Мультифрактальная модель неоднородного поля давлений в газонаполненных порах поликристалла при постоянном внешнем поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 004.942; 001.57; 539.3

© Р.К. Халкечев, 2012

МУЛЬТИФРАКТАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ НЕОДНОРОДНОГО ПОЛЯ ДАВЛЕНИЙ В ГАЗОНАПОЛНЕННЫХ ПОРАХ ПОЛИКРИСТАЛЛА ПРИ ПОСТОЯННОМ ВНЕШНЕМ ПОЛЕ

В представленной работе, поликристалл с газонаполненными порами представляется как совокупность подсистем — поликристалл и зерна с газонаполненными порами. Разрабатывая математические модели для каждой из подсистем, была получена мультифрактальная модель, позволяющая при действии постоянного внешнего поля деформации определить поле давлений в газонаполненных порах поликристалла.

Ключевые слова: мультифрактальная модель, газонаполненная пора, поликристалл, неоднородное поле давлений, постоянное внешнее поле, упругая среда.

Для определения поля давлений в газонаполненных порах в поликристаллах при действии внешнего постоянного поля деформации разобьем систему на подсистемы: поликристалл и зерна с газонаполненными порами. К поликристаллам относятся кристаллические конструкционные материалы, полнокристаллические горные породы и минералы равномернозернистой структуры.

Рассмотрим первую подсистему. Определим упругое поле напряжений в поликристаллах. Предполагаем, что среда соответствующая поликристаллу заполняет объем V > Ус, где Ус — элементарный объем. Объем среды будем считать достаточно большим, чтобы вкладом от поверхностных эффектов в упругие свойства среды можно было бы пренебречь. В таком случае с точки зрения математики такую среду можно считать неограниченной.

Для решения поставленной задачи рассмотрим следующую математическую модель поликристалла: трехмерная неограниченная анизотропная упругая среда, которую назовем основной, с неоднородностями в эллипсоидальных областях V(х), где х(х1, х2, х3) — точки среды. Эти эллипсоидальные области плотно прилегают друг к другу и соответствуют зернам минералов и пород. Через С0 обозначим постоянный тензор упругих модулей основной среды, равный осредненным значениям тензора упругих модулей отдельного зерна < С > , через С0 + С1 — то же для эллипсоидальной неоднородности. Тогда тензор упругих модулей среды с неоднородностями можно представить в виде кусочно-постоянной функ-

ции С(х) = С0 + С1¥(х), где V(х) - характеристическая функция области V, занятой неоднородностями. Но так как в рассматриваемой модели неоднородности плотно прилегают друг к другу, то всегда V(х) = 1. Будем иметь в виду, что С1 принимает различные значения в зависимости от ориентации эллипсоидальной неоднородности; свою очередь ориентация последних случайна. Следовательно С1 — случайный тензор, постоянный в пределах каждой неоднородности. Обозначим через е0(х) непрерывное внешнее постоянное поле деформации, которое существовало бы при С1 = 0 в основной однородной среде при заданных внешних силах, а через е(х)- кусочно-непрерывное поле деформации в среде с не-однородностями при тех же внешних условиях.

Рассматриваемая упругая среда описывается следующей системой дифференциальных уравнений в частных производных:

-5' (х)дЧ (х)] = /, (1)

где и1 — поле смещений; / — внешнее силы, не содержащие сингу-лярностей типа простого и двойного слоев, в виду непрерывности внешнего поля деформации. Данное уравнение понимается в смысле обобщенных функций и неразрешимо в данном виде.

Для решения преобразуем систему дифференциальных уравнений в частных производных в интегральное уравнение с помощью функции Грина 0(х - х'). В результате при внешнем постоянном поле получим известное уравнение (см., например, [2, 4, 5]).

е(х) + | К(х - х') • С1(х') ■е1 (х)<9(х т)ёУ' = е0 (х), (2)

где в( х')- характеристическая функция области занятой эллипсоидальной неоднородностью; поскольку эллипсоидальные неоднородности прилегают вплотную к друг другу, то эта функция равна единице; К = -ёв/Оёв/ (оператор ёв/ соответствует симметризованному градиенту); точкой обозначено свертывание тензоров по двум индексам.

При решении поставленной задачи воспользуемся методом самосогласованного поля. Предположения этого метода применительно к рассматриваемой задаче могут быть сформулированы следующим образом: 1) поле деформаций ес, в котором находится каждая из неоднородно-

стей, складывается из внешнего поля е0 и поля, обусловленного окружающими неоднородностями; 2) это поле одинаково для всех неодно-родностей и постоянно; 3) каждая из неоднородностей представляется изолированным эллипсоидальным включением в основной среде.

В рамках этих предположений с учетом результата решения уравнения (2) при постоянном внешнем поле для поля деформаций имеем:

е_ (/ + А - С,)-1 -ес, (3)

где I — единичный двухвалентный тензор; А — среднее значение преобразования Фурье ядра К на единичной сфере.

Эта модель учитывает наличие границ между зернами в поликристаллах, анизотропность их и взаимное влияние отдельных зерен на напряженное состояние. Ориентация зерен определяется углами Эйлера ф, в, ц . Пусть внешнее поле напряжений, в котором находится горная порода в целом, равно ст0. Умножим слева выражение (3) на тензор упругих модулей С зерна, в результате получим выражение для индуцированного поля напряжений внутрь изолированной эллипсоидной неоднородности: а_ С(1 +А-С,)-1 -е0. (4)

С учетом изложенных предпосылок относительно модели поликристалла и предположений метода самосогласованного поля, поле напряжений внутри любого зерна (минерала), индуцированное внешним полем и полем, обусловленным другими зернами, имеет вид

а_ С(1 + А - С,)-1 е. (5)

Усредним (5) по ансамблю полей зерен. В результате получаем а0 =< С(I + А - С,)-1 > -е', (6)

Разрешим уравнение (6) относительно е :

е- =< С(I + А - С1)-1 >-1 -а0. (7)

Общее выражение для поля напряжений а в зернах (минералах) горной породы при известном внешнем поле получим из (5) и (7):

а = С(I + А - С1)-1 < С(I + А - С1)-1 >-1 -а0. (8)

Для численной реализации необходимо (8) записать в компонентной форме, то есть использовать метод представлений. Последний предполагает введение системы координат, в данном случае декартовой в евклидовом пространстве, занятом горной породой. Выражение (8) запишется так:

а _с (I + А С^ )-1 < С (I + А С1 )-1 >-1 сС (9)

у тпк1V 1]тп ijpq рдтп' ук1 V тпу тпрц рду' тп > У '

где i,у,к,т,п, р,q _ 1,2,3 .

Для принятого правила знаков положительные значения а11,а22,а33 соответствуют напряжениям сжатия, а отрицательные — напряжениям растяжения. Несмотря на компактность выражения (9), невозможно рассчитать поле напряжений без ЭВМ. Данное выражение было опробовано для подсчета напряжений в зернах мономинеральных горных пород (каменной соль и сильвина) в зависимости от ориентации. Произведены расчеты а1 (ф, в, ф) через п /6 по всем углам Эйлера,

используя исходные данные Стк (0,0,0) и сС. Значения Стк (0,0,0),

были взяты из работы [3] и принимались равными для каменной соли и сильвинита в 108н /м соответственно: Си = 497, С12 = 126, С44 = 128; Си = 411, С,2 = 67, С44 = 64.

Значения брались равными для каменной соли и сильвинита в 108 н / м2 соответственно:

" 0,325 0 0" " 0,3 0 0"

= 0 0 0 , = 0 0 0

0 0 0 0 0 0

Такое внешнее напряжение соответствует одноосному сжатию. В результате были получены значения тензора напряжений (ф, в, ф).

Анализ данных показывает, что 1) при простом нагружении поликристалла каждое из его зерен находится в сложнонапряженном состоянии; 2) при одноосном сжатии поликристалла отдельные его зерна испытывают растягивающие напряжения по другим осям.

Таким образом, получено выражение, которое позволяет определить поле напряжений внутри любого зерна.

Теперь рассмотрим вторую подсистему: зерна, напряжения в которых определяется по формуле (9), с газонаполненными порами.

Рассмотрим трехмерную анизотропную упругую среду, которая соответствует отдельному зерну, с эллипсоидальной неоднородностью, занимающую область V и соответствующая газонаполненным порам. Обозначим через С0 постоянный тензор упругих модулей однородной среды, через С0 + С1 тензор упругих модулей эллипсоидной неоднородности. Тогда тензор упругих модулей среды с неоднородностью — есть кусочно-постоянная функция С (г) = С0 + С1V (г), где г = (х1, х2, х3) точка среды, V (г) - характеристическая функция области, занятой неоднородностью. Пусть е0(г)- непрерывное внешнее поле деформаций в однородной среде при С1 = 0 и заданных внешних силах, е(г) — кусочно-непрерывное поле деформаций в среде с неоднородностью при тех же внешних условиях. Справедлива теорема [1]: если внешнее поле е(г) есть полином степени т в окрестности V, то поле е(г) внутри эллипсоида также полином степени т .

Запишем уравнение равновесия относительно смещения в среде с неоднородностью в произвольной аффинной системе координат:

Ь = (Ь0 + 11)ы = /, Ь0 = -УС0V, Ь, = -УС,У . (10)

Оно понимается в смысле обобщенных функций. Внешняя сила / — не содержит сингулярности типа простого и двойного слоев в силу 6

предположения о непрерывности внешнего поля деформаций. Из-за отсутствия двойных слоев решение и (г) предполагается принадлежащим к классу непрерывных функций, отсутствие же простых слоев является достаточным условием для непрерывности нормальной составляющей напряжений а(г ) _ С (г )е(г) на границе £ области V . Запишем (10) в эквивалентной форме относительно щ _ u - u0, в предположении L0u0 _ /, и1 ^ 0 при г :

(Lo + Ll)Ul _-Ций. (11)

Используя функцию Грина выражение (11) можно записать в следующем виде

е\ (г) + 1 К°м(г -г,)СГе^п(Г')дг' _-[К°м(г -г)СГе1 (г)еЬ-- , (12)

V

где оператор К0 _ -defG0 def имеет ядро

К°И (г - г■) _ - [5i5у О0И (г - г■)] (у)(к1), (13)

где круглые скобки обозначают симметризацию по индексам у и к1 соответственно; О0И - функция Грина. Из (12) и согласно результатам, полученным в [2], поле деформаций е1 внутри любой неоднородности для данной подсистемы будет определяться следующим образом:

е _ (I+а - С1)-1 -е, (14)

Отсюда умножая на модуль упругости газа Сг получим общую формулу для подсчета давления в газонаполненных порах:

рЗу_ Сг (I + А - С1)-1 -е. (15)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1973. — 370 с.

2. Кунин И.А., Соснина Э.Г. Эллипсоидальная неоднородность в упругой среде // Доклады АН СССР. — Т. 199. — №3. -1971. — С. 127.

3. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. — М.: Наука. -1978. -550 с.

4. Канаун С.К. О приближении самосогласованного поля для упругой композитной среды. — Новосибирск: Журнал прикладной механики и технической физики 1977, № 2.

5. Халкечев К.В., Халкечев Р.К. О свойствах математической модели: эллипсоидальная неоднородность в упругой среде. — М.: Издательство «Горная книга» Горный информационно-аналитический бюллетень (специальный выпуск — Методы математического моделирования в горной промышленности). — 2011. — №12. — С.: 18-22.