Модификация метода крупных частиц для исследования течений газовзвесей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63+532.529.5

DOI: 10.14529/mmpl50203

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ ГАЗОВЗВЕСЕЙ

Д.С. Грищенко, Ю.М. Ковалев, Е.А. Ковалева

В данной работе приводится модификация метода крупных частиц в приложении к исследованиям течений газовзвесей. Показано, что предложенная модификация метода крупных частиц позволяет проводить расчеты поведения ударных волн в газовзвесях без введения в явном виде искусственной вязкости. Это позволило избежать искажения физической картины течения газовзвеси, связанной с наличием осцилляций, имеющих место при распространении ударных волн в неоднородных средах. В данной работе было установлено, что для проведения расчетов распространения ударных волн в газовзвесях с большими числами Куранта может быть использована явная модификация метода крупных частиц. Это позволило значительно сократить время расчета задачи и избежать проведения сложных итерационных процедур, присущих неявным разностным схемам. Было показано, что предложенная в данной работе модификация метода крупных частиц является эффективной и позволяет проводить расчеты даже сильных ударных волн в газовзвесях.

Ключевые слова: численный метод; математическая модель; газовзвесь; законы сохранения; ударные волны; число Куранта.

Введение

Отсутствие в природе чистых веществ требует активного развития математических моделей многокомпонентных сред, достоверно описывающих физические процессы, применяемые в различных отраслях науки и техники, с одной стороны. С другой стороны, развитие вычислительной техники позволяет получать решения для новых [1], все более сложных математических моделей многокомпонентных сред. Более того, есть такие проблемы, когда математическое моделирование является единственным средством предварительного изучения явлений (например, [2]). Адекватность математических моделей многокомпонентных сред физическим процессам предъявляет достаточно жесткие требования к математическим моделям: с одной стороны, уравнения сохранения должны быть инвариантны относительно преобразования Галилея [3], с другой стороны, должны выполняться законы сохранения для смеси [4]. В работах [1, 5] было показано, каким образом можно выполнить оба эти условия.

Несмотря на наличие большого числа вычислительных пакетов и увеличение быстродействия вычислительной техники, разработка эффективных численных методов и в настоящее время является актуальной задачей. Успешное решение многочисленных задач газовой динамики и аэродинамики методом крупным частиц [6] и его модификациями [7] позволяет надеяться на то, что идеология метода может быть применена и для решения задач распространения ударных волн в газовзвесях. Поэтому целью данной работы является разработка модификации метода крупных частиц, которая позволит эффективно решать проблемы, связанные с течением газовзвесей.

1. Математическая модель газовзвеси

Рассмотрим одномерный плоский случай математической модели течения газа с твердыми частицами (аэровзвесь), которая описывается системой уравнений сохранения [5]. Данная

2g Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming

& Computer Software (Bulletin SUSU MMCS), 2015, vol. 8, no. 2, pp. 36-42

система уравнений двухфазной аэровзвеси [5] без химических превращений имеет следующий вид

др1 + др1^1 _ о др2 + др2 У2 _ о дп + диу2 _0 ^ ^

дЬ дх ' дЬ дх ' дЬ дх ' '

^1У1 др ¿2 у 2 др

_ -а1 дХ -п/'р2^Т _ -а2дх + п/> (1-2)

^1е1 Ра1 ¿1р°1

р^ _ -рт +п/(У1 - У2) - пя ' (1-3)

¿2е2 ра2 ¿2р2 . „ч

р2^Т _ ~Р2[ 1Г + пя ' (1-4)

р _ Р1(Р?, Ц) _ Р2Р , Т2) , е1 _ е1 (р1 , Т1), е2 _ е2(р2 , Т2),

У2

Р1 _ р?аь р2 _ р^а2 , а1 + а2 _ 1 , Ег _ е» + у (г _ 1 ,2), (1.5)

/ _ п^С^ - У2)|У1 - У2|/8, я _ пй\1Ми(Т1 - Т2). (1.6)

Система уравнений (1.1) - (1-6) замыкается уравнениями состояния газовой фазы и

ЧЭ.СТИЦ

е1 _ с,! (Т1 - То) + Со,е1 _ ^ , е2 _ С2(Т2 - То). (1.7)

Здесь индексы 1, 2 относятся соответственно к газу и частицам; р°, аг(г _ 1, 2) - истинные плотности и объемные содержания фаз; рг,Уг,Тг, ег, Ег ~ парциальная плотность, скорость, температура, внутренняя и полная энергия 1-й фазы; р - давление, п - число частиц в единице объема смеси; с,1 и С2 - теплоемкости фаз: Со - постоянная для нормирования внутренней энергии газовой фазы: А1 - теплопроводность газовой фазы; К1 - универсальная газовая постоянная; С^ж N4 - коэффициент трения и число Нуссельта, определяемые числами Рейнольдса (Яе) и Прандтля (Рт) относительного движения фаз соответственно: к - показатель адиабаты Пуассона; - диаметр частиц.

Уравнения (1.1) - уравнения неразрывности газа и частиц и уравнение сохранения числа частиц в единице объема смеси; (1.2) - уравнения импульса газа и частиц; (1.3) и (1.4) -уравнения сохранения внутренней энергии газа и частиц соответственно; (1.6) - уравнения, определяющие члены теплового (я) и силового (/) взаимодействия между фазами: (1.7) -уравнения состояния фаз.

Для того, чтобы воспользоваться идеологией метода крупных частиц, необходимо привести уравнения (1.2) - (1-4) к дивергентному виду и получить уравнения кинетической энергии газовой фазы и частиц.

У1

У2

энергии газа и частиц соответственно

др1У1 др1У2 др

У1["дГ + ]_ -У1а1 дх - п/У1,

,др2У2 , др2у|, др

У2["дГ + ^]_ -У2а2дх - п/У2,

которые после простых преобразований принимают следующий вид

дР14 . дР1У14 др

_~дТ + _ -а1У1 дх - п/У1,_(18)

Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование 27

и программирование» (Вестник ЮУрГУ ММП). 2015. Т. 8, № 2. С. 36-42

др2 f dp2V2 Vit dp

~1T + = ^ dX " nfV2- (1-9)

Преобразуем левые части уравнений сохранения внутренней энергии газа (1.3) и частиц (1.4) к дивергентному виду. С учетом равенств (1.1) они могут быть представлены в виде

dpiei dpidvi pai dp

"sT + = +nf (V1 -V2) -nq, (1-10)

др2в2 , dp2&2V2 pa2 d,2p°2 , ч

^г + = "dT+nq- (1-11)

Из уравнений неразрывности газовой и конденсированной фаз (1.1) легко получить следующие равенства

dipf 0fdai daivi

ai^tT = -pi(^ +

d2p°2 о/da 2 , da2V2,

a2^T = p2( +

Подставляя данные выражения в уравнения (1-10) и (1-11) соответственно, получим

dpiei dpiei Vi dai daiVi , ,, л ,л 1гЛ

~дТ + = -p("sf + } + nf (Vi - V2) - nq, (1-12)

dp2e2 , dp2e2V2 da2 , da2V2, , 10,

^T + = -p(^ + ^XT} + nq- (1-13)

В случае несжимаемости конденсированной фазы уравнения сохранения внутренней энергии газовой (1.3) и конденсированной (1.4) фаз, легко преобразуются к виду

dpi ei dpieiVi daiVi chi2V2, , ,, л ,л л лЛ

~дТ + ^^ = + ] + nf (Vi - V2) - nq, (1-14)

^ + ^ = nq. (1.15)

Для получения уравнения сохранения полной энергии смеси просуммируем левые и правые части уравнений (1.8), (1-9), (1.14), (1.15). В результате получим уравнение сохранения полной энергии смеси в виде

d(piEidl p2^2) + dL[piViEi + p2V2^2 + (aiVi + a2V2)p] = 0. (1.16)

Система уравнений (1.1), (1.2),(1.5) - (1-7), (1-14) - (1-16) представляет собой замкнутую систему уравнений для описания течений газовзвесей, инвариантную относительно преобразования Галилея.

2. Модификация метода крупных частиц для расчета течений газовзвеси

В соответствии с идеологией метода крупных частиц [6] систему законов сохранения газовзвеси (1.1), (1-2), (1-5) - (1-7), (1-14) - (1-16) на эйлеровом этапе можно представить следующим образом

t =0.f =0.£ =0. (2.1)

dVi dp dV2 dp

_piät = -ai dX - nf,p2Ж = -a2 dX +nf,_(22)

2g Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming

& Computer Software (Bulletin SUSU MMCS), 2015, vol. 8, no. 2, pp. 36-42

dei daivi da2V2 . , . оЛ

p^ = -v{~dx- + ]+nf (V1 - V2) - nq, (2-3)

p2 dt = nq, (2.4)

+ £ [(aivi + a2V2)p]=0. (2.5) dt dx

Учитывая несжимаемость конденсированной фазы p° = const, запишем уравнения (2.1), (2.3), (2.5) в более удобном для представления на эйлеровом этапе виде

dp° п ° да2 dn ° dai

a1^r± = 0, p°-—- = 0, — = 0, pi -—- = 0 (2.6)

1 dt ,И2 dt ' dt dt v !

pidei = -p(ai+ a2dV2) + nf (vi - V2) - nq, (2.7) dt dx dx

dEi dE2 д(Vip) д(v2p) „

»1Ж + "2-W + + = 0 (2-8)

Подставляя уравнение состояния газовой фазы (1,7) в уравнение (2.7) получим следующее базовое соотношение для определения давления на эйлеровом этапе

dp k — 1 , dvi dv2. k — 1, . . , .

-p(ai— + a^—) +--(nf (vi — V2) — nq). (2.9)

dt ai dx dx a

Используя явные разностные представления для равенства (2.9), легко получить выражения для определения предварительных значений давления на новом m + 1 временном слое на границах i — 1/2 и i + 1/2 для ячеек i — 1, гиг + 1

pm+1 _ pm+1 + Рг (1 (k — 1) (am (vm vm ) + am (vm vm )) At )

Pi+1/2 _ -2-(1 — am-(a1,i+1/2(v1,i+1 — v1,i) + a2,i+1/2(v2,i+1 — V2,i))XX) —

2 a1,i+1/2 Ax

— O-1 «+1/2^+1/2)^ + О-1 (nm+1/2f+1/2 ^+1/2 — vS*+1/2)At). (2.10) a1,i+1/2 a1,i+1/2

Здесь At - шаг то времени, Ax - шаг по пространству. Полученные значения давления используются для определения промежуточных величин скоростей на эйлеровом этапе:

1 At nm

vm+1 _ vm ± (pm+1 pm+1 _L_ f m At (2 11)

VM _ VM — р1ш (p+1/2 — Pi 1/2) Ax — pm fi At (2.11)

1 At nm

vm+ _ vmi — (pm+12—cft)^ — ^ r At. (2.12)

Для получения промежуточных значений скоростей газовой и конденсированной фаз можно использовать еще одну модификацию эйлерова этапа метода крупных частиц, связанную с частично неявной аппроксимацией силы межфазного взаимодействия. В этом случае равенства (2.11) и (2.12) можно представить в виде

1 At nm

vm++1 _ v^—-ш (pm++/2—m^A — Pm —v2\/8)m(vm+1—vmjAt p 1 i Ax p1 ,i

1 At Pm

~ m+1 _ vm__(pm+1 _ pm+1 (nd2P°c,iv. _ v„i/8)m(vm _ ,-,m+1

m

=vm - -m(C+/2 -+ ^(^Pdv/ - у2\/8)гкг - 1 w.

Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование 2Q

и программирование» (Вестник ЮУрГУ ММП). 2015. Т. 8, № 2. С. 36-42

Из полученных уравнений промежуточные значения скоростей легко определяются в явном виде

vm+0 _ (vm _ 1 (pm+0 pm+0 )At +

v0,i _ (v1,i pom У1\+1/2 pi—0/2) Ax +

+-m(nd2p°oCd\vo - v2|/8)mv2miAiV(l + -m(nd2p0Cd\vo - V2\/8)mAt),

po,i po,i

vm+o _ (vm__1_ (pm+o — pm+o ) At +

i72,i _ (V2,i (pi+0/2 pi—0/2) + nm nm

+-T(nd2p0Cd\vo - V2\/8)mvmiAtV(1 + -m(nd2p0Cd\vo - V2\/8)mAt).

(2.11)'

(2.12)'

22+0 _ ^ + -m -mqmAt (2.14)

Р2,г ' Р2,

Промежуточные значения скоростей конденсированной и газовой фаз на границах ячеек определяются как средние арифметические от их значений в двух соседних ячейках

^^ = кг1+кт+оА т\/2 = кг1+®тй-1)/2. (2.13)

Теперь можно определить промежуточные значения внутренней энергии конденсированной фазы

1

п"

р 2,г

и полной энергии смеси

т Ет+1 I Р" Е"+1 — пт Ет + пт Е" (ап к"+1 рт+1 р1,гЕ1,г + р2,гЕ2,г — р1,гЕ1,г + р2,гЕ2,г _ (а1,г+1/2К1,г+1/2Рг+1/2

ап кт+1 ■йт+1 — (ап кт+1 ■йт+1 — кт+1 ■йт+1 А15)

"1^-1/2^-1/2^-1/2) дх (а2>г+1/2у2,г+1/2^уг+1/2 а2,г-1/2к 2,г-1/2р)г-1/2) дж-

На этапе Лагранжа и заключительном этапе метода крупных частиц для каждой фазы были использованы формулы, приведенные в монографии О.М. Белоцерковского и Ю.М. Давыдова [6].

Заключение

1. Тестирование предложенной модификации метода крупных частиц проводилось на решении задач о распространении ударных волн в «замороженной» газовзвеси [8] и в облаке газовзвеси [9].

2. Было показано, что применение на этапе Эйлера уравнений (2.10) - (2.15) более эффективно, чем применение метода крупных частиц [6] и модификации метода [10], при решении задач о распространении ударных волн в «замороженной» газовзвеси [8] и в облаке газовзвеси [9].

3. Применение на этапе Эйлера уравнений (2.11)' и (2.12) позволяет проводить расчеты задач [8, 9] при больших значениях числа Куранта.

Авторы выражают свою благодарность профессору В.Ф. Куропатенко за полезные обсуждения и интерес к работе.

Работа выполнена при поддержке РФФИ грант, Жв 13 - 01 - 00072.

Литература

1. Куропатенко, В.Ф. Новые модели механики сплошных сред / В.Ф. Куропатенко // Инженерно-физический журнал. - 2011. - Т. 84, № 1. - С. 74-92.

2. Гришин, A.M. Об усилении ударных волн при их взаимодействии с фронтом лесного пожара / A.M. Гришин, Ю.М. Ковалев // Доклады Академии наук. - 1990. - Т. 312, № 1. - С. 50-54._

|() Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming

& Computer Software (Bulletin SUSU MMCS), 2015, vol. 8, no. 2, pp. 36-42

3. Ковалев, Ю.М. Математическая модель газовзвеси с химическими превращениями в приближении парных взаимодействий / Ю.М. Ковалев, Е.Е. Пигасов // Вестник ЮУр-ГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2014. - Т. 7, № 3. -С. 40-49.

4. Ковалев, Ю.М. Математический анализ уравнений сохранения двухфазных смесей / Ю.М. Ковалев, Е.А. Ковалева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2014. - Т. 7, № 2. - С. 29-37.

5. Ковалев, Ю.М. Анализ возможности применения некоторых численных методов для решения задач механики многокомпонентных сред / Ю.М. Ковалев, Е.А. Ковалева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. -2014. - Т. 14, № 1. - С. 57-62.

6. Белоцерковский, О.М. Метод крупных частиц в газовой динамике / О.М. Белоцерков-ский, Ю.М. Давыдов. - М.: Наука, 1982. - 392 с.

7. Гришин, Ю.А. Новые схемы метода крупных частиц и использование их для оптимизации газовоздушных трактов двигателей / Ю.А. Гришин // Математическое моделирование. - 2002. - Т. 14, № 8. - С. 51-55

8. Кругликов, B.C. Ослабление воздушных ударных волн экранирующими решетками / B.C. Кругликов, А.Г. Кутушев // Физика горения и взрыва. - 1988. - № 1. - С. 115-117.

9. Кругликов, B.C. Ослабление воздушных ударных волн слоями запыленного газа и решетками / B.C. Кругликов, А.Г. Кутушев // Прикладная механика и техническая физика. - 1988. - № 1. - С. 51-57.

10. Ивандаев, А.И. Численное исследование нестационарных волновых течений газовзвесей с выделением границ двухфазных областей и контактных разрывов в несущем газе / А.И. Ивандаев, А.Г. Кутушев // Численные методы в механике сплошных сред. - 1983. -Т. 14, № 6. - С. 47-60.

Дмитрий Сергеевич Грищенко, аспирант, кафедра «Вычислительная механика сплошных сред», Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация) , grishenko _dmitri@mail .ru.

Юрий Михайлович Ковалев, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Вычислительная механика сплошных сред», Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), [email protected].

Елена Адамовна Ковалева, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Математические методы в экономике:», Челябинский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), [email protected].

Поступила в редакцию 26 января 2015 г.

MSC 76N15 DOI: 10.14529/mmpl50203

Modification of Method of Large Particles for Research of Currents of Gas-Suspensions

D.S. Grishchenko, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, [email protected],

Yu.M. Kovalev, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, [email protected],

E.A. Kovaleva, Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russian Federation, [email protected]

In this work a modification of the large particles method is given applications the study gas-suspensions flows. It is shown that the proposed modification of the large particles

Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование» (Вестник ЮУрГУ ММП). 2015. Т. 8, № 2. С. 36-42

,3,.C. rpiiiueiiKO, IO.M. KoeajieB, E.A. Koisajicisa

method allows to carry out calculations of behavior of shock waves in gas-suspensions without insertion of artificial viscosity in an explicit form. It allows to avoid distortion of a physical picture of the gas-suspension flow connected with existence of the ostsillyation taking place at distribution of shock waves in non-homogeneous medium. In this work it was established that for carrying out of calculations of distribution of shock waves in gas-suspensions with large Courant the problem numbers an explicit modification of a large particles method can be used. It allow to reduce time of calculation of the problem and to avoid carrying out difficult iterative procedures inherent in implicit difference schemes. It was shown that the modification of large particles method offered in this work is effective and allows to carry out calculations for even strong shock waves in gas-suspensions.

Keywords: numerical method; mathematical model; gas-suspensions; conservation laws; shock waves; Courant number.

References

1. Kuropatenko V.F. New Models of Continuum Mechanics. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2011, vol. 84, no. 1, pp. 77-99. DOI: 10.1007/sl0891-011-0457-0

2. Grishin A.M., Kovalev Yu.M. About Strengthening of Shock Waves at Their Interaction with the Front of Forest Fire. Doklady Akademii nauk, 1990, vol. 312, no. 1, pp. 50-54. (in Russian)

3. Kovalev Yu.M., Pigasov E.E. Mathematical Model of a Gas-Suspension with Chemical Transformations in Approach of Pair Interactions. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software, 2014, vol. 7, no. 3, pp. 40-49. DOI: 10.14529/mmpl40304 (in Russian)

4. Kovalev Yu.M., Kovaleva E.A. A Mathematical Study of the Conservation Equation for Two-Phase. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software, 2014, vol. 7, no. 2, pp. 29-37. DOI: 10.14529/mmpl40202 (in Russian)

5. Kovalev Yu.M., Kovaleva E.A. The Analysis of Some Numerical Methods Application for the Solvation of Multicomponents Media Mechanics. Bulletin of the South Ural State University. Series: Computer Technologies, Automatic Control & Radioelectronics, 2014, vol. 14, no. 1, pp. 57-62. (in Russian)

6. Belotserkovskiy O.M., Davydov Yu.M. Metod krupnykh chastits v gazovoy dinamike [Method of Large Particles in Gas Dynamics]. Moscow, Nauka, 1982. 392 p.

7. Grishin Yu.A. New Schemes of a Method of Large Particles and Their Use for Optimization of Air-Gas Paths of Engines. Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical Models and Computer Simulations], 2002, vol. 14, no. 8, pp. 51-55. (in Russian)

8. Kruglikov B.S., Kutushev A.G. Attenuation of Shock Waves by Shielding Grids. Combustion, Explosion, and Shock Waves, 1988, vol. 24, no. 1, pp. 106-109. DOI: 10.1007/BF00749083

9. Kruglikov B.S., Kutushev A.G. Attenuation of Air Shock Waves by Layers of Dusty Gas and Lattices. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1988, vol. 29, no. 1, pp. 48-53. DOI: 10.1007/BF00909690

10. Ivandaev A.I., Kutushev A.G. Numerical Research of non-Stationary Wave Currents of Gas-Suspensions with Allocation of Borders of Two-Phase Areas and Contact Gaps in the Bearing Gas. Numerical Methods in Mechanics of Continuous Environments, 1983, vol. 14, no. 6, pp. 47-60. (in Russian)

Received January 26, 2015

42 Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming

& Computer Software (Bulletin SUSU MMCS), 2015, vol. 8, no. 2, pp. 36-42