CC BY
32
5. Асеев С.М., Кряжимский А.В., Тарасьев А.М. Принцип максимума Понтрягина и условия трансверсальности для одной задачи оптимального управления на бесконечном интервале // Труды МИ РАН. 2001. Т. 233. С. 64-80.
6. Асеев С.М., Бесов К.О., Кряжимский А.В. Задачи оптимального управления на бесконечном промежутке времени в экономике // Успехи мат. наук. 2012. Т. 67. № 2. С. 3-64.
7. Carlson D., Haurie A., Leizarowitz A. Infinite Horizon Optimal Control. Deterministic and Stochastic Systems. Berlin: Springer, 1991.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа частично поддержана программой Президиума РАН «Математическая теория управления» и грантами РФФИ №№ 12-01-31172, 13-01-90414.
Khlopin D.V. ON INFINITE-HORIZON CONTROL PROBLEMS WITH MONOTONIC RIGHT-HAND SIDE
No boundary condition at infinity that is a necessary condition of optimality is known for infinite-horizon control problems. If the right-hand side and objective function are monotonic in x, the problem often becomes easier to investigate; for example, in the recent papers it was shown that in such problems the adjoint variable that satisfies the Pontryagin Maximum Principle does not change its sign. For a significant class of such problems it is possible to find, for such an adjoint variable, both the boundary condition and explicit formula. In our report, we plan to discuss the possibility of transferring this condition onto arbitrary problems with the monotonic right-hand side.
Key words: control problem; infinite horizon problem; necessary conditions of optimality; transversa-lity condition for infinity; Pontryagin maximum principle; monotonic objective function.
УДК 532.522.2:532.631, 532.66
ЭКПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СПЛОШНОЙ ЧАСТИ ЛАМИНАРНОЙ КАПИЛЛЯРНОЙ СТРУИ
© И.М. Цун
Ключевые слова: ламинарная капиллярная струя; сплошная и капельная части струи; устойчивый и неустойчивый участки сплошной части струи; моделирование методом подобия.
Рассматривается струя жидкости, отделенная от окружающего пространства поверхностью раздела, вдоль которой действуют силы поверхностного натяжения, причем действие этих сил соизмеримо с действием других сил на струю (капиллярная струя); получены и проанализированы экспериментальные зависимости.
Вопросам экспериментального изучения капиллярных струй посвящен целый ряд работ (например, 1-5), в т. ч. работы таких выдающихся исследователей, как Дж.В. Стретт (лорд Рэлей) [2, 3] и Нильс Бор [4, 5]. Анализ литературных данных, а также результаты наших исследований показывают, что по длине капиллярной струи существуют сплошная, непрерывная её часть и участок, в пределах которого струя представляет собой поток капель (капельный участок). В пределах сплошной части можно выделить два участка: неустойчивый, прилегающий к капельному, на котором зарождаются и развиваются неустойчивые возмущения поверхности, приводящие к распаду струи, и устойчивый, по длине которого такие возмущения отсутствуют. Точку сплошной части струи, наиболее удалённую от сопла, из которого происходит истечение, назовём вершиной струи.
2729
В экспериментальных исследованиях искомую зависимость в безразмерной форме мы находили в виде: L = F (Re,We,H), где L = l/d, Re = vpd/ц., We = v^/pd/a, H =
= h/d, l - длина сплошной части капиллярной струи моделируемой жидкости (образца), d - выходной диаметр капилляра, p - плотность, a - поверхностное натяжение и ц -динамическая вязкость жидкости, v - скорость истечения жидкости, h - длина капилляра.
Зависимость длины l сплошной части капиллярной струи от скорости от 0 до критического значения vKp последней в относительных единицах от числа We хорошо аппроксимируется прямой: L = 17, 58 • We. Зависимость максимальных значений Lm относительной длины сплошной части струи от относительной длины H капилляра и зависимость соответствующих значений числа Рейнольдса Rem, вычисленного для критических значений vKp скорости:
Lm = 102 • [1 + 2, 77 • exp (-3, 80 • 10“2 • H)],
Rem = 2108 • [1 + 5, 62 • exp (-6, 41 • 10“2 • H)],
99,9 % доверительные интервалы нанесены на графиках. При уменьшении длины H капилляра от значения 100 диаметров значение критического числа Rem возрастает от 2108 и, соответственно, возрастает наибольшая относительная длина Lm сплошной части струи.
Как известно, при движении жидкости в трубах большой длины переход от ламинарного режима к турбулентному происходит при Re = (2100 ^ 2300). Известно также, что при турбулентном движении в трубах в начале потока существует начальный участок, на котором имеет место ламинарное движение.
Полученные данные дают основания считать, что критическое значение скорости vKp и, соответственно, наибольшая длина lm сплошной части струи определяются исключительно режимом движения потока жидкости при выходе из канала капилляра. Величины vKp и lm, по-видимому, соответствуют началу перехода ламинарного движения жидкости на срезе капилляра заданной длины в турбулентное.
Есть основания считать, что при малых значениях H (H < 20) имеет место некоторое уменьшение наибольшей длины Lm сплошной части струи. Это можно объяснить турбу-лезирующим влиянием входных кромок канала капилляра на поток жидкости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Троцкий Я. К вопросу о распадении жидкой струи на капли. // ЖТФ, 1933. Т. III. Вып. 5. С. 729-743.
2. Lord Rayleigh. On the Capillary Phenomena of Jets. // Proceedings of the Royal Society (London), 1879, 29, р. 71-97.
3. Стретт Дж.В. (лорд Рэлей) Теория звука. М.: ГИТТЛ, 1955. Т. 2. 475 с.
4. Бор Н. Определение коэффициента поверхностного натяжения методом колебаний струи. // Избранные научные труды. М.: Наука, 1970. Т. 1. С. 7-50.
5. Бор Н. К определению коэффициента поверхностного натяжения свежеобразованной поверхности воды. // Избранные научные труды. М.: Наука, 1970. Т. 1. С. 51-59.
6. Субботин Г.К., Цун И.М., Петышин В.П., Лукьянов В.И. Некоторые особенности тепломассообмена при экструдировании расплавленных металлов для получения литой проволоки. /
// Теплотехника процессов выплавки сталей и сплавов. Свердловск: Изд-во УпИ, 1977. Вып. 5. С. 31-37.
7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Механика сплошных сред. М.: ГИТТЛ, 1953. 788 с.
8. Цун И.М. Исследование влияния условий истечения на длину сплошной части капиллярной струи. // Материалы 15 Международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС’2007), г. Алушта. М.: Вузовская книга, 2007. 544 с. С. 503-504.
2730
9. Kavesh Sh. Melt spinning of metal fibers // American Institute of Chemical Engineers. Symposium Series, 1978. V. 74. № 180. P. 1-15.
10. Butler I.G., Kurz W., Gillot J., Lux B. The Production of Metal Fibres and Wires Directly from the Melt // Fibre Science and Technology. 1972. № 5. P. 243-262.
Tsun I.M. EXPERIMENTAL INVESTIGATION OF SOLID PART OF LAMINAR CAPILLAR JET
The article considers a liquid jet, separated from the surrounding space by the interface, along which there are the forces of surface tension and the action of these forces is commensurate with the action of other forces on the jet (capillary jet); they are obtained and analyzed the experimental de pendences.
Key words: laminar capilar jet; solid and drop parts of jet; stable and unstable pieces of solid part of jet; modeling by similitude method.
УДК 517.98
О РЕАЛИЗАЦИЯХ ПАРА-ЭРМИТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ С ПСЕВДООРТОГОНАЛЬНОЙ ГРУППОЙ ДВИЖЕНИЙ © С.В. Цыкина
Ключевые слова: группы и алгебры Ли; псевдоортогональные группы; симплектические пространства; пара-эрмитовы симметрические пространства.
Изучаются различные реализации пара-эрмитовых симметрических пространств G/H , для которых группа G есть псевдоортогональная группа SOo(p, q) .
Мы рассматриваем пара-эрмитовы симметрические пространства G/H, для которых группа G есть псевдоортогональная группа SOo(p, q) , а связная компонента единицы He подгруппы H есть SO0(1,1) х SO0(p — 1, q — 1) . Все такие пространства (с данной G ) получаются факторизацией из «самого большого» пространства G/He . Отображение накрытия не более чем четырехкратно. Размерность всех этих пространств G/H равна 2п — 4, где п = p + q , сигнатура есть (п — 2,п — 2) , а ранг равен 2. Именно только для таких пространств с рангом большим единицы пока получены явные формулы в полиномиальном квантовании, см. [1], [2].
В настоящей работе мы описываем несколько реализаций наших пространств G/H , они нужны для построения гармонического анализа и полиномиального квантования на G/H .
Введем в пространстве R следующую билинейную форму:
П
[x,y] = ^ к Xi yi,
i=1
где Ai = ... = Ap = —1, Ap+i = ... = An = 1 . Группа G = SO0(p, q) есть связная компонента единицы в группе линейных преобразований пространства Rn с определителем 1, сохраняющих билинейную форму [X, y] . Для простоты мы будем рассматривать общий случай р> 1, q> 1. Мы считаем, что группа G действует в R справа: x ^ xg , так что векторы x из R будем записывать в виде строки.
Реализация (А): многообразие в алгебре Ли g группы G. Это - общая ситуация: для всякого пара-эрмитова симметрического пространства G/H алгебра Ли h подгруппы H имеет центральный элемент, скажем, Zo , поэтому G/H с точностью до накрытия есть
2731
