CC BY
42
УДК 536.24
УРАВНЕНИЕ ОБЩЕГО ДАВЛЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДИФФУЗИОННО-ФИЛЬТРАЦИННОГО ВЛАГОТЕПЛОПЕРЕНОСА В КОЛЛОИДНЫХ КАПИЛЛЯРНО-ПОРИСТЫХ ТЕЛАХ
О.Р. Дорняк
Проанализировано уравнение общего давления математической модели диффузионно-фильтрацинного влаго-теплопереноса академика А.В. Лыкова с точки зрения общего подхода в рамках механики гетерогенных систем
Ключевые слова: тепломассоперенос, математическое моделирование
Процессы сушки и термовлажностной обработки материалов остаются главными во многих технологиях. Затраты добываемых энергоносителей на эти процессы составляют, как известно, до 8-12%. Повышение эффективности технологий сушки невозможно без развития теории процессов тепломассообмена. Математическая модель влаготеплопереноса -один из результатов фундаментальных научных исследований академика А.В. Лыкова [1-2], несомненно, остается основой инженерных расчетов термовлажностной обработки материалов. Предпосылки, заложенные при создании модели, привели к некоторым известным ограничениям и построению более общих моделей, большинство из которых весьма сложны для анализа [3-7] .
Данная работа связана с изучением модели диффузионно-фильтрацинного влаготеплопе-реноса А.В.Лыкова применительно к интенсивным процессам сушки, когда роль градиента общего давления становится важной. Для математического описания процессов тепломас-сопереноса в коллоидном капиллярнопористом теле используется система трех уравнений параболического типа для влагосодер-жания и (кг/кг), температуры Т (К) и общего давления парогазовой смеси Р (Па) [1]:
!и = К„У2и + КиУгТ + КПУ2Р , (1)
ш
— = К21У 2и + К22У2Т + К23У 2Р, (2)
дt
— = К31У2и + К32У2Т + К33У2Р. (3)
дt
Кинетические коэффициенты К (/, у=1, 2,3) в общем случае равны:
К11 = ат = °ш1 + ат2 ; К12 = ^ К13 = кр / Ро (4)
K2l —
Lea„
; K 22 — a +
K 31 — --m cp a
c
ame aLe P
Cp T
K 32 — -
P am Le P
S+ a— + —— S—;
p T Cp T
г ea amLe P
K33 — ap-mSp + -^~SP~ .
33 p cp p cp p T
Дорняк Ольга Роальдовна - ВГЛТА, д-р техн. наук, ст. науч. сотрудник, e-mail: [email protected]
Здесь ат - коэффициент диффузии влаги, зависящий в общем случае от влагосодержания и температуры, м2/с; е=ат1/ат - критерий фазового превращения; ат1 - коэффициент диффузии парообразной влаги, м2/с; ат2 - коэффициент диффузии капиллярной влаги, м2/с; атт -коэффициент термодиффузии, м2/с; 5=атт/ат -относительный коэффициент термодиффузии; кр - коэффициент фильтрационного переноса, с; с - удельная теплоемкость тела, Дж/(кг К); ср -коэффициент емкости влажного воздуха, Па"1; р0 - плотность абсолютно сухого материала, кг/м3; Ь - теплота фазового превращения, Дж/(кгК); а - коэффициент температуропроводности материала, м2/с; 8р = кр /(атр0) - коэффициент относительного фильтрационного переноса, Пал; ар = кр / срр0 - коэффициент
конвективной фильтрационной диффузии, м2/с.
В [6] сформулирована математическая модель тепломассопереноса применительно к интенсивным процессам сушки в рамках механики гетерофазных систем. Было показано, что для этой модели можно осуществить предельный переход к уравнениям А. В. Лыкова, полагая температуру твердой, жидкой и газообразной фаз одинаковыми; влияние конвективного переноса пара на теплоперенос в паре несущественным; массу пара много меньше массы воды и массы твердой фазы; фазовые переходы равновесными. Уравнения влаго- и теплопроводности при этом получены в виде
с
с
с
^ = У(атУи)-ар ;
а3р3
ЭТ Эи
ср— = У (1У Т) + Ьгр—;
ср = ср1р1 а1 + ср2р2 а2 + ср3рз аз ;
1 = а1 + а21 + аз1.
Здесь а - объемное содержание; 7 -поток массы пара, обусловленный фазовыми переходами, отнесенный к единице времени и единице площади, кг/(м2с); 012 - удельная поверхность раздела 1 и 2 фазы, м_1. Случай 7>0, соответствует испарению, 7<0 - конденсации. Индекс 1 относится к газообразной фазе, 2 - к жидкой, 3 - к твердой. Величина р0 - истинная плотность 7-ой фазы, кг/м3.
Уравнение, описывающее эволюцию поля давления газообразной фазы, получается из трехфазной модели на основе уравнения сохранения массы парогазовой смеси
Эра)
Эt
■ = -Р—У- V + Б1г)
(5)
(6)
и закона фильтрации Дарси
-Ур1---т— = 0 .
^(0)
Здесь р - давление, Па; V - вектор скорости, м2/с; т - вязкость, Па с; 0 - насыщенность, Ф -относительная фазовая проницаемость, К13 -абсолютная проницаемость 3-ей фазы 1-ой, м2.
Из (5-6) при условии, что эффективная проницаемость среды практически постоянна, следует уравнение
Ма> ==ра,ЬЖ1 Ур1+^. (7)
Э( т
Воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона
р1 =
_р_
ТД
(8)
дифференцируя которое по времени, получим из (7):
Эр1
-Э^Г ~ К31У и + К32У Т + К33У р1 +
+ рЭВ_ - р_а + ¡1^.^^Т1 В - _р_Ье ¡п7
В1 Эt а1 Эt а1
; (9)
сТ а3р0
К = р1 а тр- К = -О-п • К = п К13ф(0)
К31 = „ атЬр ; К32 = „ а ; К33 = р1 .
сТ т т
Здесь 5; - индивидуальная газовая постоянная, Дж/(кгК).
Сравним уравнение для давления парогазовой смеси (9) и уравнение для общего давления модели А.В. Лыкова в предположении, что 5®0 (эффект термодиффузии мал) и е®1 (удаление жидкости происходит преимущественно
в виде пара), что справедливо для процессов сушки высокой интенсивности. Получим К32 = К32, К 33 = К 33 и т.к. очевидно, что
ЬРср ~
—^ >> 1, К31 @ К~31.
Тс
Таким образом, уравнение для давления парогазовой смеси (9) не переходит в уравнение общего давления А. В. Лыкова в отличие от уравнений влаго- и теплопроводности. Интересно выполнить оценку вклада в изменение поля давления тех членов уравнения (9), которые не представлены в (3).
Приведем (9) к безразмерному виду, используя соотношения
* х7
х. =—-
1 л о t * р1 п*
1=1,2,3; t = —; р, = —1-; В =
р1 . В1
хар
с„
t
хар
хар
В
О
12______.
с* = ^р • Т * = Т7 • .■* = 7 • О * =_________
^ = с > Т = Т > J = . > 012 = О
1 ./хар 12хар
Рхар
хар
Рх.
хар
I
= ■
хар у 2 ’ хар V
хар хар
хар
Ли =
хар
]хар 12хар хар
Р30ц3
Получим
* * 1 *
^ ^ К?2 Ке2 4. У(ат У и) +У(1*УТ) +
* 23 2 2 ^ т ; -гл * *п-,*
Эt с Т Ре с р Т
+ Да13 Яе1 Ф(0) р*У2 р* + В* ^В- +
В1 Эt а1 Эt
, Лихар а3Р30*0^'*Т;*В|* р*
(10)
?М2
а1
у I Р
к = хархарУхар т=1,2; Бя , = Кт3 •
К
т3 12 ’
хар
г> Т7
хар хар
УПр '
/2
Ре = х^
; ^=^1; М = -КО =
с' Ухар
&т
К1 = ,—
М
; а =
хар
t а
хар хар
с ха^хар
2
схаррхар у 2 р хар
Здесь аад - адиабатическая скорость звука, м /с; У2' объем моля жидкой фазы, м3/моль; ^ - универсальная газовая постоянная, Дж/(мольК).
Объемное содержание парогазовой фазы а1 и индивидуальная газовая постоянная В1 меняются со временем незначительно и, вероятно, четвертое и пятое слагаемое в правой части уравнения (10) или (9) мало влияют на развитие общего давления.
Для определения вклада двух последних слагаемых уравнения (9) оценим величины Ли_______
А =■
азрз0 = ТхарВхарт1 12 р30 а3 Лих
Iм а1рхор°а13^е1
2 хар
а1К13 tx,
и
Ко
ЬЛи
хар хар
В =-
Оа13 Rel К13рхар CxapTxaptxap
при интенсивных процессах сушки, используя,
1
к примеру, известные опытные данные [8-11] (см. таблицу). В качестве характерных значений пргаяты Тхар = 350К, рхар = 105Па ,
Бхар = 462Дж /(кг ■ К). Величина ¡Л\ = 10-6 Па ■ с. Скорость сушки Аыхср / (хар задавалась согласно кривым сушки в первом периоде. Из описания опытов нет возможности точно определить значения а1, а3, р30 . Поэтому для оценок величины плотности твердой фазы сырья взято значение р30=1,5103 кг/м (для глиняного сырца р3=1,8'103 кг/м3). Начальные значения влажности рассматриваемых материалов в опытах [8-
Как видно из таблицы, для рассмотренных процессов обезвоживания, вклад одного из источниковых членов в уравнение (9) может быть существенно более значительным, чем члена, обусловленного градиентом давления. Этот эффект связан, прежде всего, с высокой скоростью сушки за счет большой скорости производства пара. В таком случае уравнение (3) не сможет дать адекватного описания развития поля общего давления в коллоидном капиллярно-пористом материале.
При невысоких скоростях развития полей температуры и влагосодержания, напротив, это возможно, но роль градиента общего давления в этих процессах становится невелика и достаточно пользоваться только уравнениями переноса влаги и тепла, что успешно доказано многими инженерными расчетами
Вывод. Для описания высокоинтенсивных процессов тепломассопереноса, сопровождающихся фазовыми переходами, уравнение общего давления модели диффузионно-фильтрацинного влаготеплопереноса в коллоидных капиллярно-пористых телах следует модифицировать. Предложенный метод уточнения уравнения, требует использования до-
11] составили и0=1,1 кг/кг для древесины, и0=3,5 кг/кг для суконной ткани арт. 49539 , и0=1,6 кг/кг для плодов абрикосов, и0=0,29 кг/кг для глиняного сырца пластического формования. Для этих значений влагосодержания величины а1 и а3 выбраны приближенно, учитывая, что пористость сухой древесины ~ 70% [12], сухого сукна - 86-88 %, увлажненной глины 3040% [13], а плоды в свежем состоянии содержат 72-97% воды. Абсолютная проницаемость пористых материалов парогазовой фазой приведена для древесины в [15], для сукна в [9], для глины в [14].
полнительных соотношений, определяющих интенсивность парообразования на внутренних межфазных поверхностях.
Литература
1. Лыков, А. В. Тепломассообмен [Текст] / А. В. Лыков. - М. : Энергия, 1971. - 560 с.
2. Лыков, А. В. Теория сушки [Текст] / А. В. Лыков. -М. : Энергия, 1968. - 471 с.
3. Павлюкевич, Н. В. Введение в теорию тепло-и массопереноса в пористых средах [Текст] / Н. В. Павлюкевич. - Минск. : Ин-т тепло- и массообмена им. А.В.Лыкова НАНБ, 2003. - 140 с.
4. Гринчик, Н. Н. Уравнения тепло- и массопереноса в деформируемых капиллярно-пористых средах [Текст] / Н. Н. Гринчик // Процессы сушки капиллярно-пористых материалов : сб. науч. тр. / ИТМО АН БССР. - Минск, 1990. - с. 74-88.
5. Решетин, О. Л. Теория переноса тепла и влаги в капиллярно-пористом теле [Текст] / О. Л. Решетин, С. Ю. Орлов // Журнал технической физики. - 1998. - Т. 68, №
2. - С. 140-142.
6. Дорняк О. Р. Тепломассоперенос в ненасыщенных коллоидных капиллярно-пористых анизотропных материалах [Текст] / О. Р. Дорняк. - автореф. дис. ... д-ра техн. наук : 01.04.14 / Воронеж, 2007. - 32 с.
7. Дорняк, О. Р. Математическое моделирование процесса вакуумной сушки древесины [Текст] / О. Р. Дорняк,
3. П. Шульман // Вестник ВГТУ. - 2006. - Т. 2, № 6. -
Оценка источниковых членов в уравнении общего давления
№ Объект сушки Источник опытных данных М, с Ми, кг/кг Макс. скорость сушки, 1/с 1 хар , м а СО ьТ а3 А1 Б:
1 Древесина березы [8] 600 0,22 3,67Е-04 0,025 0,6 1,00Е-16 0,3 27,8 0,0737
2 Ткань арт. 49539 [9] 10 1,70 1,70Е-01 0,006 0,1 1,00Е-13 0,13 1,7 0,0018
3 Плоды абрикоса [10] 60 0,02 3,33Е-04 0,010 0,1 1,00Е-16 0,2 16,2 0,0107
4 Глиняный сырец [11] 4114 0,087 2,13Е-06 0,090 0,1 1,00Е-16 0,6 30,1 0,0055
С.113-119.
8. Шубин, Г. С. Сушка и тепловая обработка древесины [Текст] / Г. С. Шубин. - М. : Лесн. пром-сть, 1990. -336 с
9. Светлов, Термовлажностные процессы в материалах и изделиях легкой промышленности [Текст] / Ю.В. Светлов. - М. : Издательский центр Академия, 2006. - 272 с.
10. Снежкин, Ю. Ф. Обобщение и анализ кинетики влагообмена при сушке термолабильных материалов [Текст] / Ю. Ф. Снежкин, Р. А. Шапарь Труды междуна-род. науч.-техн. семинара "Актуальные проблемы сушки и термовлажностной обработки материалов". Воронеж : ГОУ ВПО ВГЛТА, 2010. С. 167-170.
11. Усачев, А. М. Повышение эффективности процесса
сушки сырца керамического кирпича пластического формования [Текст] / А. М. Усачев. - автореф. дис. ... канд. техн. наук : 05.23.05 / Воронеж, 2006. - 24 с.
12. Уголев, Б. Н. Древесиноведение с основами лесного товароведения [Текст] / Б. Н. Уголев. - М. : Лесн. пром-сть, 1975. - 383 с.
13. Гольдберг, В. М. Проницаемость и фильтрация в глинах [Текст] / В. М. Гольдберг, Н. П. Скворцов. - М. : Недра, 1986. - 160 с.
14. Брилинг, И. А. Фильтрация в глинистых породах [Текст] / И. А. Брилинг. - М. 1984, 57 с.
15. Патякин, В. И. Техническая гидродинамика древесины [Текст] / В. И. Патякин, Ю. Г. Тишин, С. М. Базаров. - М.: Лесн. пром-сть, 1990. - 304 с.
Воронежская государственная лесотехническая академия
THE GENERAL PRESSURE EQUATION OF THE MATHEMATICAL MODEL OF HEAT AND MASS TRANSFER OF ACADEMICIAN A.V. LYKOV FOR THE COLLOIDAL CAPILLARY-POROUS BODIES
O.R. Dornyak
The general pressure equation of the mathematical model of heat and mass transfer of academician A.V. Lykov from the point of view of the general approach in frameworks of mechanics of heterogeneous systems is analyzed
Key words: heat and mass transfer, mathematical modeling
