Математическая модель движения бесконечного цилиндра вдоль оси вниз Текст научной статьи по специальности «Физика»

Хлопип Дмитрий Валерьевич к. ф.-м. и.

Институт математики и механики УрО РАН Россия, Екатеринбург e-mail: [email protected]

Dmitriy Khlopin

candidate of phys.-math. sciences Institute of Mathematics and Mechanics of UrD RAS

Russia, Ekaterinburg e-mail: [email protected]

УДК 532.5

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ БЕСКОНЕЧНОГО ЦИЛИНДРА ВДОЛЬ ОСИ ВНИЗ

© И. М. Цун

Ключевые слова: капиллярная ламинарная струя; бесконечный жидкостный цилиндр; вязкая и плотная среда; математическая модель движения; решение краевой задачи.

Аннотация: Исследуется вопрос о тормозящем воздействии вязкой, плотной среды на капиллярную ламинарную струю.

Рассмотрим движение цилиндра вдоль оси вертикально вниз диаметром ^ ^ ^^^таостью рм в вязкой среде с плотностью рс , причем рм > рс. Очевидно, что тормозящее действие среды будет скомпенсировано, если архимедова и поверхностная тормозящая за счёт вязкости среды силы, приложенные к элементарному объему-диску цилиндра, в сумме не будут превосходить силы веса этого объёма. Это условие может быть приведено к виду:

4 Р* (1)

<1 ^7-------г“ >

(рм - Рс) д

где рк — касательные напряжения на поверхности движущегося цилиндра, возникающие вследствие вязкости среды, д — ускорение свободного падения, d — диаметр движущегося цилиндра.

Условие рм > рс выполняется, в частности, при экструдировании расплава стали (рм ~ 7000 кг/м3) в воду и водные растворы (рс ~ 1000 кг/м3) и в расплавы солей (рс (2 - 3) • 103 кг/м3) [1-4].

Таким образом, тормозящее воздействие среды оказывается существенным для струй относительно малых диаметров 0, 2 — 3 мм. Величину касательных напряжений рк на поверхности цилиндра можно уменьшить снижением скорости V движения цилиндра. Явный вид зависимости Рк = Рк(V) найден нами в результате решения задачи о движении бесконечного цилиндра вдоль оси в вязкой жидкости.

Сформулируем краевую задачу.

Уравнение движения — Навье-Стокса [5]:

dw ^ ,9 ,„ч

р— = ^ -Ур + рс^, (2)

где p — поле давлений в среде, w — векторное поле скоростей жидкости, увлекаемой движущимся цилиндром, — динамическая вязкость среды.

Краевые условия:

wz = ^ при r = d/2, (3)

wz = 0 при r = di/2, (4)

d

В рассматриваемом случае

w = wz (r)eZ, (5)

где (r, z) — цилиндрическая система ко ординат, eZ — орт оси z координат, направленной вдоль оси цилиндра ВНИЗ.

z=

Г dt/2

Q = 2 п / rw(r) dr, (6)

Jd/2

где Q — расход жидкости через сечение z = const.

В рассматриваемом здесь случае

Q = 0. (7)

Решение краевой задачи (2)-(7) имеет вид:

Wz = (1 + (R2 - 1) • F(Di)) - nR (l + (D2 - 1) • F(Di) j, (8)

In D^ '

где Wz = wz/v, R = 2 r/d, Di = du/d, 1 ^ R ^ Di,

F(Di)= D2 - lnD2 - 1

№ - ЧЧВ*=Т А - О

Явный вид зависимости рк = рк (у) величины касательных пап ряжений рк на поверхности движущегося цилиндра от скорости у движения цилиндра:

dwz

рк =

dr

2 vVc d2 - ln d2 - 1 (9)

,2 -^2/ 0+1

С учетом того, что >> ^ то есть >> 1 (^1 ^ 50), решения (8), (9) принимают вид:

r=d/2 d ln Di (D2 - 1) 2(D— !n Di - 1)

Wz = ¡nD7"-l({R/D^ - ln<R/D0 - 0■ * = d(lnDi-1). <10>

Подставляя выражение (10) в неравенство (1), получаем:

Л > ^ = ^---------ТТГп------п ’ (11)

у (Рм — Л) 9 0п — -)

где dк — критическое значение диаметра движущегося цилиндра.

Неравенство (11) ограничивает область значений диаметра движущегося цилиндра, при которых тормозящее действие среды и архимедова сила скомпенсированы весом цилиндра.

При математическом моделировании необходимые физические константы взяты из литературы [6]. Зависимость (11) согласуется с имеющимися экспериментальными данными [1-4]. Так, авторы работы [2], экспериментируя с различными металлами, при диаметрах струи 127-152 мкм

и скорости 1,8-2,6 м/с столкнулись с необходимостью точного совпадения скорости струи и охлаждающей жидкости воды и водных растворов. В наших экспериментах [3, 4] при экструдирова-нии расплавов олова, алюминия, меди, стали струей диаметром 0,5^1 мм со скоростью 1^2 м/с в неподвижные среды: в воду, расплавы смеси селитр и смеси хлоридов признаков отрицательного действия торможения со стороны среды на полученных волокнах не обнаружено.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kavesh Sh. Melt spinning of metal fibers // American Institute of Chemical Engineers. Symposium Series. 1978. V.74. № 180. P. 1-15.

2. Патент 3845805 (США). Liquid Quenching of Eree Jet Spun Metal Filaments / Sh. Kavesh.

3. Некоторые особенности тепломассообмена при экструдировании расплавленных металлов для получения литой проволоки / Г.К. Субботин, И.М. Цун, В.П. Петышин, В.И. Лукьянов // Теплотехника процессов выплавки стали и сплавов. Свердловск: Изд-во У ПИ, 1977. Вып. 5. С. 31-37.

4. Цун И.М. Экспериментальные исследования устойчивости капиллярных струй // Вестн. МаГУ: Периоди-

ческий научный журнал. Магнитогорск: МаГУ, 2001-2002. Вып. 2-3. С. 225-232.

5. Эглит М.Э. Лекции по механике сплошных сред. М.: Изд-во Московского университета, 2008. 318 с.

6. Теплотехнический справочник: в 2 т. М.: Энергия, 1975. Т. 1. 744 с.

Abstract: Investigation the question about a retarding action of the viscous and solid medium on a capillary laminar jet.

Keywords: capillary laminar jet; endless liquid cylinder; viscous and solid medium; mathematical model of motion; solution of boundary-value problem.

Цун Иосиф Менделеевич Iosif Tsoun

к. т. н., профессор candidate of phys.-math. sciences, professor

Магнитогорский государственный университет Magnitogorsk State University Россия, Магнитогорск Russia, Magnitogorsk

e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

УДК 517.98

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕРЕЗИНА В ПОЛИНОМИАЛЬНОМ КВАНТОВАНИИ ДЛЯ ПАРА-ЭРМИТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ С ПСЕВДО-ОРТОГОНАЛЬНОЙ ГРУППОЙ ДВИЖЕНИЙ 1

© С. В. Цыкина

Ключевые слова: симплектические многообразия; псевдо-ортогональные группы; полиномиальное квантование; преобразование Березина.

Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.