шаг разбиения по времени; к - шаг разбиения по координате.

После выражения из уравнений (39), (40) значений влагосодержания и температуры на следующем шаге квантования по времени через предыдущий получим:

1k = Un,k + amdt

Un,k+1 - 2un,k + Un,k-1

dx

T Tn,k +1 2Tn,k + Tn,k-1

(41)

+amdt

dx

т т jJ r12 I Tn,k +1 2Tn,k + Tn,k-1 Tn+1,k = Tn.k + dtI a + am1JJ H-dx2-+

+dtaml ^ Unk+1 ~ 2Un2k + Unk-1 - (42)

с dx

Un,k+1 - Un,k ){Tn,k+1 - Tn,k ) dt

"(С1<

'тГ ^2"m2,

-{C1aTm1 + C2am2 )

dx ) dxc

Tn,k +1 ~ Tn,k *){Tn,k+1 ~ Tn,k ) dt

dx

dxc

В полученных дифференциальных уравнениях температура и влагосодержание представлены в безразмерном виде, т. е. определяются как отношение текущей величины к ее начальному значению (Тя = 293 К; ин = 0,43 кг/кг).

На термодинамические характеристики процесса оказывает влияние температура продукта [1]:

(43)

am = 2,1-10-15 Tlk

ami = 0,3-10-19 T3k

(44)

Зависимости коэффициентов температуропроводности а и теплопроводности X от температуры?7 выведены эмпирически.

Значения теплофизических характеристик каштанов для интервала температур 293...353 К: при uh = 0,43 кг/кг:

к = 0,137 + 0,0002t; (45)

а = (4,08 + 0,0037t)-10~8. (46)

при uK = 0,04 кг/кг (обжаренный продукт):

к = 0,084 + 0,0002t; (47)

а = (3,9 + 0,0036t) -10~8. (48)

Коэффициент am2 и относительный коэффициент термодиффузии 8 от температуры зависит незначительно [6], поэтому в расчетах они приняты постоянными: am2 = 0,4-10-6 м2/с; 8 = 1,149-10"3.

Влагосодержание оказывает незначитель -ное влияние на термодинамические коэффициенты [7], которым можно пренебречь.

Метод конечно-разностной схемы в явном виде реализуется через метод сетки [3, 8]. Суть метода сетки заключается в том, что вся заданная пространственно-временная область разбивается на равные интервалы времени и пространства через выбранные интервалы дискретизации At и Дг, и затем находятся значения интересующего нас параметра в каждом узле сетки. Решение поставленной задачи требует представления исходного дифференциального уравнения в виде конечно-разностных отношений (39), (40).

Значения температуры и влагосодержания на каждом следующем шаге по времени вычисляются по схеме (рисунок 1).

(n,k-1)

(n,k)

(n,k+1)

(n+1, k-1) (n+1,k) (n+1, k+1) Рисунок 1 - Шеститочечная явная схема

u

Задача (41-42) представляет собой краевую задачу тепло- и массопроводности с одной статичной и одной движущейся границей [2, 4] и решена с использованием функциональных преобразований методом конечных разностей [9]. Разработан программный модуль расчета процесса обжарки каштанов перегретым паром в системе МмИсаа 15.

Поверхности, отражающие изменение температуры Т, К, и влагосодержания и, кг/кг, по ходу процесса г, мин, и по слоям продукта, представлены на рисунках 2 и 3.

СЛОЯ %

Рисунок 2 - Поверхность изменения температуры по ходу процесса и по слоям продукта

Рисунок 3 - Поверхность изменения влагосодержания по ходу процесса и по слоям продукта

По сравнительному анализу результа-тов аппроксимации расчетных и экспериментальных данных (рисунки 4, 5) установлено, что их отклонение по абсолютному значению не превышало для температуры 3,5 % и для влагосодержания 11,0 %.

450 К

400 350 ^ 300 250

0 400 800 1200 с 1600

т -—

Рисунок 4 - Термограмма тепломассопереноса при

обжарке каштанов: сравнение расчетных (_) и

экспериментальных (о) данных при обжарке перегретым паром, Тп = 473 К; дк= 9,8 кг/м2; у = 1,3 м/с

0,8 кг/кг

0,6 0,4

0 400 800 1200 c 1600

т-—

Рисунок 5 - Кривая обжарки каштанов: сравнение расчетных (_) и экспериментальных (о) данных при обжарке перегретым паром, Тп = 473 K;

q„= 9,8 кг/м2; v = 1,3 м/с

Таким образом, полученные результаты моделирования с достаточной для инженерных расчетов точностью отражают кинетические закономерности процесса обжарки каштанов перегретым паром как объекта с распределен -ными параметрами и могут быть использованы для анализа протекающих физико-химических изменений, расчета процесса, проектирования обжарочных аппаратов и разработки программно-логических алгоритмов управления технологическими параметрами.

ЛИТЕРАТУРА

1 Лыков, A.B. Тепломассообмен [Текст] / A.B. Лыков. - М.: Энергия, 1978. - 479 с.

2 Лыков, А. В. Теория сушки [Текст] / A.B. Лыков. - М.: Энергия, 1968. - 470 с.

3 Грачев, Ю. П. Моделирование и оптимизация тепло- и массообменных процессов пищевых производств [Текст] / Ю.П. Грачев, А.К. Тубольцев, В.К. Тубольцев. - М.: Легкая и пищевая промышленность, 1984. - 216 с.

4 Остапчук, H.B. Основы математического моделирования процессов пищевых производств [Текст] / Н. В. Остапчук. - Киев: Выща школа, 1991. - 368 с.

5 Самарский, A.A. Численные методы [Текст] / A.A. Самарский, A.B. Гулин. -М.: Наука, 1989. - 432 с.

6Baehr, H.D. Heat and mass-transfer [Text] / H.D. Baehr, K. Stephan. - Berlin: Springer, 2011. - 688 p.

7 Dhole, S.D. Numerical study on the forced convection heat transfer from an isothermal and isoflux sphere in the steady symmetric flow regime [Text] / S.D. Dhole, R.P. Chhabra, V.A. Eswaran // International Journal of Heat and Mass Transfer. -2006. - V. 49. - P. 984-994.

8 Добкин, B.M. Системный анализ в управлении [Текст] / В. М. Добкин. - М.: Химия, 1984. - 224 с.

9 Кондратов, А.П. Основы физического эксперимента и математическая обработка результатов измерений [Текст] / А.П. Кондратов. - М.: Атомиздат, 1977. - 196 с.

REFERENCES

1 Lykov, A.V. Heat-mass-exchange [Text] / A.V. Lykov. - M.: Energiya, 1978. - 479 p.

2 Lykov, A.V. Theory of drying [Text] / A.V. Lykov. - M.: Energiya, 1968. - 470 p.

3 Grachev, U.P. Modeling and optimization of heat- mass-exchange process of food industry [Text] / U.P. Grachev, A.K. Tuboltsev, V.K. Tuboltsev. - M.: Legkaya pishevaya promyshlennost, 1984. - 216 p.

4 Ostapchuk, N.V. Fundamentals of process of food industries mathematic modeling [Text] / N.V. Ostapchuk. - Kiev: Vysha shkola, 1991. - 368 p.

5 Samarsky, A.A. Numerical methods [Text] / A. A. Samarsky, A. V. Gulin. - M.: Nau-ka, 1989. - 432 p.

6 Baehr, H.D. Heat and mass-transfer [Text] / H.D. Baehr, K. Stephan. - Berlin: Springer, 2011. - 688 p.

7 Dhole, S.D. Numerical study on the forced convection heat transfer from an isothermal and isoflux sphere in the steady symmetric flow regime [Text] / S.D. Dhole, R.P. Chhabra, V.A. Eswaran // International Journal of Heat and Mass Transfer. -2006. - V. 49. - P. 984-994.

8 Dobkin, V.M. System analysis in control [Text] / V. M. Dobkin. -M.: Khimiya, 1984. -224 p.

9 Kondratov, A.P. Fundamentals of physical experiment and mathematical processing of measurement results [Text] / A.P. Kondratov. -M.: Atomizdat, 1977. - 196 p.